精品解析：湖南邵阳市九校联盟2026-2027学年高一上学期10月创新实验班联考数学试题

邵阳市九校联盟10月创新实验班联考 高一数学试题 本试卷共4页，19个小题，满分150分，考试用时120分钟 姓名__________ 准考证号__________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，只交答题卡． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若,，则 4. “打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为（ ） （参考数据：取，） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 6. 已知，则，，的大小顺序为 A. B. C. D. 7. 已知函数（），若，且，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知向量，，则（　　） A. B. C. D. 10. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+2abcosC＝3b2，则下列选项正确的是（ ） A. 2（a2+b2）＝c2 B. tanA＝3tanB C. D. tanC存在最大值 11. 已知函数满足，且在上有最小值，无最大值，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 的最小正周期为4 C. 当时，函数在每一个闭区间上单调递减 D. 在（0，2026）上恰有900个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则____________________． 13. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集为______ . 14. 如图，在中，，，为上一点，且满足，________ ；若的面积为，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，，． （1）若，求实数的值； （2）若设与的夹角为，求的大小． 16. 已知中，，且． （1）求外接圆的半径； （2）若，求的面积． 17. 已知函数（其中 （1）求函数的最大值； （2）若对任意，函数与直线有且仅有两个不同的交点，且关于的方程在上有两不等实数解，求的值． 18. 已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． （1）判断的奇偶性； （2）判断在上的单调性，并证明； （3）若对任意，，，总有恒成立，求的取值范围． 19. 定义：给定函数，若存在实数，当有意义时，总成立，则称函数具有“性质”． （1）判断函数是否具有“性质”，若是，写出的值，若不是，请说明理由； （2）求证：函数（且）不具有“性质”； （3）设定义域为的奇函数具有“性质”，且当时，，若对，函数有5个零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邵阳市九校联盟10月创新实验班联考 高一数学试题 本试卷共4页，19个小题，满分150分，考试用时120分钟 姓名__________ 准考证号__________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，只交答题卡． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再利用补集和交集的运算求解. 【详解】因为，所以或， 又因为，所以． 故选：B. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算可得复数，进而可得. 【详解】由，得， 即， 解得， 所以， 故选：B. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若,，则 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例排除A,B两项；利用作差法判断C项，结论错误；运用不等式的性质可推理得到D项结论. 【详解】对于A，若，当时，则，故A错误； 对于B，若，满足，但，故B错误； 对于C，因，，由，可得，故C错误； 对于D，由，得，因，则，故D正确． 故选：D． 4. “打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为（ ） （参考数据：取，） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】设第n次“打水漂”时的速率为，则，则可建立不等式求解. 【详解】设石片第n次“打水漂”时的速率为，则． 由，得，则， 即，则，故至少需要“打水漂”的次数为6． 5. 已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据为定值，那么乘以后值不变，由基本不等式可消去x，y后，对得到的不等式因式分解，即可解得m的值． 【详解】因为，，， 所以 .因为不等式恒成立，所以，整理得，解得，即. 【点睛】本题考查基本不等式，由为定值和已知不等式相乘来构造基本不等式，最后含有根式的因式分解也是解题关键． 6. 已知，则，，的大小顺序为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的和角公式求得. 【详解】 故选B. 【点睛】本题考查三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的和角公式的三角恒等变换，属于基础题. 7. 已知函数（），若，且，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得函数在内有两个最大值点，据此计算可求得实数的取值范围. 