期中复习专题2——综合运算与推理证明 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

期中复习专题2——综合运算与推理证明 （人教版九年级上册：期中核心综合考点） 一、专题定位 本专题整合一元二次方程、二次函数、反比例函数三章中档综合考点，既包含各章节内部综合运算、性质应用、简单实际建模，同时融入难度适中的跨章节联动中档试题。重点训练学生规范书写解题步骤，落实方程根的判别式、根与系数关系、函数图像变换、反比例函数k的几何意义等核心考点，帮助学生建立方程与函数之间的知识转化意识，攻克中档题型思路模糊、步骤疏漏、知识割裂等常见问题。适配期中第二轮专题复习、课堂专项讲练、中档题型限时训练、阶段性检测组卷，是提升期中解答题得分率的核心关键专题。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 一元二次方程 利用根的判别式判断方程实数根的情况；根与系数关系（韦达定理）的基础代数式求值；含参数一元二次方程的根的情况讨论；一元二次方程在面积、增长率场景下的实际应用建模与求解 二次函数 二次函数一般式的图像性质：对称轴、顶点坐标、增减性判断；二次函数图像平移变换规律；二次函数与一元二次方程的关联应用，借助函数图像分析方程根的情况；二次函数简单最值计算与基础应用 反比例函数 反比例函数k的几何意义，求解图像与坐标轴围成的几何图形面积；不同区间内函数值大小比较；一次函数与反比例函数联立求解交点坐标；反比例函数简单实际问题建模与计算 跨章节中档综合 一元二次方程与二次函数简单参数联动求值；二次函数与反比例函数图像交点判定、坐标求解及简单面积计算；以一元二次方程为代数工具，求解函数背景下线段长度、自变量取值及销售与利润等中档综合问题 三、必考、常考题型 题型1：一元二次方程根的判别式应用 1.（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的2倍，求的值. 【答案】（1）证明：∵关于的方程， 其中，，， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）或． 【分析】（1）根据根的判别式的意义即可证明； （2）先利用公式法解得方程的两个根，然后结合已知条件列出方程解答即可． 解：（1）略 （2）解：解方程得， ∴，， ∵方程的一个根是另一个根的2倍， ∴或， ∴或． 2.（26-27九年级上·山西长治·阶段检测）在解关于的一元二次方程时，佳佳将的值写成了，有两个相等的实数根，则原方程（     ） A．没有实数根 B．无法判断根的情况 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 解：∵写错后的方程有两个相等的实数根， ∴，即，解得； 原方程的判别式为， 将代入，得， ∴原方程有两个不相等的实数根. 3.（26-27九年级上·河南鹤壁·阶段检测）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_____________． 【答案】且 【分析】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则，建立关于a的不等式，求出a的取值范围，二次项系数不能为0． 解：根据题意，该方程有两个不相等的实数根， 则，且， 解得且． 4.（26-27九年级上·天津红桥·阶段检测）已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若是该一元二次方程的一个根，求的值； （2）判断该一元二次方程的实数根的情况，并说明理由； （3）若的两边，的长是该一元二次方程的两个实数根，当为何值时，是菱形？求此时菱形的边长． 【答案】（1）；（2）解：该一元二次方程总有两个实数根，理由如下： ∵关于的一元二次方程（为常数）， ∴，，， ∴， ∴该一元二次方程总有两个实数根． （3）当时，是菱形，此时菱形的边长为 【分析】（1）把代入方程求解即可； （2）根据一元二次方程根情况的判别式求解即可； （3）由菱形的性质得，可知该一元二次方程有两个相等实数根，即，进而可求出的值，再把的值代入方程，解方程即可． （1）解：∵是该一元二次方程的一个根， ∴把代入方程得：， 解得：． （2）略 （3）解：若是菱形，则， ∵，的长是该一元二次方程的两个实数根， ∴， 解得：， 把代入方程得：，即， 解得：， ∴此时菱形的边长为2． 题型2：一元二次方程根与系数关系简单求值 1.（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）已知是方程的两个不同的实数根，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）4；（2）8 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系即可解答； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，，对所求式子因式分解后代入求值即可． （1）解：∵是方程的两个不同的实数根， ∴． （2）解：∵是方程的两个不同的实数根， ∴，， ∴． 2.（26-27九年级上·河南鹤壁·阶段检测）设、是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的定义可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，利用整体代入法求出代数式的值即可． 解：是一元二次方程的根， ， ， 、是一元二次方程的两个不相等的实数根， ， ． 3.（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，______． 【答案】 【分析】设菱形的两条对角线长分别是，根据一元二次方程根和系数的关系得，进而根据菱形的性质得到，解之即可求解． 解：设菱形的两条对角线长分别是， ∵菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， 又∵菱形的面积为， ∴，即， ∴． 4.