25.3 实际问题与一元二次方程（第2课时）课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第25章　一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程（第2课时） 传播与平均变化率 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 轮次中的数量累积 观察与分析 开始有个传播源，每轮每个已有传播源再传给个对象。每轮新增与轮末总数不是同一个量。 结论与应用 先画清时间顺序，逐轮写出数量。把“新增”误作“总数”，会漏掉原有对象而列错方程。 情境引入 第一轮新增与总数 观察与分析 第一轮新增，原有保留，所以第一轮末共有。这个总数又成为第二轮的传播源数。 结论与应用 假设每个已有对象继续传播、不同传播不重复，下一轮新增为。模型依赖这些题设条件。 新知讲授 第二轮的总数 观察与分析 第二轮末共有。这里前两项是上一轮留下的总数，后一项是第二轮新增数。 结论与应用 若第二轮末总数为，方程为。人数限制给出且为整数。 新知讲授 第三轮的推展 观察与分析 同样条件下，每轮总数都乘以。已知每人平均传给人，则三轮末共有人。 结论与应用 这个计算说明乘法增长的快，但它是特定假设下的数学模型，实际传播还受接触方式、干预等因素影响。 新知讲授 树枝模型与传播模型的差别 观察与分析 植物主干长个支干，每个支干再长个小分支，总数为。主干通常不在第二层继续另长一批支干。 结论与应用 传播模型是已有对象继续传播，树枝模型是分层计数。不要把两个情境都机械写成。 新知讲授 增长率与增长量 观察与分析 增长量是新量减原量，增长率是增长量除以原量。原量不同的两个对象，即使增长量不同，增长率也可能相同。 结论与应用 同一题中比较百分比时，必须先明确分母的基准。不能用绝对变化量直接判断相对变化快慢。 新知讲授 一次增长的数量 观察与分析 原量为，增长率为，一次后新量为。其中称为增长因子。 结论与应用 例如原量，增长，新量是。百分数计算时先化为小数或分数。 新知讲授 连续两次增长 观察与分析 第二次增长的基准是第一次增长后的量，因此两次后为，不是。 结论与应用 年平均增长率表示连续两年按同一倍率增长的等效结果，不表示两年的增长量相同。 新知讲授 一次下降的数量 观察与分析 原量为，下降率为，一次后新量为。通常，以保证新量非负。 结论与应用 下降应乘，不能乘。后者是减少的部分占原量的比例。 新知讲授 连续两次下降 观察与分析 两次按同一下降率后，量为。第二次下降的基准已变小，所以两次下降额通常不同。 结论与应用 若两年后变为原来的，就有，而不是。 新知讲授 两种食品的成本比较 观察与分析 甲从降到，乙从降到。两者末值与初值之比均为。 结论与应用 因此它们的年平均下降率相同。乙的年平均下降额较大，是因为起始成本较大，并不表示下降率更大。 新知讲授 为什么舍去大于一的下降率 观察与分析 由可得。正号分支大于，会使一次后的成本成为负数。 结论与应用 成本不能为负，故取。模型限制帮助从方程的两个根中选出实际根。 新知讲授 百分数答案的精度 观察与分析 若求得增长率，写成百分数是。要求百分数前的数保留两位小数时，结果为。 结论与应用 不是先把保留两位小数再写百分数，那样会变成，导致精度损失。 新知讲授 增长与下降的语言识别 观察与分析 “增加到原来的倍”表示新量乘数；“增加原来的倍”表示新量为原来的倍。 结论与应用 先把文字翻成新量与原量的倍数，再确定或，避免只看到数字就代公式。 新知讲授 不同年份之间的轮数 观察与分析 从年到年经历两次年度变化，因此指数是。从第一年末到第三年末同样是两次变化。 结论与应用 指数由变化次数决定，不是年份数字的个数。先写时间线，通常能直接看出应乘几次同一倍率。 新知讲授 基准改变不能相抵 观察与分析 先增长再下降，结果为，比原量少。 结论与应用 两次变化基准不同，等百分数不代表相同变化量。判断“涨回原价”时，应写乘积而非百分数直接相减。 新知讲授 先列比值再求率 观察与分析 模型可先化为。这样能直接比较两个对象的相对变化。 结论与应用 同一个末初比对应同一个平均变化率。若末初比不同，再通过平方根比较倍率，避免只比较差值。 新知讲授 检查数量是否符合方向 观察与分析 增长模型求出的应非负且末值不小于初值；下降模型中一般在与之间。 结论与应用 代入后核对每个阶段的量，尤其检查第一次变化是否合理。只检验两年末值不足以发现某些不合情境的根。 例题讲解 示例 某种传染病传播很快。开始有人被传染，经过两轮后共有人被传染，每轮平均人传染多少人？ 