28.2.3 关于原点对称点的坐标（教学课件，含交互动画）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦平面内点关于原点对称的坐标规律，核心知识点为点P(x,y)关于原点对称的点为P'(-x,-y)。课堂导入前通过回顾x轴、y轴对称的坐标规律，结合点绕原点旋转180°的实例，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于通过动手描点、计算对比、小组归纳推导规律，培养推理意识，对比三种对称规律用表格和简记口诀强化理解，体现数学语言的简洁性。应用环节结合作图、参数求解及综合题，发展几何直观和空间观念，帮助学生形成严谨思维，教师使用能系统落实知识点，提升教学效率。

null28.2中心对称 第3课时 关于原点对称点的坐标 第二十八章 旋转 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解平面内点关于原点对称的坐标变化规律，熟记公式：点P(x,y)关于原点对称的点为P'(-x,-y).能熟练求出任意点关于原点的对称点坐标，能根据两点原点对称的关系求解参数、未知数.掌握在平面直角坐标系中，作几何图形关于原点对称图形的规范步骤.能精准区分关于x轴、y轴、原点对称的三种坐标变换规律，避免混淆. 通过动手描点、计算对比、小组归纳，经历原点对称坐标规律的推导全过程，培养观察归纳、数形结合的探究能力.通过例题实操、规范解题，掌握坐标变换类题型的解题思路，提升几何与代数结合的综合应用能力. 感受几何变换与代数运算的内在联系，体会数学的统一性、简洁性.在规律探究和辨析对比中，培养严谨的数学思维，养成规范解题、规范作图的学习习惯. 知识回顾 O −1 −2 −3 −4 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 1 2 3 4 y x P(−2, 3) A(−2, −3) 在平面坐标系中，关于x轴对称的点的坐标 横坐标相等，纵坐标互为相反数. （1）你能说出点P关于x轴对称点的坐标吗？ A(x，-y) P(x，y) 关于x轴对称 关于x轴对称的点的坐标具有怎样的关系？ 思考 结论 知识回顾 O −1 −2 −3 −4 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 1 2 3 4 y x B(2, 3) 在平面坐标系中，关于y轴对称的点的坐标 纵坐标相等，横坐标互为相反数. A(-x，y) P(x，y) 关于y轴对称 关于y轴对称的点的坐标具有怎样的关系？ （2）你能说出点P关于y轴对称点的坐标吗？ 关于x轴对称，横不变、纵相反； 关于y轴对称，纵不变、横相反. P(−2, 3) A(−2, −3) 思考 结论 知识回顾 （3）回顾：中心对称的本质是什么？ 中心对称的本质 图形绕定点旋转180°后与另一图形重合，对应点连线过对称中心且被平分. 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心；这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点. 导入新课 在平面直角坐标系中，若将一个点P(-2,3)绕坐标原点旋转180°，得到它的对称点，横纵坐标会发生怎样的变化？ O −1 −2 −3 −4 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 1 2 3 4 y x P(−2, 3) (2, − 3) P(−2, 3) (2, − 3) 互为相反数 互为相反数 今天我们探究中心对称在坐标系中的应用 ——关于原点对称点的坐标. 新知探究 探究点1 原点对称坐标规律 活动1 如图，在平面直角坐标系中，作出下列已知点关于原点的对称点，并写出它们的坐标. A ( 4, 0) B ( 0, −3) C ( 2, 1) D (−1, 2) E (−3, −4) O −1 −2 −3 −4 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 1 2 3 4 y x A(4, 0) B(0, −3) C(2, 1) D(−1, 2) E(−3, −4) 探 究 7 新知探究 探究点1 原点对称坐标规律 （1）作出这些点关于原点O的对称点 O −1 −2 −3 −4 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 1 2 3 4 y x A(4, 0) B(0, −3) C(2, 1) D(−1, 2) E(−3, −4) A′(−4, 0) B′(0, 3) C′(−2, −1) D′(1, −2) E′(3, 4) A(4，0) B(0，-3) C(2，1) D(-1，2) E(-3，-4) A'(-4，0) B'(0，-3) C'(-2，-1) D'(1，-2) E'(3，4) 如图，在平面直角坐标系中，作出下列已知点关于原点的对称点，并写出它们的坐标. 探 究 A ( 4，0) B ( 0，-3) C ( 2，1) D (-1，2) E (-3，-4) 新知探究 探究点1 原点对称坐标规律 （2）这些点与它们关于原点O的对称点的坐标由什么关系 A′ (-4，0) B′ ( 0，-3) C′ (-2，-1) D′ ( 1，-2) E'( 3，4) 如图，在平面直角坐标系中，作出下列已知点关于原点的对称点，并写出它们的坐标. 探 究 横坐标互为相反数 纵坐标互为相反数 新知探究 探究点1 原点对称坐标规律 （3）点P(x, y)关于原点对称的点P′的坐标如何表示？ 如图，在平面直角坐标系中，作出下列已知点关于原点的对称点，并写出它们的坐标. 探 究 已知点 A ( 4, 0) B ( 0, −3) C ( 2, 1) D (−1, 2) E (−3, −4) 对称点 A′ ( -4, 0) B ′ ( 0, 3) C ′ ( -2, - 1) D ′ (1, - 2) E ′ (3, 4) 横、纵坐标的符号相反. 横坐标变为相反数、纵坐标变为相反数 P(x, y) 关于原点对称 P′(−x, −y) 横纵全变号 坐标系中关于对称的点的坐标关系： 新知探究 探究点1 原点对称坐标规律 归一归 P(x, y) 关于原点对称 P′(−x, −y) P(x, y) 关于x轴对称 P′(x, −y) P(x, y) 关于y轴对称 P′(−x, y) , 纵不变，横变号 横不变，纵变号 横纵全变号 新知探究 探究点2 三种对称规律对比辨析 归一归 对称情况 坐标之间的关系 表示 关于坐标轴对称 关于x轴对称 横坐标相同，纵坐标互为相反数 点P(x，y)关于x轴的对称点为P1(x，-y) 关于y轴对称 横坐标互为相反数，纵坐标相同 点P(x，y)关于y轴的对称点为P2(-x，y) 关于原点对称 横、纵坐标都互为相反数 点P(x，y)关于原点的对称点为P3(-x，-y) 关于坐标轴、原点对称的点的坐标特征： 简记为：“关于谁，谁不变，关于原点都改变”. 新知探究 探究点3 关于原点对称的点的坐标的应用 议一议 利用关于原点对称点，可以在平面直角坐标系中作出与一个图形关于原点对称的图形 在平面直角坐标系中作关于坐标轴对称的图形 类比 求出已知图形中的一些特殊点（如多边形的顶点）关于原点对称的点的坐标 一些规则几何图形 ①求关键点的对称点坐标 ②在平面直角坐标系描出这些点 所得图形为与这个图形关于原点对称的图形. ③顺次连结对称点连接 新知探究 探究点3 关于原点对称的点的坐标的应用 画一画 如图，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出△ABC关于原点对称的图形. 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 -5 5 x y 1 2 3 4 -2 -1 O B A C 解：由图得,△ABC的三个顶点： A(-4，1)，B(-1，-1)，C(-3，2). ∵点P(x，y)关于原点的对称点为P'(-x，-y)， 关于原点的对称点分别为 A′(4，-1)，B′(1，1)，C′(3，-2). B′ A′ C′ 依次连接A′B′，B′C′，C′A′， 所得△A′B′C′与△ABC关于原点对称 新知探究 探究点3 关于原点对称的点的坐标的应用 结 小 纳 归 作给定图形关于原点对称的图形的一般步骤： 1.找出给定图形上有代表性的点； 2.写出这些点关于原点的对称点的坐标； 3.在平面直角坐标系中描出对称点； 4.顺次连接对称点. 作图依据：关于原点对称的点的坐标的特征 典例分析 例1.已知点P(a+1,2)与点Q(-3,b-2)关于原点对称，求a、b的值。 解：∵ 点P与点Q关于原点对称 ∴ 两点横坐标互为相反数 纵坐标互为相反数 ∴ a+1+(-3)=0， 2+(b-2)=0 解得：a=2，b=0 答：a的值为2，b的值为0. 提示 用“对称点横、纵坐标分别互为相反数”列方程求解参数 典例分析 例2.如图，各顶点的坐标分别为，，． (1)将先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)将绕点逆时针旋转后得到请在平面直角坐标系中画出； (3)若与关于原点中心对称，则点的坐标为________． 【分析】 对于（1），根据点的平移规则：横坐标右移加、纵坐标下移减计算坐标 对于（2），先确定旋转中心，再根据绕定点逆时针旋转的坐标变换规则画图 对于（3），因为关于原点中心对称的点横、纵坐标均互为相反数，所以直接根据点A的坐标计算其中心对称点的坐标． 典例分析 例2.如图，各顶点的坐标分别为，，． (1)将先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)将绕点逆时针旋转后得到请在平面直角坐标系中画出； (3)若与关于原点中心对称，则点的坐标为________． （1）解：根据平移规则，点向下平移4个单位、向右平移1个单位 所以平移后的 坐标变为， 计算得各顶点坐标： ，，， B1 A1 C1 典例分析 例2.如图，各顶点的坐标分别为，，． (1)将先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)将绕点逆时针旋转后得到请在平面直角坐标系中画出； (3)若与关于原点中心对称，则点的坐标为________． B1 A1 C1 B2 A2 C2 （2）解：将各顶点与旋转中心连接， 将线段绕旋转中心逆时针旋转， 得到各顶点坐标： ， 描点顺次连线即可得到． 典例分析 例2.如图，各顶点的坐标分别为，，． (1)将先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)将绕点逆时针旋转后得到请在平面直角坐标系中画出； (3)若与关于原点中心对称，则点的坐标为________． B1 A1 C1 B2 A2 C2 （3）解：关于原点中心对称的点， 横、纵坐标均为原坐标的相反数， ∴各顶点坐标为： ， 描点顺次连线即可得到， B3 A3 C3 新知巩固 1.下列各点中，哪两个点关于原点对称？ A(−5, 0)，B(0, 2)，C(2, −1)，D(2, 0)，E(0, 5)，F(−2, 1)，G(−2, −1). 【教材第104页】 解：点C和点F关于原点O对称. 2.写出下列各点关于原点的对称点 A'，B′，C′，D′ 的坐标： A(3, 1)，B(−2, 3)，C(−1, −2)，D(2, −3). 解：A'(−3, −1)，B'(2, −3)，C'(1, 2)，D'(−2, 3). 新知巩固 3.如图，□ABCD的对角线相交于原点，其顶点A，B的坐标分别为(−2, 2)和(−1, −3).求其顶点C，D的坐标. 解： □ABCD 是中心对称图形，对称中心为对角线交点 ∵ □ABCD的对角线相交于原点 ∴点AC关于原点对称， 点BD关于原点对称 ∵A，B的坐标分别为(−2, 2)和(−1, −3) ∴C点坐标是(2, −2)，D点坐标是(1, 3). 【教材第104页】 拓展提升 1.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的；（点、、的对应点分别为、、） (2)将绕着点顺时针旋转得到，画出并写出点的坐标．（点、的对应点分别为、）. 解：(1)如图所示，即为所求， (2)如图所示， 即为所求， B1 A1 C1 B2 C2 真题感知 1.