28.1 图形的旋转（第2课时）课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第28章　旋转 28.1 图形的旋转（第2课时） 旋转作图与图案设计 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 给定旋转，怎样得到新图形 问题 知道中心、方向和角度以后，怎样准确画出一个三角形旋转后的图形？只凭目测把三角形“挪过去”很容易破坏对应距离。 策略 规则图形由关键点决定。先作各顶点的对应点，再按原来的顺序连线，就能得到所需图形。 O A B C A' B' C' 例题讲解 变式 点P绕O逆时针旋转到P′，作图时必须满足哪两个条件？ 答：，并沿逆时针方向取。 等距确定P′在以O为圆心、OP为半径的圆上。 方向与角度进一步确定具体位置。 先按给定方向和角度作关键点的对应点，再按原顺序连线。 情境引入 从点的作图扩展到图形 关键点 三角形取三个顶点，四边形取四个顶点。曲线图案应先找能决定轮廓的关键点或基本图形。 连接规则 对应点作出以后按原顶点顺序连接，不能任意改顺序。这样得到的图形才保留原来的边与顶点对应关系。 新知讲授 作点：先转方向再截长度 第一步 连接中心O与原点P，按指定方向作射线，使它与OP的夹角等于旋转角。角度方向要与题目一致。 第二步 在新射线上截取。先定射线再定长度，可以同时保证旋转角与到中心等距两条性质。 O A B C A' B' C' 新知讲授 中心恰是一个顶点 不动点 若三角形以顶点A为旋转中心，A旋转后仍为A。作图时只需确定另外两个顶点的对应点。 易错处 “所有点都沿圆弧移动”并不准确，旋转中心是固定点。正确标出不动点能够减少作图步骤，也有助于发现重合的顶点。 例题讲解 例 2 E是正方形ABCD边CD上任意一点，以A为旋转中心，把△ADE顺时针旋转，画出旋转后的图形。 A B C D E E' 答：旋转后为△ABE′，E′位于CB的延长线上，且BE′=DE。 A固定；AD=AB且角DAB=，故D对应B。 在CB的延长线上取BE′=DE，再连接AE′。 先按给定方向和角度作关键点的对应点，再按原顺序连线。 新知讲授 例题的关键对应关系 先看D 正方形中AD与AB垂直且等长，按顺时针旋转，D恰好落到B。这个重合关系可以直接确定一条新边。 再看E 原来DE垂直AD，旋转后BE′垂直AB，且BE′=DE。因此E′在CB的延长线上，而不是随意放在BC内部。 A B C D E E' 例题讲解 变式 正方形边长4，E在CD上且DE=1.5。按例2顺时针旋转后，BE′是多少？E′在何处？ A B C D E E' 答：BE′=1.5，在CB经过B的延长线上。 对应边长保持，DE对应BE′。 方向由绕A顺时针确定。 按顶点运动次序找对应关系，再用等距或全等保持量。 例题讲解 变式 在例2中若E与D重合，E′在哪里？若E与C重合，BE′多长？ 答：E=D时E′=B；E=C时BE′等于正方形边长。 对应关系随E沿CD连续变化。 极端位置仍须满足BE′=DE。 先确定中心、方向与角度，再检查各关键点是否遵循同一次旋转。 新知讲授 选择不同中心，图形不同 同角不同中心 把同一个图形绕不同点转同一角度，所得图形通常位置不同。因此旋转中心不能随意改变。 固定中心换角度 中心不变而旋转角改变，所得图形也不同。图案设计要同时控制中心和角度，才能获得预期的排列效果。 新知讲授 旋转可以生成图案 基本单元 将一个等腰三角形绕它正下方一点依次旋转，可得到五角星图案。先确定原三角形，再依次构造其旋转像。 等分角度 若希望得到五个均匀分布的单元，相邻单元间角度为÷5=。原图算一个，还需旋转复制四次。 例题讲解 变式 已有一个三角形单元，要形成五个均匀分布的单元，每次转多少度，还需复制几次？ 答：每次，还需复制4次。 把周角平均分为5份。 区分“总单元数5”与“新增次数4”。 周角平均分成5份；原图占一份，新增旋转像4个。 新知讲授 同一基元的多种效果 观察图案 相同或相近的叶片形基元可以通过改变旋转角、中心与重复次数，组合成不同的环形图案。 描述要求 不能只说“转一下”。应指出基本图形、中心、方向、相邻单元的角度和复制次数，使别人能够按描述重建。 课堂练习 练习 1 在△ABC中AB=AC，P是BC上一点。以A为旋转中心，取旋转角等于角BAC，把△ABP逆时针旋转，画出旋转后的图形。 A B C P P' 答：B对应C；P对应P′，使AP′=AP且角PAP′=角BAC。旋转后为△ACP′。 AB=AC且角BAC给出B到C的逆时针旋转。 按相同中心、方向和角度作P′，再连CP′。 先按给定方向和角度作关键点的对应点，再按原顺序连线。 课堂练习 练习 2 选择一个简单基本图形，分别选择不同旋转中心与旋转角，观察旋转后的效果。给出一个完整示例。 答：示例取图示叶片：固定O改变转角α、β；固定转角γ改用中心O1、O2，所得位置与重叠效果不同。 同一基元旋转后形状、大小保持。 中心或角度改变，关键点的到达位置相应改变。 对照时只改一个要素，才能看清该要素的作用。 课堂练习 练习 2 选择一个简单基本图形对它旋转；改变基本图形的形状，观察旋转后的效果。给出示例。 答：示例：以同一点为中心、每次复制三次，分别使用三角形和四边形基元，所得四单元图案轮廓不同。 旋转规则相同不保证最终图案相同。 图案同时取决于基本图形与旋转规则。 先确定中心、方向与角度，再检查各关键点是否遵循同一次旋转。 课堂练习 练习 某同学按正确方向取，但使OP′=2OP。P′是点P的旋转像吗？ 答：不是。 对应点到中心距离必须相等。 角度正确不能替代等距条件。 先按给定方向和角度作关键点的对应点，再按原顺序连线。 课堂练习 练习 三角形三个顶点对应点已经作好，为什么仍应按A′B′、B′C′、C′A′连线？ 答：原边的两端各有对应点，按原顺序连接才能得到对应边。 顶点对应关系确定边的对应关系。 对顶点更多的图形，乱序连线可能得到完全不同的图案。 先按给定方向和角度作关键点的对应点，再按原顺序连线。 课堂练习 练习 一个基元绕同一点每次旋转，组成六个均匀单元。包括原图，复制多少次？ 答：复制5次。 /=6个位置。 原图已占一个位置。 先确定中心、方向与角度，再检查各关键点是否遵循同一次旋转。 课堂练习 辨析 判断正误，并说明理由。 （1） 旋转中心若为原顶点，它的对应点还是自身。 正确 中心固定。 （2） 只要对应点到中心等距，就确定了旋转像。 错误 还要满足同方向、同旋转角。 （3） 五个均匀单元的相邻转角为。 正确 平均分成5份。 先按给定方向和角度作关键点的对应点，再按原顺序连线。 方法归纳 旋转作图与图案设计 作图 ① 明确中心、方向与角度。 ② 作关键点：转方向、量角、截等长、按序连线。 设计 ① 选择基元与中心，按等分角重复复制。 ② 区分总单元数和新增次数，用性质核查每个对应点。 例题讲解 变式 要把一个基元均匀排成四个，中心相同，相邻单元旋转角是多少？ 答：。 ÷4=。 以、、、放置四个单元。 先标对应旋转角，再根据射线实际顺序作角的加减。 例题讲解 变式 一个基元绕同一点每次复制，形成完整一周还需几个新单元？ 答：7个。 一周有/=8个位置。 减去原始单元1个。 先确定中心、方向与角度，再检查各关键点是否遵循同一次旋转。 例题讲解 变式 不对称基元绕中心每次，顺时针复制三次与逆时针复制三次，完整四单元集合相同吗？ 答：相同，四个位置都为整周四等分位置。 顺向取、、。 逆向取的三个位置是相同集合，但生成次序不同。 先确定中心、方向与角度，再检查各关键点是否遵循同一次旋转。 例题讲解 变式 只复制一次，顺时针与逆时针的结果一定相同吗？ 