27.3 实际问题与反比例函数（第2课时）2026-2027学年人教版数学九年级上册

第27章　反比例函数 27.3 实际问题与反比例函数（第2课时） 从实际图象读取范围 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 图象还会提供哪些信息 情境 文字可能只说明两个量成反比例，具体定值藏在图象上的一个点里。读出点的横、纵坐标，便能确定乘积。 新任务 本课不只求解析式，还把实际允许的速度、时间、功率等范围相互转译。坐标轴的变量名与单位必须先读清。 例题讲解 变式 某图横轴是力、纵轴是位移。点分别表示什么？ 答：力为 N时，沿力方向位移为 m。 按横轴、纵轴的顺序解释坐标。 与相乘给功 J。 同一反比例函数上的点共享同一个非零坐标乘积。 情境引入 同一双曲线的现实含义 数学结构 在范围内递减，但不能脱离“功固定”这一前提。它不表示任何情况下力越大位移都越小。 图象限制 实际力和位移均为正，只考虑第一象限中符合实验条件的部分。负数分支属于数学表达，但不适用于这一情境。 新知讲授 提取乘积的顺序 先读点 看清横纵轴分别表示什么，再读出已知点的两坐标。图上的虚线只用于辅助读数，不是新的函数图象。 后建式 将读出的坐标相乘确定固定量，再按题目要求把因变量写在左边。若交换自变量，解析式也要相应改写。 例题讲解 例 3 在力（N）的作用下，物体在力的方向上发生位移（m），力所做功（J）满足。当为定值，图象经过。 （1） 当 N时，求功。 （2） 写出关于的函数解析式。 （3） 同功下位移小于 m，求范围。 （1） 答： J。 由图象得，所以。 （2） 答：，。 固定功，即。 正数分支递减，求范围时保留端点。 例题讲解 例 3 在力（N）的作用下，物体在力的方向上发生位移（m），力所做功（J）满足。当为定值，图象经过。 （1） 当 N时，求功。 （2） 写出关于的函数解析式。 （3） 同功下位移小于 m，求范围。 （3） 答： N。 边界得，位移更小则力更大。 先求临界等值，再用正数分支递减性质确定范围与端点。 新知讲授 严格边界与非严格边界 “小于” 题目要求，临界只用于寻找边界，最终不能等于。因此答案为。 “不超过” 若改为，则边界可取，得到。中文条件中一个词的变化，会影响答案是否包含端点。 例题讲解 变式 固定功为 J。若力 N，位移是多少？若位移 m，力是多少？ 答：位移 m；力 N。 由得。 由得，两问是同一数对。 固定功下用乘积Fs=500，已知其中一量即可反求另一量。 例题讲解 例 4 一辆客车从甲地到乙地，平均速度（km/h）与全程用时（h）的函数关系如图，图象经过，其中。 （1） 写出关于的函数解析式，并求的范围。 （2） 客车上午时出发，需在当天时分至时之间到达，求的范围。 （1） 答：；。 总路程为 km。 速度两端分别对应时间。 先把时间差化成统一单位，再用正数分支递减关系转译端点。 例题讲解 例 4 一辆客车从甲地到乙地，平均速度（km/h）与全程用时（h）的函数关系如图，图象经过，其中。 （1） 写出关于的函数解析式，并求的范围。 （2） 客车上午时出发，需在当天时分至时之间到达，求的范围。 （2） 答： km/h。 到达时间对应全程用时 h。 边界速度为、。 先把时间差化成统一单位，再用正数分支递减关系转译端点。 新知讲授 钟表时刻不等于行驶用时 时间差 上午时出发，到时分的用时为时分，即 h。不能写成 h。 两个端点 到时对应 h。应先求允许用时区间，再通过将时间的上下端互换为速度的下上端。 新知讲授 范围转译要保留实际限制 已知限制 例4原速度限制为。由到达时间另求得，后者恰好包含在原允许范围内。 取交集 若额外条件给出的范围超出设备或道路允许范围，最终应取交集。有些条件会使交集为空，意味着任务无法完成。 例题讲解 变式 全程 km，上午时出发，若要在时至时分到达，平均速度范围是什么？ 答： km/h。 全程用时 h。 边界速度为与，方向因反比例递减而互换。 先把时间差化成统一单位，再用正数分支递减关系转译端点。 例题讲解 变式 某路程 km，只允许 km/h，允许全程用时范围？ 答： h。 时，时。 速度范围对应第一象限上的一段曲线。 速度上限对应时间下限，速度下限对应时间上限。 课堂练习 练习 1 近视眼镜镜片度数（度）是焦距（m）的反比例函数，图象经过。 （1） 求关于的函数解析式。 （2） 镜片为度，求其焦距。 （1） 答：，。 由。 度数与焦距乘积固定，读图时按轴标签确认对应坐标。 课堂练习 练习 1 近视眼镜镜片度数（度）是焦距（m）的反比例函数，图象经过。 （1） 求关于的函数解析式。 （2） 镜片为度，求其焦距。 （2） 答： m。 由得。 度数与焦距乘积固定，读图时按轴标签确认对应坐标。 新知讲授 用电器功率与电阻 物理关系 题给。电压 V固定时，为常数，功率与电阻成反比例。 单位与范围 电阻以Ω计，功率以W计。