28.2 中心对称（第2课时）课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第28章　旋转 28.2 中心对称（第2课时） 中心对称图形 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 一个图形也能半圈重合吗 问题 线段AB绕中点O旋转，两端交换位置，整条线段与原位置重合。平行四边形是否也有相同现象？ 联系 上一课研究两个图形之间的中心对称。本课研究一个图形在半圈旋转后与自身重合的整体特征。 A B C D O 例题讲解 变式 把线段AB绕中点O旋转，A和B分别落到哪里？整条线段怎样？ 答：A到B，B到A，整条线段与自身重合。 A、O、B共线且OA=OB。 端点交换后两端之间的全部线段仍重合。 必须绕同一点旋转180°后整个图案重合，不能只看局部相似。 情境引入 平行四边形的发现 观察 平行四边形两条对角线互相平分，交点O把A、C配成对称点，也把B、D配成对称点。 结果 绕O旋转后，四个顶点成对交换，四条边也相应重合。因此整个平行四边形与自身重合。 A B C D O 新知讲授 中心对称图形的定义 定义 像这样，把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 判断重点 必须是整个图形重合，且转角是。只把某个局部转到相似部分，不能说明整个图形具有中心对称性。 新知讲授 两种说法的联系与区别 中心对称 它描述两个图形关于某点的对应关系：一个转后与另一个重合。题目一般要找对应点、作对称图形。 中心对称图形 它描述一个图形自身的性质：转后与原图重合。可把原图和转后的自身看成中心对称，但关注的对象是同一个整体。 例题讲解 变式 平行四边形ABCD的对称中心在哪里？说明理由。 A B C D O 答：两条对角线的交点O。 对角线互相平分，所以A、C关于O对称，B、D关于O对称。 半圈旋转将各边对应到对边，整个图形重合。 对应点连线通过同一中心，且被该中心平分。 新知讲授 矩形、菱形、正方形 共同结论 矩形、菱形、正方形都是特殊平行四边形，因此都为中心对称图形。对称中心为两条对角线交点。 与轴对称并存 这些图形还具有轴对称性，其对称轴交点也是对称中心。但一般平行四边形可能没有对称轴，不能用对称轴代替一般判定。 A B C D O 例题讲解 变式 一个矩形绕什么点转可与自身重合？为什么不是绕任意边的中点？ A B C D O 答：绕对角线交点；边中点一般不能同时平分两组对角顶点连线。 中心要使相对顶点成对交换。 只让一条边的两端交换，不代表整个矩形重合。 对应点连线通过同一中心，且被该中心平分。 新知讲授 中心对称与轴对称不相同 两种变换 轴对称是沿一条直线翻折，中心对称是在同一平面绕一个点转。它们的定义条件不同。 典型例子 等腰三角形有轴对称性，但一般没有中心对称性；一般平行四边形有中心对称性，但可能没有轴对称性。不要凭“匀称”一词混判。 课堂练习 练习 1 圆是中心对称图形吗？为什么？ O P P' 答：是，对称中心是圆心O。 圆上任一点P旋转得到P′，仍满足OP′=OP=半径。 因此每个点的旋转像仍在圆上，整个圆与自身重合。 必须绕同一点旋转180°后整个图案重合，不能只看局部相似。 课堂练习 练习 2 在所示交通标志图案中，哪些是中心对称图形？再举几个自然界或生活、生产中的中心对称图形实例。 答：第1、3、4个是；第2个不是。实例可取理想矩形窗格、等宽十字图案、理想正六边形雪花图案。 应把标志外框和内部图案一起旋转判断。 第2个半圈后箭头与原箭头位置方向不重合。 必须绕同一点旋转180°后整个图案重合，不能只看局部相似。 新知讲授 判定时要看完整图案 外框不足 一个圆形外框本身具有中心对称性，但内部箭头、文字等可能破坏整体的半圈重合。完整交通标志应整体判断。 颜色也算信息 若同形花瓣采用交替颜色或方向，旋转后还需检查颜色和朝向是否对应。只看轮廓忽略内部信息，可能得出错误结论。 例题讲解 变式 等边三角形是中心对称图形吗？它虽有多条对称轴，为什么仍不能半圈重合？ O A B C 答：不是。 转后，一个顶点通常落在原边中点方向而不是另一个顶点。 有对称轴并不推出有对称中心。 必须绕同一点旋转180°后整个图案重合，不能只看局部相似。 例题讲解 变式 正六边形是中心对称图形吗？中心在哪里？ O A B C D E F 答：是，中心为其几何中心。 每个顶点都有相隔三个顶点的对置顶点。 转交换三组对置顶点，边也逐一重合。 必须绕同一点旋转180°后整个图案重合，不能只看局部相似。 新知讲授 正多边形中的奇偶规律 偶数边 正偶数边形的顶点可以成对对置，是最小旋转角的整数倍，因此具有中心对称性。 奇数边 正奇数边形没有与每个顶点正对的另一个顶点，半圈后不能整体重合。它可以有旋转对称性，却不一定有中心对称性。 例题讲解 变式 正五边形绕中心能重合，它是中心对称图形吗？ O A B C D E 答：不是。 中心对称要求重合。 不是的整数倍，顶点不能一一落回原顶点。 必须绕同一点旋转180°后整个图案重合，不能只看局部相似。 新知讲授 阅读：更一般的旋转对称 推广概念 有些图形绕一点转小于的某个非零角后就与自身重合，称为旋转对称图形。中心对称图形是其中转角为的特殊情形。 实例 正三角形可转重合，正五边形可转重合；它们有旋转对称性，但不具备本课要求的对称性。 课堂练习 练习 若一个图案绕同一点旋转就与自身重合，能推出它是中心对称图形吗？ 答：能。 连续两次同中心等效。 每次都重合，所以后也重合。 必须绕同一点旋转180°后整个图案重合，不能只看局部相似。 课堂练习 练习 若一个图案绕中心旋转重合，能仅凭此断言它有中心对称性吗？ 答：不能。 如正三角形符合重合。 但它不能重合，提供反例。 必须绕同一点旋转180°后整个图案重合，不能只看局部相似。 课堂练习 辨析 判断正误，并说明理由。 （1） 有两条对称轴的图形必中心对称。 错误 若两轴夹角不合适，不保证重合；正三角形是反例。 （2） 一般平行四边形中心对称。 正确 对角线交点平分两组对置顶点连线。 （3） 圆关于圆心转重合。 正确 旋转保持到圆心半径。 必须绕同一点旋转180°后整个图案重合，不能只看局部相似。 方法归纳 判图与找中心 判图 ① 确认旋转角恰为180°，检验整体而非局部。 ② 留意文字、颜色、箭头等内部信息。 找中心 ① 从成对顶点或对置边的对应关系找共同中点。 ② 平行四边形类取对角线交点，圆取圆心。 例题讲解 变式 正八边形最小重合转角，半圈是否重合？ O A B C D E F G H 答：重合，因为=4×。 旋转四个顶点间隔。 对置顶点和边逐一重合。 必须绕同一点旋转180°后整个图案重合，不能只看局部相似。 例题讲解 变式 矩形一个顶点A与对角顶点C的连线中点为O，O还应是哪条线段中点？ 答：另一条对角线BD的中点。 两条对角线相互平分。 同一个中心同时配对两组顶点。 矩形两条对角线互相平分，交点同时为两条对角线的中点。 例题讲解 变式 两个中心对称图案拼在一起，新图一定中心对称吗？ 答：不一定。 若两个图案使用不同中心且排列无共同半圈关系，整体可失去对称。 仍须对组合后的整体重新检验。 对应点连线通过同一中心，且被该中心平分。 例题讲解 变式 正方形加上其中心一个点后，整体仍中心对称吗？ 答：仍然是。 正方形半圈重合。 新增中心点在半圈中固定。 对应点连线通过同一中心，且被该中心平分。 例题讲解 变式 中心对称点集删去某个非中心点，但保留其对置点，通常还中心对称吗？ 答：一般不再中心对称。 保留点的半圈对应点已经缺失。 整体点集无法按原中心完全重合。 对应点连线通过同一中心，且被该中心平分。 例题讲解 变式 单独一个半圆形轮廓是中心对称图形吗？ 答：不是。 绕圆心转后落到另一半边。 原图中缺少对应半圆部分。 必须绕同一点旋转180°后整个图案重合，不能只看局部相似。 例题讲解 变式 两个同心圆构成的圆环是否中心对称？ O 答：是，共同圆心为对称中心。 内外两圆各自都绕该点重合。 圆环的全部区域也随之重合。 必须绕同一点旋转180°后整个图案重合，不能只看局部相似。 例题讲解 变式 10 m×6 m矩形园地，要花坛面积一半且中心对称，给两种方案。 答：方案一取中心处10 m×3 m矩形；方案二取中心处5 m×6 m矩形。 两方案面积均为30 m²。 花坛均以园地中心为对称中心。 对应点连线通过同一中心，且被该中心平分。 课堂总结 中心对称图形 定义 整体绕一点转重合 典型 线段、平行四边形、圆 中心 对置点共同中点 区别 轴对称、旋转对称需分别判断 针对训练 训练 正三角形、一般平行四边形、一般等腰梯形中，哪个一定中心对称？ 答：一般平行四边形。 其对角线互相平分。 另两类不能一般保证半圈重合。 用整体重合判断。 针对训练 训练 矩形的对称中心是____。 答：两条对角线的交点。 相对顶点关于该点对称。 半圈旋转将对边对应重合。 中心同时平分两条对角线。 针对训练 训练 能绕一点转重合就一定是中心对称图形吗？ 答：不一定。 正三角形是反例。 中心对称必须满足重合。 不能用任意旋转重合替代半圈条件。 针对训练 训练 正十二边形最小重合转角是多少？是否中心对称？ 答：；是。 /12=。 =6×，可半圈重合。 半圈必须为最小间隔角的整数倍。 针对训练 训练 正七边形是否中心对称？ 答：不是。 对应3.5个顶点间隔。 顶点不能落回原顶点。 正奇数边形没有成对对置顶点。 针对训练 训练 圆形标牌内部有单向上箭头，它作为完整图案是否中心对称？ 答：不是。 外圆半圈重合。 内部上箭头转后向下，整体不重合。 图案包含外框和内部全部信息。 针对训练 训练 两个图案都关于同一点O中心对称，它们的并集是否仍关于O中心对称？ 答：是。 各图案半圈后分别回到自身。 它们的全部点组成的并集也保持不变。 关键是两个图案共享同一中心。 针对训练 训练 怎样检查一个六顶点图案的候选中心O是否合适？ 答：逐一检查每个顶点是否有以O为中点的对置顶点，同时检查边和内部图案。 顶点成对是关键线索。 整体信息仍须全部对应。 顶点、边和内部装饰都要一起检验。 针对训练 训练 12 m×8 m矩形庭院中，设计面积48 m²且与庭院同中心的矩形花坛，给一组尺寸。 答：可取12 m×4 m并居中，或6 m×8 m并居中。 面积均为庭院一半。 居中矩形绕庭院中心重合。 尺寸保证面积，居中位置保证共同对称中心。 针对训练 训练 要在圆形标牌中放两个相同的箭头，使整体中心对称，应怎样安排？ 答：把一个箭头绕圆心旋转得到另一个，两个箭头方向相反、位置对置。 同形只是起点，还要方向与位置半圈对应。 检查外框及两箭头一起重合。 相同图形要按半圈位置关系放置，不能只平移复制。 方法归纳 解题方法总结 判断整体对称 ① 以180°为唯一半圈判断标准。 ② 外框、内部图案和颜色均须对应。 构造与检查 ① 先找各组对置点的共同中点。 ② 组合图案共用中心，面积条件另用几何数量关系核验。 $