25.3 实际问题与一元二次方程（第1课时）课件2026-2027学年数学人教版九年级上册

第25章　一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程（第1课时） 几何问题中的方程 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 从解方程走向列方程 观察与分析 已知方程可以按结构选择方法，实际问题则要先把语言、图形和数量关系变成方程。最重要的环节是确定等量关系。 结论与应用 本课从连续整数边长、矩形周长与面积入手，研究设元、列式、求根、解释之间的联系。 情境引入 假设存在的建模方式 观察与分析 “是否存在”不要求先凭直觉回答。可以暂时假设存在，用未知数表示满足条件的对象，再看所得方程是否有合适的根。 结论与应用 若有根满足所有限制，便构造出了对象；若没有任何合适的根，就说明给定条件不能同时成立。 新知讲授 连续整数的表示 观察与分析 三个连续正整数可设为，并要求为正整数。用一个未知数即可同时记录连续性和大小顺序。 结论与应用 在直角三角形中，最大数必须是斜边。列勾股方程前先确定最长边，避免把较短边当斜边。 新知讲授 几何图形里的等量关系 观察与分析 直角三角形利用勾股定理，矩形利用面积与周长，圆利用面积公式。先写出不含数字的关系，再代入表达式。 结论与应用 式子两边代表的量应有相同单位与意义。面积不能与长度直接相等，列式前把单位统一。 新知讲授 周长固定时的两邻边 观察与分析 矩形周长，两邻边之和为。设一边长，邻边应为，而不是。 结论与应用 由面积为得到。周长条件用于表示另一边，面积条件用于建立方程。 新知讲授 长度的取值范围 观察与分析 设矩形一边为时，两邻边均为正，故且，即。 结论与应用 范围来自原对象，不能等解出根后才随意添加。若还规定为较长边，则需另有。 新知讲授 两个根与一个矩形 观察与分析 面积时，方程根为。取时邻边为，取时邻边为，两种取值互换了边名。 结论与应用 因此只对应一个形状大小相同的矩形。方程根的个数与实际对象个数，必须依据未知数含义判断。 新知讲授 以面积表示另一边 观察与分析 也可设一边，另一边为，由周长列。 结论与应用 乘以非零可回到。这一设法体现面积条件，但产生分式，不如直接利用边长和简便。 新知讲授 以平均边长为中心设元 观察与分析 两邻边也可写为，面积条件变成，即。 结论与应用 若设为长边超过的长度，应要求，取。巧妙设元能使二次方程更容易求解。 新知讲授 固定周长的面积上限 观察与分析 。因此周长为的矩形，面积不可能超过。 结论与应用 最大面积在两邻边都为时达到。若面积大于，所得面积方程无实数根，也能据此判断这样的矩形不存在。 新知讲授 根存在不等于对象存在 观察与分析 边长要求正数；人数要求正整数；连续整数还要求相邻差为一。仅说明方程有实数根，还不足以回答实际问题。 结论与应用 把每个候选根代回设元限制，再检查它表示的其他量是否满足题意。负根不一定代数错误，只是不合对象意义。 新知讲授 直角条件转成长度条件 观察与分析 若矩形中点在底边上，要求，可把看作直角三角形三边。 结论与应用 利用勾股定理，再把两条斜边的平方写成小直角三角形边长平方之和。 新知讲授 避免过早取近似值 观察与分析 几何题的根可能含有等无理数。列式与检验时应保留准确值，不要先把根号换成小数。 结论与应用 准确值能保持方程严格成立。题目要求近似值时，再在最终答案处统一取舍并写明单位。 新知讲授 一种设法与另一种设法 观察与分析 同一问题中，设最短边、最长边或边长差都可能正确。比较时看其他量是否易表示、方程是否简洁、限制是否清楚。 结论与应用 不能只因设元方式不同就判错。把两种设法解出的实际边长相互核对，能验证它们是否描述同一个对象。 新知讲授 答案需要回到问题 观察与分析 若只写，读者还不知道矩形能否围成、两边是什么、是否唯一。应用题必须把代数计算翻译回实际对象。 结论与应用 答案中写出完整结论、单位及唯一性。不存在时，应写出矛盾来自无实根、非整数还是不满足长度条件。 新知讲授 将存在性分成两步 观察与分析 先解方程得到所有可能数值，再逐项判断每个数值能否组成题目要求的图形。必要时核对三角形两边之和大于第三边。 结论与应用 在直角三角形问题中，正边长与勾股等式通常已确定合适图形，但仍应明确哪条边是斜边。 新知讲授 用判别式解释不能围成 观察与分析 周长为、面积为给出，判别式。 结论与应用 无实数边长满足要求，所以不能围成。代数上的无实根，与几何上面积超过的上限完全一致。 新知讲授 模型的检查点 观察与分析 列式后用特殊数值检查：正方形情形两邻边都为周长的四分之一；若未知数趋近零，面积也应趋近零。 结论与应用 这些检查能发现邻边表达式或周长系数错误。它们是辅助验证，不能替代对一般方程的求解。 例题讲解 示例 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ A B C 答：存在且只有一个，三边长为。 设，得。 解得；正整数取。 先表达相关边长，再列面积或勾股关系；逐根检查实际限制。 例题讲解 示例 用一根长为的细绳，能否围成面积为的矩形区域？如果能，这样的矩形是否唯一？ 答：能；两邻边，矩形唯一。 设一边，。 两根为，分别表示同一矩形的两邻边。 先表达相关边长，再列面积或勾股关系；逐根检查实际限制。 课堂练习 练习 怎样用一根长的细绳围成面积的矩形？能围成面积的矩形吗？说明理由。 答：面积时两邻边为；面积不能。 ，得。 的。 先表达相关边长，再列面积或勾股关系；逐根检查实际限制。 课堂练习 练习 矩形中，，上是否存在点，使为直角？ 答：存在，。 设，，。 由，得；两根均在内。 先表达相关边长，再列面积或勾股关系；逐根检查实际限制。 例题讲解 示例 矩形长比宽多，面积为。求长和宽。 答：宽、长。 ，即。 负根舍去，取。 先表达相关边长，再列面积或勾股关系；逐根检查实际限制。 例题讲解 示例 周长、面积的矩形存在吗？ 答：存在，两邻边。 ，得。 先表达相关边长，再列面积或勾股关系；逐根检查实际限制。 例题讲解 示例 是否存在三边是连续正奇数的直角三角形？ 答：不存在。 设，得。 根为，没有正奇数根。 先表达相关边长，再列面积或勾股关系；逐根检查实际限制。 例题讲解 示例 直角三角形两直角边相差，斜边为。求两直角边。 答：。 ，化为。 根，取正数。 先表达相关边长，再列面积或勾股关系；逐根检查实际限制。 例题讲解 示例 用周长的绳围成面积的矩形，用两边平均数设元求边长。 答：。 两边写成，。 取，得。 先表达相关边长，再列面积或勾股关系；逐根检查实际限制。 例题讲解 示例 周长的矩形能围成面积吗？有几种边长组合？ 答：能，只有两边都为的一种。 ，即。 先表达相关边长，再列面积或勾股关系；逐根检查实际限制。 课堂总结 几何问题中的方程 对象 长度、面积、周长、直角 设元 相关量用同一个未知数表示 列式 勾股关系或面积关系 限制 正数、整数、点在线段上 结论 区分根的个数与图形个数 针对训练 填空 矩形周长为，设一边长为，则邻边长为____，的取值范围是____。 答：邻边，。 周长，两邻边之和为，故邻边。 由得。 先表达相关边长，再列面积或勾股关系；逐根检查实际限制。 针对训练 选择 矩形周长为、面积为，它的两邻边长是（　）。 A．　 B．　 C．　 D． 答：选A。两邻边长为。 ，整理为。 ，两邻边为。 先表达相关边长，再列面积或勾股关系；逐根检查实际限制。 针对训练 判断 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 周长为的矩形可以有面积。 错 的判别式为。 （2） 周长为的矩形，面积不超过。 对 。 （3） 面积方程的两个正根一定对应两个不同的矩形。 错 交换长和宽，可能表示同一个矩形。 先核对模型条件，再判断等量关系；不能只凭结果猜测。 针对训练 训练 两个连续正偶数的积为，求这两个数。 答：。 设较小偶数为，。 ，取正偶数，另一数为。 先表达相关边长，再列面积或勾股关系；逐根检查实际限制。 针对训练 训练 直角三角形两直角边相差，面积为。求两直角边。 答：。 设短直角边，。 ，取正根三，另一边四。 先表达相关边长，再列面积或勾股关系；逐根检查实际限制。 针对训练 训练 矩形面积为、邻边和为，所得两根是否对应两个不同矩形？ 答：只对应一个矩形。 取时另一边；取时另一边。 两种设值只是交换同一矩形的长宽，不能重复计算图形数。 先表达相关边长，再列面积或勾股关系；逐根检查实际限制。 针对训练 训练 正整数满足，求。 答：。 展开移项得到。 ，正整数只取。 先表达相关边长，再列面积或勾股关系；逐根检查实际限制。 针对训练 训练 正方形边长增加后面积为原来的倍，求原边长。 答：。 ，得。 长度取正值。 先表达相关边长，再列面积或勾股关系；逐根检查实际限制。 针对训练 训练 学校用围栏围成面积的矩形菜地。求两邻边长。 答：。 ，得。 两根对应同一块菜地的两邻边。 先表达相关边长，再列面积或勾股关系；逐根检查实际限制。 针对训练 训练 长、宽的画外配等宽画框，外部面积为，求框宽。 答：。 ，即。 根，框宽取。 先表达相关边长，再列面积或勾股关系；逐根检查实际限制。 方法归纳 解题方法总结 把几何关系代数化 ① 先表达各边，再使用面积或勾股关系。 ② 周长给两邻边之和，切勿漏除以二。 解释候选根 ① 逐根核对长度和整数限制。 ② 互换长宽可能只对应一个矩形。 $