（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）关于的一元二次方程有两个实数根，其两个实数根分别为，． （1）__________，__________； （2）若，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系解答即可． （2）根据得到，结合（1）的结论可得到关于a的方程，求出a的值，再根据关于的一元二次方程有两个实数根，结合根的判别式求出a的取值范围，即可解答． （1）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，． （2）解：∵， ∴ 由（1）有，， ∴， 解得，． ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴． 题型3：含参数一元二次方程根的讨论解答题 1.（26-27九年级上·全国·单元复习）若关于x的一元二次方程的两根分别为，且，求k的值． 【答案】或 【分析】根据根与系数关系得到，由得到或，再利用根的判别式验证即可． 解：， ． ， ， 解得或． 当时，， 当时，， 即或符合题意． 2.（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．0或1个 D．1或2个 【答案】B 【分析】先由一次函数图象不经过第二象限得出a的取值范围，结合一元二次方程二次项系数不为0的条件确定，再通过根的判别式判断实根个数． 解：∵直线不经过第二象限， ． ∵方程是一元二次方程， ． ． ． ∴该方程有2个不相等的实数根． 3.（2026年甘肃省临夏回族自治州广河县部分校初中学业水平考试标准检测试卷（五）数学）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】分两种情况讨论，当时，方程为一元一次方程，必有实数根，当时，方程为一元二次方程，由根的判别式求出的取值范围，综合两种情况得到最终结果． 解：当时，原方程化为，是一元一次方程，有实数根； 当时，原方程是关于的一元二次方程，由方程有实数根可得： ， ∴， 解得，且， 综合两种情况可得，的取值范围是． 4.（26-27九年级上·河南鹤壁·阶段检测）阅读下面的例题： 解方程：． 解：①当 时，原方程可化为 ，解得：，（不符合题意，舍去）． ②当 时，原方程可化为 ，解得：（不符合题意，舍去），． 综上，原方程的解是 或 ． 请参照例题，解方程：． 【答案】原方程的解是或 【分析】分两种情况讨论，当时，；当时，，分两种情况把原方程化为一元二次方程求解即可，注意验证所求未知数的值是否符合前提条件，不符合舍去． 解：①当，即时， 原方程可化为， 解得：（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去）； ②当，即时， 原方程可化为， 解得：，； 综上，原方程的解是或． 题型4：一元二次方程面积、增长率实际应用 1.（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，要求使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么的长为多少米？ （2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由 【答案】（1）6米；（2）解：不能围成面积为90平方米的花圃，理由如下： 设米，则米， 由题意得， 整理得， 此时，即原方程无解， ∴不能围成面积为90平方米的花圃． 【分析】（1）设米，则米，根据长方形的面积公式建立方程求解即可； （2）设米，则米，根据长方形的面积公式建立方程，利用判别式判断方程是否有正根即可得到结论． （1）解：设米，则米， 由题意得， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴； 答：的长为6米； （2）略 2.（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）某厂一月份生产产品50台，计划一、二、三月份共生产产品200台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】需先表示出二月、三月的产量，再根据三个月总产量列方程. 解：设二、三月份平均每月增长率为， ∵一月份生产产品50台， ∴二月份产量为台，三月份产量为台， ∵一、二、三月份共生产200台， ∴可列方程. 3.（26-27九年级上·全国·单元测试）屏风历史悠久，是中国古代居室内的重要家具和装饰品，具有分隔、美化、挡风等作用．如图是一个屏芯长，宽的矩形黄花梨小座屏风示意图，屏芯周围被边框宽度相同的屏框包围．若整个屏风的面积为，则屏框的宽度为______． 【答案】5 【分析】设屏框的宽度为，根据题意列出一元二次方程即可求解． 解：设屏框的宽度为， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 答：屏框的宽度为5． 4.（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）某品牌汽车第一季度的销售量为万辆，第二季度的销售量下降了，经销商从第三季度起加强管理，改善经营，使销售量稳步上升，第三、四季度的销售量共达到了万辆． （1）求第二季度的销售量； （2）求第三、四季度的销售量的平均增长率． 【答案】（1）第二季度的销售量为50万辆；（2）第三、四季度销售量的平均增长率为 【分析】（1）根据题意直接计算即可； （2）设第三、四季度销售的平均增长率为x．根据题意列出方程求解即可． （1）解：（万辆）， 答:第二季度的销售量为50万辆； （2）解：设第三、四季度销售的平均增长率为x， 依题意,得， 解得， （不合题意,舍去）， 答:第三、四季度销售量的平均增长率为． 题型5：二次函数图像性质综合问题 1.（26-27九年级上·陕西渭南·阶段检测）已知二次函数的与的部分对应值如下表： （1）求这个二次函数的解析式． （2）当为何值时，随的增大而增大． （3）判断点是否在这个函数的图像上，并说明理由． 【答案】（1）；（2）当时，随的增大而增大；（3）解：点在这个函数的图像上， 理由如下： 当时， 可得：， 点在这个函数的图像上． 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）根据二次函数的性质可知当时，随的增大而增大； （3）当时，二次函数的值为，所以点在这个函数的图像上． （1）解：由表可知当时，，当时，， 可得：， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：由二次函数的解析式可知：， 抛物线开口向上， 二次函数的对称轴为， 当时，随的增大而增大； （3）略 2.（26-27九年级上·全国·单元测试）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … m 3 2 … 下列各选项中，正确的是（     ） A．抛物线开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用表格中函数值相等的两点求出抛物线对称轴，再结合二次函数性质判断各选项． 解：由和时， 得二次函数对称轴为直线； ∵时，时， ∴ 抛物线开口向下，选项不符合题意； ∵ 抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴ 当时，随增大而增大，时随增大而减小， ∴选项不符合题意； ∵ 对称轴为直线，时， ∴ 顶点坐标为，选项不符合题意； ∵与关于直线对称， ∴ 对应函数值相等，即，选项符合题意． 3.（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，且m满足，则当时，y的值为______． 【答案】2 【分析】先解关于的一元二次方程得到两个根，再根据二次函数的增减性确定对称轴的范围，筛选出符合条件的，最后代入计算的值． 解：∵ ， ∴ 因式分解得， 解得或， ∵ 二次函数中，，图象开口向下，对称轴为直线， 开口向下时，对称轴左侧随增大而增大，对称轴右侧随增大而减小， 又∵ 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， ∴ ， ∴ 符合条件的， ∴ 二次函数解析式为， 将代入得：． 4.（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）已知二次函数（，，为常数）的图象与轴交于点，且过点． （1）求与的关系式（用含的式子表示）． （2）当时，函数的最大值与最小值之差为9，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将两点坐标代入函数解析式中即可求解； （2）分和两种情况，求出函数的最大值和最小值，再作差列方程求解即可． （1）解：将和代入中，得， ∴； （2）解：由（1）得， ∴该函数的对称轴为直线， ∵， ∴， 当时，该函数y的最大值为，最小值为， ∴，解得； 当时，该函数y的最小值为，最大值为， ∴，解得， 综上，满足条件的a值为． 题型6：二次函数图像平移变换问题 1.（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知抛物线的图象经过点． （1）求二次函数的解析式； （2）经过怎样的平移可得到二次函数． 【答案】（1）；（2）将二次函数向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到二次函数 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）将一般式化为顶点式，根据平移规则进行判断即可. （1）解：把点代入，得， 解得， 该二次函数的解析式为． （2）解：， 的顶点坐标是 的顶点坐标是， 将点向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到 将二次函数向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到二次函数． 2.（26-27九年级上·山西吕梁·阶段检测）将抛物线先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移． 解：将抛物线先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， 得． 3.（25-26九年级上·广东湛江·阶段检测）如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，以及二次函数的性质．先求出抛物线的解析式，从而可得顶点的坐标，以及点的坐标，再利用二次函数的性质、三角形的面积公式即可得． 解：如图，连接，， 由题意得：平移后的抛物线的解析式为， 则抛物线的对称轴为直线，顶点的坐标为， 对于函数，当时，，即， 根据抛物线的对称性知：， 所以． 故答案为：4． 4.（2026·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，． （1）求抛物线的函数解析式； （2）将抛物线向右平移个单位，当平移后抛物线经过点时，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用待定系数法，将两点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可得到抛物线解析式； （2）根据抛物线平移的“左加右减”规律得到平移后的解析式，将点坐标代入，解方程求出的值，再结合即可得到结果． （1）解：把，代入， 得， 整理得 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：由得抛物线解析式为， ∴， ∵将抛物线向右平移个单位， ∴根据平移规律，得到平移后的解析式为， ∵平移后抛物线经过点， ∴将，代入得， ， 解得，， ∵， ∴． 题型7：二次函数与一元二次方程结合综合题 1.