30.1 直线与圆（第3课时）课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第30章　直线与圆的位置关系 30.1 直线与圆（第3课时） 切线长定理与切线作图 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 示例 从同一外点拉两根绳子分别与圆柱相切，绳子从外点到接触点的长度是否相等？ 答：相等。 同一外点向同一圆作的切线长相等。 情境引入 示例 “”表示两条切线相等吗？ 答：表示两个切线段的长度相等。 切线长是线段长度，直线没有有限长度。 新知探究 圆外一点作两条切线：观察与推理 研究问题 圆外点P到圆的切线，切点A满足什么角度条件？ 观察与依据 半径OA与PA垂直，A必在以OP为直径的圆上。 O P A B E 新知讲授 圆外一点作两条切线 结论 过圆外一点可以作两条直线与这个圆相切。 条件与用法 通过以OP为直径的辅助圆，可以找到满足的切点。 O P A B E 新知探究 切线长的定义：观察与推理 研究问题 同一条无限延长的切线，为什么还能讨论切线长？ 观察与依据 切线长的两个端点由外点与切点确定，是有限线段长度。 O P A B E 新知讲授 切线长的定义 结论 我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长（如图中的线段、的长），叫作这点到圆的切线长。 条件与用法 切线是直线，切线长是外点到切点线段的长度。不要把两者当成同一种对象。 O P A B E 新知探究 切线长定理：观察与推理 研究问题 圆外一点P所作两条切线PA、PB，为什么长度相等？ 观察与依据 连OA、OB，两个直角三角形有公共斜边OP和相等半径，可用HL全等。 O P A B E 新知讲授 切线长定理 结论 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 条件与用法 同一圆外点引向同一圆的两条切线才可直接得到两线段等长。 O P A B E 新知探究 切点弦与圆心连线：观察与推理 研究问题 除了两切线等长，还能得到OP与AB的什么关系？ 观察与依据 OP垂直AB且平分AB，形成更多直角三角形。 新知讲授 切点弦与圆心连线 结论 ，因此直线是弦的垂直平分线。 条件与用法 P和O都到A、B等距，两点确定的直线是AB的垂直平分线。 新知探究 切线夹角与圆心角：观察与推理 研究问题 已知切线夹角，怎样求两切点对应圆心角？ 观察与依据 两角互补，用减去已知角即可。 新知讲授 切线夹角与圆心角 结论 四边形中，，所以。 条件与用法 两条半径与切线在切点处成直角，先认出四边形内角和。 例题讲解 例 3 如图，是的两条切线，是切点，连接。若，求的周长。 O P A B 答：先建立解题所需的关系。 平分切线夹角，得，结合知为等边三角形。 平分切线夹角，得，结合知为等边三角形。 例题讲解 例 3 如图，是的两条切线，是切点，连接。若，求的周长。 O P A B 答：。 平分切线夹角，得，结合知为等边三角形。 ，，周长为。 ，，周长为。 例题讲解 示例 圆半径，外点到圆心距离，求切线长。 O P A B E 答：。 直角三角形斜边、直角边。 变式训练 变式 圆半径，外点圆心距，两切线长各多少？ 答：各。 切点处半径与切线垂直。 例题讲解 示例 为两切线，，求。 答：。 OP平分两切线夹角。 变式训练 变式 两切线夹角，求对应两切点圆心角。 答：。 两角互补。 例题讲解 示例 两切线夹角为，求两切点所对圆心角。 答：。 两角互补。 变式训练 变式 两切点对应圆心角，求两切线夹角。 答：。 四边形内角和，另外两角为。 例题讲解 示例 为两切线，，说明的形状。 答：等边三角形。 且顶角，两底角也各。 变式训练 变式 切线长，外点沿圆心连线到近处圆周点距离，求半径。 答：。 ，得。 例题讲解 示例 两切线切点为，交于。若，求。 答：。 OP垂直平分AB。 变式训练 变式 同一外点两切线段长为与，求切线长。 答：。 ，得。 例题讲解 示例 为何以OP为直径作辅助圆，其与原圆的交点A可作切点？ 答：直径所对圆周角OAP为，PA垂直原圆半径OA。 利用圆周角直角判定切线。 变式训练 变式 两切线夹角、切线长，求两切线段与切点弦组成的三角形周长。 答：。 三角形为等边，每边均。 课堂练习 练习 如图，是的两条切线，为切点，是的直径，。求的度数。 答：。 ，，故。 课堂练习 练习 如图，是的两条切线，为切点，直线交于点，交于点。（）写出图中所有垂直关系；（）如果，求的半径长。 O P A B E C D 答：；半径为。 设半径，则，，得。 方法归纳 本阶段的解题方法 用全等得到等长 ① 连接两条切点半径，构造有公共斜边的直角三角形。 ② 切线长相等、夹角被平分，切点弦也被垂直平分。 用直角三角形计算 ① 切线长平方等于圆心距平方减半径平方。 ② 出现近处圆周点时先把OP表示为半径加外部距离。 课堂总结 切线长定理与切线作图 作图 以OP为直径作辅助圆确定切点。 切线长 外点到切点的线段长度。 定理 同一外点两切线长相等，OP平分夹角。 辅助关系 OP垂直平分切点弦。 针对训练 训练 直接用切线长定理得到等长，应满足：A.任意两条切线；B.同一外点引同一圆的两条切线；C.两平行线；D.两割线。 答：选B。 强调同一外点与同一圆。 强调同一外点与同一圆。 针对训练 训练 是两条切线，，求。 答：。 圆心连线平分两切线夹角。 圆心连线平分两切线夹角。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 同一外点到同一圆的两切线长相等 对 同一外点的两切点半径构成HL全等三角形。 （2） 两切线所在直线相等 表述错误 相等的是切线段长，两条直线仍是不同对象。 （3） 圆心连线平分切线夹角 对 HL全等得到两个外点角相等。 （4） OP平分切点弦 对 圆心和外点都到两切点等距，OP为垂直平分线。 两条切线是不同直线，相等的是线段长度。 针对训练 训练 圆半径，，求从到圆的切线长。 答：。 。 。 针对训练 训练 圆半径、切线长，求外点到圆心的距离。 答：。 OP为直角三角形的斜边。 OP为直角三角形的斜边。 针对训练 训练 两切点对应圆心角为，求两切线夹角。 答：。 两角之和。 两角之和。 针对训练 训练 同一外点引两切线段长为和，求切线长。 答：。 令，得。 令，得。 针对训练 训练 切线长，外点到近处圆周点沿圆心连线距离为，求半径。 答：。 ，得。 ，得。 针对训练 训练 从路口向半径的圆形花坛修两条切向小路，。求两条小路从路口到切点的总长。 答：。 每条为 m，两切线长相等。 每条为 m，两切线长相等。 针对训练 训练 从同一固定点到圆柱截面两切点的绳长分别为和，求每条绳长。 答：。 由切线长相等解。 由切线长相等解。 方法归纳 本课方法总结 用全等得到等长 ① 连接两条切点半径，构造有公共斜边的直角三角形。 ② 切线长相等、夹角被平分，切点弦也被垂直平分。 用直角三角形计算 ① 切线长平方等于圆心距平方减半径平方。 ② 出现近处圆周点时先把OP表示为半径加外部距离。 $