25.3 实际问题与一元二次方程（第3课时）课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一元二次方程”，通过回顾单循环比赛问题导入，从已知量、未知量分析到数量关系归纳，结合举例（如3人、4人比赛）搭建学习支架，引导学生从旧知过渡到双循环赛制等新情境。 其特色在于以问题链驱动探究，通过双循环比赛场次判断、多边形对角线计算等实例，培养学生用数学眼光抽象数量关系、用数学思维推理解的合理性、用数学语言表达模型的核心素养。采用从特殊到一般的归纳法，学生能提升建模能力，教师可借助结构化问题设计提高教学效率。

第二十五章　一元二次方程 25.3　实际问题与一元二次方程（第 3 课时） 　　问题 1　回顾第一节问题 2“要组织一场排球邀请赛，赛制为单循 环形式（每两支球队之间比赛 1 场）．根据场地和时间等条件，赛程计 划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？” 　　通过“设应邀请 x 支球队参赛”，设应邀请 x 支球队参赛，根据 “每两支球队之间比赛 1 场”，列得方程 x2－x－56＝0． 　　解方程，得 x1＝8，x2＝－7（不合题意，舍去）． 　　因此，比赛组织者应邀请 8 支球队参赛． 新课导入 　　追问 1　问题中的已知量、未知量和数量关系各是什么？ 　　已知量：总场数是 4×7＝28； 　　未知量：参加比赛的球队支数，设为 x 支； 　　数量关系：每两支球队之间比赛 1 场，球队数量与总场次之间的关系可以用图表 进行分析，也可以举例说明． 　　如一小组 3 个人，每个人要比赛一次，则每个人都要和其他 2 人比一次，共比赛 3×(3－1)次，而两个人之间只需要比 1 次，排除重复了的情况后比赛总数为 ×3× (3－1)． 新课导入 1 2 　　追问 1　问题中的已知量、未知量和数量关系各是什么？ 　　已知量：总场数是 4×7＝28； 　　未知量：参加比赛的球队支数，设为 x 支； 　　数量关系：每两支球队之间比赛 1 场，球队数量与总场次之间的关系可以用图表 进行分析，也可以举例说明． 　　如一小组 4 个人，每个人要比赛一次，则每个人都要和其他 3 人比一次，共比赛 4×(4－1)次，而两个人之间只需要比 1 次，排除重复了的情况后比赛总数为 ×4× (4－1)． 　　归纳可知 x 支球队共需要比赛 x(x－1)次． 　　可列方程： x(x－1)＝28，化简得 x2－x－56＝0． 新课导入 1 2 1 2 1 2 　　追问 2　为什么结果中“x2＝－7” 要舍去？在检验方程的解时我们 还要注意什么？为什么？ 　　参加比赛的球队数量应该为正整数，“x2＝－7”不符合问题的实际 意义． 　　在检验方程的解时，需要结合实际背景对方程的解进行取舍．因为 数学问题的解与实际问题的解，有时不完全一致，检验数学模型的解是 否符合实际是建模过程中重要的一个过程． 新课导入 　　追问 3　生活中的体育比赛的赛制都是一样的吗？你还了解到哪些 赛制？规则是什么？ 　　生活中的体育比赛的赛制不都是一样的，如赛会制的比赛常采用单 循环比赛，而主客场制的比赛是双循环比赛．单循环比赛是指所有参赛 球队彼此间进行一场比赛，双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两 场比赛． 新课导入 新知探究 　　问题 2　若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场 数正好是 300．他算得对吗？为什么？ 　　追问 1　要解决什么问题？你能用数学语言表述上述问题吗？ 　　需要把问题转化为数学问题：判断整数支球队进行双循环比赛对应 的总场次是否可能是 300 场． 新知探究 　　追问 2　问题中的已知量、未知量和数量关系各是什么？与之前问 题中数量关系有何不同？ 　　已知量：总场数是 300； 　　未知量：参加比赛的球队支数，设为 n 支； 　　数量关系：进行主客场双循环比赛，当甲，乙两队进行比赛时，需 要区分甲队为主场还是乙队为主场，所以“甲主乙客”与“甲客乙主” 是两场比赛． 新知探究 　　追问 2　问题中的已知量、未知量和数量关系各是什么？与之前问 题中数量关系有何不同？ 　　可以用树状图表示如下， 　　假设有 n 支球队，每一支球队需要跟剩下的(n－1)支球队都打一场 比赛，所以全部比赛共 n(n－1)场． 第 2 支 第 3 支 … 第 n 支 第 1 支 （n－1）场 第 1 支 第 3 支 … 第 n 支 第 2 支 （n－1）场 第 1 支 第 2 支 … 第(n－1)支 第 n 支 （n－1）场 … … 有 n 个（n－1）场 新知探究 　　问题 2　若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好 是 300．他算得对吗？为什么？ 　　追问 3　你能列出方程，并利用方程的解判断“算出总场数 300”对吗？ 　　 假设这个人算得对，即 n 支球队进行主客场双循环比赛的总场数为 300， 那么 n(n－1)＝300． 　　