30.1 直线与圆（第2课时）课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第30章　直线与圆的位置关系 30.1 直线与圆（第2课时） 圆的切线的性质与判定 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 示例 砂轮上打磨产生的火星沿什么方向飞出？与该接触点半径是什么关系？ 答：沿切线方向，垂直于接触点半径。 用切线性质解释直角关系。 情境引入 示例 圆形车轮与水平地面相切，车轴与接触点连线有什么方向？ 答：竖直方向。 接触点半径垂直水平切线。 新知探究 切线的性质：观察与推理 研究问题 圆心到切点的连线与切线之间有什么角？ 观察与依据 半径是圆心到切线上各点距离中的最短线段，所以垂直。 O A P 新知讲授 切线的性质 结论 圆的切线垂直于过切点的半径。 条件与用法 必须连接圆心与切点；不能说切线垂直于任何一条半径。 O A P 新知探究 切线的判定：观察与推理 研究问题 与半径垂直但未经过其外端的直线一定相切吗？ 观察与依据 不一定。它可能相离或相交，必须经过半径外端。 O A P 新知讲授 切线的判定 结论 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 条件与用法 经过半径的外端与垂直于半径两个条件缺一不可。 O A P 新知探究 已知切点连半径：观察与推理 研究问题 相切条件怎样转化成三角形中的直角？ 观察与依据 连切点半径，半径与切线垂直。 新知讲授 已知切点连半径 结论 若题设已经给出相切及切点，先连接切点与圆心，得到直角。 条件与用法 切线性质把相切条件转换成垂直条件，方便用勾股定理或角度关系。 新知探究 已知交点证垂直：观察与推理 研究问题 已知直线过圆上点，判定还差哪一项？ 观察与依据 只差证明直线与该点半径垂直。 新知讲授 已知交点证垂直 结论 欲证明经过圆上一点A的直线是切线，连接OA并证明该直线垂直OA。 条件与用法 圆上点保证是半径外端，再证明垂直即可。 新知探究 未给切点作垂线：观察与推理 研究问题 不知目标直线与圆在哪相切，应怎样构造辅助线？ 观察与依据 向直线作垂线，利用等距关系证明垂足是圆上的点。 新知讲授 未给切点作垂线 结论 若切点未明确，过圆心向目标直线作垂线，再证明垂线段长度等于半径。 条件与用法 先构造垂足，证明圆心距等于半径，才能认定该垂足在圆上。 例题讲解 例 2 如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点。求证：是的切线。 O A B C D E 答：先建立解题所需的关系。 过作，由已知切线得。 过作，由已知切线得。 例题讲解 例 2 如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点。求证：是的切线。 O A B C D E 答：为切线。 过作，由已知切线得。 等腰三角形中平分，故，所以是半径，为切线。 等腰三角形中平分，故，所以是半径，为切线。 例题讲解 示例 已知圆上点，怎样作过的切线？ O A P 答：连接OA，过A作OA的垂线。 利用切线判定两条件。 变式训练 变式 切线切圆于，，求。 答：。 。 例题讲解 示例 切圆于，，求。 O A P 答：。 OA垂直PA，用勾股定理。 变式训练 变式 切圆于，，求半径。 答：。 。 例题讲解 示例 切圆于，，求半径。 答：。 圆心、切点、外点构成直角三角形。 变式训练 变式 在圆上，，证明相切。 答：，故，且A在圆上，所以AP为切线。 先用勾股定理逆定理得到垂直。 例题讲解 示例 切线与半径组成直角三角形，，求。 答：。 两锐角互余。 变式训练 变式 圆半径，直径两端的切线之间距离多少？ 答：。 两条平行切线距离等于直径。 例题讲解 示例 一条直线垂直于圆的某半径，能否断定它是切线？ 答：不能。 还要经过该半径的外端点。 变式训练 变式 切圆于，，求半径和切线长。 答：与。 所对直角边为斜边一半。 例题讲解 示例 直径两端的切线为什么一定平行？ 答：两直线都垂直于直径所在直线。 使用同平面内垂直于同一直线的两直线平行。 变式训练 变式 同心两圆半径，大圆一弦与小圆相切，求大圆弦长。 答：。 半弦。 课堂练习 练习 如图，是的直径，，。求证：是的切线。 O A B C 答：中，故，，即，所以是切线。 先证明圆上交点处的垂直。 课堂练习 练习 如图，是的直径，直线是的切线，是切点。有怎样的位置关系？证明你的结论。 答：。 两条切线分别垂直于，而在同一直线上。 课堂练习 练习 如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，点为切点。求证。 O A B P 答：，由大圆的垂径定理得。 先用小圆切线性质，再用大圆垂径定理。 方法归纳 本阶段的解题方法 相切求垂直 ① 已知切线与切点，先连接切点半径。 ② 得到直角后用勾股定理、互余角或平行关系。 垂直证相切 ① 有圆上点时连接半径证明垂直。 ② 无已知切点时作圆心垂线，证明圆心距等于半径。 课堂总结 圆的切线的性质与判定 性质 切线垂直切点半径。 判定 过半径外端且垂直半径。 辅助线 有切点连半径，无切点作垂线。 计算 用直角三角形联系半径、切线段、圆心距。 针对训练 训练 切线必垂直于：A.任意半径；B.经过切点的半径；C.任意直径；D.任意弦。 答：选B。 半径必须经过切点。 半径必须经过切点。 针对训练 训练 切圆于，则________。 答：。 连切点到圆心的半径。 连切点到圆心的半径。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 垂直某半径就相切 错 还须经过该半径的外端点。 （2） 经过半径外端且垂直该半径就相切 对 同时满足过半径外端与垂直半径的判定条件。 （3） 切线与切点半径垂直 对 这是圆的切线的性质。 （4） 过圆心的直线可能是切线 错 圆心距为小于半径，直线与圆相交。 过圆心的直线与正半径圆相交。 针对训练 训练 ，切圆于，求。 答：。 。 。 针对训练 训练 ，为切线段，求。 答：。 。 。 针对训练 训练 在上，，证明是切线。 答：因，得，且A在圆上，故AP相切。 先用勾股定理逆定理证明垂直。 先用勾股定理逆定理证明垂直。 针对训练 训练 切圆于，，求。 答：。 OA垂直PA，平行线传递垂直关系。 OA垂直PA，平行线传递垂直关系。 针对训练 训练 同心两圆半径分别、，大圆一弦与小圆相切，求弦长。 答：。 弦心距为，半弦长。 弦心距为，半弦长。 针对训练 训练 圆管半径，支撑杆端点到管心，杆与圆管相切于，求。 答：。 切线与半径垂直，形成––直角三角形。 切线与半径垂直，形成––直角三角形。 针对训练 训练 车轮半径与水平地面相切，圆心上方同一竖线的点距地面，求。 答：。 圆心距地面等于半径 m。 圆心距地面等于半径 m。 方法归纳 本课方法总结 相切求垂直 ① 已知切线与切点，先连接切点半径。 ② 得到直角后用勾股定理、互余角或平行关系。 垂直证相切 ① 有圆上点时连接半径证明垂直。 ② 无已知切点时作圆心垂线，证明圆心距等于半径。 $