【详解】因为函数（）的最大值为， 又，且，使得成立， 所以函数在内至少有两个最大值点，即在至少有两个解， ，即， 需至少存在一个整数，使得两个相邻最大值点在区间内， 设两个相邻最大值点为，， 所以需满足且， 所以，且， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 依次类推，后续区间左端点依次为，（每次增加2）， 右端点依次为（每次增加4）， 所以第一区间为，从第二个区间开始，后续区间重叠为， 所以实数的取值范围是， 故选：B. 8. 已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】不等式为(*)， 当时，(*)式即为，， 又（时取等号）， （时取等号）， 所以， 当时，(*)式为，， 又（当时取等号）， （当时取等号）， 所以， 综上．故选A． 【考点】不等式、恒成立问题 【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知向量，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先解方程组求得，根据向量平行与垂直的坐标表示、向量模长和夹角的坐标运算依次验证各个选项即可. 【详解】由得： 对于A，，，即与不平行，A错误； 对于B，，，，B正确； 对于C，，，，C正确； 对于D，，， ，即，D正确. 故选：BCD. 10. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+2abcosC＝3b2，则下列选项正确的是（ ） A. 2（a2+b2）＝c2 B. tanA＝3tanB C. D. tanC存在最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】由余弦定理化角为边，可判断A；然后由正弦定理化边为角，利用二倍角公式、和差化积公式、诱导公式、两角和的正弦公式变形可得的关系，判断B；由锐角三角形及B中关系可判断C（可结合正切的诱导公式与两角和的正切公式变形判断），根据C中得出的表达式，设，可引入函数后利用导数确定函数的最值，判断D． 【详解】解：∵a2+2abcosC＝3b2， ∴由余弦定理可得：2a2＝2b2+c2，可得2（a2﹣b2）＝c2，故A错误， ∴2sin2A＝2sin2B+sin2C， ∴1﹣cos2A＝1﹣cos2B+sin2C， ∴﹣2sin（B+A）sin（B﹣A）＝sin2C， ∴2sin（A﹣B）＝sinC＝sin（A+B）， ∴2sinAcosB﹣2cosAsinB＝sinAcosB+cosAsinB， ∴sinAcosB＝3cosAsinB，锐角△ABC中． 可得：tanA＝3tanB，故B正确， 则必有tanB＞．否则C为钝角． ﹣tanC＝． tanAtanBtanC＝，tanB＞，故C正确， 令tanB＝x，则tanA＝3x，则tanC＝﹣tan（A+B）＝﹣， 令f(x)＝，x∈(，+∞）， f′(x)＝， 可知f′(x)在x∈(，+∞)恒小于0， 所以f(x)在x∈(，+∞)单调递减， ∴f(x)没有最大值，即tanC不存在最大值，故D错误． 故选：BC． 11. 已知函数满足，且在上有最小值，无最大值，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 的最小正周期为4 C. 当时，函数在每一个闭区间上单调递减 D. 在（0，2026）上恰有900个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】由余弦函数的对称性，若函数值在相距为3的两个点相等且其间恰有一个最小值，可判断对称轴为这两点的中点， 由此分析A选项，由对称轴处取最小值，结合，可列相位方程解得，从而得到周期， 由此判断B选项，把代入已得与，解余弦函数单调递减的不等式得到递减区间，据此检验所给区间是否落在这些递减 区间内，由此判断C选项，利用已求周期计算区间长度内的整周期数，结合余弦函数每周期有两个零点， 并讨论余下区间可能包含的零点个数范围，由此判断D选项. 【详解】选项：因为，且在上有最小值无最大值， 所以函数的图像关于直线对称，正确． 选项：由已知可得， 且在同一个减区间内，所以， 两式相减得， 所以的最小正周期为，故不正确． 选项：当时，由知， 所以， 由，解得， 所以的单调减区间为， 令，可得区间，该区间是的单调减区间，所以C正确． 选项，在一个周期内函数有2个零点， ，所以在内有个零点， 当时，， 所以在（0，1）上有0个或1个零点， 在（0，2026）上有900个或901个零点．错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用公式将所求式展开为，再利用完全平方公式与二倍角公式求出的值。结合角的范围确定的符号，开方后代入即可. 【详解】因为，所以，，从而， 因为. 所以, 所以. 13. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集为______ . 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称，得出，结合偶函数的对称性得出函数在上单调递减，利用该函数的奇偶性，单调性求解不等式即可. 【详解】解：∵函数是定义在上的偶函数， ∴，求得，故函数的定义域为. ∵当时，单调递增，故函数在上单调递减. 由关于的不等式 可得或 解得或 故不等式的解集为 故答案为 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性以及奇偶性解不等式，属于中档题. 14. 