湖南邵阳市九校联盟2026-2027学年高一上学期10月创新实验班联考数学试题

邵阳市九校联盟10月创新实验班联考·高一数学 答案及评分细则 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的。 题号 2 4 5 6 7 8 答案 B B D C B B B A 7.【答案】B【解析】函数f(x)=V2siwx(w>0)的最大值为v2, 因为存在x1,x2∈[2]且x1≠x2,使得f0x)+fx2)=2W2成立， 所以函数f()在[，风内至少有两个最大值点，即sinωx=1在[，刀内至少有两个解， 令ux=号+2，kez,得x-元+2=2匹，kez, ω 2ω 故需至少存在一个整数k,使得两个相邻的最大值点在区间[，四内。 设两个相邻的最大值点为xk=严，X+1=5严，k∈乙， 2w 2w 所以需满足少江≥组严≤元，k∈2.所以ω≤4k+1且ω≥“卢，k∈Z. 2ω 2ω 2 由5≤4k+1,k∈Z,得k≥子k∈Z. 2 当k=1时，号≤w≤5，即we[号5 当k=2时，竖≤a≤9，即w∈[， 当k=3时，号≤w≤13，即we[贤，13， 依次类推，各区间的左端点依次为只， ,…(每次增加2)，右端点依次为5,9,13，…（每次增加4）， 所以第一个区间为号，，从第二个区间开始，后续区间重叠为[受，+0)， 所以实数ω的取值范围是[，5]U[,+∞).故选B. 8.【答案】A【解析】解：当x≤1时，关于x的不等式f()≥I+a在R上恒成立， 即为-x2+x-3≤+a≤2-x+3,即有-2+x-3≤a≤2-多x+3, 第1页，共8页 由y=-2+方x-3的对称轴为x=<1,可得x=处取得最大值-名 由y=2-号x+3的对称轴为x=<1,可得x-=处取得最小值器 则-名≤a≤0 当x>1时，关于x的不等式f(x)≥+a在R上恒成立， 即为-(x+)≤+a≤x+是 即有-(x+)≤a≤+2 由y-(x+)≤-2受是-2当且仅当x-高时等号成立： y=方x+222片x·是=2当且仅当x=2时等号成立，则-2V3≤Q≤2@ ①②可得，- ≤a≤2.故选：A. 16 二、多选题： 本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 题号 9 10 11 答案 BCD BC AC 10.【答案】BC【解析】解：对于A,由a2+2 abcos C=3b2 可得cosC=a号，又由余弦定理可符co5C-242-E2 2ab 所以2(a2-b2)=c2,故A错误： 对于B,由余弦定理可得a2-b2=c2-2 bccos A, 又2(a2-b2)=c2,所以c2=4 bccos A,即c=4 bcos A, 由正弦定理可得sinC=4 sinBcos A,又sinC=sin(B+A), 所以sin(B+A)=4 sinBcos A,化简得sinAcos B=3 sinBcos A, 因为ABC为锐角三角形，所以cosB>0,cosA>0,所以有tanA=3tanB,故B正确： 对于C,因为△ABC为锐角三角形， 所以0<A<2,0<B<7,且A+B>所以0<-A<B< 又因为y=tanx在(0，)单调递增，所以0<tan(号-A)<tanB, 即品<tanB,又由tamA=3tanB,可得0<<tanB,解得tam8>号放C正确 对于D,由tanA=3tanB且tanB>3, 39 第2页，共8页 可得c=arW+-m+)=e品一广n高 4tanB 4 1, 由函数y=3x-在(0，+0)上单调递增，且tanB>号 可得3tanB- 高>3×9-音=0，所以m 1>0, 人3tanB一tanB 故tanC不存在最值，故D错误. 故选：BC 11.【答案】AC 【解析】A:因为f(b)=f(b+3),且f(x)在(b,b+3)上有最小值，无最大值，所以函数fx)的图象关于直 线x=b+多对称，故A正确. B:由己知可得 f(b)=cos(wb+o)= f(b+3)=cos(wb+3w+op)--1, 且f)在(b,b+)上单调递减，所以 wb+p=号+2km, k∈Z, ob+wt9=π+2km 两式相减得受-智心一号所以f)的最小正周期了-号-号放B错误。 C:当b=0时，由B知0=号+2km,k∈Z,所以fy=cos(号x+号+2km)=cos(号x+),由2mm≤ 号x+g≤m+2mm,mez, 解徇m-≤x≤号m+me乙，所以f的单调道减区间为m-m+引，mcZ,令m=2k,kcz, 3 可得区间[9k-,k+引，该区间是f)的单调递减区间，故C正确.D:f)=cos(:x+p),T=号在一 个周期内函数f)有2个零点，2026=450×号+1， 所以f(x)在[1,2026)内有450×2=900（个）零点， 当xe(0,1)时，智x+9e(@,智+p),9ER,所以f)在(0,1)上有0或1个零点，f)在(0,2026)上有 900或901个零点，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 129 13.)u(] 14.2 14分：2【解析】解：~A而=2DBA店=而 A-aMc+写48=ac+写×74i=ac+Zn ~C,D,p三点共线m+方1解得m=行 第3页，共8页 SAABC=z1A.AG·sin-BAC -2而写-年ad=25 inπ3 AB·AC=8 丽元-而sAC=8×7=4 A丽=AC+3AB, a即1-分c+号-ad+写ac+ -子AG+写郦+专2早4aG×写A+写 4 4 =2×分0×写丽+子3×8时子-4 当且仅当AG=A列时等号成立A丽≥2即AP的最小值为2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：(1)由(a-)1(a+2b)可得：(a-·(a+2而=0， 即+a.i-22=0, …2分 又由团=V5,i=(-1,1)得=5,2=2， 代入解得：a.万=-1， …4分 所以a,b是不共线的向量. …5分 由题可设：a+b=(a+4b,因为a,b是不共线的向量， 所以=咀4=1，解得乳=±号 …7分 (2)油于（位+26=.万+2b2=-1+4=3, …9分 |a+2=√定+4a.万+462=V5-4+8=3, 由d+2i与的夹角为0：cos0= (a+2b-6 3V2 a+2阿3x221 …11分 由于9∈[0，川，所以6=是 …13分 16.（15分) 解：(1)依题意，simA+C=+b-e sinC+sinA a-b sinB ……2分 sinC+sinA a-b -1, 第4页，共8页 由正弦定理得十气。-1， 整理得b2+c2-a2=-bc, …4分 所以oM-c2-多 …5分 2bc 因为0<A<,所以A=受 …7分 a 13_39 故所求外接圆半径r=2snA=5 3 …8分 (2)因为a=V1区，c=3,A=号所以由余弦定理a2=b2+c2-2 bccA, 得13=b2+9-2×3×b×c0s号， 即b2+3b-4=0…11分 解得b=1或b=-4(舍去)， …13分 所以5=bcmA=方×1×3x号=39 41 …15分 17.(15分) 解：(1)fCy=sin(x+2)+sin(ox-名)-2cos2% 3 13 1 -2sinox+coswx+sinox-7cosox-(cosox+1) .3 1 =2(sinox-7coswx)-1 =2sin(wx-君)-1， …5分 所以函数f(x)的最大值为1： …6分 (2)若对任意a∈R,函数y=f(x),x∈(a,a+π]与直线y=-1有且仅有两个不同的交点， 则y=f(x)的周期为π， ……8分 又由a>0,得=，得w=2, …9分 则f)=子即sm(2x-名)=是 …10分 函数y=sin(2x-君)，xe(0,刀与y=的图象，如图所示： 第5页，共8页 由对称性可得，x1+x2=受2x1-君e(0,写)， …12分 因为sin(2x1-名)=是 所以cos(2x,-名)=1-品-子 …13分 所以sin(x1-x)=sin(2x1-) -2x,-石-71-m7-(a,1 π -co0s(2x1-3)-￥ …15分 18.(17分) 解：(1)函数f(x)为R上的奇函数.证明如下： 证明：易知函数f(x)的定义域为R, 令y=-1,则f(-x)=fx)f(-1), …1分 又f(-1)=-1, 所以f(-x)=-f(x): 所以函数f(x)为奇函数： …3分 (2)f(x)在(0，+o)上的单调递增，证明如下： 证明：由(1)知，f(1)=-f(-1)=1, …4分 当x>0时，f=f(·)=f网f(a)=1≠0，所以f6W风≠0， 从而fx)=f(W反·V风=f(网>0， …6分 x>x1>0,则f2)-fc)=fc2)-f)=fx2)-f)f()=f(x2)1-f()]: 因为x2>x1>0,所以fx2)>0,0<<1, …8分 又当0<x<1时，f∈(0,1)，所以0<f(号)<1， 所以f(x2)-f(x1)>0,所以f(x2)>f(x1) 故f(x)在(0，+∞)上的单调递增； …10分 (3)由(1)知，函数f(x)为奇函数，所以f(0)=0, 由(2)知，当x>0时，f(x)>0,且fx)在(0，+∞)上的单调递增， 所以f(x)在R上的单调递增， …12分 则当x∈[-1,1]时，函数f(x)的最大值为f(1)=1,最小值为f(-1)=-1,…13分 第6页，共8页 又任意x1,x2∈[-1,1]，总有2f(x1)-f(x2)川≤m2-am-2恒成立， 所以2[f(x)max-f(x)mnl≤m2-am-2,即m2-am-6≥0， 由题意可知m2-am-6≥0对a∈[-1,5]恒成立， …14分 令g(a)=-ma+m2-6,则g(a)mim≥0， 所低+m600解得n<-3或m≥6 …16分 故实数m的取值范围是(-∞，-3]U[6,+∞). …17分 19.(17分) 解：(1)函数y=2x-3具有“m*n性质”. 因为f(1-x)+mf(x+1)=nf(x),且f(x)=2x-3, 所以2(1-x)-3+m[2(x+1)-3]=n(2x-3) 整理得2(m-n-1)·x-(m-3n+1)=0. …2分 若函数y=2x-3具有“m*n性质”，则可得 mn°o相-子 所以函数y=2x-3具有“m*n性质”，此时m=2,n=1.…3分 (2)假设函数y=logax(a>0且a≠1)具有“m*n性质”， (1-x>0, 则loga(1-x)+mloga(x+1)=nlogax,则1+x>0,解得0<x<1…5分 (x>0, 整理得10ga[(1-x)(x+1)m]=logax'”,则(1-x)(x+1)m=x”,…6分 分政=卡分可层值=( m=(” 解得m=log93; 分限=专专可得(9产- 解得m=log82. 5 显然10g93≠1og82, ………………9分 5 即对任意x∈(0,1)，不存在实数m,n使得(1-x)(x+1)m=xn恒成立， 所以假设不成立，函数y=logax(a>0且a≠1)不具有“m*n性质”.…10分 (3)y=f(x)具有“1*0性质”，则f(1-x)+f(x+1)=0,可知y=f(x)的图象关于点(1,0)对称， 可得f(-x)+f(x+2)=0,即f(x+2)=-f(-x) …11分 又因为y=f(x)是定义域为R的奇函数，则f(x)=-f(-x) 可得f(x+2)=f(x),即函数f(x)的周期为2， …12分 第7页，共8页 令y=f(x)-tx=0,则f(x)=tx, 由题意可得，y=f(x)的图象与直线y=tx在[-4,4内有5个不同的交点， 又y=tx为奇函数，(0,0)为y=f(x)的图象与直线y=tx的一个交点，…13分 所以由图象的对称性可知， y=f(x)的图象与直线y=tx在(0,4内有2个不同的交点. …14分 作出f(x)在[0,4内的图象（如图） Y- y=1 y=f(x) 0 4 当直线y=tx过(1)时，可得t= 当直线y=tx过（②，-1）时，可得t=- 当直线y=tx过(1)时，可得t=另 结合图象可知，实数t的取值范围为[-}U(弓，) …17分 第8页，共8页秘密*启用前 姓名 准考证号 邵阳市九校联盟10月创新实验班联考 高一数学试题 本试卷共4页，19个小题，满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑：如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上 无效。 3.考试结束后，只交答题卡。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.设集合A={x0<x≤2，B={xx2-4x+3≤0}，则An(CRB)=( A.{x|-1<x<2}B.{x0<x<1)C.{x|0<x≤2}D.{x1≤x≤2} 2.已知复数z满足zi=1-2i,则z=() A.2+i B.-2+i C.-2-i D.2-i 3.下列命题中正确的是( A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b,则a2>b2 C.若a>b>0,m>0,则+m< D.若-1<a<5,2<b<3,则-4<a-b<3 'a+m a 4.“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数 越多越好.现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为11.2m/s,这是第一次“打水 漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的93%，若要使石 片的速率低于7.84m/s,则至少需要“打水漂”的次数为( (参考数据：取1n0.7=-0.357,1n0.93=-0.073) A.4 B.5 C.6 D.7 第1页，共4页 5.己知m>0,xy>0,当x+y=2时，不等式+”≥4恒成立，则m的取值范围是 A.