30.3正多边形与圆（第2课时）（培优教学课件）数学新教材人教版九年级上册

第三十章 直线与圆的位置关系 30.3 正多边形与圆 第2课时 正多边形的画法 学 习 目 标 1 2 3 掌握用尺规等分圆周作特殊正多边形的方法——正六边形、正方形及其衍生. 经历用量角器和尺规等分圆周作正多边形的过程，培养学生的尺规作图能力和动手操作能力. 通过欣赏生活中的正多边形图案（六角螺帽、五角星、齿轮等），感受数学的美和数学与生活的密切联系. 旧知复习 回顾 上节课我们学习了正多边形的有关概念。什么是正多边形？正多边形的中心角是多少度？ （1）正多边形的概念 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形； （2）正多边形的中心角的度数 正边形的中心角是. 新知引入 探究 实际生活中，我们经常遇到画正多边形的问题。 画一个六角螺帽的平面图 画一个五角星 制造齿轮 以上这些问题都与等分圆周有关。那么，如何画出一个正多边形呢？今天我们就来学习正多边形的画法. 探究1：用量角器等分圆周作正多边形 新知探究 探究 如何在一个圆中画出一个正六边形？ 原理分析：由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等. 因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形. 探究1：用量角器等分圆周作正多边形 新知探究 操作 下面我们以正六边形为例，看看如何利用量角器进行尺规作图.请观察演示中的制图过程，并尝试自行操作. 放映状态下点击该图进行演示 结合该演示，你能总结作图步骤吗？ 作图步骤（以正六边形为例）： （1）以1.5cm为半径作一个； （2）用量角器画一个的圆心角，它对着一段弧； （3）在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点； （4）顺次连接各分点，即可得到正六边形。 探究1：用量角器等分圆周作正多边形 新知探究 用量角器等分圆周作正多边形 方法总结 在半径为的圆中，先用量角器画一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆周的. 然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的等分点，顺次连接各等分点 从而作出半径为的正边形。 探究2：用尺规作正六边形及衍生图形 新知探究 探究 对于一些特殊的正多边形，我们还可以用直尺和圆规来作图，这样更加精确.下面我们观看动态演示，再自己尝试绘制. 放映状态下点击该图进行演示 结合该演示，你能总结利用尺规作图绘制多边形的步骤吗？ 作图步骤（以正六边形为例）： ①作半径为R的； ②在⊙O上任取一点A； ③以A为圆心，R为半径画弧，交于点； ④以B为圆心，R为半径画弧，交于点； ⑤依次类推，得到六个等分点 ⑥顺次连接各分点，得到正六边形. 用量角器等分圆周作正多边形 方法总结 新知探究 探究2：用尺规作正六边形及衍生图形 用尺规作正六边形的关键是利用"正六边形的边长等于半径"这一性质； 这种方法作图精确，但有局限性，不能作任意正多边形，只能作特殊的正多边形； 从正六边形可以衍生出正三角形（边数减半）和正十二边形（边数加倍），体现了正多边形之间的联系. 【分析】利用正六边形外接圆、中心角特点，结合圆周上等弧对等弦的规律判断得到的图形. 新知巩固 用尺规作正六边形 （1）正六边形的边长等于__________________________； （2）在正六边形基础上连接每隔一个顶点得到____________； （3）在正六边形基础上作各边垂直平分线与圆的交点，顺次连接得到____. 填空： 解：（1）正六边形外接圆的半径。 理由：正六边形中心角，中心与相邻两顶点构成等边三角形，边长 = 外接圆半径。 （2）正三角形。 理由：正六边形顶点隔一个相连，相邻两点之间圆心角，一共 3 个顶点，构成正三角形。 （3）正十二边形。 正六边形外接圆的半径 正三角形 正十二边形 新知探究 探究3：用尺规作正方形及衍生图形 探究 在掌握了以上两种作图方式之后，你知道如何用尺规作正方形？其实只需要作两条互相垂直的直径四等分圆周即可，下面我们先观看演示，再自己绘制. 放映状态下点击该图进行演示 结合该演示，你能总结作图步骤吗？ 作图步骤： ①作半径为R的； ②作⊙O的一条直径； ③作AC的垂直平分线，交于两点（即作另一条垂直于的直径）； ④顺次连接四点，得到正方形。 用尺规作正方形的关键是作两条互相垂直的直径，将圆四等分； 用量角器等分圆周作正多边形 方法总结 新知探究 探究3：用尺规作正方形及衍生图形 从正方形可以衍生出正八边形、正十六边形等边数逐次倍增的正多边形； 这种方法同样作图精确，但有局限性，只能作4、8、16……等边数的正多边形。 新知探究 探究3：用尺规作正方形及衍生图形 探究 绘制多边形我们主要使用了两种方法，一种是用量角器，另一种是尺规作图，两种方法各有上面特点？ 两种方法对比总结： ①用量角器等分圆周：可作任意正多边形，但边数大时误差大； ⑤用尺规等分圆周：作图精确，但只能作特殊正多边形（正三、四、六、八、十二、十六……边形）. 【分析】把圆分成等份，顺次连接各顶点，就得到正边形. 巩固训练 正多边形作图 在下列图中，请仅用圆规和无刻度的直尺分别按要求画出圆的内接正多边形（保留画图痕迹，不写画法）． (1)正三角形 （1）解：选择圆上任意一点作为正三角形的一个顶点，以这个顶点为圆心，以圆的半径为半径画弧，与圆交于 两点，这两点即为正三角形的另外两个顶点，连接这三个点即可得到正三角形．如图所示，（画法不唯一）正三角形为所求． 巩固训练 正多边形作图 (2)正方形 （2）解：画出圆的两条互相垂直的直径，它们的交点即为圆心，这两条直径将圆周分成四等份，连接这四个点 即可得到正方形． 如图所示，正方形为所求． (3)正六边形 （3）解：选择圆上任意一点作为正六边形的一个顶点，以这个顶点为圆心，以圆的半径为半径画弧，与圆交于 一点，重复这个过程，直到找到六个顶点，连接这 六个点即可得到正六边形．如图所示，正六边形为所求． 巩固训练 正多边形作图 (4)正八边形 （4）解：画出圆的两条互相垂直的直径，它们的交点即为圆心，以圆心为圆心，以圆的半径为半径画圆，与这两条直径交于四点，以这四点为圆心，以圆的半径 为半径画弧，与圆交于另外四点，连接这八个点即可得到正八边形． 如图所示，正八边形为所求． 巩固训练 正多边形作图 变式题 如图，由小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中过点作的切线； (2)在图1中画出一个圆内接正方形； (3)在图2中的圆上画出线段的中点； (4)在图3中作一个的圆周角． 巩固训练 正多边形作图 变式题 （1）如图所示： （2）如图，正方形即为所求， 巩固训练 正多边形作图 变式题 （3）如图，点即为所求. （4）如图，即为所求 课堂总结 本节课你学到了什么？ 20 感谢聆听! 21 $