29.1 圆的有关概念（第3课时）课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第29章　圆 29.1 圆的有关概念（第3课时） 反证法 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 示例 要证明“同一直线上的三个不同点不能作圆”，反证的第一句怎样写？ 答：假设经过同一直线上的三个不同点可以作一个圆。 先假设要否定的对象存在。 情境引入 示例 一年最多有多少个不同的生日日期？人生日全部不同能否成立？ 答：最多个，不可能。 即使把月日计算在内，也不足个。 新知探究 反证法的思路：观察与推理 研究问题 正面说明“不能”或“只有”困难时可以怎样想？ 观察与依据 暂时假设结论不成立，检查这会产生什么不可能的结果。 新知讲授 反证法的思路 结论 它不是直接去证明命题的结论，而是先提出与结论相反的假设（即假设经过同一条直线上的三点可以作圆），再推出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。这种方法叫作反证法。 条件与用法 反证的是结论的反面，题设条件始终保留。 新知探究 结论的否定：观察与推理 研究问题 “至少两人同生日”的反面是否为“恰有两人不同生日”？ 观察与依据 不是。应是假设所有人的生日都不相同。 新知讲授 结论的否定 结论 “”的否定是“”；“至少两个”的否定是“至多一个”。 条件与用法 反面假设必须覆盖结论不成立的全部情况。 新知探究 寻找矛盾：观察与推理 研究问题 经过同一直线上三点的圆，为什么不可能存在？ 观察与依据 它的圆心须在两条互相平行的垂直平分线上，二者不相交。 新知讲授 寻找矛盾 结论 矛盾可以来自题设、定义、已知定理或基本事实。 条件与用法 写出明确冲突的两句话，不能只写“显然矛盾”。 新知探究 共线三点不能成圆：观察与推理 研究问题 反设有圆后，圆心将满足什么位置条件？ 观察与依据 圆心同时位于两条不同的平行线上，这不可能。 新知讲授 共线三点不能成圆 结论 经过同一条直线上的三个不同点不能作圆。 条件与用法 三个点不同且共线，作相邻两线段的垂直平分线会得到两条平行直线。 新知探究 反证法的书写：观察与推理 研究问题 推出一个不可能的结果后，证明是否结束？ 观察与依据 还需说明假设错误，原结论因而成立，闭合逻辑。 新知讲授 反证法的书写 结论 反设结论不成立，依据已知条件推理，指出矛盾，否定反设，肯定结论。 条件与用法 最后要回到原命题，明确写出“所以原结论成立”。 例题讲解 示例 如图，若，求证：。 答：先建立解题所需的关系。 假设，过作使。 假设，过作使。 例题讲解 示例 如图，若，求证：。 答：。 假设，过作使。 则，过有两条直线平行于，与基本事实矛盾。 则，过有两条直线平行于，与基本事实矛盾。 例题讲解 示例 要证明“过点P只有一条直线与l平行”，反证时假设什么？ 答：假设过P存在两条不同的直线都与l平行。 否定“唯一”时保留“存在”，引入两个不同对象。 变式训练 变式 已知，用反证法证明。 答：假设，两边减得到，与题设矛盾。 否定不等号时要包括等号。 例题讲解 示例 若反设得到同一点同时满足和，矛盾在哪里？ 答：同一条线段不可能同时有两个不同长度。 指出冲突的具体数量关系。 变式训练 变式 已知，证明且。 答：若或，则，与题设矛盾。 “两者均非零”的反面是至少一个为零。 例题讲解 示例 用反证法证明三角形不能有两个钝角。 答：假设有两个钝角，则两角之和大于，与内角和矛盾。 钝角各大于。 变式训练 变式 证明两条不同直线不可能有两个不同公共点。 答：假设共有A、B两点，由两点确定一条直线可知两直线重合，矛盾。 矛盾来自题设“两条不同直线”。 例题讲解 示例 证明两条不同的直线至多有一个公共点。 答：假设有两个不同公共点，则两点确定一条直线，两直线重合，与不同矛盾。 矛盾来自两点确定一条直线。 变式训练 变式 将人分到组，证明至少有一组不少于人。 