30.2 三角形的内切圆课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

30.2 内切圆 课时1 三角形的内切圆 01 理解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。 02 掌握三角形内心的性质并能加以应用。 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 活动1：逆向猜想--寻找内切圆圆心 【问题】如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？ 圆与三角形的三条边都相切时，圆面积最大 O O O O 活动1：逆向猜想--寻找内切圆圆心 假设符合条件的圆已经作出，那么这个圆的圆心到三角形三边的距离都等于半径．如何确定这个圆的圆心和半径呢？ ？ ①如果⊙与△三边都相切，那么圆心到三边、、 距离有什么数量关系？ ②三角形内部，到三角形三边距离相等的点，我们之前学过什么点有这个性质? 根据圆的切线性质：圆心到切线距离等于半径，因此三条线段相等 角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等 作与△三边都相切的圆： 作法： 1.作∠ABC和∠ACB的平分线BM和CN，交点为O. 2.过点O作OD⊥BC，垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O. ☉O就是所求的圆. 活动1：逆向猜想--寻找内切圆圆心 三角形三条内角平分线必定交于同一个点。只要画出其中两条内角平分线，它们的交点就是这个公共交点； B A C I 如图， 是△ABC的内切圆， 点I 是△ABC的 . △ABC是⊙I的 . ⊙I 内心 外切三角形 三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三条边的距离相等，等于三角形内切圆的半径. 三角形的内心与三角形三个顶点的连线分别平分三角形的三个内角. 三角形的内切圆: 我们把与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形. 名称 三角形的外心 三角形的内心 形成 三角形的外接圆圆心，即三角形三边垂直平分线的交点. 三角形的内切圆圆心，即三角形三条角平分线的交点. 图形 性质 外心到三角形三个顶点的距离相等， 即 OA=OB=OC. 内心到三角形三条边的距离相等，即 ID=IE=IF. 位置 外心不一定在三角形的内部. 内心一定在三角形的内部. 角度关系 ∠BOC=2∠BAC. ∠BIC=90°+ ​∠A. 三角形外心、内心的区别 活动2：模型探究--内切圆的切线长线段模型 【例】如图，△ 的内切圆⊙与 ，， 分别相切于点，，，且 =9，=14，=13.求，， 的长. ①设哪条线段为未知数？ ②BC这条边可以拆成哪两段之和? ③等量关系是什么? 思考： (1)如图，☉O是△ABC的内切圆，那么AO、BO、CO有什么特点？、、呢？ (2)AF、AE又有什么关系？和又分别与哪条直线有相同的关系？ AO、BO、CO 分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA. OE=OF=OG. 根据切线长定理可知== 活动2：模型探究--内切圆的切线长线段模型 【例】如图，△ 的内切圆⊙与 ，， 分别相切于点，，，且 =9，=14，=13.求，， 的长. AF = AE BF = BD CD = CE ⊙O 为三角形内切圆 设未知数求解 分析： 活动2：模型探究--内切圆的切线长线段模型 【例】如图，△ 的内切圆⊙与 ，， 分别相切于点，，，且 =9，=14，=13.求，， 的长. 解： 设 AF = x ，则 AE = x . 则 CE = CD = AC - AE = 9 - x， BF = BD = AB - AF = 13 - x. 由 BD + CD = BC，可得 (13 - x) + (9 - x) = 14， 因此∴ AF = 4 ，BD = 9 ，CE = 5 . 解得 x = 4. 内切圆求线段：借助切线长定理，设未知数，利用边长建立方程求解。 活动3：模型探究--内切圆的切线长线段模型 已知：是△内心，平分，平分。证明：∠=90°+ 在△中： ∠＋∠＋∠＝180° 移项得： ∠＋∠＝180°－∠ ∵、分别平分∠、∠ ∴ ∠＝∠，∠＝ ∠ 两式相加： ∠＋∠＝ (∠＋∠ ＝ (180°－∠) ＝90°－ ∠ 在△中， ∠＝180°－(∠＋∠) 将∠＋∠＝90°－ ∠代入得 ∠＝180°－(90°－ ∠) ＝180°－90°＋ ∠ ＝90°＋ ∠ (3)若∠BIC=100 °，则∠A = °； (2)若∠A=80 °，则∠BIC = °； 130 20 如图，在△ABC中，点I是内心. (1)若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，则∠BIC=_____°； A B C I 120 回顾三个探究活动，梳理本节课收获 1.内切圆、内心定义：内心是三角形___________________，到三边距离相等； 2.对比记忆：内心（____平分线、到边距离）；外心（________线、到顶点距离）； 3.重要模型：内心角度公式_____________；内切圆切线长线段模型。 两条内角平分线交点 角 ∠=90°+∠ 垂直平分 定义 性质 三角形的内切圆 ①三角形的内心是三角形三条角平分线的交点性质 ②三角形的内心到三角形三边的距离相等 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆 1.下列说法正确的是(　　) A．过任意一点总可以作圆的两条切线 B．圆的切线长就是圆的切线的长度 C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径 2.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点，如图，已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是 . C 30 随堂小练 3.如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若  ∠OAC= 40° ， 则∠BOC的度数为（ ） A.  B. 100° C.  130° D.  140° C 4.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB. 证明：如图，连接BI. ∵I是△ABC的内心， ∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI， ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠BAD=∠CBD， ∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD， ∴∠BID=∠IBD， ∴BD=ID． 17 $