25.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程解决几何图形问题，涵盖静态（如边框、甬道）与动态（如动点）两类应用。通过复习根与系数的关系及变形公式导入，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生从代数角度解决几何问题。 其亮点在于以几何直观为核心，通过图形平移简化甬道问题列方程，结合动态动点问题培养推理意识与模型观念。设置分层变式题（如不同道路布局）和实际情境案例（封面设计、车棚搭建），帮助学生用数学语言表达现实问题，既提升学生问题解决能力，也为教师提供系统的教学案例与方法指导。

（人教版）九年级上 第二十五章 一元一次方程 25.3.1 实际问题与一元二次方程 22051 2 1.探索规则几何图形的应用. 2.解决动态几何图形的应用. 学习目标 22051 根与系数的关系（韦达定理） 内容 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么 应用 复习导入 22051 引例：要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何 设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm) 27cm 21cm 探究点1：几何图形的边框与甬道问题 22051 分析：这本书的长宽之比 ： ，正中央的矩形长宽之比 ： . 9 7 9 7 27cm 21cm 设中央矩形的长和宽分别为9a cm和7a cm由此得到上下边衬宽度之比为： 探究点1：几何图形的边框与甬道问题 22051 典例解析 题型1 静态几何问题 例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 解：设其三边长依次为x，x+1，x+2 解得x1＝3，x2＝-1（不符合题意，舍去）. 答：三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5. 得 22051 典例解析 题型1 静态几何问题 例2 用一根长40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 解：设一边长为xm，则邻边长为（20-x）m. 解得 x1＝12，x2＝8. 答：用一根长为40m的细绳可以围成面积为96m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m. 得 x 22051 27cm 21cm 设上下边衬的宽为9x cm，左右边衬宽为7x cm，则中央的矩形的长为(27−18x)cm，宽为(21−14x)cm. 要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三. 探究点1：几何图形的边框与甬道问题 22051 27cm 21cm 解方程得 故上下边衬的宽度为: 故左右边衬的宽度为: 方程的哪个根合乎实际意义? 为什么? 试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？ 于是可列出方程 整理，得 16x2−48x+9=0 探究点1：几何图形的边框与甬道问题 22051 针对训练 1.如图所示,学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚,一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为19 m),另外三边利用学校现有总长38 m的铁栏围成. (1)若围成的面积为180 m2,试求出自行车车棚的长和宽; (2)能围成面积为200 m2的自行车车棚吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由. 解:设AB=x m,则BC=(38-2x)m. 根据题意,得x(38-2x)=180,解得x1=10,x2=9. 当x=10时,38-2x=18; 当x=9时,38-2x=20>19,不合题意,舍去. 答:若围成的面积为180 m2,自行车车棚的长和宽分别为18 m,10 m. 22051 针对训练 1.如图所示,学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚,一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为19 m),另外三边利用学校现有总长38 m的铁栏围成. (2)能围成面积为200 m2的自行车车棚吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由. 解:不能,理由如下: 设AB=y m.根据题意,得y(38-2y)=200, 整理,得y2-19y+100=0. ∵Δ=b2-4ac=361-400=-39<0, ∴此方程没有实数根. 答：不能围成面积为200 m2的自行车车棚. 22051 方法指导：几何图形与一元二次方程主要集中在几何图形的面积问题，这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程. 探究点1：几何图形的边框与甬道问题 22051 在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米. (32−x)(20−x)=540 可列方程为 变式一 探究点1：几何图形的边框与甬道问题 22051 典例解析 题型1 静态几何问题 例3（1）如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？ 20 32 x x 解： 20 − x 32 − x (32 − x)(20 − x) = 540. 整理，得 x2 − 52x + 100 = 0. 解得 x1= 2，x2 = 50. 当 x = 50 时，32 − x = −18，不合题意，舍去. ∴ x = 2. 答：道路的宽为 2 m. 设道路的宽为 x m. 则 22051 典例解析 题型1 静态几何问题 例3（2）在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x m，且 x＜20. (32 − x)(20 − x) = 540， 答：道路的宽为 2 m. 解得 x1 = 50 (舍去)，x2 = 2. x 20-x 32-x 22051 20 32 x x x 20-x 在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米. (32−2x)(20−x)=540 可列方程为 32-2x 变式二 探究点1：几何图形的边框与甬道问题 22051 20 32 x x x x 20 32 2x 2x 32−2x 20−2x 在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米. (32−2x)(20−2x)=540 可列方程为 变式三 探究点1：几何图形的边框与甬道问题 22051 典例解析 题型1 静态几何问题 例3（3）在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 20 32 x 2x 20-x 解：设道路的宽为 x m，且 x＜16. (32 − 2x)(20 − x) = 540. 32-2x 解得 x1 = 18 - x2 = 18 + (舍去). 答：道路的宽为 (18 - ) m. 22051 典例解析 题型1 静态几何问题 例3（4）在宽为 20 m，长为 32 m的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x m，且 x＜10. (32 − 2x)(20 − 2x) = 540. ∴ x = 1. 答：道路的宽为 1 m. 解得 x1 = 1，x2= 25(舍去). 22051 探究点1：几何图形的边框与甬道问题 小路所占面积是矩形面积的四分之一 剩余面积是矩形面积的四分之三 解：设横、竖小路的宽度分别为3x、 2x， 于是可列方程 (32−4x)(20−6x)= —×20×32 20㎝ 32㎝ 3x 2x 32−4x 20−6x 4 3 3x 2x 6x 4x 32−4x 20−6x 22051 方法指导：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）. 探究点1：几何图形的边框与甬道问题 22051 典例解析 题型2 动态几何问题 例4 如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=5 cm,BC=7 cm.点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm/s的速度移动,同时点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm/s的速度移动.试问: (1)几秒后,△PBQ 的面积等于4 cm2? 解:设点P运动x s后,△PBQ的面积等于4 cm2, 则PB=(5-x)cm,BQ=2x cm. 根据题意,得(5-x)×2x=4,即x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4. 当x=4 时,2x=8>7,不合题意,舍去. ∴1 s后,△PBQ的面积等于4 cm2. 22051 典例解析 题型2 动态几何问题 例4 如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=5 cm,BC=7 cm.点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm/s的速度移动,同时点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm/s的速度移动.试问: (2)几秒后,PQ 的长度等于5 cm? 解:设点P运动t s后,PQ的长度等于5 cm, 则PB=(5-t)cm,BQ=2t cm. 在Rt△PBQ中,由勾股定理,得PB2+BQ2=PQ2, 即(5-t)2+(2t)2=52,解得t1=0(舍去),t2=2, ∴2 s后,PQ的长度等于5 cm. 22051 1.通过本课的学习，你学到了哪些内容？ 2.学习了本课你有何感想？ 请畅所欲言. 22051 24 几何图形与一元二次方程问题 几何图形 常见几何图形面积是等量关系 类 型 课本封面问题 彩条/小路宽度问题 常采用图形平移能聚零为整方便列方程 动点面积问题 22051 谢谢大家聆听 22051 $