如图，在中，，，为上一点，且满足，________ ；若的面积为，则的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，可得出，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值；利用三角形的面积公式得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】设，则 ， 所以，，解得. ，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：求向量的模的两种基本策略： （1）字母表示下的运算：利用，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题； （2）坐标表示下的运算：若，则，于是有. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，，． （1）若，求实数的值； （2）若设与的夹角为，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直数量积为，得出，从而确定向量，不共线，可作为一组基底，再根据共线定理得出实数的值； （2）根据两向量的夹角公式的需要，首先求出两向量的数量积，再求出的模长，最后代入夹角公式即可. 【小问1详解】 由可得：， 即，又由，得，， 代入解得：，所以，是不共线的向量. 由题可设：，因为，是不共线的向量， 所以且，解得． 【小问2详解】 由于， ， 由与的夹角为：， 由于，所以． 16. 已知中，，且． （1）求外接圆的半径； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据三角恒等变换将题干信息转化为，再借助角化边变为，最后用余弦定理可得，用正弦定理即可求出外接圆的半径； （2）将已知数据带入第一问得到的等式，求出，再利用三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 由题知，， 根据正弦定理可得，整理得， 故，又，故. 根据正弦定理可得，外接圆的半径. 【小问2详解】 由（1）知，将代入上式， 得，解得或者（舍）， 故. 17. 已知函数（其中 （1）求函数的最大值； （2）若对任意，函数与直线有且仅有两个不同的交点，且关于的方程在上有两不等实数解，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两和差的正弦公式，结合降幂公式、辅助角公式、正弦型函数最值性质进行求解即可； （2）根据正弦型函数的性质，得出，再由对称性以及诱导公式得出的值. 【小问1详解】 ， 所以函数的最大值为； 【小问2详解】 若对任意，函数与直线有且仅有两个不同的交点， 则的周期为，又由，得，得． ，即 函数与的图象如下图所示 由对称性可得，， 因为，所以 . 18. 已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． （1）判断的奇偶性； （2）判断在上的单调性，并证明； （3）若对任意，，，总有恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）奇函数 （2） 在上的单调递增，证明如下： 由（1）知，， 当时，，所以， 从而， ，则， 因为，所以，又当时，， 所以，所以，所以， 故在上的单调递增. （3）． 【解析】 【分析】（1）令，结合得，利用奇函数定义即可证明； （2）先利用条件证时，，然后利用函数单调性的定义以及已知条件，判断函数单调性即可； （3）先判断在R上的单调递增，求出函数的最值，然后将问题转化为恒成立，即对恒成立，列不等式组求解即可. 【小问1详解】 函数为R上的奇函数.证明如下： 易知函数的定义域为，令，则， 又，所以，所以函数为奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知，函数为R上的奇函数，所以， 由（2）知，当时，，且在上的单调递增， 所以在上的单调递增， 所以当时，函数的最大值为，最小值为， 又任意，总有恒成立， 所以，即， 由题意，对恒成立，令，则， 所以，解得或， 故实数的取值范围是. 19. 定义：给定函数，若存在实数，当有意义时，总成立，则称函数具有“性质”． （1）判断函数是否具有“性质”，若是，写出的值，若不是，请说明理由； （2）求证：函数（且）不具有“性质”； （3）设定义域为的奇函数具有“性质”，且当时，，若对，函数有5个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）存在，，理由如下： 函数具有“性质”． 因为，且， 所以，整理得． 若函数具有“性质”，则可得解得 所以函数具有“性质”，此时． （2） 假设函数（且）具有“性质”， 则，则解得， 整理得，则， 分别取，可得解得； 分别取，可得解得． 显然，即对任意，不存在实数使得恒成立， 所以假设不成立，函数（且）不具有“性质”． （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义列出等式，即可以求出的值； （2）列出等式后，可取自变量范围内的特值，求出不同的值，即可证明； （3）把代入新定义，得到的性质，画出图像与的交点情况，即可得实数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 具有“性质”，则，可知的图象关于点对称，可得，即， 又因为是定义域为的奇函数，则， 可得，即函数的周期为2． 令，则， 由题意可得，的图象与直线在内有5个不同的交点， 又为奇函数，为的图象与直线的一个交点， 所以由图象的对称性可知，的图象与直线在内有2个不同的交点． 作出在内的图象（如图）， 当直线过时，可得；直线过时，可得；当直线过时，可得． 结合图象可知，实数的取值范围为． 【点睛】利用数形结合求方程解应注意两点： （1）讨论方程的解（或函数的零点）可构造两个函数，使问题转化为讨论两个函数的图象的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解； （2）正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $