27.3 实际问题与反比例函数（第3课时） 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第27章　反比例函数 27.3 实际问题与反比例函数（第3课时） 由数据建立近似模型 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 现实数据会完全落在曲线上吗 问题 过去求解析式时，题目常直接说明函数类型，且数对精确满足等式。真实实验数据带有测量和记录误差，未必能由同一等式精确覆盖。 任务 本课从数据出发选择模型、估计系数，再检查模型与数据是否基本吻合。得到的是近似描述，不能把拟合结果说成精确规律。 情境引入 探究 某物理实验小组研究温度不变时气体压强（kPa）与体积（mL）的关系，得到表中组数据。是否存在一定的函数关系？若存在，建立函数模型，并估计压强 kPa时的体积（结果保留小数点后两位）。 先描述数据的总体变化。 序号 1 2 3 4 5 6 体积V/mL 20 18 16 14 12 10 压强p/kPa 100 112 123 145 163 201 答：体积减小时，压强总体增大。 一增一减只是线索，仍须检查乘积。 检查形状与乘积，不能只看增减。 情境引入 一增一减不等于反比例 容易混淆 也会在一定范围内随增大而减小，但它不是反比例函数。因此变化方向只是选模型的线索。 进一步证据 可以看散点图是否形似双曲线的一支，也可以检查各组是否接近同一个非零常数，综合判断模型是否合适。 新知讲授 第一步：画散点图 操作 以体积为横坐标、压强为纵坐标，依次描出六个点。坐标轴单位和刻度应与数据大小匹配。 观察 这些点分布在一条下降曲线附近，形状近似双曲线的一支，因此可以尝试用描述它们。 例题讲解 探究 温度不变时，某实验小组得到表中气体压强（kPa）与体积（mL）的6组数据。建立函数模型，估计 kPa时的体积（保留两位小数）。 （1） 计算前组对应的。 （2） 计算后组对应的。 序号 1 2 3 4 5 6 体积V/mL 20 18 16 14 12 10 压强p/kPa 100 112 123 145 163 201 （1） 答：。 分别计算、、。 按同组数相乘，保留每组结果。 例题讲解 探究 温度不变时，某实验小组得到表中气体压强（kPa）与体积（mL）的6组数据。建立函数模型，估计 kPa时的体积（保留两位小数）。 （1） 计算前组对应的。 （2） 计算后组对应的。 序号 1 2 3 4 5 6 体积V/mL 20 18 16 14 12 10 压强p/kPa 100 112 123 145 163 201 （2） 答：。 分别计算、、。 按同组数相乘，保留每组结果。 新知讲授 乘积相近意味着什么 观察结果 六个乘积并不完全相等，但都在附近。这支持尝试反比例模型，却不能声称每个实验点精确满足同一反比例函数。 选择策略 课本用六个乘积的平均值作为的估计，让模型兼顾全部数据，避免只根据某一组测量值确定常数。 例题讲解 探究 六个乘积为。按课本方法估计。 V/mL 20 18 16 14 12 10 p/kPa 100 112 123 145 163 201 pV 2000 2016 1968 2030 1956 2010 答：。 先求和，再除以数据组数。 按课本取整后的系数建立。 先求六个乘积的和，再除以6；取近似系数时写近似号。 新知讲授 近似号应怎样用 系数的精度 六组乘积的平均数为，教材取近似值。不能把有限位小数写成精确等式。 模型的表述 可表述为“建立近似模型”。等式定义所选模型本身，但模型与实测气体关系仍是近似吻合。 例题讲解 示例 利用近似模型，估计 mL与 mL时的压强，与原表比较。 （1） mL。 （2） mL。 （1） 答：模型值 kPa，原记录 kPa。 计算。 偏差为 kPa。 （2） 答：模型值 kPa，原记录 kPa。 计算。 偏差为 kPa。 分别计算模型值减记录值，偏差的正负表示高估或低估。 新知讲授 检验模型的两条路线 数值检验 将表中的逐个代入模型，比较模型值与记录值。要看整体是否接近，不能只挑一个误差很小的点。 图形检验 将函数曲线和散点图放在同一坐标系内，看曲线是否接近各点。图形接近应与计算结果一致，不能凭视觉遮住异常点。 例题讲解 探究 某物理实验小组研究温度不变时气体压强（kPa）与体积（mL）的关系，得到表中组数据。是否存在一定的函数关系？若存在，建立函数模型，并估计压强 kPa时的体积（结果保留小数点后两位）。 用求时的。 序号 1 2 3 4 5 6 体积V/mL 20 18 16 14 12 10 压强p/kPa 100 112 123 145 163 201 答： mL。 代入后解出体积。 最后一步按题意保留两位小数。 新知讲授 数据范围内估计更有依据 本题情况 所求压强 kPa位于记录范围至 kPa之间，对应体积也落在至 mL之间。 边界意识 若要估计远离记录范围的数值，就需要额外证据检验模型是否仍适用。数学式可计算，不等于现实关系一定延续。 课堂练习 练习（1） 有些数对只能近似满足（），即实验点未完全落在该函数图象上。这种建模方式与以往所学有什么不同？ 答：以往常在已知函数类型和精确条件下求式；本次先由实验数据选择模型并估计系数。 实验数对不要求精确满足同一等式。 需要检验误差与适用范围，结论应保留近似含义。 用全部记录检查近似模型，预测结论要保留实验条件与数据范围。 课堂练习 练习（2） 结合气体压强探究及解题过程，归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤。 答：收集数据→观察与选型→确定模型→检验模型→求解与解释。 先用数据和图象选择合适的函数类型。 再估计参数、检查吻合程度，最后结合实际解释和修正。 用全部记录检查近似模型，预测结论要保留实验条件与数据范围。 新知讲授 不能省略的控制条件 温度条件 本次数据来自温度不变的情境。若温度或气体质量改变，不能直接沿用同一系数。 来源条件 应记录压强、体积的单位和测量方式。把mL改成L后，数值系数也随单位改变，不能只改轴标签而保持原数值。 课堂练习 练习 有人只取第一组数据，建立。它一定比错误吗？ 答：不能这样断言；两者都是候选近似模型，应比较整体吻合情况。 来自一组乘积，来自六组乘积平均。 本课采用教材平均法，但不据此声称它是所有意义下唯一最优模型。 用全部记录检查近似模型，预测结论要保留实验条件与数据范围。 课堂练习 练习 若一组记录明显远离其余点，能否直接删去它以使图象更漂亮？ 答：不能，应先检查测量、单位、抄录或实验条件。 离群点可能是错误，也可能反映模型失效。 应有依据地说明保留、复测或修正的决定。 用全部记录检查近似模型，预测结论要保留实验条件与数据范围。 课堂练习 练习 在中算得，完整答案应怎样写？ 答：在所选近似模型下，体积约为 mL。 保留近似含义与体积单位。 不能写成精确体积，亦不能随意换成L而不换数值。 实验估计须保留“约”和体积单位，不能写成精确测量结果。 课堂练习 辨析 判断正误，并说明理由。 （1） 六组乘积不完全相等，所以绝不能用反比例模型。 错误 近似模型允许存在有解释的偏差。 （2） 拟合曲线靠近散点就证明所有条件下模型成立。 错误 结论受数据范围与实验条件限制。 （3） 建立模型后仍须代入或画图检验。 正确 参数求出只是建模过程的一环。 用全部记录检查近似模型，预测结论要保留实验条件与数据范围。 方法归纳 模型选择与模型检验 模型选择 ① 观察散点形状并检查乘积是否近似恒定。 ② 由机制或实验条件判断反比例关系是否合理。 模型检验 ① 比较全部记录与模型预测。 ② 说明近似性和适用范围，必要时回到实验修正。 例题讲解 变式 模拟数据为。说明更适合哪类模型。 答：。 乘积均为。 差值随变化，不适合用固定下降量解释。 用全部记录检查近似模型，预测结论要保留实验条件与数据范围。 例题讲解 变式 一份模拟记录为，用乘积平均法估计。 答：。 先求每组，不能先平均后再相乘。 得到候选近似式。 