30.1 直线与圆（第3课时） 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

30.1 直线与圆 （第 3 课时 · 切线长与切线长定理） 人教版 · 数学 · 九年级上册 授课教师：__________ 班级：__________ 课时：1 课时 学习目标 目标 1. 理解切线长的概念，掌握切线长定理，并能用于计算与证明。 2. 能综合运用切线的性质与切线长定理解决相关几何问题。 3. 经历“猜想—证明”的过程，积累“连半径、构造直角三角形”的辅助线经验。 一、课前复习 复习 1.（填空）切线的性质定理：圆的切线＿＿＿＿于过＿＿＿＿的半径。 1.（填空）切线的性质定理：圆的切线垂直于过＿＿＿＿的半径。 1.（填空）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 2.（填空）切线的判定定理：经过半径的＿＿＿＿并且＿＿＿＿于这条半径的 2.（填空）切线的判定定理：经过半径的外端并且＿＿＿＿于这条半径的 2.（填空）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的 　　直线是圆的切线。 二、切线长与切线长定理 · 切线长的概念 探究 1.（填空）如图30.1-14，过圆外一点 P 可以作出⊙O 的 　　＿＿＿＿条切线。我们把经过圆外一点的圆的切线上， 　　2条切线。我们把经过圆外一点的圆的切线上， 　　这点和切点之间＿＿＿＿的长度叫作这点到圆的 　　这点和切点之间线段的长度叫作这点到圆的 　　＿＿＿＿。 　　切线长。 二、切线长与切线长定理 · 猜想与证明 探究 2.（猜想）如图30.1-14，PA、PB 是⊙O 的两条切线， 　　切点分别为 A、B，线段 PA 与 PB 的数量关系是 　　＿＿＿＿＿；∠APO 与∠BPO 的数量关系是 　　PA＝PB；∠APO 与∠BPO 的数量关系是 　　＿＿＿＿＿＿。 　　∠APO＝∠BPO。 证明：如图30.1-14，连接 OA、OB。 ∵PA、PB 分别切⊙O 于 A、B， 　　∴OA⊥PA，OB⊥PB， 　　∠OAP＝∠OBP＝90°。 　　又 OA＝OB（半径），OP＝OP， 　　∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）， 　　∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO。 二、切线长与切线长定理 · 切线长定理 探究 3.（填空）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 　　＿＿＿＿，并且这一点和圆心的连线 　　相等，并且这一点和圆心的连线 　　＿＿＿＿两条切线的夹角。 　　平分两条切线的夹角。 几何语言：∵PA、PB 分别切⊙O 于 A、B， 　　∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO。 二、切线长与切线长定理 · 口答 巩固 4.（口答）在图30.1-14 中，连接 OA、OB、OP， 　　可以证明哪两个直角三角形全等？ 　　＿＿＿＿＿＿； 　　Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）； 　　由此得到几条相等的线段？＿＿＿＿＿。 　　由此得到几条相等的线段？PA＝PB。 三、例题精讲 · 例3（课本P153） 例题 例3　如图30.1-16，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 是切点， 　　连接 AB。若∠APO＝30°，OP＝2，求△PAB 的周长。 解：由切线长定理得 PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝30°， 　　∴∠APB＝60°。连接 OA。 ∵PA 是⊙O 的切线，A 为切点，∴OA⊥PA。 在 Rt△OAP 中，∠APO＝30°， 　　，， 　　∴PB＝PA＝。 ∵PA＝PB，∠APB＝60°， 　　∴△PAB 是等边三角形，AB＝PA＝。 　　∴△PAB 的周长＝PA＋PB＋AB＝3。 四、课堂练习 · 练习1（课本P154练习1） 练习 1.（课本P154练习1）如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线， 　　A、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠BAC＝25°。 　　求∠P 的度数。 解：连接 OB。 ∵PA 是⊙O 的切线，A 为切点，AC 是直径， ∴PA⊥AC，∠PAB＝90°－∠BAC＝65°。 ∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝∠BAC＝25°。 ∵PB 是⊙O 的切线，B 为切点，∴OB⊥PB， ∴∠ABP＝90°－∠OBA＝65°。 ∴∠P＝180°－65°－65°＝50°。 四、课堂练习 · 练习2（课本P154练习2） 练习 2.（课本P154练习2）如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线， 　　A、B 为切点，直线 OP 交⊙O 于点 C、D， 　　交 AB 于点 E。 　　（1）写出图中所有垂直关系； 　　（2）如果 PA＝4，PD＝2，求⊙O 的半径长。 解：(1) 垂直关系有：OA⊥PA，OB⊥PB，OP⊥AB（AB⊥OE）。 　　理由：前两个由切线的性质定理得到；第三个由 　　切线长定理及等腰三角形三线合一得到。 (2) 由(1)知 OP⊥AB。∵PD＝2，∴OP－OA＝2，即 OP＝r＋2。 　　连接 OA。∵PA 是⊙O 的切线，∴OA⊥PA， 　　∴OP²＝OA²＋PA²，即(r＋2)²＝r²＋4²，解得 r＝3。 四、课堂练习 · 练习3（填空） 练习 3.（填空）已知⊙O 的半径为 3，点 P 在⊙O 外且 OP＝6， 　　过点 P 作⊙O 的两条切线，切点分别为 A、B， 　　则切线长 PA＝＿＿＿＿，∠APB＝＿＿＿＿°。 　　则切线长 PA＝3，∠APB＝＿＿＿＿°。 　　则切线长 PA＝3，∠APB＝60°。 解：连接 OA、OP。∵PA 是切线，∴OA⊥PA。 在 Rt△OAP 中，OA＝3，OP＝6， ∵∠APO＝30°，∴∠APB＝60°。故填 3；60。 四、课堂练习 · 练习4（选择） 练习 4.（选择）从⊙O 外一点 P 引⊙O 的两条切线 PA、PB， 　　切点分别为 A、B。若∠APB＝60°，OP＝4， 　　则⊙O 的半径为（　　） A. 2　　B. 4　　C. 6　　D. 8 解：由切线长定理，OP 平分∠APB， 连接 OA，∵PA 是切线，∴OA⊥PA。 在 Rt△OAP 中，∠APO＝30°， 故选 A。 四、课堂练习 · 练习5（填空·综合） 练习 5.（填空·综合）已知⊙O 的半径为 5，圆外一点 P 到 　　圆心 O 的距离为 13，PA 是⊙O 的切线（A 为切点）， 　　则切线长 PA＝＿＿＿＿；连接 OA、OP， 　　则切线长 PA＝12；连接 OA、OP， 　　则△OAP 的面积等于＿＿＿＿。 　　则△OAP 的面积等于30。 解：∵PA 是切线，∴OA⊥PA。在 Rt△OAP 中， 故填 12；30。 五、课堂小结 小结 填一填：（1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上， 　　＿＿＿＿＿之间线段的长度； 　　这点和切点之间线段的长度； （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长 　　＿＿＿＿，这一点和圆心的连线 　　相等，这一点和圆心的连线 　　＿＿＿＿两条切线的夹角； 　　平分两条切线的夹角； （3）切线长定理的基本图形中隐含两个全等的＿＿＿＿三角形， （3）切线长定理的基本图形中隐含两个全等的直角三角形， 　　常连＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿构造 　　常连圆心与切点、＿＿＿＿＿＿构造 　　常连圆心与切点、圆心与圆外一点构造 　　直角三角形解题。 六、作业布置（必做题） 作业 必做题：①课本P154练习第2题，写出完整解答过程； ②课本习题30.1复习巩固第2题：一根钢管放在 　　V 形架内，其横截面如图所示，钢管的半径 　　是 25 cm。（1）如果UV＝28 cm， 　　求 VT 的长；（2）如果∠UVW＝60°，求 VT 的长。 必做①：解答过程见课堂练习2。 必做②：(1) 由切线长定理，从点 V 引⊙O 的两条切线段相等，∴VT＝VU＝28 cm。 (2) ∵O 在∠UVW 的平分线上，∠UVW＝60°，∴∠OVT＝30°。 在 Rt△OVT 中，OT＝25 cm， 六、作业布置（选做题） 作业 选做题：PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 为切点， 　　AB 交 OP 于点 E。 若⊙O 的半径为 5、OP＝13，求 AE 的长。 E 解：连接 OA。∵PA 是⊙O 的切线，A 为切点，∴OA⊥PA。 在 Rt△OAP 中，OA＝5，OP＝13，∴PA＝。 由切线长定理得 PA＝PB，OP 平分∠APB， ∴OP⊥AB，E 为 AB 的中点（等腰三角形三线合一）。 又 S△OAP＝ ∴AE＝2×30÷13＝。 下课啦！ 谢谢观看 · 同学们再见 学而时习之，不亦说乎 —— 课后记得复习巩固哦 $