精品解析：广东佛山市南海区第一中学2026-2027学年高一上学期阶段测试（一）数学试题

2026-2027学年上学期高一级阶段测试一数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分． 1. 全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知，，因此， 又全集，可得． 2. 若集合，则的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 所以集合的子集有：，，，， 所以集合的子集个数为． 3. 已知全集，集合，，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次不等式求出集合，再根据集合的基本运算即可求解. 【详解】解：，， ， 或， 故选：C. 4. 已知命题：，，那么是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定方法求命题的否定即可得解. 【详解】由题可得是，. 故选：B 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式不等式以及充分不必要条件的集合表示，可得答案. 【详解】由，可得或， 又集合是集合或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，取，，满足，但，故A不正确； 对于B，令，满足，但，故B不正确； 对于C，因为，则，由，可得：，故C正确； 对于D，取，，则，故D不正确. 7. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分和两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需， 解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是， 故选：A. 8. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（ ）（注：1里＝300步） A. 里 B. 里 C. 里 D. 里 【答案】C 【解析】 【分析】设步，步，由相似形得出的关系，然后由基本不等式求得小城周长的最小值． 【详解】如图，设步，步，由得， 所以，（步） 所以小城周长为（步）＝（里），当且仅当，即时取等号， 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每题6分，共18分． 9. 下列叙述正确的是（ ） A. ， B. 命题“，”的否定是“，或” C. 设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 命题“，”的否定是真命题 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用特殊值判断A，根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断B，根据充分条件、必要条件的定义判断C，写出命题的否定，即可判断D. 【详解】对于A：当时，，所以，为真命题，故A正确； 对于B：命题“，”的否定是“，或”，故B正确； 对于C：由且，可以推得出，故“且”是“”的充分条件，故C错误； 对D：命题“，”的否定为：，，显然，则命题，为真命题，故D正确； 故选：ABD. 10. 已知集合，且，则实数的取值可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据集合并集的定义进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以有，因此选项AB符合条件， 故选：AB 11. 已知正实数x，y满足，下列说法正确的是（ ） A. xy的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最大值为1 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A、B，利用基本不等式，结合题目中的等式与一元二次不等式，可得答案； 对于C、D，整理等式，可得所求代数式的函数解析式，利用基本不等式与不等式性质，可得答案. 【详解】对于A，由，则， 由，则，解得， ，可得，， 解得或，综上可得，当且仅当，等号成立， 所以的最大值为，故A错误； 对于B，由，则， 由，则，解得， ，可得， ，解得或， 综上可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，由，则，由，则，解得， 由题意可得，， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D，由A可知，当且仅当时，等号成立，且， ，由，则，所以的最小值为，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 将集合用列举法表示为___________________. 【答案】,, 【解析】 【分析】将方程变形可得出为偶数且，由此可得出所求集合. 【详解】，，且、，为偶数且. 当时，；当时，；当时，. 故答案为. 【点睛】本题考查集合的表示，关键就是集合中的方程，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 13. 学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛．后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛．已知两项都参赛的有6名同学．两项比赛中，这个班共有____名同学没有参加过比赛 【答案】19 【解析】 【分析】由题意画出韦恩图，即可求解. 【详解】如图所示： ∵两项比赛都参加的有6名同学，有12名同学参加排球赛，有20名同学参加田径赛， ∴只参加排球赛的同学有6名，只参加田径赛的由14名同学，两项至少参加一项的有6+6+14=26名同学，由于45-26=19． 因此这个班共有19名同学两项比赛均没有参加. 故答案为：19 14. 如图，正方形的边长为，点，分别在边，上，将正方形沿折叠，使点落在边上的处，点落在处，交于．记线段的长度为，线段的长度为，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据几何关系及勾股定理可得，其中，结合基本不等式可求最大值. 【详解】因为，故， 而，，故， 故，故， 而，故， 整理得，其中， 故 ， 当且仅当时等号成立，此时，， 故的最大值为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 解下列不等式． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 不等式化简得：，所以该不等式的解集为： 【小问2详解】 不等式化简得：，或，所以该不等式的解集为： 【小问3详解】 将不等式转化为，所以该不等式的解集为： 16. 设m∈R，A={x|m-1≤x≤m+1}，B={x|-2≤x≤1}. （1）若m=1，求； （2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求m的取值范围. 【答案】（1）{x|x<-2或x>2} （2）{m|-1≤m≤0} 【解析】 【分析】（1）代入m=1，结合集合的并、补运算即得解； （2）转化题干条件为A⫋B，列出不等关系组，求解即可 【小问1详解】 ∵m=1，∴集合A={x|m-1≤x≤m+1}={x|0≤x≤2}， 又∵集合B={x|-2≤x≤1}，∴A∪B={x|-2≤x≤2}， ∴∁R(A∪B)={x|x<-2或x>2}. 【小问2详解】 ∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，∴A⫋B， ∴或解得-1≤m≤0. ∴m的取值范围是{m|-1≤m≤0}. 17. 已知不等式的解集为． （1）求a，b的值； （2）求的最小值． 【答案】（1） ， （2） 最小值为 【解析】 【小问1详解】 已知不等式的解集为， 则，且是方程的两个不等实根， 根据韦达定理列方程组，解得，符合的前提， 所以，. 【小问2详解】 由（1）得，，且，所求代数式为， 因为，所以，， 根据基本不等式，可得， 等号成立条件为，解得，满足定义区间要求， 因此代数式的最小值为. 18. 已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）.假设全部溶解，糖水变甜了. （1）请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； （2）已知，，且，求证：. 【答案】（1），证明：不等式为  ，其中 ， ． 因为 ， ，， 所以，，从而 ，即 ． （2）证明：法一：，，且，所以 ，则有， ， 当且仅当时，取等号． 由（1）不等式知 ， 所以 ． 法二：因为，所以，因为，， 所以，即，所以有： ， 因为，，所以. 【解析】 【分析】（1）根据添加后的浓度大于之前的浓度，得出，利用作差法证明不等式成立即可. （2）方法一，利用基本不等式乘“”法求出，再利用（1）中结论证明即可；方法二，利用条件，得，并确定，代入原式化简，根据二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. （1）求集合； （2）求集合； （3）集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）集合能满足，实数的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解； （2）根据新定义运算可得，代入即可求解； （3）易知，假设集合能满足，则，或且，代入求解即可. 【小问1详解】 因为对任意的，有，， 全集且， 所以 因为，所以，或，或. 当时，； 当时，； 当时，， 所以. 【小问2详解】 , 因为且，所以， 所以 所以. 【小问3详解】 因为，，所以. 假设集合能满足， 则，或且. 又， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得. 所以若且，则且且,. 综上所述，实数的取值范围为. 所以集合能满足，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期高一级阶段测试一数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分． 1. 全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若集合，则的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知全集，集合，，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 4. 已知命题：，，那么是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（ ）（注：1里＝300步） A. 里 B. 里 C. 里 D. 里 二、多项选择题：本题共3小题，每题6分，共18分． 9. 下列叙述正确的是（ ） A. ， B. 命题“，”的否定是“，或” C. 设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 命题“，”的否定是真命题 10. 已知集合，且，则实数的取值可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 11. 已知正实数x，y满足，下列说法正确的是（ ） A. xy的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最大值为1 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 将集合用列举法表示为___________________. 13. 学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛．后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛．已知两项都参赛的有6名同学．两项比赛中，这个班共有____名同学没有参加过比赛 14. 如图，正方形的边长为，点，分别在边，上，将正方形沿折叠，使点落在边上的处，点落在处，交于．记线段的长度为，线段的长度为，则的最大值为_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 解下列不等式． （1）； （2）； （3）． 16. 设m∈R，A={x|m-1≤x≤m+1}，B={x|-2≤x≤1}. （1）若m=1，求； （2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求m的取值范围. 17. 已知不等式的解集为． （1）求a，b的值； （2）求的最小值． 18. 已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）.假设全部溶解，糖水变甜了. （1）请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； （2）已知，，且，求证：. 19. 定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. （1）求集合； （2）求集合； （3）集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $