27.3 第1课时 利用反比例关系解决实际问题 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版九年级上册 **27.3 第1课时 利用反比例关系解决实际问题** 专项练习（约1500字） --- ## 一、知识梳理 **1. 用反比例函数解决实际问题的思路（四步）：** （1）**审题**：找出题中的两个变量，判断是否存在反比例关系（乘积为定值）； （2）**建模**：设解析式 y = k/x，用一组已知的对应值求比例系数 k； （3）**求解**：代入具体 x（或 y）求另一变量； （4）**检验**：检验结果是否符合实际意义（如变量取值范围、单位、合理区间）。 **2. 常见反比例实际模型：** - 路程固定：速度与时间成反比（v·t = s）； - 面积固定：长与宽成反比（x·y = S）； - 总量固定：每天工作量与所需天数成反比； - 体积固定：压强与受力面积成反比（P = F/S，F 一定时 P·S = F）； - 电压固定：电流与电阻成反比（I = U/R，U 一定时 I·R = U）。 **3. 关键提醒：** 解出的数值必须回代检查，并注意结果是否是整数、是否在题目允许的取值范围内。 --- ## 二、基础过关（行程与面积） **1. 一列火车从甲地到乙地，路程为 480 km，设速度为 v（km/h），行驶时间为 t（h）。** （1）写出 v 关于 t 的函数关系式，并指出它是什么函数； （2）当 t = 6 h 时，求速度 v； （3）若速度 v = 80 km/h，求所需时间 t。 **2. 一块矩形菜地的面积为 60 m²，设长为 x m，宽为 y m。** （1）写出 y 关于 x 的关系式，并判断函数类型； （2）比例系数 k = ____，它的实际意义是____； （3）若长 x = 12 m，求宽 y。 **3. 判断下列说法是否用反比例关系：** （1）总价 100 元一定时，数量越多单价越低； （2）一杯水越喝越少，剩余量随喝的次数变化； （3）电压一定时，电阻越大电流越小。 --- ## 三、能力提升（确定解析式） **4. 某种气球内气体体积 V（L）与压强 P（kPa）成反比例，当压强为 100 kPa 时体积为 2.4 L。** （1）写出 V 关于 P 的函数关系式； （2）当压强增大到 160 kPa 时，体积变为多少？ **【点拨】** 设 V = k/P，代入 P=100、V=2.4 得 k = 240。故 V = 240/P。当 P=160 时，V = 240/160 = 1.5 L。 **5. 已知汽车油箱内有油 40 L，行驶中每 100 km 耗油 8 L。设行驶路程为 s（km），剩余油量为 y（L）。** （1）写出 y 关于 s 的关系式，并判断是否反比例函数； （2）最多能行驶多少千米？ **6. 一定质量的氧气，体积 V（m³）与密度 ρ（kg/m³）成反比例，且当 V = 5 m³ 时 ρ = 1.2 kg/m³。求 V 与 ρ 的函数关系式。** --- ## 四、综合应用（压强、电流等） **7. 一个电阻两端电压保持 220 V 不变，设电阻为 R（Ω），电流为 I（A）。** （1）写出 I 关于 R 的函数关系式； （2）当 R = 44 Ω 时，电流 I 为多少？ （3）若电流 I = 5 A，电阻 R 为多少？ **8. 某运输公司用货车运送一批货物，总重量为 240 t，设每辆货车载重为 x（t），需要货车数量为 y（辆）。** （1）写出 y 关于 x 的关系式，并说明函数类型； （2）若每辆载重 8 t，需要多少辆车？ （3）若公司只有 12 辆车，每辆车至少载重多少吨？ **9. 一块长方形的草坪面积为 200 m²，长 a 与宽 b 成反比。若宽 b 扩大为原来的 2 倍，长 a 应怎样变化？为什么？** --- ## 五、易错辨析（改错） **10. 指出错误并改正：** 小明说：“一个蛋糕平均分给 x 个人，每人分得 y 块，那么 y = k/x 一定是反比例函数，k 就是蛋糕的总块数。” **答：** 小明的说法**不严谨**。只有当每人分得的块数不受整数限制、且 x、y 可在实数范围取值时才适用反比例模型；现实中人数 x 必须为整数，且每人分得 y 也为正数。正确表述是：蛋糕总量固定为 K，则 y = K/x，其中 x 为正整数、y 为正数，这是**实际背景下的反比例关系**，但 x 的取值范围受到“整数人”的限制。 **11. 判断：电压一定时，电流 I 与电阻 R 成反比，所以电阻越大，电流越小，两者乘积恒等于电压。这一结论是否正确？** --- ## 六、挑战题 **12. 某市距景点 90 km，旅游团乘大巴前往，速度设为 v（km/h），时间设为 t（h）。** （1）写出 v 关于 t 的关系式； （2）若规定 t ≤ 1.5 h，则速度至少为多少？ （3）实际车速为 60 km/h，实际用时多少？ **13. 一蓄水池每小时注水 x（m³），t 小时注满，蓄水池容量为 600 m³。** （1）写出 t 关于 x 的关系式； （2）若每小时注水 20 m³，需多少小时注满？ （3）若想在 15 小时内注满，每小时至少注水多少？ --- ## 参考答案 1.（1）v = 480/t，反比例函数；（2）80 km/h；（3）6 h。 2.（1）y = 60/x，反比例函数；（2）k=60，实际意义是菜地面积；（3）y = 5 m。 3.（1）是；（2）不是（剩余量不是固定乘积）；（3）是。 