解方程，得 n＝　　　　　． 　　由于 1 201 不是完全平方数， 所以 n 不可能为整数． 　　因此，总场数不可能为 300，这个人算得不对． 总场数为 n(n－1)，也就是总场数为两个连续 正整数的乘积，两个连续正整数的乘积在 300 附近的是 16×17＝272，17×18=306，而 272 与 306 之间没有其他两个连续正整数的乘积， 所以总场数不可能是 300． 1 201 2 1± 新知探究 　　追问 4　如果联赛改为单循环赛（每两队只赛一场），那么总场次会为 300 场吗？你能解释为什么吗？总场次的取值有什么规律吗？　　 　　假设有 n 支球队，单循环比赛即参赛的每两队之间只进行一场比赛，因为 甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 n (n－1) 场．可列方程为 n(n－1)＝300． 　　解方程，得 n＝ ． 　　由于 2 401 不是完全平方数，所以 n 不可能为整数． 　　因此，单循环赛时总场数也不可能为 300． 当比赛为双循环赛或单循环赛时， 比赛的总场次应该是两个相邻正 整数的积或是积的一半． 1 2 1 2 2 401 2 1± 课堂练习 　　1. n 个人参加聚会，每两人都握手 1 次，所有人共握手 10 次，共有多少人？ 　　已知量：总次数是 10； 　　未知量：n 个人参加聚会； 　　 数量关系：每两个人之间只需要握一次手，可以类比单循环赛问题， 　　解：n 个人参加聚会，每两人都握手 1 次，故所有人共握手 n(n－1)次， 　　可列方程为 n(n－1)＝10． 　　解方程，得 n1＝5，n2＝－4（不合题意，舍去）． 　　所以有 5 人参加聚会． 1 2 1 2 课堂练习 　　2. 一个凸多边形共有 20 条对角线，它是几边形？你能找出多边形对 角线数量的规律吗？ 　　已知量：凸多边形的对角线有 20 条； 　　未知量：凸多边形的边数，可设为 n； 　　 数量关系：凸多边形的边数 n 与对角线条数之间的关系． 凸多边形 四边形 五边形 六边形 …… n 边形 图 顶点 　　 　　 边数 对角线 课堂练习 　　分析 1：可以利用表格，采用从特殊到一般的方式进行归纳：　 A1 A4 A3 A2 A1 A4 A3 A2 A5 A4 A3 A2 A1 A6 A5 4 5 6 …… 每个顶点与不相邻顶 点都可以连成一条对 角线，所以 n 边形的 每一个顶点与不相邻 的(n－3)个顶点都可 以连接形成对角线， 又因为每两个不相邻 的顶点连接只算一条 对角线，所以 n 边形 的对角线条数为 …… n 4 5 6 …… n 2 5 9 …… n(n－3) 1 2 n(n－3)． 1 2 课堂练习 　　 解：设凸多边形的边数为 n，则对角线条数为 n(n－3). 　　列方程，得 n(n－3)＝20． 　　解方程，得 n1＝8，n2＝－5（不合题意，舍去）． 　　所以这个凸多边形是个八边形． 1 2 1 2 课堂练习 　　分析 2：计算对角线时也可以先考虑所有两点间的连线，再减去边的数量 即可．如下图： 　　由于每两个点只能确定一条线段，还需要排除重复的情况，这样就把问题 简化为所有的边和对角线的数量的总和为 ，可以求出 n 边形的对角线 条数为　 　　　－n＝　　　 ，再列方程即可求出这个凸多边形是个八边形． n(n－1) 2 n(n－1) 2 n2－3n 2 A2 A3 … An A1 （n－1）条 … … n 个（n－1） A1 A3 … An A2 （n－1）条 A1 A2 … An－1 An （n－1）条 课堂练习 课堂练习 　　追问　是否存在有 18 条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？ 如果不存在，请说明理由． 　　解：设凸多边形的边数为 n，则对角线条数为 n(n－3)． 　　列方程，得 n(n－3)＝18． 　　解方程，得 n＝ ． 　　由于 153 不是完全平方数，所以 n 不可能为整数． 　　因此，不存在有 18 条对角线的多边形． 1 2 1 2 153 2 3± 课堂小结 　　回顾用一元二次方程解决实际问题的基本过程，请思考并回答下面 的问题： 　　（1）本节课学习了哪些主要内容？ 　　（2）用一元二次方程解决实际问题的基本步骤有哪些？ 　　（3）解决问题的过程中有哪些需要注意的问题？ 　　（4）运用一元二次方程还能解决什么问题？ 巩固应用 　　元旦将至，九年级某班全体学生互赠贺卡，那么赠送贺卡的总数可 以是 2 255 张吗？为什么？ 　　解：设这个班级全体学生人数为 n，同学之间互赠贺卡，即每名同 学需要向除自己以外的其他同学各赠送 1 张贺卡． 　　列方程，得 n(n－1)＝2 255． 　　解方程，得 n＝ ． 　　由于 9 021 不是完全平方数，所以 n 不可能为正整数． 　　因此，赠送贺卡的总数不可能是 2 255 张． 9 021 2 1± 教科书习题 25.3 第 3 题、复习题 25 第 9 题． 课后任务 $