精品解析：广东省广州市华南师范大学附属中学2026-2027学年高一上学期10月数学质量检测试卷

华南师大附中2026级高一阶段质量检测（一） 数学 2026年10月10日 《集合与常用逻辑用语》 《一元二次函数、方程和不等式》 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟． 第一部分 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据交集的定义： . 2. 集合，，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵图中阴影部分表示中除去和的公共部分，可表示为：， 又，， 则，故. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 4. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 5. 已知，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作差法结合题设可得答案. 【详解】，从而. 6. 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由，使得为假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足， 综上，. 7. 已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为 A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先解得，而根据q是p的必要不充分条件便得到，解该不等式组即得m的取值范围. 【详解】∵，是的必要不充分条件， 所以由能推出，而由推不出，，， 故选B. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用一元二次不等式的解法先求出p，q所表示的范围是解决本题的关键，属基础题. 8. 对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由新定义，列举计算即可； 【详解】当都是偶数或都是奇数时， 则或或或或或或或或； 当是偶数，是奇数时，，或； 当是奇数，是偶数时，，或； 集合中含有个元素，它的子集个数为， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的为（ ） A. 若， 则 B. 若， 则 C. 若，则 D. 若， 则 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，根据不等式的基本性质，不等式两边同时减去同一个实数，不等号方向不变. 已知，两边同时减，可得，故A正确； 对于B，同向不等式仅可相加，不可直接相减， 可举反例：取，满足， 但，，不满足，故B错误； 对于C，已知，则，不等式两边同时乘正数， 不等号方向不变，可得，即，故C正确； 对于D，仅同向正数不等式可相乘，本题未说明为正， 可举反例：取，满足， 但，，不满足，故D错误. 10. 已知正数，满足，则下列选项正确的是（    ） A. 的最小值是2 B. 的最小值是1 C. 的最小值是4 D. 的最大值是 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项利用“1”代换求最值；B选项直接运用基本不等式；C选项先把式子变形，再运用基本不等式；D选项直接运用基本不等式. 【详解】A. ，当且仅当，即时等号成立，故选项A正确. B. ，当且仅当时等号成立，故选项B错误. C. ，当且仅当时等号成立，故选项C错误. D.因为，所以，当且仅当时等号成立，故选项D正确. 故选：AD 11. 设非空数集，定义：若，且，则称为集合的一个“理想元素”；若，都有，则称集合是一个“理想集合”．已知集合，则下列说法正确的是（ ） A. 是集合的一个“理想元素” B. 若“理想集合”恰有4个子集，则 C. 集合是一个“理想集合” D. 若是集合的一个“理想元素”，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算，满足理想元素的定义；先由“理想集合”的子集的个数判断出中元素的个数，再根据理想集合的定义写出的可能情况，或；假设集合中任意两个元素，计算也在集合中，则满足“理想集合的定义； 若是集合的一个“理想元素”， 则，则，得到，所以，利用反证法排除. 【详解】因为，，所以是集合的一个“理想元素”，选项A正确. “理想集合”恰有4个子集，则恰好有两个元素，设， 因为，都有，即，， 则或者即或 则，或； 当 ，则，所以或解得 或（舍去），此时； 当 ，则，所以或解得（舍去）或或，此时或，所以选项B错误； 设，则 ， 因为，所以即可以表示为的形式，所以,故选项C正确； 若是集合的一个“理想元素”， 则 所以, 因为，所以； 若，则，即是7的倍数，除以7余数为6，因此除以7余数为6， 设 ，则，则不是7的倍数，所以，所以，所以选项D正确. 故选：ACD 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【详解】. 则不等式解集为：. 13. 集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】可先求解时参数的取值范围，再取其补集得到时的范围. 【详解】先求解的情况： 当集合为空集时，则， 解得，此时. 当集合非空时，需满足，若， 分析可得在右侧，即，解得. 综上，时，或， ∴ 时，的取值范围是. 14. 若实数x，y满足，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由重要不等式得到且，换元后可得的取值范围，得到答案 【详解】，故， 故，显然， 由重要不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 即，所以且， 当且仅当时，成立， 当且仅当时，成立， 令，则且，， 故， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）当时，求，； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，， 又，∴， 又，∴. 【小问2详解】 ∵，又， 当时，，解得； 当时，有，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 16. 已知a，b为正实数，且. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； 【小问2详解】 ， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； 17. 玉林五彩田园种植了多种农作物，调研发现：某种农作物单株的产量（单位：）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）．已知这种农作物的市场售价为6元/kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当投入的单株肥料成本为3元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是64.5元． 【解析】 【分析】（1）依题意分段表示利润与成本关系即可； （2）利用二次函数的性质与基本不等式分段计算函数最值并比较即可. 【小问1详解】 由题意可得， 当时，， 则. 当时，， 则. 综上，的函数关系式为： . 【小问2详解】 当时，是二次函数，图象为开口向上的抛物线， 对称轴为， 所以当时，. 当时， 当且仅当，即时等号成立，此时； ， 当时，利润最大，最大利润为64.5元. 综上，当投入的单株肥料成本为3元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是64.5元. 18. 