25.3 实际问题与一元二次方程 第2课时 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一元二次方程”，核心内容为传播问题与平均变化率问题。通过流感传染、药品成本等现实情境引例，衔接一元二次方程解法，借助示意图、表格梳理数量关系，搭建从实际问题抽象数学模型的学习支架。 其亮点在于以生活实例为载体，通过表格分析、公式推导培养数学眼光（抽象能力），例题变式（如网络课堂受益学生增长）发展模型意识，解题步骤强调根的检验提升推理意识。课堂小结归纳通用公式，助学生用数学语言表达规律，既深化知识理解，也为教师提供结构化教学资源。

25.3 实际问题与一元二次方程 第二十五章 一元二次方程 第2课时 传播与变化率问题 人教版九年级上册 引例：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人? 分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 传染源记作A，其传染示意图如下： 探究点1：传播问题 新知探究 第2轮 ••• A 1 2 x 第1轮 第1轮传染后人数 x+1 A 第2轮传染后人数 x(x+1)+x+1 注意：不要忽视A的二次传染 探究点1：传播问题 新知探究 x1= , x2= . 根据示意图，列表如下： 解方程，得 答：平均一个人传染了________个人. 10 −12 (不合题意,舍去) 10 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. (1+x)2=121 注意：一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行检验. 传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数 1 1+x=(1+x)1 1+x+x(1+x)=(1+x)2 根据题意，得 探究点1：传播问题 新知探究 想一想：如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感? 第2种做法 以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是：121(1+x)=121(1+10)=1331人. 第一轮传染后的人数 第二轮传染后的 人数 第三轮传染后的 人数 (1+x)1 (1+x)2 分析： 第1种做法 以1人为传染源,3轮传染后的人数是： (1+x)3=(1+10)3=1331人. (1+x)3 探究点1：传播问题 新知探究 例1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是133，每个支干长出多少小分支? 主干 支干 支干 …… 小分支 小分支 …… 小分支 小分支 …… …… x x x 1 解：设每个支干长出x个小 分支， 则 1+x+x2=133 即x2+x −132=0 解得， x1=11，x2=−12(不合题意，舍去) 答：每个支干长出11个小分支. 探究点1：传播问题 新知探究 6 1.在分析引例和例1中的数量关系时它们有何区别？ 每个支干只分裂一次，每名患者每轮都传染. 2.解决这类传播问题有什么经验和方法？ （1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答； （2）可利用表格梳理数量关系； （3）关注起始值、新增数量，找出变化规律. 探究点1：传播问题 新知探究 建立一元二次方程模型 实际问题 分析数量关系 设未知数 实际问题的解 解一元二次方程 一元二次方程的根 检 验 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 探究点1：传播问题 新知探究 问题 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000 元，生产1t乙种药品的成本是3600 元.哪种药品成本的年平均下降率较大？ 下降率= 下降前的量−下降后的量 下降前的量 探究点2：平均变化率问题 新知探究 分析：容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为(5000−3000)÷2=1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数). 探究点2：平均变化率问题 新知探究 解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000(1−x)元，两年后甲种药品成本为 5000(1−x)2元，于是有 5000(1−x)2=3000 解方程，得 x1≈0.225， x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%. 探究点2：平均变化率问题 新知探究 设乙种药品成本的年平均下降率为y，则一年后甲种药品成本为6000(1−y)元，两年后乙种药品成本为 6000(1−y)2元，于是有 6000(1−y)2=3600 解方程，得 y1≈0.225， y2≈1.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%. 由上可知，甲乙两种药品的下降额不同，但是下降率相同. 探究点2：平均变化率问题 新知探究 例1 前年生产1吨甲产品的成本是3600元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲产品的成本是1764元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？ 解：设甲产品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得 3600 ( 1−x )2 = 1764， 解方程，得 x1=0.3，x2=1.7. 根据问题的实际意义，甲产品成本的年平均下降率约为30％. 注意：下降率不可为负，且不大于1. 探究点2：平均变化率问题 新知探究 变式 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知 两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%） 解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为 x. 根据题意，得 解这个方程，得 答：每次降价的百分率为29.3%. 探究点2：平均变化率问题 新知探究 例2 为做好延迟开学期间学生的在线学习服务工作，盐城市教育局推出“中小学延迟开学期间网络课堂”，为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益学生20万人次，第三批公益课受益学生24.2万人次．如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率. 解：设增长率为x，根据题意，得 20(1+x)2=24.2. 解得x1=−2.1(舍去)，x2=0.1=10%． 答：增长率为10%. 注意：增长率不可为负，但可以超过1. 探究点2：平均变化率问题 新知探究 问题 你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？ 类似地，这种增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”). 探究点2：平均变化率问题 新知探究 1. 教材变式题 某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可列出方程为（　C　） A. x＋（1＋x）＝36 B. 2（1＋x）＝36 C. 1＋x＋x（1＋x）＝36 D. 1＋x＋x2＝36 C 随堂练习 2. 某班级开展“读书分享”接力活动，1名同学先分享给x名同学，第一轮分享结束后，参与分享的同学又每人分享给x名未分享过的同学，两轮分享后，共有49名同学参与分享活动，则x的值满足的方程为（　A　） A. （1＋x）2＝49 B. x＋x2＝49 C. 1＋x＝49 D. x2＝49 A 3. 学校组织“消防安全”知识宣讲，1名同学作为宣传员先向x名同学宣讲，随后参与宣讲的同学每人又向x名同学宣讲，两轮宣讲后，共有 64. 名同学知晓知识，则x＝ 　7　. 7　 （1） 每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ 解：（1） 设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑.由题意，得1＋x＋x（1＋x）＝16.整理，得（1＋x）2＝16，解得x1＝3，x2＝－5（不合题意，舍去）.∴ 每轮感染中平均1台电脑会感染3台电脑 4. 教材变式题 某学校机房有100台学生用电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒的传播速度非常快.如果1台电脑被感染，那么经过2轮感染后就会有16台电脑感染该病毒. （2） 若病毒得不到有效控制，几轮感染后机房内的所有电脑将都被感染？ 解：（2） 机房内的电脑共有100＋1＝101（台）.n轮感染后，有（1＋x）n台电脑被感染，即（1＋3）n＝4n（台）电脑被感染.当n＝3时，43＝64；当n＝4时，44＝256.∵ 64＜101＜256，∴ 4轮感染后机房内的所有电脑将都被感染 5. [2025广东]近年来，高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，则可列出的方程为（　A　） A A. 2500（1＋x）2＝9100 B. 2500（1－x）2＝9100 C. 2500（1－2x）2＝9100 D. 2500（1＋2x）2＝9100 6. [2025重庆]某景区2023年接待游客25万人，通过连续两年加大旅游开发力度，该景区2025年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（　B　） A. 10％ B. 20％ C. 22％ D. 44％ 7. 某新建工业园区今年6月提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计8月将提供岗位1815个.设7月、8月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 　1501（1＋x）2＝1815　. B 1501（1＋x）2＝1815　 （1） 求该商场投入资金的月增长率； 解：（1） 设该商场投入资金的月增长率为x.依题意，得20（1＋x）2＝24.2，解得x1＝0.1＝10％，x2＝－2.1（不合题意，舍去）. ∴ 该商场投入资金的月增长率为10％ 8. [2024西藏]某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动.四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同. （2） 按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 解：（2） 由题意，得24.2×（1＋10％）＝26.62（万元）.∴ 预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元 9. 某企业1月的营业额是1000万元，第一季度的总营业额是3990万元.若设月平均增长率是x，则可列方程为（　B　） A. 1000（1＋x）2＝3990 B. 1000＋1000（1＋x）＋1000（1＋x）2＝3990 C. 1000（1＋2x）＝3990 D. 1000＋1000（1＋x）＋1000（1＋2x）＝3990 B 10. 教材变式题 有一株月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总个数是73，求每个支干长出多少个小分支.设每个支干长出x个小分支，则根据题意可列出方程为（　B　） A. 1＋x＋x（1＋x）＝73 B. 1＋x＋x2＝73 C. 1＋x2＝73 D. x＋x（1＋x）＝73 B 11. 新情境 市场营销 [2024绵阳]超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为每件500元，因销量持续攀升，商家在3月提价20％，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月售价的基础上，4，5月按照相同的降价率r连续降价.已知5月礼盒的售价为每件486元，则r＝ 　10％　. 12. 在人群密集的场所，信息传播很快.某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达50％，那么平均每轮传播中1人传播了多少人？ 解：设平均每轮传播中1人传播了x人.根据题意，得3＋3x＋x（3x＋3）＝864×50％，解得x1＝11，x2＝－13（不合题意，舍去）. ∴ 平均每轮传播中1人传播了11人 10％　 13. 随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月游客人数为1.6万，4月游客人数为2.5万. （1） 求3月和4月该景区游客人数的月平均增长率. 解：（1） 设3月和4月该景区游客人数的月平均增长率为x.由题意，可知1.6（1＋x）2＝2.5，解得x1＝ ＝25％，x2＝－ （不合题意，舍去）.∴ 3月和4月该景区游客人数的月平均增长率为25％ （2） 预计5月该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客人数为2.125万，则5月后10天日均接待游客人数最多是多少万？ 解：（2） 设5月后10天日均接待游客人数是a万.由题意，可知2.125＋10a≤2.5（1＋25％），解得a≤0.1.∴ 5月后10天日均接待游客人数最多是0.1万 14. 某公司研发新产品，第一年投入的研发资金为200万元.第二年研发资金投入减少，降低率为x；第三年在第二年的基础上增加投入，增长率为2x.已知第三年投入的研发资金比第一年少39万元. （1） 求x的值； 解：（1） 由题意，得第二年研发资金为200（1－x）万元，第三年研发资金为200（1－x）（1＋2x）万元.根据题意，得200·（1－x）（1＋2x）＝200－39.整理，得400x2－200x－39＝0，解得x1＝ ＝65％，x2＝－ （不合题意，舍去）.∴ x的值为65％ （2） 若该产品第一年的年销售额为500万元，且年销售额的年平均增长率与研发资金第二年的降低率相同，求第三年的年销售额比第二年多多少万元. 解：（2） 根据题意，得年销售额的年平均增长率为65％，则第二年的年销售额为500（1＋65％）万元，第三年的年销售额为500（1＋65％）2万元，500（1＋65％）2－500（1＋65％）＝500×65％×（1＋65％）＝536.25（万元）.∴ 第三年的年销售额比第二年多536.25万元 列一元二次方程解应用题 与列一元一次方程解决实际问题基本相同.不同的地方要检验根的合理性. 传播问题 数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量× (1+每次传播数量) 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×(1+每次传播数量)=传播前的量×(1+每次传播数量)2 增长率问题 降低率问题 a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. a(1−x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 步骤 类型 课堂小结 $