30.3 正多边形与圆（第2课时）课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

第30章　直线与圆的位置关系 30.3 正多边形与圆（第2课时） 等分圆周与画正多边形 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 示例 需要画正六边形螺帽轮廓，若已知外接圆半径 cm，圆规开口应多大以六等分圆周？ 答：开口为 cm。 截弦长等于圆半径。 情境引入 示例 画正十二边形，每两个相邻分点对应的中心角多大？ 答：。 。 新知探究 量角器等分圆周：观察与推理 研究问题 怎样用量角器把圆五等分？ 观察与依据 从一条半径起每次转标点，再顺次连接。 O A B C D E 新知讲授 量角器等分圆周 结论 同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此可以通过作相等圆心角等分圆周。 条件与用法 正n边形中心角为，作角后顺次连接各分点。 O A B C D E 新知探究 圆规六等分：观察与推理 研究问题 为什么用圆的半径在圆周上连续截取恰好六次？ 观察与依据 由两半径与所截弦构成等边三角形，每次截。 O A B C D E F 新知讲授 圆规六等分 结论 在半径为R的圆上，从某一点开始，依次以R为半径画弧，可把圆六等分。 条件与用法 正六边形的边长等于外接圆半径，邻边所对中心角为。 O A B C D E F 新知探究 六等分得到三等分：观察与推理 研究问题 如何不重新量角直接由正六边形得到正三角形？ 观察与依据 取第、、个顶点并顺次连接。 O A B C 新知讲授 六等分得到三等分 结论 圆六等分后，每隔一个分点取一点，顺次相连得到正三角形。 条件与用法 相邻所选点之间跨两段弧，中心角。 O A B C 新知探究 四等分与正方形：观察与推理 研究问题 两条任意相交的直径都能得到正方形吗？ 观察与依据 不能，必须互相垂直，才能保证四段弧相等。 O A B C D 新知讲授 四等分与正方形 结论 作两条互相垂直的直径，将圆四等分，顺次连接四个端点得到正方形。 条件与用法 四个中心角都为；继续平分弧可得到正八边形。 O A B C D 新知探究 分弧加倍与图案：观察与推理 研究问题 正五边形的顶点怎样连接成五角星？ 观察与依据 每次跨过一个顶点连接，形成A—C—E—B—D—A的闭合路径。 O A B C D E 新知讲授 分弧加倍与图案 结论 把每段相等弧再二等分，可以使正多边形的边数加倍。等分圆周后连接适当分点，还可画五角星与重复图案。 条件与用法 区分顺次连接画正多边形，与隔点连接画星形。 O A B C D E 例题讲解 示例 写出用直尺圆规画圆内接正方形的主要步骤。 答：先作一条直径，再作垂直直径，顺次连接四端点。 两条直径须垂直且过圆心。 变式训练 变式 画正九边形，每次应量多少度中心角？ 答：。 。 例题讲解 示例 圆周六等分点依次A、B、C、D、E、F，选择哪三个点组成正三角形？ 答：A、C、E或B、D、F。 每条边跨两段相等弧。 变式训练 变式 半径的圆六等分后顺次连接，周长是多少？ 答：。 正六边形边长等于半径。 例题讲解 示例 圆四等分后每段弧再平分，可得到几边形？再平分一次呢？ 答：正八边形、正十六边形。 每次弧二等分使边数乘。 变式训练 变式 半径的圆四等分并顺次连接，所得正方形边长多少？ 答：。 直径为对角线。 例题讲解 示例 正五边形各对角线组成的星形，写出一条连续闭合路线。 答：A—C—E—B—D—A。 每次跳过一个顶点。 变式训练 变式 正二十四边形中心角多大？ 答：。 。 例题讲解 示例 正六边形外接圆半径，求边长和周长。 答：边长，周长。 六等分圆周给出六个等边中心三角形。 变式训练 变式 圆三等分后每段弧平分两次，得到几等分？ 答：等分。 