28.2 中心对称（第1课时）课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

第28章　旋转 28.2 中心对称（第1课时） 中心对称及其性质 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 半圈旋转有什么特殊之处 观察 把一个三角形绕固定点O旋转。与一般旋转相比，每组对应点和O在同一条直线上，而且分居O的两侧。 问题 这种特殊旋转能否把等距性质变为“中心平分对应点连线”的性质？本课从半圈旋转进一步研究中心对称。 O A B C A' B' C' 例题讲解 变式 线段AC、BD相交于O，OA=OC、OB=OD。把△OCD绕O旋转，分别哪些点重合？ 答：C到A，D到B，O不动，△OCD与△OAB重合。 共线且O在中间，半圈使射线OC到OA。 再用等距确定点的最终位置。 半圈把每条射线转到反向，再由到O等距确定对应点。 情境引入 两图形的关系 特殊旋转 中心对称是旋转后两个图形重合的关系。它保留一般旋转所有性质，包括对应长度、角度、面积与周长不变。 本课重点 重点研究两个图形的对称点如何通过同一个中心联系，进而作图与寻找中心。下节再研究一个图形自身的中心对称性。 新知讲授 中心对称的定义 定义 像这样，一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称（central symmetry），这个点叫作对称中心（简称中心），这两个图形在旋转后能重合的点叫作对称点。 关注 中心对称说的是两个图形之间的对应关系；旋转角固定为，同一个O必须对所有对应点都适用。 新知讲授 一般旋转性质仍成立 等距 A与A′关于O对称，仍有OA=OA′。对应边和对应角保持相等，两图形全等。 特殊角度 角AOA′为，说明A、O、A′共线。把这一点与等距合起来，可知O是AA′的中点。 O A B C A' B' C' 新知讲授 中心对称的性质 性质 成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分。 等价说法 对称中心是每一组对称点连线的中点。同一图形中各组对应线段的中点必须重合，不能各用各的中心。 O A B C A' B' C' 例题讲解 变式 A与A′关于O对称，OA=4 cm。求AA′，并说明O与AA′的位置关系。 答：AA′=8 cm，O是AA′中点。 A、O、A′共线且O位于两点之间。 AA′=OA+OA′=4+4=8。 中心在两点之间，整段长度为到中心距离的两倍。 例题讲解 变式 B与B′关于O对称，BB′=14 cm，求OB和OB′。 答：均为7 cm。 O平分BB′。 用14÷2得到每半段。 对称中心平分连线，每半段为整段的一半。 新知讲授 作点的中心对称点 具体步骤 连接AO并延长，在AO的延长线上取OA′=OA。因A、O、A′共线且O在两点中间，A与A′关于O对称。 方向提醒 不能沿OA同向再取一个距离相等的点，那会仍停在A。对应点必须在中心另一侧，O本身的对应点还是O。 O A B C A' B' C' 例题讲解 例 1 选择点O为对称中心，作出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′。 O A B C A' B' C' 答：分别延长AO、BO、CO，截取OA′=OA、OB′=OB、OC′=OC，再依次连接A′B′、B′C′、C′A′。 关键是确定三个顶点关于同一个O的对称点。 每组对应点连线被O平分，连线后得到所求三角形。 对应点连线通过同一中心，且被该中心平分。 新知讲授 中心在图形内部或外部 位置并不固定 对称中心可以在原图形内部、边上或外部。作图步骤相同，关键是围绕题给中心进行点的配对。 不动点的处理 若中心恰好是一个顶点，该顶点的对称点为自身。其他顶点仍在经过中心的直线另一侧取等距点。 例题讲解 变式 以△ABC的顶点A为对称中心作△AB′C′。A对应哪里？怎样作B′？ A B C B' C' 答：A对应自身；在BA延长线上取AB′=AB。 半圈旋转中心A固定。 B与B′分别位于A两侧，A为BB′中点。 先按给定方向和角度作关键点的对应点，再按原顺序连线。 例题讲解 变式 两图形关于某点对称，已找到一对对应点A、A′。对称中心在哪里？怎样复核？ 答：在AA′中点；再检查其他对应点连线是否被它平分。 一对已知对称点的中点给候选中心。 全部对应点都应满足同一个中点条件。 对应点连线通过同一中心，且被该中心平分。 新知讲授 找中心不要只靠交点 交点还需平分 任意两条对应点连线相交，并不自动说明交点就是对称中心。它们还必须分别被该点平分。 可靠判定 先找一对对应点的中点，再检验另一组点也以它为中点。必要时检查全部顶点，确保整个图形都由同一次半圈旋转得到。 课堂练习 练习 图中两个四边形关于某点对称，标出它们的对称中心。 O 答：连接一对位置相应的顶点，取该连线中点O；其他各组对应点连线也应经过并被O平分。 半圈对应的轮廓顺序可用边长和邻接关系确认。 中点条件比仅凭两图中间位置更准确。 对应点连线通过同一中心，且被该中心平分。 课堂练习 练习 分别作出图中三角形和圆内叉形图案关于给定点O对称的图形。 O₁ O₂ 答：红色三角形和红色圆内叉形分别是所求图形。 三角形各顶点取关于O₁的对称点，按原顺序连线。 圆心取关于O₂的对称点，半径不变；叉形端点也逐点对称。 两小图分别使用各自给定中心，不能把原圆心当对称中心。 课堂练习 练习 两图对应点连线AA′、BB′交于O，OA=OA′但OB≠OB′，它们关于O中心对称吗？ 答：不是。 中心必须同时平分每组对应线段。 仅一组满足条件不够。 对应点连线通过同一中心，且被该中心平分。 课堂练习 练习 A与A′的中点为O，B与B′的中点为P且O≠P。两组能属于同一次中心对称吗？ 答：不能。 同一次中心对称只有共同的对称中心。 各组中点不一致说明对应配对或作图有误。 对应点连线通过同一中心，且被该中心平分。 课堂练习 辨析 判断正误，并说明理由。 （1） 中心对称对应点连线一定经过中心。 正确 中心是连线中点。 （2） 只要对应线段经过O，就一定关于O对称。 错误 还要被O平分。 （3） 中心对称是旋转的特殊情况。 正确 其固定转角是。 半圈对应；每组对应点连线均以同一点为中点。 课堂练习 练习 两个三角形关于O对称，原三角形周长18 cm、面积12 cm²，另一个是多少？ 答：周长18 cm，面积12 cm²。 中心对称属于旋转。 旋转保持图形全等，周长与面积不变。 按顶点运动次序找对应关系，再用等距或全等保持量。 方法归纳 中心对称的作图与判定 作图 ① 连接原点与中心并向中心另一侧延长。 ② 取等距对应点，再按原连接关系连线。 判定 ① 对应点连线都通过同一点。 ② 该点还必须分别平分全部对应连线。 例题讲解 变式 图形关于O对称一次后，再关于同一O对称一次，结果怎样？ 答：回到原图形。 两次同中心合成。 每个点重新回到原位置。 同一中心连续两次半圈，转过整周后回到各自原位。 例题讲解 变式 A、A′关于O对称，AA′=9 cm，OA+OA′是多少？ 答：9 cm。 O在线段AA′内部。 两半段之和就是全长。 O在两点之间，OA与OA′相加就是整段AA′。 例题讲解 变式 点P≠O，关于O的对称点P′能等于O吗？ 答：不能。 若P′=O，则OP′=0。 等距要求OP=0，与P≠O矛盾。 按顶点运动次序找对应关系，再用等距或全等保持量。 