答：不一定，通常不同。 二者位于中心周围不同方向。 特殊基元或位置可能重合，但不能一般断言。 先确定中心、方向与角度，再检查各关键点是否遵循同一次旋转。 例题讲解 变式 正方形ABCD绕A顺时针，D到B。AD对应哪条边？ 答：AB。 A固定，D到B。 边由两个端点确定。 按顶点运动次序找对应关系，再用等距或全等保持量。 例题讲解 变式 三角形绕O旋转后，OA=5、OB=3，画出的OA′=5、OB′=4。哪一步不合格？ 答：B的对应点作图不合格，应有OB′=3。 检查每组点到中心的距离。 A的距离正确不能证明其余点也正确。 先按给定方向和角度作关键点的对应点，再按原顺序连线。 例题讲解 变式 “把一片叶形旋转四次”能唯一重建图案吗？ 答：不能。 还缺中心、方向和每次角度。 须说明原图是否计入总单元个数。 先确定中心、方向与角度，再检查各关键点是否遵循同一次旋转。 例题讲解 变式 练习1中若AB不等于AC，只按角BAC把B逆时针转动，B还会落到C吗？ 答：不会。 B的旋转像到A的距离仍为AB。 若AB≠AC，则不可能与C重合。 先标对应旋转角，再根据射线实际顺序作角的加减。 课堂总结 旋转作图与图案设计 作图依据 等距＋同向等角 关键点 中心固定，作顶点对应点 连接 按原顺序连线 设计 中心、基元、间隔角、次数 针对训练 训练 一个点的旋转像需要同时满足哪两类条件？ 答：到中心等距与沿指定方向转过指定角。 等距定位在圆上。 方向和角度定位到具体射线。 两条性质缺一不可。 针对训练 训练 图形绕顶点A旋转，A的对应点是____。 答：A自身。 A为旋转中心。 中心不因旋转改变位置。 先找旋转中的不动点。 针对训练 训练 形成五个均匀单元时，已有原图仍需复制五次吗？ 答：不对，只需四次。 总数五包含原图一个。 每次旋转角为。 总单元数减一才是新增次数。 针对训练 训练 一个基元每次，连续复制4次，加原图能形成怎样的排列？ 答：五个均匀分布的单元。 五个位置为、、、、。 最后一次再转将回到原位置。 用整周角检查排列闭合。 针对训练 训练 作点P绕O的旋转像，OP=4.5 cm，OP′应取多少？ 答： cm。 旋转保持到中心距离。 角度按题给方向另行确定。 长度不能随角度或图形位置改变。 针对训练 训练 正方形ABCD绕A顺时针，D落到B，E在DC上，DE=2 cm。求BE′。 A B C D E E' 答： cm。 DE旋转后对应BE′。 对应边长保持不变。 先确定D到B，再配对DE与BE′。 针对训练 训练 同一个三角形分别绕两个不同点旋转，结果为什么通常不同？ 答：不同中心导致各顶点到中心的半径与转后位置不同。 旋转角相同并不能确定唯一图形。 须把中心也作为作图条件。 同角度仍需同中心才能比较同一次运动。 针对训练 训练 要让别人重建六单元图案，应写明哪些信息？ 答：基元、共同中心、旋转方向、每次以及复制5次。 六等分给相邻间隔。 原图计作一个单元。 可复现的描述要给足全部生成条件。 针对训练 训练 装饰盘边缘要均匀放置八个相同花瓣，用旋转复制原花瓣，应如何操作？ 答：以盘心为中心，每次，复制7次。 /8=。 保持花瓣到盘心的对应距离，按同一方向复制。 等分周角决定间隔，原图占一个位置。 针对训练 训练 机械摆臂端点P绕轴O顺时针转，已知OP=30 cm。怎样准确标出新端点？ 答：从OP顺时针作射线，再截OP′=30 cm。 先确定运动方向和转角。 再用不变半径定位点，不靠目测伸缩摆臂。 先作方向，后截等长，保证两个条件同时成立。 方法归纳 解题方法总结 准确作旋转像 ① 从中心到原顶点作射线，按方向转角后截等长。 ② 中心顶点固定，重合点可用已知图形直接确定。 形成旋转图案 ① 完整一周的等分角为360°除以单元数。 ② 复制次数为总数减一，最后用对应关系检查。 $