。 例题讲解 示例 将圆六等分后隔点连成正三角形，正三角形中心角是多少？ 答：。 每段跨两个。 变式训练 变式 正五边形各对角线形成五角星，每个尖角多少度？ 答：。 尖角是对应劣弧的圆周角。 课堂练习 练习 画一个半径为的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星。 O A B C D E 答：画半径 cm的圆，每隔取一分点，顺次连五边形，再连接每条对角线。 五角星可沿A—C—E—B—D—A路径描画。 课堂练习 练习 用等分圆周的方法画出下列图案。 三种图案 答：先分别三等分、六等分、五等分圆周，利用分点为圆心或顶点画重复的弧与花瓣。 同一图案中保持各弧的半径一致，沿等分点重复，最后保留相应边界。 方法归纳 本阶段的解题方法 选择作图工具 ① 一般正n边形可按用量角器分圆。 ② 特殊正六边形用半径截弧，正方形用垂直直径。 变换连接方式 ① 六等分隔点连接得正三角形，五等分隔点连接得五角星。 ② 分弧二等分可使正多边形边数加倍，画完检查闭合。 巩固拓展 示例 画正八边形时量角器应画还是中心角？ 答：。 是内角，不是中心角。 巩固拓展 示例 重复花瓣图案为什么要先等分圆周？ 答：等分点提供等角间隔，配合相同半径的弧使每个重复单元一致。 等间隔与同尺寸共同保证图案规则。 课堂总结 等分圆周与画正多边形 等角分圆 中心角为。 特殊画法 六等分用半径，四等分用垂直直径。 加倍与选点 分弧加倍，隔点连三角形或星形。 图案 统一半径与角间隔，检查完整闭合。 针对训练 训练 圆规六等分圆周时，开口应等于：A.直径；B.半径；C.半半径；D.任意长。 答：选B。 以半径截圆周得到弦。 以半径截圆周得到弦。 针对训练 训练 画正十边形时，每个中心角为________。 答：。 。 。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 任意两条直径端点连接成正方形 错 两直径须垂直，才能得到四段等弧。 （2） 半径可以截圆六等分 对 半径截弦可形成等边中心三角形。 （3） 六等分隔点相连成正三角形 对 跨两段弧，三边所对中心角均为。 （4） 圆弧二等分可使边数加倍 对 每一段原弧二等分，分点总数加倍。 正方形要求两条直径互相垂直。 针对训练 训练 画正十五边形，每个中心角多少度？ 答：。 整圆平均分份。 整圆平均分份。 针对训练 训练 作图时相邻半径夹角，可得到几边形？ 答：正二十边形。 。 。 针对训练 训练 圆半径，用圆规六等分后连接各点，所得多边形周长多少？ 答：。 每条边长等于。 每条边长等于。 针对训练 训练 顺次连接五等分点与隔点连接五等分点，分别得到什么图形？ 答：正五边形与五角星。 同一分点集可因连接顺序不同得到不同图形。 同一分点集可因连接顺序不同得到不同图形。 针对训练 训练 用圆规截取六次后最后一点与起点不重合，应该检查哪些地方？ 答：检查圆规开口是否始终等于半径、每次是否准确从前一分点起弧。 连续截取误差会累积，闭合检查能发现问题。 连续截取误差会累积，闭合检查能发现问题。 针对训练 训练 圆盘半径，要在圆周上均匀打个孔，给出不量角的定位方法，并求相邻孔距。 答：用半径开口依次截取六等分点，相邻孔距 cm。 保持圆规开口等于圆盘半径。 保持圆规开口等于圆盘半径。 针对训练 训练 圆形灯架需均匀布置盏灯，已有相互垂直的两条直径，说明如何用分弧定位。 答：先四等分圆，再把各弧二等分两次，得到等分点。 每次二等分全体已有弧，不能只分其中一段。 每次二等分全体已有弧，不能只分其中一段。 方法归纳 本课方法总结 选择作图工具 ① 一般正n边形可按用量角器分圆。 ② 特殊正六边形用半径截弧，正方形用垂直直径。 变换连接方式 ① 六等分隔点连接得正三角形，五等分隔点连接得五角星。 ② 分弧二等分可使正多边形边数加倍，画完检查闭合。 $