（26-27九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，已知二次函数的图象经过点． （1）求的值． （2）点在该二次函数的图象上． ①当时，求的值； ②若点到轴的距离大于3，请根据图象直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）①②或 【分析】（1）用待定系数法，把点代入二次函数，解出的值即可； （2）①由（1）求出二次函数解析式为，因为点在该二次函数的图象上，再把代入二次函数，解出的值即可； ②由图象可知，当时，或，因为点到轴的距离大于3，结合图象即可得出的取值范围 ． （1）解：把点代入二次函数得： ， 解得； （2）解：由（1）得二次函数解析式为， ①因为点在该二次函数的图象上， 所以当时，； ②由图象可知，当时，或， 因为点到轴的距离大于3，即， 观察图象，当时，的取值范围为或． 2.（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线的对称性，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围即可． 解：∵二次函数的顶点坐标为：， ∴对称轴为直线， 由图象可知，抛物线与轴负半轴的交点的横坐标的范围为：， ∴抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围为； ∴一元二次方程的正数解的范围是； 故选:C． 3.（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】题目未说明函数是二次函数，需分一次函数和二次函数两种情况讨论，一次函数验证与轴交点情况，二次函数利用判别式求解后合并范围即可． 解：分两种情况讨论： 当，即时，原函数为，是一次函数，与轴有一个交点，符合要求； 当，即时，原函数为二次函数，图象与轴有交点， ∴，解得， 综上，的取值范围是． 4.（26-27九年级上·重庆·期中）已知二次函数． （1）若对任意的，都有随的增大而增大，求的取值范围； （2）若该抛物线与轴的交点分别为、且，求的值． 【答案】（1）；（2）的值为或 【分析】（1）先表示出抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，当，对任意的，都有随的增大而增大，然后解不等式得到的取值范围； （2）根据抛物线与轴的交点可知，是一元二次方程的两个实数根，解得， ，根据，然后解关于的方程即可． （1）解：，该抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大， 该抛物线的对称轴为， 时，函数值随增大而增大， ， 解得． （2）解：已知， 当，可得， 则， 解得， ， 则抛物线与轴的交点分别为、， ，， ， 则， 解得或． 题型8：二次函数销售与利润最值问题 1.（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）某糖果经销商销售某种糖果，成本为每千克15元，规定糖果每千克的售价不低于成本，且不高于35元．试销期间发现该糖果每天销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，试销期间销售数据如下表： x/元 15 20 25 30 y/千克 120 110 100 90 （1）请求出y与x之间的函数解析式； （2）设每天获得的总利润是w（元）．当这种糖果每千克的售价是多少元时，每天获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 【答案】（1）；（2）当这种糖果每千克的售价是35元时，每天获得的总利润最大，最大总利润是1600元． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据总利润（售价成本价）销售量列出w关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． （1）解：设y与x之间的函数解析式为， 由题意得，， 解得， ∴． ∵糖果每千克的售价不低于成本，且不高于35元， ∴, ∴y与x之间的函数解析式为； （2）解：由题意得， ， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， 答：当这种糖果每千克的售价是35元时，每天获得的总利润最大，最大总利润是1600元． 2.（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨元/千克时，日销售量就会减少15千克．若使日销售利润最大，则销售价格应定为（    ）元/千克． A．42 B．40 C．38 D．35 【答案】B 【分析】本题考查二次函数在实际销售问题中的最值应用，通过设变量建立利润与销售价格的二次函数关系式，利用二次函数开口向下的性质，求顶点对应的销售价格即为利润最大时的价格． 解：设销售价格定为元/千克，日销售利润为元， ∵每千克利润为元， 售价较35元上涨了元，每涨元日销量减少15千克，故日销量减少千克， ∴实际日销售量为千克， 则， 展开整理得， ∵二次项系数，函数图象开口向下，存在最大值， ∴当时，取得最大值． 即销售价格应定为40元/千克． 故选：B． 3.（上海市普陀区2026-2027学年九年级上学期10月阶段练习数学试卷）某照明公司研发了一款成本为20元的新型节能灯．经过试销售后发现，销售单价定为30元时，每月销售量为300个；每涨价1元，每月少销售10个．那么每月销售这款新型节能灯能获得的最大利润是__________元． 【答案】4000 解：设销售单价涨价元，销售利润为元， 由题意得，， ∵， ∴当时，取得最大值为4000元， ∴每月销售这款新型节能灯能获得的最大利润是4000元． 4.