27.2 反比例函数的图象和性质（第2课时）2026-2027学年人教版数学九年级上册

第27章　反比例函数 27.2 反比例函数的图象和性质（第2课时） 利用双曲线解题 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 一组坐标能告诉我们什么 问题 反比例函数图象经过。不作完整图象，能先确定它经过哪些象限吗？点的横纵坐标异号给出了线索。 思路 先由求出比例系数，再由符号确定图象位置。把图象上的点转化为代数关系，是本课的主要工具。 -6 -4 -2 2 4 6 -6 -4 -2 2 4 6 x y O A 例题讲解 变式 若在上，求并判断两支的位置。 -6 -4 -2 2 4 6 -6 -4 -2 2 4 6 x y O A 答：，两支在第二、第四象限。 代入。 负系数说明异号。 同一反比例函数上的点共享同一个非零坐标乘积。 情境引入 本课要解决的三类问题 点与图象 已知一个点求解析式，或判断某个点是否在图象上，都可以检验坐标乘积是否为同一非零常数。 图与性质 已知一支的位置可推断另一支；已知横坐标大小时，先确认是否同号，再用所在分支的增减性质。 新知讲授 点在图象上的代数意义 等式条件 点在上，意味着且，等价于。点的两个坐标必须同时符合。 使用方法 可把坐标代入解析式，也可直接算乘积。后者适合分数坐标，但要仔细处理带分数和负号。 例题讲解 例 1 已知反比例函数的图象经过点。 （1） 这个函数的图象位于哪些象限？随增大怎样变化？ （2） 求函数解析式。 -6 -4 -2 2 4 6 -6 -4 -2 2 4 6 x y O A （1） 答：第二、第四象限；在每个象限内随增大而增大。 由。 根据负系数反比例函数性质判断。 把题目中的对应量与固定量分别确定，答案要同时满足等式和取值条件。 例题讲解 例 1 已知反比例函数的图象经过点。 （1） 这个函数的图象位于哪些象限？随增大怎样变化？ （2） 求函数解析式。 -6 -4 -2 2 4 6 -6 -4 -2 2 4 6 x y O A （2） 答：。 设，代入。 解得。 把题目中的对应量与固定量分别确定，答案要同时满足等式和取值条件。 例题讲解 例 1 已知反比例函数图象经过。判断、、是否在该图象上。 （1） 判断。 （2） 判断。 -4 -2 2 4 -8 -6 -4 -2 2 4 6 x y O A B C （1） 答：B、C在图象上。 两点坐标乘积分别为、。 同一反比例函数上的点共享同一个非零坐标乘积。 例题讲解 例 1 已知反比例函数图象经过。判断、、是否在该图象上。 （1） 判断。 （2） 判断。 -4 -2 2 4 -8 -6 -4 -2 2 4 6 x y O A B C （2） 答：D不在图象上。 。 同一反比例函数上的点共享同一个非零坐标乘积。 新知讲授 乘积检验比看位置更精确 位置只是必要条件 第二象限的点可能属于很多不同的反比例函数。例如在上，而不在。 判定必须计算 同象限不能保证同曲线。检验点时应计算，与已知系数比较；相等才说明该点位于这一函数的图象上。 例题讲解 变式 点在图象上，求。 -6 -4 -2 2 4 6 -6 -4 -2 2 4 6 x y O P 答：。 点在图象上，故。 解得，与第二象限正纵坐标相符。 同一反比例函数上的点共享同一个非零坐标乘积。 新知讲授 一支的位置决定另一支 两种可能 反比例函数只有第一、第三象限配对与第二、第四象限配对两种位置，不能任选两个象限。 判断路径 已知一支在第一象限，可知，另一支在第三象限；已知一支在第二象限，可知，另一支在第四象限。 例题讲解 例 2 图中曲线是反比例函数图象的一支。 （1） 图象另一支位于哪个象限？常数的范围是什么？ （2） 同一支上有，若，比较。 x y O （1） 答：第三象限；。 已知一支在第一象限，所以系数。 解得。 把图象位置或每支增减性质转成比例系数的严格不等式。 例题讲解 例 2 图中曲线是反比例函数图象的一支。 （1） 图象另一支位于哪个象限？常数的范围是什么？ （2） 同一支上有，若，比较。 x y O （2） 答：。 正系数在每支上随增大而减小。 注意题目限定在某一支上。 正系数每支递减；两点必须在同一支。 例题讲解 变式 若的一支在第二象限，另一支在哪个象限？求范围。 x y O 答：第四象限；。 第二象限给出。 解不等式并按第二、第四象限配对。 把图象位置或每支增减性质转成比例系数的严格不等式。 新知讲授 同支比较的两种方法 性质法 先判断的符号，再确认两个同号。若，较大的对应较小的；若，较大的对应较大的。 代入法 具体坐标已知时，可以分别求值再比较。例如中，对应，结果也为前者较大。 例题讲解 变式 点都在上，比较。 答：。 两点都在第三象限，且。 每支递减，故；计算得。 同支用增减，跨支先看函数值正负。 例题讲解 变式 点都在上，比较。 答：。 两点都在第二象限，负系数每支递增。 计算得。 同支用增减，跨支先看函数值正负。 新知讲授 异号时先看函数值符号 正系数 若，负横坐标对应负函数值，正横坐标对应正函数值。因此跨支比较时，正数一侧的函数值较大。 负系数 若，负横坐标对应正函数值，正横坐标对应负函数值。因此负数一侧的函数值较大。不能套用同支增减。 例题讲解 变式 在图象上，，比较。 答：。 ，先由符号确定大小。 