电阻增大时功率减小；计算端点时要用，不能误用。 课堂练习 练习 2 某用电器内置可变电阻，范围为至 Ω，电压 V。已知。 （1） 功率与电阻有怎样的函数关系？ （2） 这个用电器功率的范围是多少？ （1） 答：，。 固定电压的平方为。 （2） 答： W。 电阻 Ω时功率 W。 电阻 Ω时功率 W，正数分支递减。 固定电压时先求，再把电阻限制反向转成功率限制。 课堂练习 练习 某同学由写为，错在哪里？ 答：把平方误作乘以；应为。 。 在时检验，正确功率为 W。 固定电压时先求，再把电阻限制反向转成功率限制。 课堂练习 练习 在中，焦距从 m增至 m，度数怎样变？ 答：从度减至度。 分别代入两个正数焦距。 焦距加倍，度数减半。 焦距加倍，度数取倒数倍，降为原来的一半。 课堂练习 练习 中，要求位移不小于 m，力取值范围？ 答： N。 边界对应。 不小于包含边界，且力必须为正。 先求临界等值，再用正数分支递减性质确定范围与端点。 课堂练习 练习 全程 km，平均速度受限为至 km/h。能否在 h内完成？ 答：不能。 所需平均速度至少 km/h。 超出 km/h上限。 先求临界等值，再用正数分支递减性质确定范围与端点。 方法归纳 从图象提取信息 提取数值 ① 先确认轴变量和单位，再读已知点。 ② 用坐标乘积求，把实际范围一并写出。 转译范围 ① 先求临界值，再用正数分支递减判断方向。 ② 检查端点包含性，并与原限制取交集。 例题讲解 变式 做功 J，若力不超过 N，位移至少多少米？ 答：至少 m。 。 时，较小力对应较大位移。 先求临界等值，再用正数分支递减性质确定范围与端点。 例题讲解 变式 路程 km，用时 min，平均速度 km/h。写出关于的式子。 答：，。 将时间换为 h。 速度。 分钟先除以60化成小时，再用路程除以用时。 例题讲解 变式 电压 V固定，电阻从 Ω减为 Ω，功率增加多少？ 答：增加 W。 原功率 W。 新功率 W。 固定电压时先求，再把电阻限制反向转成功率限制。 例题讲解 变式 镜片度数，若要求，焦距范围？ 答： m。 边界由、得到。 焦距与度数的端点顺序互换。 先求两端焦距，再按从小到大排列；端点可以取得。 例题讲解 变式 相同功 J，方案甲用力 N，方案乙位移 m。哪种方案的力更大？ 答：乙的力更大，为 N。 乙的力为 N。 与甲 N比较即可。 先用固定功除以乙的位移求乙的力，再与甲比较。 例题讲解 变式 路程 km，需至 h完成，且限平均速度不超过 km/h，可行速度范围？ 答： km/h。 时间要求给。 与取交集。 先求临界等值，再用正数分支递减性质确定范围与端点。 例题讲解 变式 功率中，若计算得到，应怎样写最终答案？ 答：电阻为 Ω；还需核对是否在给定允许范围内。 变量表示电阻，不能只写无单位的。 把数值代回原条件并检查范围。 固定电压时先求，再把电阻限制反向转成功率限制。 课堂总结 从实际图象读取范围 读图 变量、单位、已知点 定式 乘积确定 求范围 临界值＋正支递减 检验 时间换算、端点、交集 针对训练 训练 横轴为时间、纵轴为速度，图上点表示什么？ 答：全程用时 h时，平均速度为 km/h。 按横轴后纵轴解释。 该点给出总路程 km。 坐标含义由轴标签决定。 针对训练 训练 N时位移 m，功固定，则____。 答：，。 J。 由变形。 点的乘积给模型常数。 针对训练 训练 时分等于 h，这个换算对吗？ 答：错误，应为 h。 分为 h。 钟表时间按进制换算。 分钟换小时必须除以60。 针对训练 训练 固定功 J，位移要小于 m，力范围？ 答： N。 边界力 N。 “小于”对应严格大于，不取端点。 临界值与最终不等式分清。 针对训练 训练 全程 km，上午时出发，时至时到达，平均速度范围？ 答： km/h。 用时为至 h。 计算边界速度与。 先求用时区间，再反向写速度端点。 针对训练 训练 ， Ω，求功率范围。 答： W。 两端分别给与。 正数范围内电阻越大，功率越小。 值域端点的顺序与电阻反向。 针对训练 训练 镜片度数与焦距成反比例，焦距 m对应度，求度时的焦距。 答： m。 乘积为。 焦距。 先确定共同非零乘积。 针对训练 训练 完成 J功，位移至多 m，而可用力最多 N，是否能满足？ 答：不能。 位移要求给 N。 与冲突。 可行性来自所有范围的交集。 针对训练 训练 配送路程 km，上午时出发，应在时分至时到达，平均速度允许范围？ 答： km/h。 用时为至 h。 ，。 把到达时刻变为从出发开始的时间差。 针对训练 训练 某设备，允许电阻至 Ω，要求功率不低于 W，可行电阻范围？ 答： Ω。 功率下限给。 与原电阻范围取交集。 性能要求与设备限制必须同时满足。 方法归纳 解题方法总结 读点建式 ① 先读坐标轴，再读点，乘积对应实际定量。 ② 把题给范围与解析式一起保留。 区间转译 ① 换算钟表用时后再代入。 ② 反比例正支端点反向，最后检查严格性与可行范围。 $