答：若每组至多人，最多人，与总数人矛盾。 先建立反设下的总人数上限。 例题讲解 示例 要证明自然数不小于，反面应写还是？ 答：。 反面须与原结论互斥且穷尽。 变式训练 变式 证明三角形至多有一个钝角。 答：若有两个钝角，二角和大于，违背三角形内角和。 一个明确矛盾即可否定反设。 例题讲解 示例 已知，证明。 答：假设，两边减得，与题设矛盾。 保留题设，否定结论。 变式训练 变式 过直线外一点不可能作两条不同直线都垂直于该直线，反证的矛盾是什么？ 答：两条垂直于同一直线的直线平行，却又交于该外点，矛盾。 同时出现平行与相交。 课堂练习 练习 用反证法证明下列命题。 （1） 人中至少有两个人的生日相同。 （2） 一个三角形中不能有两个角是直角。 （1） 答：假设所有人的生日均不同，一年最多有个不同生日日期，>，矛盾。 所以至少有两人的生日相同。 （2） 答：假设两个角都是直角，则两角和为，第三角为，与三角形内角为正矛盾。 所以一个三角形中不能有两个直角。 方法归纳 本阶段的解题方法 如何反设 ① 保留题设，把结论准确地改写为它的反面。 ② “至少、至多、唯一、不能”等词要逐一检查。 如何完成证明 ① 从反设推出与题设或定理的明确矛盾。 ② 指出假设错误，再写出原结论成立。 巩固拓展 示例 举一个反例能否证明所有三角形都没有两个直角？ 答：不能。个例不能证明全称命题，应从内角和定理推出普遍矛盾。 反例用于否定全称命题。 课堂总结 反证法 反设 准确否定结论，保持题设。 推理 调用定义、基本事实或定理。 矛盾 写清不能同时成立的关系。 回归 否定反设，得出原结论。 针对训练 训练 证明“a不等于”时应假设什么？A.a>；B.a<；；。 答：选C。 等于恰是原结论的反面。 等于恰是原结论的反面。 针对训练 训练 反证法的三个关键环节可概括为反设、________、结论。 答：推导矛盾。 必须指出矛盾来源。 必须指出矛盾来源。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 可以随意改变题设 错 题设是整个反证推理必须保持的前提。 （2） 矛盾必须有依据 对 必须与题设、定义、基本事实或定理形成明确冲突。 （3） 反设应否定结论 对 反设要覆盖结论不成立的全部情况。 （4） 推出矛盾后需回到原结论 对 否定反设后，明确肯定原命题。 题设是反证推理始终保留的前提。 针对训练 训练 “人中至少有人同组”的反面是什么？ 答：任何两人都不同组。 至少两人同组的否定是每组至多一人。 至少两人同组的否定是每组至多一人。 针对训练 训练 证明一个三角形至多有一个直角。 答：假设至少有两个直角，则它们之和为，第三个内角不能为正，矛盾。 至多一个的反面是至少两个。 至多一个的反面是至少两个。 针对训练 训练 说明经过同一直线上的三个不同点无法作圆的矛盾。 答：圆心必须同时在两条互相平行且不同的弦的垂直平分线上。 两条不同平行线没有公共点。 两条不同平行线没有公共点。 针对训练 训练 为什么不能有两个不同圆心都对应同一组三个不共线点？ 答：两个圆心都必须是同两条边垂直平分线的交点，而交点唯一。 利用两条相交直线只有一个公共点。 利用两条相交直线只有一个公共点。 针对训练 训练 已知，用反证法证明。 答：假设，则，与题设矛盾。 反证要把假设推回题设的相反条件。 反证要把假设推回题设的相反条件。 针对训练 训练 将名同学分到个小组，证明至少有一组有两名或更多同学。 答：假设每组最多一人，则最多容纳人，与人矛盾。 建立容量上限并与总人数比较。 建立容量上限并与总人数比较。 针对训练 训练 一本记录本登记了人的出生月份。证明至少有人出生在同一个月。 答：假设每个月最多人，则个月最多人，与人矛盾。 不能把不同年份当作不同月份。 不能把不同年份当作不同月份。 方法归纳 本课方法总结 如何反设 ① 保留题设，把结论准确地改写为它的反面。 ② “至少、至多、唯一、不能”等词要逐一检查。 如何完成证明 ① 从反设推出与题设或定理的明确矛盾。 ② 指出假设错误，再写出原结论成立。 $