{mlm>v2 B.{mlm>≥2} C.{ml0<m≤2 D.{m0<m≤2} 6.已知a=c0s1°-sin1°，b=2V2cos222.5°-V2,c=1+tam1 1-tan1° 则a,b,c的大小顺序 为( A.b>a>c B.c>b>a C.c>a>b D.b>c>a 7.己知函数f(x)=V2 sinwx((ω>0)，若3x1,x2∈[写，]且x1≠x2,使得f(x1)+f(x2)=2W2 成立，则实数ω的取值范围是( A.,5] B.,5U[5,+o)C.[4,+o) D.,5]U[8,+o) (x2-x+3,x≤1， 8.已知函数f(x)= x+2x>1 设aER,若关于x的不等式f(x)≥I5+a叫在R上 恒成立，则a的取值范围是( A【-名2 &-铝 C.[-2N3,2] D.【-23,9 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知向量m+n=(3,1),m-n=(1,-1),则下列结论正确的是( A.(m-元)/元B.(m-7元1n C.=v2 D.<m,n>=45° 10.在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2+2 abcos C=3b2,则下列 选项正确的是( A.2(a2+b2)=c2 B.tanA=3tanB C.tanB D.tanC存在最大 3 11.己知函数fx)=cos(ox+p)w>0,pER)满足f(b)=f(b+3)=2且f)在(b,b+ 3)上有最小值，无最大值，则下列结论正确的是( A.函数f(x)的图象关于直线x=b+对称 B.f(x)的最小正周期为4 C.当b=0时，函数f(x)在[9k-,9k+引1(k∈Z)上单调递减 D.f(x)在(0,2026)上恰有900个零点 第2页，共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知ae(0,习)，sin2a=2则sin(a+羽) 13.已知函数f(x)是定义在[a-1,2a]上的偶函数，且当x>0时，f(x)单调递增，则关于x的不 等式f(x-1)>f(a)的解集为 14.如图，在△MBC中，∠BAC=牙，AD-2DB,P为CD上一点，且 满足AP=mAC+AB,m= 若△ABC的面 积为2V3,则AP的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知向量a,6满足d=V5,6=(-1,1),(a-61(a+26). (1)若(1a+b/a+41b,求实数的值： (2)若设a+26与b的夹角为0，求6的大小. 16.(本小题15分) 已知△ABC中，a=V3,且sinAcosC+cos4simC= sinC+sinA c+b-a a-b (1)求△ABC外接圆的半径： (2)若c=3,求△ABC的面积. 17.(本小题15分) 已知函数f()=sin(ux+爱)+sin(ox-)-2cos2g,xeR(其中w>0) (1)求函数f(x)的最大值： (2)若对任意aER,函数y=f(x),xE(a,a+π]与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，且关 于x的方程f(x)=在(0，π上有两不等实数解x1,x2(x1<x2),求sin(x1-x2)的值. 第3页，共4页 18.(本小题17分) 已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意的实数x,y,均有f(xy)=f(x)f(y),且f(-1)=-1, 当0<x<1时，f(x)∈(0,1) (1)判断f(x)的奇偶性； (2)判断f(x)在(0，+∞)上的单调性，并证明； (3)若对任意x1,x2∈[-1,1]，a∈[-1,5]，总有2f(x1)-f(x2)川≤m2-am-2恒成立，求m 的取值范围 19.(本小题17分) 定义：给定函数y=f(x),若存在实数m,n,当f(1-x),f(x+1),f(x)有意义时，f(1-x)+ mf(x+1)=nf(x)总成立，则称函数y=f(x)具有“m*n性质”· (1)判断函数y=2x一3是否具有“m*n性质”，若是，写出m,n的值，若不是，请说明理由 (2)求证：函数y=logax(a>0且a≠1)不具有“m*n性质”；(3)设定义域为R的奇函数y= f(x)具有“1*0性质”，且当x∈(0,1]时，f(x)= -2x, x∈(0，]， -4(x-1)2,x∈，1 若对x∈[-4,4]，函 数y=f(x)-tx有5个零点，求实数t的取值范围. 第4页，共4页