28.2 中心对称（第3课时）课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第28章　旋转 28.2 中心对称（第3课时） 关于原点对称的点的坐标 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 把半圈旋转放进坐标系 问题 关于原点对称的两点，一个在第一象限，另一个在哪里？横坐标与纵坐标分别怎样变化？ 联系 原点是两点连线的中点。横向与纵向到原点的位移都应方向相反、大小相等，因此可以用坐标的相反数描述。 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 1 2 3 x y O A B C A' B' C' 例题讲解 变式 关于原点的对称点在哪里？呢？ 答：，。 在坐标轴上，原点把两点连线平分。 0的相反数仍是0。 关于原点对称时两个坐标同时变号，零仍保持为零。 情境引入 从特殊到一般 观察 与关于原点对称，与也有相同关系。横纵坐标分别互为相反数。 提问 能否只改变其中一个坐标？那通常得到关于某一坐标轴的对称点，而不是关于原点的对称点。 新知讲授 探究 作出、、、、关于原点的对称点，写出坐标。 （1） 前三个点。 （2） 后两个点。 （1） 答：，，。 每个点的横纵坐标同时取相反数。 （2） 答：，。 与原点连线均被原点平分。 关于原点对称时两个坐标同时变号，零仍保持为零。 新知讲授 关于原点对称的坐标规律 规律 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点为。 注意 “符号相反”应理解为分别取相反数，坐标为0时仍为0。原点本身关于原点的对称点还是原点。 新知讲授 与坐标轴对称相比较 关于轴对称 关于x轴，横坐标不变、纵坐标变号；关于y轴，横坐标变号、纵坐标不变。两种关系各保留一个坐标。 关于原点 横纵坐标同时变号，即到。判断前先读清对称对象是x轴、y轴还是原点，避免只记“变号”两个字。 例题讲解 变式 分别关于x轴、y轴、原点对称，坐标各是多少？ 答：关于x轴为，关于y轴为，关于原点为。 按所给对称对象确定变号的坐标。 三种变换的结果通常不同。 关于原点对称时两个坐标同时变号，零仍保持为零。 新知讲授 由坐标作图的步骤 逐点变换 先写出各顶点关于原点的对称坐标。每个顶点横纵坐标都变号，不能只给整个图形一个大致新位置。 描点连线 再描出新点，按原来边的连接关系连线。最后检查对应点连线是否经过原点，且两侧距离相等。 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 1 2 3 x y O A B C A' B' C' 例题讲解 例 2 利用关于原点对称点的坐标关系，作出与△ABC关于原点对称的图形，其中、、。 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 1 2 3 x y O A B C A' B' C' 答：，，，依次连接A′B′、B′C′、C′A′。 对每个顶点的两个坐标分别取相反数。 描点并按原顺序连线，得到关于原点对称的三角形。 关于原点对称时两个坐标同时变号，零仍保持为零。 新知讲授 例题的两种检验 坐标检验 每对对应点的横坐标和为0，纵坐标和也为0。例如与满足这一条件。 几何检验 连结AA′、BB′、CC′，原点应分别为三条线段中点。若某一条没有通过原点，应检查该点坐标是否漏变号。 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 1 2 3 x y O A B C A' B' C' 课堂练习 练习 1 下列各点中，哪两个点关于原点对称？、、、、、、。 答：与。 这两点横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。 其余各点没有同时满足两个坐标变号的对应点。 关于原点对称时两个坐标同时变号，零仍保持为零。 课堂练习 练习 2 写出下列各点关于原点的对称点A′、B′、C′、D′的坐标。 （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （1） 答：。 横纵坐标同时变号。 （2） 答：。 负横坐标变正，正纵坐标变负。 关于原点对称时两个坐标同时变号，零仍保持为零。 课堂练习 练习 2 写出下列各点关于原点的对称点A′、B′、C′、D′的坐标。 （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （3） 答：。 两个负坐标都变成对应正数。 （4） 答：。 两个坐标分别取相反数。 关于原点对称时两个坐标同时变号，零仍保持为零。 课堂练习 练习 3 平行四边形ABCD的对角线相交于原点，顶点A、B的坐标分别为和，求顶点C、D的坐标。 -3 -2 -1 1 2 3 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y O A B C D 答：，。 平行四边形对角线交点为对称中心，A与C、B与D对应。 分别把A、B的横纵坐标变号。 先确定对角顶点的配对，再把横纵两个坐标同时变号。 新知讲授 图中信息与题干核对 确定对应关系 按平行四边形顶点顺序，A的对角顶点为C，B的对角顶点为D。先确定这一配对再代坐标。 避免混用 不能把A映到相邻点D；原点是两条对角线中点，并不一定是某条边的中点。以题干给定坐标和几何条件推导。 -3 -2 -1 1 2 3 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y O A B C D 课堂练习 练习 关于原点对称，有人写成。指出错误并写正确坐标。 答：只变了横坐标，应为。 是P关于y轴的对称点。 关于原点应两个坐标同时取相反数。 关于原点对称时两个坐标同时变号，零仍保持为零。 课堂练习 练习 、、关于原点的对称点分别是多少？ 答：、、。 0取相反数仍为0。 只有原点自身关于原点保持固定。 关于原点对称时两个坐标同时变号，零仍保持为零。 课堂练习 练习 与关于原点对称，求a,b。 答：a=-5，b=-1。 对应横坐标互为相反数，故a=-5。 纵坐标互为相反数，故b=-1。 关于原点对称时两个坐标同时变号，零仍保持为零。 课堂练习 练习 先关于x轴得B，再将B关于y轴得C，写C坐标；A、C是什么关系？ 答：，；A与C关于原点对称。 第一次变纵坐标，第二次变横坐标。 合起来两个坐标都变号。 关于原点对称时两个坐标同时变号，零仍保持为零。 课堂练习 辨析 判断正误，并说明理由。 （1） 关于原点对称只需横坐标变号。 错误 横纵坐标都要变号。 （2） 原点的对称点还是原点。 正确 两个零取相反数仍为零。 （3） 第二象限点关于原点对称后在第四象限。 正确 横负纵正变成横正纵负。 关于原点对称时两个坐标同时变号，零仍保持为零。 方法归纳 点、图形与参数 点与图形 ① 每点两个坐标同时变号，轴上点的0保留。 ② 图形按顶点顺序描点连线，核对共同中点。 参数与复合变换 ① 对应坐标互为相反数，分别列等式。 ② 连续关于两条坐标轴对称，合成关于原点对称。 例题讲解 变式 点P在第一象限，它关于原点的对称点在哪个象限？ 答：第三象限。 横纵坐标原来都正。 同时变号后都为负。 关于原点对称时两个坐标同时变号，零仍保持为零。 例题讲解 变式 的原点对称点坐标与象限是什么？ 答：，第二象限。 横正变负，纵负变正。 按新坐标判断象限。 关于原点对称时两个坐标同时变号，零仍保持为零。 例题讲解 变式 关于原点的对称点是什么？ 答：。 整个坐标取相反数。 分数大小不变，符号改变。 关于原点对称时两个坐标同时变号，零仍保持为零。 例题讲解 变式 与关于原点对称，求m,n。 答：m=-2，n=-5。 2m-1=-5。 3=-(n+2)，分别解得结果。 关于原点对称时两个坐标同时变号，零仍保持为零。 例题讲解 变式 是P关于原点的对称点，求P。 答：。 对称关系可逆。 再次同时变号回到原点P。 关于原点对称时两个坐标同时变号，零仍保持为零。 例题讲解 变式 在y=6/x上，P的原点对称点是否仍在该图象上？ -6 -4 -2 2 4 6 -6 -4 -2 2 4 6 x y O P P' 答：是，满足坐标乘积为6。 两个坐标变号后乘积不变。 与反比例函数同一系数一致。 关于原点对称时两个坐标同时变号，零仍保持为零。 例题讲解 变式 若在y=k/x上，是否也在该图象上？ 答：是，因此双曲线关于原点中心对称。 由ab=k，得(-a)(-b)=ab=k。 且a≠0保证-a≠0。 对应点连线通过同一中心，且被该中心平分。 例题讲解 变式 △ABC关于原点对称成△A′B′C′，原面积8，变后面积多少？ 答：8。 坐标变号表示旋转。 旋转前后全等，面积保持。 关于原点对称时两个坐标同时变号，零仍保持为零。 课堂总结 关于原点对称的点的坐标 规律 → 特殊点 轴上零不变，原点固定 图形 逐顶点变号并按序连线 应用 参数、平行四边形、函数对称 针对训练 训练 关于原点的对称点是什么？ 答：。 两个坐标同时取相反数。 不是只变其中一个坐标。 原点对称横纵都变号。 针对训练 训练 关于原点对称为____。 答：。 0保持为0。 -7的相反数为7。 轴上点仍按同一规律，零不改变。 针对训练 训练 与关于原点对称吗？ 答：不是，它们关于y轴对称。 纵坐标相同，没有变号。 A的原点对称点应为。 分别检查横坐标和纵坐标两项条件。 针对训练 训练 与关于原点对称，求a,b。 答：a=6，b=-2。 a=-(-6)=6。 b=-2。 两个对应坐标分别列相反数关系。 针对训练 训练 先关于y轴，再关于x轴对称，终点是什么？ 答：。 先得。 再得，等同原点对称。 按顺序逐次变换，最后检查是否两坐标均变号。 针对训练 训练 、、关于原点对称，写三个对应顶点。 答：、、。 逐顶点同时变号。 按原边的顺序连线得到对应图形。 不能漏顶点或改变连线顺序。 针对训练 训练 与关于原点对称，求m,n。 答：m=-3，n=-1。 2m+1=-5。 n-2=-3。 求参数前先把对应坐标整体取相反数。 针对训练 训练 平行四边形ABCD对角线交于原点，、，求C,D。 答：，。 对角线交点是中心。 A与C、B与D分别互为原点对称点。 对角顶点配对，不要配成相邻顶点。 针对训练 训练 以场地中心为原点，灯位的单位为米，需在对置位置增设同灯，位置坐标是什么？ 答：。 对置位置关于场地中心作旋转。 横纵坐标同时变号，单位仍为米。 先确认坐标原点就是设计的对称中心。 针对训练 训练 中心为原点的平行四边形广场，两个相邻角点为、，另两个角点坐标是什么？ 答：、。 A、C及B、D为对角顶点。 以原点为共同中点分别变号。 位置条件与顶点顺序共同确定两组对置点。 方法归纳 解题方法总结 坐标处理 ① 关于原点时横纵坐标同时取相反数。 ② 先判对称对象，避免与坐标轴对称混淆。 几何与代数互证 ① 各对称点连线以原点为共同中点。 ② 平行四边形按对角顶点配对，参数分别列坐标等式。 $