4.（1）V = 240/P；（2）1.5 L。 5.（1）y = 40 − 8s/100 = 40 − 0.08s，是**一次函数**（不是反比例）；（2）最多行驶 500 km（y=0 时 s=500）。 6. V = 6/ρ。 7.（1）I = 220/R；（2）5 A；（3）44 Ω。 8.（1）y = 240/x，反比例函数；（2）30 辆；（3）20 t。 9. 长 a 缩小为原来的 1/2（因 ab = 200 为定值，b 扩大 2 倍则 a 缩小 2 倍）。 11. 对，I·R = U 恒为定值，即反比例关系。 12.（1）v = 90/t；（2）速度至少 60 km/h；（3）1.5 h。 13.（1）t = 600/x；（2）30 h；（3）40 m³/h。 --- **说明：** 本练习紧扣 27.3 第1课时「利用反比例关系解决实际问题」——行程、面积、压强、电流、运输等实际模型，突出“乘积为定值”的判断与四步解题法，基础到综合共 13 题、约 1500 字。第 5 题特意设计为“看似反比例、实为一次函数”的辨析题，帮助区分模型。需要我把 27.1、27.2、27.3 三课时合并成一份完整单元练习交付吗？ 人教版（新教材）数学九年级上册 27.3 第1课时 利用反比例关系解决实际问题 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十七章 反比例函数 1 2 3 能从实际问题中抽象出反比例函数关系，建立反比例函数模型； 会运用反比例函数的性质解决简单的实际问题，能根据实际意义确定自变量的取值范围； 经历分析实际问题 — 建立数学模型 — 求解函数问题 — 检验实际意义的全过程，培养数学建模能力和逻辑推理能力. 学习目标 回顾 1.反比例函数的一般形式是什么？ 2. 当时，图象在二、四象限，在每个象限内随的增大而增大 一般形式 ,为常数， 图象形状 双曲线 性质 当时，图象在一、三象限，在每个象限内随的增大而减小； 今天我们就一起运用反比例函数的知识，解决生活中常见的实际问题。 情境导入 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用9h. (1)此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度v（单位：t/h）与卸载完所有货物的总时间t（单位：h）之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况,要求轮船上的货物不超过6h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物? 根据“平均装载速度×装载总时间=货物总量”，可以求出轮船装载货物的总量;再根据“平均卸载速度=货物总量÷卸载总时间”，得到v关于t的函数解析式. 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：(1)轮船上的货物总量为700×9=6300(t)，所以v关于t的函数解析式为 . (2)把t=6代人 (t/h) 从结果可以看出，如果全部货物恰好用6h卸载完，那么平均每小时卸载1050t.对于函数,当>0时，越小，越大.因此，若货物不超过6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载1050t货物. 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 果果爸爸家离工作单位的距离为12000 米，他每天开车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟． (1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？ (2) 若果果爸爸到单位用 15 分钟，那么他开车的平均速度是多少？ (1) 解： (2) 解：把 t =15代入函数的解析式，得： 答：他开车的平均速度是 800 米/分. 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (3) 如果果果爸爸开车的速度最快为 1000 米/分，那他至少需要几分钟到达单位? 解：把 v =1000 代入函数解析式得： 解得：t =12． 答：他至少需要 12 分钟到达单位． 探究新知 1. 返回 [河北模拟一个用电器的电阻R、电功率P与它两端的电压U之间的关系式为P＝ ，当用电器电阻为4欧姆，消耗的电功率为36瓦时，它两端的电压为(　　) A．144伏特 B．72伏特 C．24伏特 D．12伏特 D 举一反三 8 返回 2. 四个圆柱形容器内部的底面积分别为10 cm2，20 cm2，30 cm2，60 cm2.分别往这四个容器中注入300 cm3的水，分别用x(单位：cm2)和y(单位：cm)表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示y与x的关系为(　　) C 举一反三 返回 3. 科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(单位：cm)与液体的密度ρ(单位：g/cm3)成一定的函数关系，经过实验获得两个变量ρ，h的部分对应值如下表： ρ/(g/cm3) 2.5 4 5 8 10 h/cm 8 5 4 2.5 2 (1)求h关于ρ的函数解析式； 解：由题表可知ρ与h的积是定值，即ρh＝20， ∴h关于ρ的函数解析式为h＝ 举一反三 返回 (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，浸在液体中的高度为25 cm，求该液体的密度． 