逐组求乘积后再平均，先平均变量再相乘会改变估计规则。 例题讲解 变式 模拟记录为，能否用平均乘平均替代乘积的平均数？ 答：不能保证相等，也不是本课采用的方法。 乘积平均是。 先平均再相乘改变了运算顺序和估计规则。 逐组求乘积后再平均，先平均变量再相乘会改变估计规则。 例题讲解 变式 模型在 mL时预测多少？与 kPa相差多少？ 答：预测 kPa，高 kPa。 计算。 再减去记录值。 用全部记录检查近似模型，预测结论要保留实验条件与数据范围。 例题讲解 变式 若体积从mL改为L，原模型应怎样改写？ 答：。 。 代入得。 体积数值除以1000换成升，系数也随之除以1000。 例题讲解 变式 能否仅凭至 mL的记录断言 mL时模型仍准确？ 答：不能，应在新范围补充数据并检验。 远离已有观测范围属于外推。 数学上能代入，不等于现实中已经验证。 远离已有数据范围属于外推，须补充新范围的证据。 例题讲解 变式 原气体被加热后能否直接沿用系数预测压强？ 答：不能直接沿用。 原模型建立在温度不变条件下。 应重新测量或根据可靠物理关系确定新模型。 温度不变是原模型的条件；加热后须重新检验系数。 例题讲解 变式 用本课模型估计 kPa时体积，大致应落在哪里？ 答： mL，在与 mL之间。 。 原表与 kPa对应与 mL，方向吻合。 用全部记录检查近似模型，预测结论要保留实验条件与数据范围。 例题讲解 变式 把“已证明任何气体均满足”改成与证据匹配的表述。 答：在本次温度不变的实验范围内，近似模型与所给数据基本吻合。 限定本次实验对象和条件。 不把有限数据推广为任何气体、任何范围的结论。 用全部记录检查近似模型，预测结论要保留实验条件与数据范围。 课堂总结 由数据建立近似模型 观察 收集数据、散点图 选型 双曲线形状、乘积相近 定式 平均乘积估计 检验 全组比较、适用条件 应用 预测后解释近似性 针对训练 训练 判断两个量近似成反比例，除散点形状外，应检查哪个量？ 答：各组对应值的乘积。 等价于。 乘积相近是选择模型的线索。 变化方向不是唯一判据。 针对训练 训练 模拟数对的乘积均为____。 答：。 逐组相乘均为。 候选模型。 先写每组乘积再判断。 针对训练 训练 由近似模型算出的实验预测可以直接称为精确测量值吗？ 答：不可以。 预测来自所选数学模型。 应保留近似表述，并与测量区分。 模型值与观测值是不同证据。 针对训练 训练 模拟记录的乘积为，估计。 答：。 总和为。 除以组数得到。 平均的是乘积，不是各变量分开平均。 针对训练 训练 近似模型，当时预测多少？ 答：。 直接代入。 预测值应带上原问题因变量单位。 预测时仍遵守自变量范围。 针对训练 训练 近似模型，当时估计。 答：。 由。 解得，单位由题目约定。 反求时使用同一个模型系数。 针对训练 训练 模型在某点预测，记录值为。模型值比记录值低多少？ 答：低。 用记录值减预测值。 偏差存在并不自动否定近似模型。 先说明谁减谁，保留方向含义。 针对训练 训练 模拟记录显示低速时乘积相近，高速时明显增大，还应直接用同一反比例式覆盖全范围吗？ 答：不应直接覆盖；需检查条件变化并分范围检验。 乘积变化提示固定量假设可能失效。 可追加数据、修正模型或限定使用范围。 模型应服从数据和机制。 针对训练 训练 一次模拟分装记录为每袋 kg装袋、每袋 kg装袋、每袋 kg装袋。建立袋数与每袋质量模型。 答：；实际为正整数。 三组乘积均为 kg。 固定总质量解释了反比例关系。 用物理总量说明模型，而不只看数字。 针对训练 训练 在温度和气体质量不变的实验范围内，近似模型，求 kPa时体积并说明结论性质。 答：体积约为 mL，是模型估计值。 由。 条件和单位均沿用建模情境，不能称为精确测量。 答案同时交代数值、单位和近似含义。 方法归纳 解题方法总结 数据到模型 ① 观察图形同时检查乘积，不能仅凭一增一减。 ② 按所用方法估计参数，并写明单位与条件。 模型到结论 ① 用全部数据检验吻合情况。 ② 给出预测时说明近似性，避免未经验证的外推。 $