（25-26潍坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)描出点，，，并画出； (2)将向右平移4个单位得到，再画出关于点成中心对称的； (3)若为边上一点，经过（2）中的两次变换后对应点为，则的坐标为 ． B A C B1 A1 C1 B2 A2 C2 解：(1)点，，，即为所求， (2)，即为所求， （3）解：∵为边上一点，经过（2）中的两次变换后对应点为， ∴点的坐标为，即． 真题感知 2．（25-26.河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)将先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，画出平移后的； (2)画出关于原点O成中心对称的； (3)将绕点C逆时针旋转，画出旋转后得到的； 解：(1)如图，为所求 B1 A1 C1 B2 A2 C2 B3 A3 (2)如图，为所求 (3)如图，为所求 真题感知 3．（25-26.阜新期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移4个单位长度得到，请画出； (2)画出关于点O的中心对称图形； (3)点M、N是x轴上的动点（点M在点N的左边），且，直接写出的最小值____________． B1 A1 C1 解：(1)如图，为所求 B2 A2 C2 (2)如图，为所求 真题感知 3．（25-26.阜新期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (3)点M、N是x轴上的动点（点M在点N的左边），且，直接写出的最小值____________． B1 A1 C1 B2 A2 C2 B′ B′′ （3）解：如图，将点向右平移一个单位得，过点作关于x轴的对称，连接，与x轴交点N， ∴， ∴， ∴当点，N，C三点共线时， 有最小值，最小值为的长度， ∴， ∴的最小值为 ． 课堂小结 （1）核心规律： 点P(x,y)关于原点对称点为P'(-x,-y)，横纵坐标全部变号； （2）核心技能： 能快速求任意点的原点对称坐标、能独立完成坐标系图形原点对称作图； （3）综合能力： 能利用原点对称规律列方程，求解参数、未知数； （4）规律辨析： 熟记x轴、y轴、原点三类对称坐标变化区别. 知识与技能 课堂小结 （1）数形结合思想： 将图形180°旋转变换，转化为代数坐标运算，以数解形、以形助数； （2）特殊到一般思想： 通过特殊点坐标探究，归纳出通用坐标变换公式； （3）类比归纳思想： 类比坐标轴对称规律，对比学习原点对称规律，构建系统知识框架. 思想与方法 课堂小结 （1）规律混淆：x轴对称变纵号、y轴对称变横号、原点对称全变号，严禁混用公式； （2）符号错误：负数、0的对称坐标计算易出错，牢记“互为相反数”； （3）作图误区：必须先求所有顶点对称坐标，不可凭肉眼大致画图，顶点遗漏、连线混乱； （4）逆向误区：两点关于原点对称，需横、纵坐标分别互为相反数，单一坐标相反不成立. 易错点提醒 课后练习 习题 28.2 课本p104页 3.四边形 ABCD 各顶点坐标分别为 A(5, 0)，B(−2, 3)，C(−3, 0)，D(−1, −5)，作出与四边形 ABCD 关于原点对称的图形. 解： A B C D A′ (-5, 0) B′ (2, -3) C′ (3, 0) D ′ (1, 5) 如图所示. A、B、C、D 关于原点对称的坐标分别为： O x y A′ B′ C′ D′ 课后练习 习题 28.2 课本p105页 4.已知点A(a, 1)与点A′(5, b)关于原点对称，求a，b的值. 解：根据题意可知： a是5的相反数，b是1的相反数 ∴ a= −5，b=−1. P(x, y) 关于原点对称 P′(−x, −y) 课后练习 习题 28.2 课本p105页 9.在平面直角坐标系中，作点A(−3, 2)关于x轴的对称点B，再作点B关于y轴的对称点C，写出点C的坐标，点A与点C有何关系？由此，你能发现什么？ 解：如图，点C的坐标为(3, −2)，点A与点C关于原点成中心对称. O x y A B C (−3, 2) (−3, -2) (3, -2) 发现： 在平面直角坐标系中，横纵坐标互为相反数的两个点关于原点成中心对称. 谢谢聆听 $