答：平均传染人。 设为人，。 根为，人数取。 区分每轮新增与累计，明确哪些已有对象继续参与下一轮。 例题讲解 示例 两年前甲食品成本元/吨、乙元/吨；现在分别为元/吨、元/吨。哪种食品的年平均下降率较大？ 答：相同，均约。 甲：；乙：。 两式均化为，取的根。 先求末初比与变化倍率，最后转成百分数并按要求保留精度。 课堂练习 练习 某植物主干长出若干支干，每个支干又长出同样数目的小分支。主干、支干和小分支共，每个支干长多少小分支？ 答：个。 ，即。 数量取正整数。 按主干、支干、小分支分层计数，不套用重复传播的累计式。 课堂练习 练习 青山村水稻年每公顷产，年每公顷产。求年平均增长率，百分数前保留两位小数。 答：约。 ，得。 ，换成百分数再取精度。 先求末初比与变化倍率，最后转成百分数并按要求保留精度。 例题讲解 示例 某产品年产量从增长到两年后的，求年平均增长率。 答：。 ，。 先求末初比与变化倍率，最后转成百分数并按要求保留精度。 例题讲解 示例 一件商品原价元，两次按同一比例降价后为元，求每次降价率。 答：。 ，取。 分清初量、末量和变化次数，每次都以上一次结果为基准。 例题讲解 示例 主干有个支干，各支干有个小分支。若总数为，求。 答：。 ，得。 按主干、支干、小分支分层计数，不套用重复传播的累计式。 例题讲解 示例 每人每轮平均传给人，原有传播者继续参加下一轮且不重复。开始人，三轮后共有多少人？ 答：人。 每轮总数乘以，三轮为。 区分每轮新增与累计，明确哪些已有对象继续参与下一轮。 例题讲解 示例 价格先上涨，再下降，是否回到原价？ 答：没有，降至原价的。 。 分清初量、末量和变化次数，每次都以上一次结果为基准。 例题讲解 示例 甲从增长到，乙从增长到，均历时两年，谁的年平均增长率更大？ 答：相同，均为。 末初比均为，增长因子均为。 先求末初比与变化倍率，最后转成百分数并按要求保留精度。 课堂总结 传播与平均变化率 传播 分清新增与累计，明确轮次假设 分支 增长 下降 检验 范围、百分数、变化次数 针对训练 选择 原量为，增长后的新量为（　）。 A．　 B．　 C．　 D． 答：选B。新量为。 增长量为，新量为。 合并得，增长因子为。 分清初量、末量和变化次数，每次都以上一次结果为基准。 针对训练 填空 原量为，下降后的新量为____；下降因子为____。 答：；。 减少量为，剩余量为。 得到；表示减少部分，不是新量。 分清初量、末量和变化次数，每次都以上一次结果为基准。 针对训练 判断 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 同一正量先增长，再下降，就回到原量。 错 新量为。 （2） 原量连续两次增长相同比例后为，每次增长率为。 对 由，取。 （3） 初有个对象；每轮所有已有对象各新增个且不重复，原对象保留，两轮后共个。 对 每轮总量乘，两轮共。 先核对模型条件，再判断等量关系；不能只凭结果猜测。 针对训练 训练 主干、个支干、每个支干上的个小分支共，求。 答：。 ，即。 ，数量取正整数。 按主干、支干、小分支分层计数，不套用重复传播的累计式。 针对训练 训练 数量从连续两次按相同比例增长至，求增长率。 答：。 ，化为。 增长因子为正，，所以。 先求末初比与变化倍率，最后转成百分数并按要求保留精度。 针对训练 训练 成本从连续两次降至，求每次平均下降率。 答：。 ，化为。 取，，故。 先求末初比与变化倍率，最后转成百分数并按要求保留精度。 针对训练 训练 先涨再涨，总增长率是多少？ 答：。 两次后新量为。 总增长率为。 先求末初比与变化倍率，最后转成百分数并按要求保留精度。 针对训练 训练 的两个代数根是什么？下降率应取哪个？ 答：根为；下降率取。 ，。 得；后者使第一次剩余量为负，舍去。 先求末初比与变化倍率，最后转成百分数并按要求保留精度。 针对训练 训练 某校读书活动第一年参加人，两年后参加人。若每年按相同比例增加，求年平均增长率。 答：。 ，取正倍率。 两年对应两次增长。 先求末初比与变化倍率，最后转成百分数并按要求保留精度。 针对训练 训练 某车间月耗水量原为吨，连续两次节水改造，每次按相同比例减少后为吨。求每次减少率及第一次改造后的耗水量。 答：减少率，第一次后吨。 ，得。 第一次后。 分清初量、末量和变化次数，每次都以上一次结果为基准。 方法归纳 解题方法总结 按阶段写出新量 ① 每次变化都以紧邻的前一次结果为基准。 ② 传播累积与树枝分层应分别建模。 用倍率求平均变化率 ① 先比较末量与初量的比值。 ② 依实际范围取根，最后换成百分数。 $