计算作检验。 同支用增减，跨支先看函数值正负。 课堂练习 练习 1 已知一个反比例函数的图象经过。 （1） 图象位于哪些象限？每个象限内随增大怎样变化？ （2） 是否在图象上？为什么？ -6 -4 -2 2 4 6 -6 -4 -2 2 4 6 x y O A B C （1） 答：第一、第三象限；随增大而减小。 。 同一反比例函数上的点共享同一个非零坐标乘积。 课堂练习 练习 1 已知一个反比例函数的图象经过。 （1） 图象位于哪些象限？每个象限内随增大怎样变化？ （2） 是否在图象上？为什么？ -6 -4 -2 2 4 6 -6 -4 -2 2 4 6 x y O A B C （2） 答：B、C在；D不在。 乘积依次为，应与比较。 同一反比例函数上的点共享同一个非零坐标乘积。 课堂练习 练习 图象的一支在第二象限，另一支位于哪里？的范围是什么？ x y O 答：第四象限；。 第二象限中，故。 解得。 把图象位置或每支增减性质转成比例系数的严格不等式。 课堂练习 练习 已知在上，若且同号，比较并说明理由。 答：。 横坐标同号，保证两点在同一支上。 系数，每个象限内随增大而增大。 横坐标同号才可直接用每支增减性质；异号先看函数值正负。 课堂练习 练习 判断下列点是否在图象上：。 答：A、B、C在，D不在。 前三点的坐标乘积均为。 D的坐标乘积为，应排除。 同一反比例函数上的点共享同一个非零坐标乘积。 课堂练习 练习 点在上，排序。 答：。 A、B在第三象限，，故。 C在第一象限，。 同支用增减，跨支先看函数值正负。 课堂练习 练习 若在每个象限内随增大而增大，能否取？ 答：不能，应有。 反比例函数先要求。 递增性质对应负系数，所以必须严格小于零。 把图象位置或每支增减性质转成比例系数的严格不等式。 方法归纳 大小比较的分流 同号横坐标 ① 两点在同一支，可使用增减性质。 ② 先看符号，再将顺序转成顺序。 异号横坐标 ① 两点在不同支，先看的正负。 ② 需要时直接求函数值验证，避免跨支套性质。 例题讲解 变式 经过，求及时的。 答：；。 ，得。 解析式为，代。 由坐标乘积确定，再求与函数值。 例题讲解 变式 若的图象在第二、第四象限，求范围。 答：。 第二、第四象限要求。 解得，排除了使系数为零的边界。 把图象位置或每支增减性质转成比例系数的严格不等式。 例题讲解 变式 和在同一反比例函数上。与它们在同一曲线上吗？ 答：不在。 由A、B确定。 C的坐标乘积为，对应另一条双曲线。 检验同一反比例图象用坐标乘积，仅看象限不能确定。 新知讲授 把图象信息转成代数信息 读出的条件 象限转化为或；经过点转化为；同一支的横坐标顺序转化为函数值顺序。 规范表达 说明依据时写出中间关系，例如，而不是只给。这样可以检查符号、参数和图象是否一致。 例题讲解 变式 举出上两点，使但。 答：例如与。 两点分别位于第三、第一象限。 它们满足要求，说明增减性质不能跨支使用。 把题目中的对应量与固定量分别确定，答案要同时满足等式和取值条件。 新知讲授 检验清单：每步有依据 求系数 计算后，用已知点代回检查。若坐标含带分数，先化为假分数，避免误乘整数部分。 读性质 先明确函数非退化，再看象限与分支。比较函数值之前，检查横坐标是否同号，不应把“每支”省略。 课堂总结 利用双曲线解题 经过点 求式 判点 坐标乘积是否等于 读图 象限→系数符号→参数范围 比较 同支用增减；跨支看正负 针对训练 训练 哪个点在上？A.；B.；C.；D.。 答：B。 B的坐标乘积为。 其余点的乘积分别为。 比较坐标乘积，避免凭象限猜。 针对训练 训练 经过，则____。 答：。 。 符号与第二象限相符。 经过一点就是一个代入条件。 针对训练 辨析 判断正误，并说明理由。 （1） 中，必有。 错误 跨支时不一定成立。 （2） 上同一支的增大，也增大。 正确 负系数每支递增。 （3） 同象限内所有点都在同一双曲线上。 错误 还需坐标乘积相等。 同支用增减，判点用乘积，不能只看象限。 针对训练 训练 反比例函数经过。判断是否在图象上。 答：；在。 由求式。 ，满足。 先确定唯一系数，再检验新点。 针对训练 训练 A、B、C在上，排序。 答：。 。 或同支比较A、B，再利用C的正号。 同支用增减，跨支先看函数值正负。 针对训练 训练 在第二、第四象限，求范围。 答：。 要求。 移项解得。 系数中的负号要完整保留。 针对训练 训练 在每个象限内随增大而减小，求范围。 答：。 递减性质对应。 解得。 严格不等式排除系数为零。 针对训练 训练 与在同一反比例函数上，求及解析式。 答：；。 由B得。 由A得，解。 不同点共享同一个坐标乘积。 针对训练 训练 汽车走完固定路程， h时平均速度为 km/h。写速度关于的式子，并求 h对应速度。 答：，； km/h。 固定路程为 km。 代，得。 图象上的数对也可来自实际测量条件。 针对训练 训练 同种材料制成面积为 m²、厚度为 mm的薄板。保持体积不变，面积增为 m²时厚度多少？ 答： mm。 同一体积下，面积×厚度固定。 用相同单位得，解。 统一相乘量的单位，比较同一体积。 方法归纳 解题方法总结 由条件确定函数 ① 经过一点列，求式后代回检验。 ② 象限或增减条件转化为系数的严格不等式。 比较函数值 ① 先判断横坐标同号还是异号。 ② 同号用每支性质；异号先由符号排序。 $