已知，关于x的不等式为． （1）求上述不等式的解集； （2）若关于x的两个不等式和有公共解， （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）若上述两个不等式有且只有一个公共整数解，求实数a的取值范围． 【答案】（1）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）直接分、和讨论即可； （2）（i）根据对称性研究的情况，再分、和讨论即可； （ii）根据对称性研究的情况，再分、和讨论即可. 【小问1详解】 由题意得， 当，即时，解集为； 当，即时，不等式化为，解集为； 当，即时，解集为. 综上所述：当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 【小问2详解】 （i）注意到，第二个不等式就是将第一个不等式中的换成． 当换成时，两个不等式互换，公共解不变. 因此由对称性，只需先研究的情形： ①当时，第一个不等式的解集为，第二个不等式的解集为，两者没有公共解，不合题意. ②当时，第一个不等式的解集为，第二个不等式的解集为， 因为且，所以两个不等式有公共解的充要条件为， 解得，又，故， ③当时，第一个不等式的解集为，其中的数均为正数； 第二个不等式的解集为，其中的数均为负数． 因此，两个不等式没有公共解，不合题意. 综上，当时，两个不等式有公共解的充要条件为， 又因为将换成后，两个不等式的公共解不变， 所以实数的取值范围为． （ii）由（i）得，只需研究．由参数与的对称性，先考虑． ①当时，两个不等式相同，公共解集为［0，3］，公共整数解为0，1，2，3，不符合题意. ②当时，两个不等式的公共解集为． 因为，所以0不是公共解，1一定是公共解，且不小于3的整数也不可能是公共解． 因此，要使两个不等式有且只有一个公共整数解，只需使2不是公共解，即. 解得．结合，可得． ③当时，两个不等式的公共解集为，符合题意. 所以当时，实数的取值范围为.又因为将换成后， 两个不等式的公共整数解不变，所以实数的取值范围为． 19. 设，集合．对于，，定义．对于非空集合A，，定义． （1）当时，设，用列举法表示集合、和（直接写出答案）； （2）设非空集合， （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：． （3）设非空集合满足，且对任意，均有，求集合S中元素个数的最大值． 【答案】（1）， ， . （2）（i），设，则， 因为，所以，即，从而； （ii）一方面，由于，故，且，从而. 另一方面，任取，因为， 所以是中某个元素的第二坐标分量，即存在，使得， 因为，所以是中某个元素的第一坐标分量， 即存在，使得. 于是.由于，所以， 因此. （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义的运算规则，取前一个元素的第一坐标、后一个元素的第二坐标组成新有序对，将集合内元素两两配对运算，去重后用列举法写出结果； （2）由得同时含于与，故含于二者交集；任取交集中元素，利用坐标存在性构造S中元素做运算，证其属于 ，双向包含即得等式； （3）先由 推出S的每行、每列至少含 1 个元素；再用反证法证明S中任意元素所在的行或列的元素个数必为 1（否则去掉该元素后，补集的运算仍等于 ，与题设矛盾）；最后通过分类计数推导，得出S中元素个数的最大值为. 【小问1详解】 当，时，，，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 对于，分别记，. 其中表示中第一坐标等于的元素个数，表示中第二坐标等于的元素个数. 因为，所以每一个数都在中作为第一坐标出现， 也都在中作为第二坐标出现.因此，对任意，都有且. 任取.下证或. 假设且.令.因为， 所以去掉元素后，仍然是中某个元素的第一坐标.因为， 所以去掉元素后，仍然是中某个元素的第二坐标.其余第一坐标和第二坐标也没有消失. 因此，每一个数仍然都在中作为第一坐标出现，也都在中作为第二坐标出现. 任取.在中可以分别找到元素和， 于是，所以，这与题设矛盾. 因此，对于任意，必有或. 记，，并设，. 由上面的结论可知，不存在，同时满足和. 先计算第一坐标属于的元素个数.这些元素的第二坐标都不属于. 对于每一个，有，所以第二坐标等于的元素至多只有一个. 因此，第一坐标属于的元素个数不超过. 对于第一坐标不属于的元素，由定义可知.这样的第一坐标共有个， 所以对应的元素恰有个.故. 若，则. 若，则所有和都等于1，所以. 因为，所以. 此外，若，则每一行恰有一个元素，故 ；又每一列至少有一个元素，因此各列也恰有一个元素，即． 同理， 时必有．因此 不可能发生． 综上，． 下面构造一个满足条件且含有个元素的集合：． 显然，． 此时， 均在 中作为第一坐标出现，也均作为第二坐标出现，所以． 若去掉 （），则第二坐标不再出现； 若去掉 （），则第一坐标不再出现． 因此，删除中任意一个元素后，所得集合与自身的运算结果均不等于，满足题意． 所以，集合中元素个数的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华南师大附中2026级高一阶段质量检测（一） 数学 2026年10月10日 《集合与常用逻辑用语》 《一元二次函数、方程和不等式》 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟． 第一部分 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 集合，，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（     ） A. B. C. D. 7. 已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为 A. B. C. 或 D. 或 8. 对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的为（ ） A. 若， 则 B. 若， 则 C. 若，则 D. 若， 则 10. 已知正数，满足，则下列选项正确的是（    ） A. 的最小值是2 B. 的最小值是1 C. 的最小值是4 D. 的最大值是 11. 设非空数集，定义：若，且，则称为集合的一个“理想元素”；若，都有，则称集合是一个“理想集合”．已知集合，则下列说法正确的是（ ） A. 是集合的一个“理想元素” B. 若“理想集合”恰有4个子集，则 C. 集合是一个“理想集合” D. 若是集合的一个“理想元素”，则 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为______． 13. 集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 14. 若实数x，y满足，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）当时，求，； （2）若，求实数m的取值范围． 16. 已知a，b为正实数，且. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 17. 玉林五彩田园种植了多种农作物，调研发现：某种农作物单株的产量（单位：）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）．已知这种农作物的市场售价为6元/kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 18. 已知，关于x的不等式为． （1）求上述不等式的解集； （2）若关于x的两个不等式和有公共解， （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）若上述两个不等式有且只有一个公共整数解，求实数a的取值范围． 19. 设，集合．对于，，定义．对于非空集合A，，定义． （1）当时，设，用列举法表示集合、和（直接写出答案）； （2）设非空集合， （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：． （3）设非空集合满足，且对任意，均有，求集合S中元素个数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $