27.2 反比例函数的图象和性质（第1课时）课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

第27章　反比例函数 27.2 反比例函数的图象和性质（第1课时） 双曲线的位置与变化 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 从解析式想象图象 问题 对于，为正数时为正数，为负数时为负数。仅凭正负性，可以先判断图象可能出现的位置。 任务 再选取几组对应值描点，检验我们的猜想。画图与计算应互相印证，不能把示意图当作结论的唯一依据。 例题讲解 变式 对于，求时的，观察乘积。 答：对应；乘积均为。 每次用除以所取。 用检查所得坐标。 把题目中的对应量与固定量分别确定，答案要同时满足等式和取值条件。 情境引入 画函数图象的路线 回顾 一次函数、二次函数都可先列表，再描点，最后按变化规律连线。对反比例函数也可以沿用这一研究过程。 新问题 自变量不能取，所以不能从负数点经过原点直接连向正数点。要根据定义域和函数值变化判断两部分如何连接。 新知讲授 先对系数分类 分类依据 是非零常数，只有与两种情况。它的符号决定同号还是异号，从而决定象限。 研究顺序 先研究与两个正系数实例，再推广到；随后用类似方法研究。 例题讲解 示例 补全在正数范围内的对应值。 （1） 。 （2） 。 （1） 答：。 分别计算。 （2） 答：。 对应乘积都应等于。 列表时兼顾正负自变量，分支描点并用光滑曲线连接。 例题讲解 示例 补全在负数范围内的对应值。 （1） 。 （2） 。 （1） 答：。 正数除以负数得负数。 （2） 答：。 注意自变量和函数值均带负号。 列表时兼顾正负自变量，分支描点并用光滑曲线连接。 新知讲授 描点：坐标要一一对应 操作 取等点，在同一坐标系中描出。横坐标来自，纵坐标来自。 检验 每一个点的坐标乘积都为。若一个点落到第二或第四象限，应重新检查符号或横纵坐标顺序。 -6 -4 -2 2 4 6 -6 -4 -2 2 4 6 x y O A B C D 新知讲授 连线：两支光滑曲线 连线方式 在每个有点分布的象限内，按横坐标从小到大的顺序，用光滑曲线连接相应的点。曲线反映连续变化的规律。 注意 不能用折线代替曲线，也不能将两支穿过原点相连。没有函数值，原点不在图象上。 -6 -4 -2 2 4 6 -6 -4 -2 2 4 6 x y O 例题讲解 变式 在与中，当时各取何值？两点的高低如何？ -6 -4 -2 2 4 6 -6 -4 -2 2 4 6 x y O A B 答：分别为与；后者对应点更高。 保持横坐标不变再比较纵坐标。 不要比较两条曲线上横坐标不同的点。 先固定横坐标，再比较两个函数的纵坐标。 新知讲授 正系数时的位置 由式判断 时，，所以同号。正横坐标对应正纵坐标，负横坐标对应负纵坐标。 图象结论 两支曲线分别位于第一、第三象限。它们不会进入第二、第四象限，也不会与坐标轴相交。 -6 -4 -2 2 4 6 -6 -4 -2 2 4 6 x y O 新知讲授 正系数时怎样变化 观察第一象限 沿图象从左向右移动，横坐标增大而纵坐标减小。例如中，从变为，从变为。 观察第三象限 从增大到时，从减小到。负数比较时，数值的绝对值增大不等于数本身增大。 -6 -4 -2 2 4 6 -6 -4 -2 2 4 6 x y O 新知讲授 性质必须带范围 准确表述 当时，在每一个象限内，随的增大而减小。这句话分别描述第一象限的一支和第三象限的一支。 反例提醒 在中，从到，由变为。跨越不能直接使用“一支上的减小”结论。 例题讲解 示例 对，比较下列两组函数值。 （1） 与。 （2） 与。 （1） 答：。 两点在第三象限，增大时减小。 （2） 答：。 两点在第一象限，结论相同。 同一支上，正系数使横坐标越大、函数值越小。 新知讲授 负系数时先看符号 推测 时，，异号。因此正横坐标对应负纵坐标，负横坐标对应正纵坐标。 图象位置 两支曲线应位于第二、第四象限。画的图象检验此结论，再观察每支曲线的升降。 -6 -4 -2 2 4 6 -6 -4 -2 2 4 6 x y O 例题讲解 示例 求的对应值并比较。 （1） 。 （2） 。 （1） 答：。 横坐标增大时，纵坐标也增大。 （2） 答：。 负数从到在增大。 负系数每支递增；负数比较按数轴顺序。 新知讲授 负系数时的性质 准确表述 当时，在每一个象限内，随的增大而增大。第二、第四象限两支都具有此变化规律。 和正系数比较 改变的符号改变象限和每支的升降方向。不能把“系数为负”直接理解为“函数值一定为负”。 -6 -4 -2 2 4 6 -6 -4 -2 2 4 6 x y O 新知讲授 图象是双曲线 图象特征 反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线。 两种情况 当，两支在第一、第三象限且每支下降；当，两支在第二、第四象限且每支上升。读图时先认象限，再看变化。 课堂练习 辨析 判断正误，并说明理由。 （1） 反比例函数图象经过原点。 错误 时解析式无意义。 （2） 的两支图象可以连成一条曲线。 错误 定义域不含，两支之间不能跨过坐标轴。 （3） 的两支分别位于第二、第四象限。 正确 异号。 