第25章数学活动（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学九年级上册教学课件 第二十五章　一元二次方程 25.数学活动 2026年10月4日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # 第二十五章 一元二次方程 数学活动（人教版九上） ## 活动1：用火柴棒搭正方形，探究数列与一元二次方程 ### 问题 用火柴棒搭正方形： 搭1个正方形，需要4根； 搭2个相连正方形，需要7根； 搭3个相连正方形，需要10根； 规律：搭\(n\)个相连正方形，火柴棒根数 \(\boldsymbol{3n+1}\)。 #### 探究问题 (1) 如果有70根火柴棒，能否搭出23个相连正方形？ 解：当\(n=23\)，\(3\times23+1=70\)，刚好可以。 (2) 现有121根火柴棒，能搭多少个相连正方形？ \[ \begin{align*} 3n+1&=121\\ 3n&=120\\ n&=40 \end{align*} \] > 拓展改编（可以列一元二次方程）： > 有一堆火柴棒，搭正方形，总根数满足 \(n^2+2n=80\)，求\(n\)。 > \(n^2+2n-80=0\)，解得\(n_1=8，n_2=-10\)（舍去），\(\boldsymbol{n=8}\)。 --- ## 活动2：探究两位数的数字规律（课本核心数学活动） **命题：任意一个两位数，把它的十位数字与个位数字对调，得到新两位数，这两个两位数的积，能不能等于403？** 设原两位数：十位数字\(a\)，个位数字\(b\) 原数：\(10a+b\)，对调后新数：\(10b+a\) 列方程： \[ \((10a+b)(10b+a)=403\) \] \(a,b\)是数字，\(a\ge1，a,b\)都是0~9整数。 分解：\(403=13\times31\) - 13：十位1，个位3；对调得31 \[ (10\times1+3)(10\times3+1)=13\times31=403 \] ✅ 成立，原两位数可以是**13 或 31**。 ### 思考延伸 如果两个对调后的两位数乘积等于252，求这个两位数。 \[ \((10a+b)(10b+a)=252\) \] \(252=12\times21\)，\(12\times21=252\)，所以两位数是12或21。 --- ## 活动3：黄金分割（一元二次方程经典几何活动） 线段\(AB\)，点\(C\)把\(AB\)分成两段\(AC,CB\)（\(AC>CB\)），满足： \[ \frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CB} \] 设\(AB=1，AC=x\)，则\(CB=1-x\) \[ \begin{align*} \frac1x&=\frac{x}{1-x}\\ x^2&=1-x\\ \boldsymbol{x^2+x-1}&=0 \end{align*} \] 解方程： \[ x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2} \] 取正数根：\(\boldsymbol{x=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\approx0.618}\)，就是**黄金比**。 > 小结：黄金比由一元二次方程求出，是无理数。 ## 配套练习题（数学活动专项） ### 一、填空 1. 搭相连正方形，\(n\)个正方形需要火柴棒________根。 2. 两位数26，数字对调后是62，两数乘积=________。 3. 黄金比的值为________（代数式），近似值________。 ### 二、解答题 1. 一个两位数，十位数字\(a\)，个位数字\(b\)，交换十位个位得到新两位数，两数乘积为2268，求这个两位数。 2. 线段\(AB=2\)，\(C\)是\(AB\)上黄金分割点，\(AC>BC\)，求\(AC\)长度。 ## 参考答案 1. \(3n+1\) 2. \(26\times62=1612\) 3. \(\dfrac{\sqrt5-1}{2}；0.618\) 解答1： \(2268=36\times63\)，\(36\times63=2268\)，两位数为36或63。 解答2： 设\(AC=x\)，\(BC=2-x\) \[ \frac{2}{x}=\frac{x}{2-x}\Rightarrow x^2+2x-4=0 \] \[ x=\sqrt5-1 \] 答：\(AC=\boldsymbol{\sqrt5-1}\)。 --- ### 课本数学活动要点总结 1. 火柴棒：一次函数模型，拓展可构造一元二次方程； 2. 两位数对调：利用数位表示\(10a+b\)，建立方程，结合数字整数条件求解； 3. 黄金分割：几何比例转化为一元二次方程，得到无理数根，是本章经典应用。 要不要我把**数学活动**单独整理成纯题目版（不带答案），方便直接抄写或打印？ 活动1 探究方程有公共解的条件 探索新知 已知 abc≠0，方程 ax2+bx+c=0，① bx2+cx+a=0，② cx2+ax+b=0. ③ 恰有一个公共解. 给出 a，b，c 满足的条件，并求出方程①②③的解. am2+bm+c=0，① bm2+cm+a=0，② cm2+am+b=0. ③ 解：设三个方程的公共解为m，根据方程解的定义，将m代入三个方程，等式均成立： 由①+②+③，合并同类项可得： (a+b+c)m2+(a+b+c)m+(a+b+c)=0. 提取公因式 (a+b+c)，化简得： (a+b+c)(m2+m+1)=0. (a+b+c)(m2+m+1)=0 对于二次式 m2+m+1，其根的判别式 Δ=12– 4×1×1= –3<0， 因此 m2+m+1>0. 要使等式成立，只能满足 a+b+c=0，这就是 a，b，c 需要满足的核心条件. ax2+bx+c=0，① bx2+cx+a=0，② cx2+ax+b=0. ③ 由 a+b+c=0，得 c= –(a+b)，代入①，②，③得 ax2+bx–(a+b)=0，① bx2–(a+b)x+a=0，② –(a+b)x2+ax+b=0. ③ (x–1)[ax+(a+b)]=0，① (x–1)(bx–a)=0，② (x–1)[(a+b)x+b]=0. ③ 因式分解 (x–1)[ax+(a+b)]=0，① (x–1)(bx–a)=0，② (x–1)[(a+b)x+b]=0. ③ 所以方程①的解为 x1=1，x2= – ， 方程②的解为 x1=1，x2= – ， 方程③的解为 x1=1，x2= – . 因此，三个方程的公共解为 x=1. 知识要点 公共解问题通用方法： 设公共解，代入所有方程联立，通过加减消元、因式分解简化推导. 1. 返回 用“转化”的数学思想，我们可以解一些新的方程．例如：一元三次方程x3＋x2－2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x(x2＋x－2)＝0，解方程x＝0和x2＋x－2＝0，可得方程x3＋x2－2x＝0的解． (1)问题：方程6x3＋14x2－12x＝0的解是x1＝0，x2＝________，x3＝_____________________； －3(前后顺序可对调) 类型1 转化思想 举一反三 8 (2)拓展：用“转化”思想求方程 返回 解：由题意，得2x＋3≥0，x≥0，即x≥0. 方程两边同时平方，得2x＋3＝x2， 解得x1＝3，x2＝－1(舍去)， ∴方程 举一反三 (3)应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝21 m，宽AB＝8 m，点P在AD上(AP＞PD)，小华把一根长为27 m的绳子一端固定在点B，拉直绳子并固定在点P，再拉直，绳子的另一端恰好落在点C，求AP的长． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°，CD＝AB＝8 m. 设AP＝x m，则PD＝(21－x)m. ∵BP＋CP＝27 m， 返回 举一反三 返回 两边平方并整理，得x2－21x＋90＝0， 解得x1＝15，x2＝6(此时AP<PD，不合题意，舍去)． 经检验，x＝15是原方程的解． 答：AP的长为15 m. 举一反三 活动2 神奇的线段分割 问题1：王芳：你能把任意一条线段分成两两不等的三条线段，使其中最长的线段等于另外两条线段的和吗? 解：设线段全长为 l，分成的三条线段为 a，b，c，且 a>b>c>0，两两不等. 因为 a+b+c=l，a=b+c，所以 2a=l，即 a = l. 这条线段如图所示. a b c 问题2：李明：还是把一条线段分成两两不相等的三条线段，如果三条线段的长度分别为 a，b，c，且 a>b>c，你能找到合适的 a，b，c，使 a=b+c 和 + = 同时成立吗？ 解：设线段全长为 l，分成的三条线段为 a，b，c，且 a>b>c>0，两两不等. 因为 + = 所以 + = ，即 = . 所以 bc+ac=ab，(a+b)c=ab. ① (a+b)c=ab. ① 因为 a=b+c，代入①，得 (b+c+b)c=(b+c)b， 移项，合并同类项得 b2–bc–c2=0. ② 将②看作关于 b 的一元二次方程，c 为常数，用求根公式求解： b= = c. 因为 b>0，所以 b = c ，即 = . 因为 a+b+c=l，a=b+c，所以 2a=l，即 a = l. 所以 c+c=l ，即 c = l . 所以 b = l – c = l – l = l . 因此 a∶b∶c = l ∶ l ∶ l =1∶ ∶ . 黄金分割数 请你用直尺和圆规作出这条线段中的两个分点. 1.作中点（找到第一个分点）： ① 画任意长度线段AB，分别以线段AB的两个端点 A，B 为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，两弧相交于一点. ② 过交点作AB的垂线，这条垂线与AB的交点即为中点 M. ③ 此时AM=BM=a. 作图步骤： 2.在MB上找第二个分点： ① 用上述同样的方法作出MB的中点P； ② 过点B作MB的垂线，在垂线上截取点C，使BC=PB，连接MC. ③ 以点C为圆心，CB长为半径画弧，交线段MC于点D. ④ 以点M为圆心，MD长为半径画弧，交线段MB于点N. ⑤ 此时MN=b，NB=c. 生活中的黄金分割 A B C D E N M 正五角星 = = = 生活中的黄金分割 鹦鹉螺外壳的截面 生活中的黄金分割 优选法 华罗庚先生推广的优选法，也称 0.618 法，认为在测试区间使用黄金分割位进行试验，筛选效率最佳，并从理论上进行了严格的证明. 2. 阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10. (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为______，前15行的点数之和为______，前n行的点数之和为___________； (2)体验：三角点阵中前n行的点数之和______(填“能”或“不能”)为500； 36 返回 120 不能 类型2 从特殊到一般的思想 举一反三 返回 (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 解：由题意可知前n排的盆数之和为2＋4＋6＋…＋2n ＝2× n(1＋n)＝n(n＋1)， 则n(n＋1)＝420，整理，得n2＋n－420＝0， 解得n1＝20，n2＝－21(舍去)． 答：一共能摆放20排． 举一反三 谢谢观看 THANKS ＝x的解为x＝3. ＝x的解； BP＝，CP＝， ∴＋＝27， ∴＝27－， 两边平方，得(21－x)2＋82＝729－54 ＋82＋x2，整理，得48＋7x＝9 ， n(n＋1) $