解：把h＝25代入h＝ 解得ρ＝0.8. 答：该液体的密度为0.8 g/cm3. 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某垃圾清运公司承担了约3000 t的建筑垃圾的运送工作． (1)求每小时运送的垃圾质量y(t)关于完成任务所需的时间x(h)的函数表达式； (2)该公司调来了若干辆运输车，平均每小时共运送垃圾不超过20 t，至少需要多长时间完成运送工作？ (2)解：令 ，则 ，解得 ， 根据反比例函数的性质，当x>0时， y随x的增大而减小， 因此平均每小时共运送垃圾不超过20 t时，至少需要150 h完成运送工作. (1)解：由题意可得：每小时运送的垃圾质量y(t)关于完成任务所需的时间x(h)的函数表达式为： ； 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度v单位：km/h）与行驶全程所用时间t（单位：h）的函数关系如图所示，其中60≤t≤120. (1)写出v关于t的函数解析式，并求t的取值范围; 解：(1)甲地到乙地的路程为定值，可以用反比例函数描述v与t之间的关系. 由图可知，当t=2时，v=120，于是有 . 当v=60时，t=4.因为60≤v≤120，并且平均速度v随看行驶全程所用时间t的增大而减小，所以2≤t≤4. 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围. (2)客车上午8时从甲地出发，若当天10时40分到达乙地，则行驶全程所用时间t=2h，代入①，可得v=90（km/h）；若当天11时到达乙地，则行驶全程所用时间t=3h，代入①，可得v=80（km/h）.因为平均速度随着行驶全程所用时间的增大而减小，所以客车平均速度的范围是80≤v≤90. 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 山西是中国“面食之乡”，以“一面百样、一面百味”著称．其中，龙须面因面条细若须发、形似龙须而得名．某数学兴趣小组研究发现，当面团一定时，面条长度 y（单位：m）是面条的平均横截面积x（单位：mm2）的反比例函数．观察图象， 当该面团拉出的龙须面的面条长度为80mm时，求该龙须面的面条的平均横截面积． 解：设反比例函数的表达式为，将P点代入得： ， ，∴反比例函数的表达式为 ， 当 时， ，解得： ， ∴当该面团拉出的龙须面的面条长度为80mm时，该龙须面的面条的平均横截面积约为1.6mm2． 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 多种抗新冠病毒有效药物已经用于临床救治，某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/ml）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当x≤20时，y与x是正比例函数关系；当x≥20时，y与x是反比例函数关系）． (1)求y与x之间的函数关系式； (1)解：设 时，y与x之间的函数关系式是 ， 图象过 ，则 ，解得 ，所以 ， 当 时，y与x之间的函数关系式是 ， 图象过 ，则 ，解得 ， 综上，y与x之间的函数关系式是 ； 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)当x≥20时，体内抗体浓度不高于140微克/ml时是从注射药物第多少天开始？ (2)当 时， ，解得： ， 体内抗体浓度不高于140微克/ml是从注射药物第40天开始． 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 探究新知 返回 4. 已知杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为5 000 N和0.2 m，动力臂为4 m，则撬动这块大石头至少需要的动力是(　　) A．200 N B．250 N C．300 N D．350 N B 举一反三 某城市引入了智能交通管理系统，通过实时监控交通流量来优化信号灯的配时．假设某条主干道的交通流量Q(单位：辆/时)与车辆的平均速度v(单位：千米/时)之间的关系可以用反比例函数来描述．已知当车辆的平均速度为40千米/时时，交通流量Q为1 200辆/时．如果交通管理部门希望将交通流量控制在1 000辆/时以内，车辆的平均速度应至少达到________千米/时． 返回 5. 48 举一反三 一工程中，工程队工人每天需要挖掘20吨土，整个工程完毕恰好用了6天． (1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v(单位：吨/天)与回填天数t之间有怎样的函数关系？ 返回 6. 解：设总工作量为k吨，根据已知条件得k＝20×6＝120， ∴v关于t的函数解析式为v＝ 举一反三 (2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土？ 