例题讲解 变式 线段AB关于O中心对称为A′B′，两线段长度与方向关系是什么？ 答：长度相等；所在直线平行或重合。 半圈使各方向转。 对应线段保持等长且方向相反。 对应点连线通过同一中心，且被该中心平分。 例题讲解 变式 对称点P′到中心O为6 cm，原点P到O是多少？PP′多少？ 答：OP=6 cm，PP′=12 cm。 OP=OP′。 O位于两点之间，连线全长加倍。 两点到中心距离相等，整段连线长度是半段的两倍。 例题讲解 变式 △ABC绕AB中点O旋转，A、B分别对应哪里？ 答：A对应B，B对应A。 OA=OB且A、O、B共线。 半圈旋转交换线段两端。 对应点连线通过同一中心，且被该中心平分。 例题讲解 变式 作A关于O的对称点为什么不必另量？ 答：连接AO并延长天然给出相反射线，已保证。 再截OA′=OA即可。 共线和中点条件合起来就是半圈旋转。 延长AO已确定反向射线，截取等距点即可。 例题讲解 变式 取同一直线上的A、O、A′，OA=2、OA′=3，A′是对称点吗？ 答：不是。 共线只保证角度可能为。 距离不相等，O不是AA′中点。 先确定中心、方向与角度，再检查各关键点是否遵循同一次旋转。 课堂总结 中心对称及其性质 定义 绕一点转后两图重合 中心 所有对应点连线的共同中点 作图 连接、延长、截等长、连线 检验 通过中心且被中心平分 针对训练 训练 中心对称对应的旋转角是多少？ 答：。 半圈后与另一个图形重合。 中心在该旋转中固定。 固定半圈是中心对称的定义条件。 针对训练 训练 A与A′关于O对称，OA=5 cm，AA′=____。 答：10 cm。 O为AA′中点。 全长为两倍半长。 中心位于两个对称点之间。 针对训练 训练 不同对称点连线可分别取不同中点作为一次中心对称的中心吗？ 答：不能。 一次变换必须有共同中心。 所有对应连线中点要重合。 检查的是共同中点，不是各自有中点。 针对训练 训练 P、P′关于O对称，PP′=18 cm，求OP。 答：9 cm。 O平分PP′。 18除以2。 先说明中点依据，再计算。 针对训练 训练 A不等于O，作A关于O的对称点应取在哪条射线上？ 答：在AO经过O的延长线上，取OA′=OA。 A、O、A′顺序要使O在中间。 同时满足相反方向与等距。 不要在OA原方向重复取回A。 针对训练 训练 AA′过O，OA=4、OA′=4；BB′过O，OB=3、OB′=5，能构成关于O的对应点吗？ 答：不能全部构成。 第一组符合。 第二组不被O平分。 每一组都要通过同一个中点条件。 针对训练 训练 △ABC关于O成△A′B′C′，再将后者关于O对称，A′到哪里？ 答：回到A。 两次半圈为整周。 或由同一中点关系的对称性判断。 同中心连续两次恢复原图。 针对训练 训练 已知两图中心对称，怎样用两对对应点确定并检验中心？ 答：取第一对连线的中点，再检查它是否为第二对连线中点。 第一对给候选中心。 第二对用通过且平分作复核。 仅求连线交点还缺少平分检验。 针对训练 训练 要把标牌上一块三角图案移到点O对侧并保持半圈对应，应如何精确描出？ 答：逐顶点连接O并延长等距，按原顺序连线。 每个对应点都以O为中点。 保持边、角、面积和周长。 先作关键点，不能仅凭图案大致位置描摹。 针对训练 训练 两个标记P、Q应关于转轴点O中心对称，OP=8 cm。安装时Q距O为8 cm但不在直线PO上，合格吗？ 答：不合格。 等距仅满足一个条件。 P、O、Q还应共线且O在中间。 对置结构既要等距，也要半圈方向。 方法归纳 解题方法总结 利用中点性质 ① 对称点、中心三点共线且中心在中间。 ② 把全长与半长区分，找中心后检查所有对应点。 准确构造图形 ① 以题给中心作各关键点的对称点。 ② 按原连接关系连线，中心自身保持固定。 $