列表时兼顾正负自变量，分支描点并用光滑曲线连接。 课堂练习 练习 如图所示，图象对应哪个函数？A.；B.；C.；D.。 -6 -4 -2 2 4 6 -6 -4 -2 2 4 6 x y O 答：C。 图象为双曲线，排除A、B。 两支在第一、第三象限，系数为正，选C。 先认双曲线，再由象限排除系数符号不符的选项。 课堂练习 练习 反比例函数的图象如图所示，则与的关系如何？在每个象限内，随增大怎样变化？ -6 -4 -2 2 4 6 -6 -4 -2 2 4 6 x y O 答：；随增大而增大。 两支在第二、第四象限，故。 沿每支图象从左向右观察，曲线上升。 把图象位置或每支增减性质转成比例系数的严格不等式。 课堂练习 练习 列表、描点，画出的图象，并说明位置。 -6 -4 -2 2 4 6 -6 -4 -2 2 4 6 x y O A B C D 答：两支在第一、第三象限。 可取。 各象限内用平滑曲线连线，两支不相连。 按核验点，再分支平滑连线。 课堂练习 练习 列表、描点，画出的图象，并说明变化。 -6 -4 -2 2 4 6 -6 -4 -2 2 4 6 x y O A B C D 答：两支在第二、第四象限，每个象限内随增大而增大。 取。 描点后分别连成光滑曲线。 按核验点，观察每支从左到右上升。 课堂练习 练习 面积 m²的矩形两边长满足，应取完整双曲线吗？ 2 4 6 2 4 6 x y O 答：只取第一象限的一支。 边长都大于。 第三象限虽属于数学函数图象，却不符合边长意义。 边长均大于0，只保留第一象限的实际图象。 课堂练习 练习 某同学说中越大一定越小。用一组数说明其表述缺少什么条件。 答：缺少“在每一个象限内”。 取，有。 但，并非前者大。 跨越0可构造反例；递减性质只限每一支。 方法归纳 画图与读图 画图 ① 选点兼顾正负与靠近坐标轴的变化。 ② 分支描点、平滑连线，不能跨过原点。 读图 ① 先认双曲线，再由象限判断符号。 ② 谈增减时一定加上每个象限内。 例题讲解 变式 反比例函数图象上能有或吗？说明理由。 答：都不能。 的横坐标为，解析式无意义。 使，与矛盾。 把题目中的对应量与固定量分别确定，答案要同时满足等式和取值条件。 例题讲解 变式 一个反比例函数在第四象限的一支上随增大而增大，系数应满足什么条件？ 答：。 第四象限中，故。 这与负系数每支递增的性质相符。 把图象位置或每支增减性质转成比例系数的严格不等式。 新知讲授 图象和解析式互相检查 形与数一致 若算出却画到第二、第四象限，必有符号错误；若算出却画成每支下降，也应重新核查。 研究方法 通过具体函数发现共性，再按的符号分类。图象给出直观线索，解析式中的乘积关系支持象限判断。 例题讲解 变式 当时，比较与的值；与时是否相同？ 答：时；时。 分别得到与。 比较系数大小时必须同时考虑的正负。 同一个比较不同系数，须区分的正负。 课堂总结 双曲线的位置与变化 作图 列表→描点→平滑连线 第一、第三象限；每支下降 第二、第四象限；每支上升 注意 不交坐标轴；不跨支谈增减 针对训练 训练 的图象位于哪些象限？ -6 -4 -2 2 4 6 -6 -4 -2 2 4 6 x y O 答：第二、第四象限。 系数。 所以异号。 由系数符号判断象限。 针对训练 训练 在第三象限内，随增大而____。 答：减小。 系数。 性质对第一、第三象限每一支都成立。 不要被负横坐标误导。 针对训练 辨析 判断正误，并说明理由。 （1） 为负时每支图象都上升。 正确 对应每个象限内随增大而增大。 （2） 反比例函数图象与轴有交点。 错误 函数值不能为。 （3） 在整个定义域内随增大而减小。 错误 必须限定在每一个象限内。 图象不交坐标轴；增减限定在每个象限内。 针对训练 训练 画时只取。这样能完整显示图象吗？ -6 -4 -2 2 4 6 -6 -4 -2 2 4 6 x y O 答：不能，还应选负数描出第二象限一支。 已取点只覆盖第四象限。 补取。 列表要覆盖定义域的两个部分。 针对训练 训练 在图象上，，比较。 答：。 两点在第一象限且。 每支下降，也可算。 先检查是否位于同一支。 针对训练 训练 在图象上，，比较。 答：。 负系数在每个象限内递增。 计算得。 负数的大小按数轴顺序判断。 针对训练 训练 的图象在第一、第三象限，求范围。 答：。 系数。 解得，同时保证函数非退化。 象限条件转换为系数不等式。 针对训练 训练 某同学画时用线段连接与，指出错误。 答：两点分属不同分支，不能直接相连。 连接线段会经过原点，但无函数值。 应分别在第一、第三象限内描点并连光滑曲线。 连线必须服从定义域和函数变化。 针对训练 训练 完成件产品，效率件/h与时间h满足。效率从提高到，时间怎样变化？ 答：由 h减至 h。 实际，取第一象限分支。 分别算与。 实际问题先确定使用哪一支。 针对训练 训练 面积 cm²的矩形，一边长由 cm增至 cm，另一边怎样变？ 答：由 cm减至 cm。 另一边，。 沿第一象限分支，增大时减小。 将图象性质与定面积情境联系。 方法归纳 解题方法总结 利用图象 ① 先看两支所在象限，确定的符号。 ② 同一支上比较横坐标，再按性质比较纵坐标。 规范画图 ① 正负取值兼顾，点的坐标乘积等于。 ② 曲线分两支，不能穿过坐标轴。 $