返回 举一反三 返回 7. [河北中考]节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500 kW·h电，若平均每天用电x kW·h，则能使用y天．下列说法错误的是(　　) A．若x＝5，则y＝100 B．若y＝125，则x＝4 C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍 C 举一反三 返回 8. 甲醛检测仪中的核心部件之一为检测电阻R，经过测量发现，检测电阻R的阻值与空气中甲醛浓度C之间的变化关系如下表所示： 则当甲醛浓度C＝0.8 mg/m3时，检测电阻R的值为________Ω. 25 C/(mg/m3) 0.1 0.2 0.4 0.6 … R/Ω 200 100 50 … 举一反三 返回 9. A，B两地相距400 km.汽车以x km/h的平均速度从A地到达B地需要y h. (1)①写出y与x的函数解析式； 举一反三 27 返回 ②如果汽车的平均速度不超过100 km/h，那么汽车从A地到B地至少需要多少时间？ 解：把x＝100代入y＝ (x>0)，得y＝4. ∵400>0，∴在每个象限内，y随x的增大而减小． ∵汽车的平均速度不超过100 km/h， ∴汽车从A地到B地至少需要4 h. 举一反三 28 返回 (2)若某车从A地驶往B地，先以a km/h的平均速度行驶80 km，余下路程的平均速度是原平均速度的1.6倍，两段路程共用4 h，求a的值． 解：易得余下路程的平均速度是1.6a km/h， 根据题意，得 经检验，a＝70是所列方程的解，且符合题意， ∴a的值为70. 举一反三 29 返回 10. 如图①，在仪器左边托盘A(固定)中放置一个物体，在右边托盘B(可左右移动)中放置一个装水的容器，容器的质量为5 g，在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡，改变托盘B与点C的距离x(cm)(0＜x≤60)，记录容器中加入的水的质量，如下表： 托盘B与点C的距离x/cm 30 25 20 15 10 容器与水的总质量y1/g 20 24 30 40 60 加入的水的质量y2/g 15 19 25 35 55 举一反三 30 返回 把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图②所示的y1关于x的函数图象． 解：如图． (1)请在图②中作出y2关于x的函数图象； 举一反三 返回 (2)观察函数图象，并结合表中的数据完成下面各题： ①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数解析式； 举一反三 返回 ②当0＜x≤60时，y1随x的增大而______(填“增大”或“减小”)，y2随x的增大而________(填“增大”或“减小”)，y2关于x的函数解析式为____________； 减小 减小 (3)若在容器中加入水的质量y2(g)满足20≤y2≤45，直接写出托盘B与点C的距离x(cm)的取值范围． 解：12≤x≤24. 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 实际问题中的 反比例函数 注意 分析实际情境→建立函数模型 →明确数学问题 步骤 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值 作实际问题中的函数图象时，横、纵坐标的单位长度不一定相同 课堂小结 谢谢观看 THANKS A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝300x . ，得25＝. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如下图所示．(其中AB，BC分别为线段，CD为双曲线的一部分) (1)开始上课后第5分钟时与第30分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ 解：设线段AB所在的直线的表达式为 y1＝k1x＋20(k1≠0)， 把B(10，40)的坐标代入得，k1＝2， ∴y1＝2x＋20(0≤x≤10)． 解：设线段AB所在的直线的表达式为y1＝k1x＋20(k1≠0)， 把B(10，40)的坐标代入得，k1＝2，∴y1＝2x＋20(0≤x≤10)． 设C，D所在双曲线的表达式为y2＝(k2≠0)， 把C(25，40)的坐标代入得，k2＝1 000， ∴y2＝(25≤x≤40)． 当x＝5时，y1＝2×5＋20＝30，当x＝30时，y2＝＝， ∴y1＜y2. ∴第30分钟时注意力更集中． (2)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 解：令y1＝36，∵36＝2x1＋20，∴x1＝8. 令y2＝36，∵36＝，∴x2＝≈27.8. ∴27.8－8＝19.8(分钟)>19(分钟)， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需 的状态下讲解完这道题目． . 解：∵v＝，∴t＝， ∵t≤4，∴≤4，解得v≥30. 答：平均每天至少要回填30吨土． 解：根据题意，得y＝(x>0)， ∴y与x的函数解析式为y＝(x>0)． ＋＝4，解得a＝70， 解：猜测y1是x的反比例函数． 设y1＝，将(10，60)代入，得60＝， 解得k＝600， 所以y1关于x的函数解析式为y1＝. y2＝－5 $