（26-27九年级上·云南曲靖·阶段检测）某公司利用互联网技术，销售一批成本为30元/箱的精品水果，按销售单价不低于成本价，且不高于60元/箱销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）之间的关系如图所示． （1）请求出y与x的函数解析式； （2）设每天的销售利润为w元，销售单价定为多少元/箱时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）销售单价定为元/箱时，才能使销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为元 【分析】（1）依据题意，运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，求出与的函数解析式为，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． （1）解：设该商品每天的销售量与销售单价之间的关系为 由图可得： 解得： 该商品每天的销售量与销售单价之间的关系为， 销售单价不低于成本价，且不高于元/箱销售， ， 与的函数解析式为； （2）由（1）得该商品每天的销售量与销售单价之间的关系为， ∴每天的销售利润为， ∴， ，， 当时，每天获得的利润最大，最大利润是元， 答：销售单价定为元/箱时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 题型9：反比例函数k的几何意义面积计算题 1.（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，，是反比例函数图像上的两点，线段的延长线交轴于点，过作轴，过作轴，已知为的中点，的面积为4． （1）若，则点的坐标是________． （2）的值是________． 【答案】 【分析】（1）先利用中点坐标求出点坐标，再写出，两点坐标，然后设直线解析式，代入，两点求出一次函数表达式，最后令，求出直线与轴的交点的坐标； （2）由（1）得到点，的坐标，从而确定的底和高的值，再根据三角形面积公式列方程求出，然后根据反比例函数图像所在象限，判断的符号，从而确定的值． （1）解：∵，是的中点， ∴， ∵，是反比例函数图像上的两点，且轴，轴， ∴，， 设直线的解析式为，将点，代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， 解得， 又∵点是直线与轴的交点， ∴点的坐标是； （2）由（1）可知：，，轴， ∴，， ∵的面积为4， ∴， 解得， ∵反比例函数图像在第二象限， ∴， ∴． 2.（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】连接，，设交轴于点，根据平行线的性质和等底等高的两个三角形面积相等得到 ，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到， ，进而求解即可． 解：连接，，设交轴于点． ∵轴，点在轴上， ∴． ∵轴， ∴轴． ∵点在图象上，点在图象上， ∴，． ∴． 3.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，反比例函数上两点，的横坐标分别为m，，则的面积是______． 【答案】6 【分析】过点作轴，过点作轴，垂足分别为、，根据已知条件可求，，再利用求面积． 解：如图，过点作轴，过点作轴，垂足分别为、， 、两点在反比例函数的图象上，且、的横坐标分别是，， ∴，， ． 4.（2026·河南平顶山·三模）定义：如图，在平面直角坐标系中，为第一象限内的任意一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为．若四边形的周长与其面积相等，则称点为平面直角坐标系中的“等和积点”．已知“等和积点”在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式． （2）若为上一点，以为边作正方形，若点在反比例函数的图象上，试求出点的坐标，并判断点是否为“等和积点”． 【答案】（1）；（2）点D的坐标为，点为“等和积点” 【分析】（）利用等和积点定义求点坐标，代入反比例函数求解析式； （）设纵坐标，利用正方形得坐标，代入反比例函数求值，验证等和积点条件． （1）解：由题意，得， 解得， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：设点的纵坐标为， 四边形为正方形， ． 点的横坐标为， ， 点在反比例函数的图象上， ， 解得 （负值已舍去）， 点的坐标为， ， 点为“等和积点”． 题型10：反比例函数函数值大小比较 1.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知y是x的反比例函数，当时，． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）若点、、均在这个反比例函数的图象上，直接写出a、b、c的大小关系________．（用“”连接） 【答案】（1）；（2） （1）解：设反比例函数， ∵当时，， ， ∴函数的解析式为； （2）解：∵，， ∴双曲线位于一，三象限，在每一个象限内，随着的值的增大而减小， ∵点、、在反比例函数的图象上，且， ∴，即. 2.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 解：反比例函数中，， 函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小． 点，，都在反比例函数的图象上，且， 点，位于第一象限，位于第三象限， ． 3.（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是___________________． 【答案】 解：点，，都在反比例函数的图象上， ，，， ， 4.（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，它是反比例函数（为常数，且）图象的一支． （1）的取值范围为 ；画出图象另一支的示意图； （2）在这个函数图象上任取点和．若，判断和的大小关系，并说明． 【答案】（1），画图如下： （2）由图象可知：在每一个象限内，随的增大而增大， ∵和在反比例函数图象上， ∴当在同一象限内时，， 当不在同一象限内时，； 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据反比例函数图象所在的象限，判断的取值范围，利用对称性画出另一支的示意图即可； （2）分在同一象限内，和不在同一象限内两种情况进行讨论说明即可． （1）解：由图象可知，反比例函数图象过第二象限，则另一支在第四象限， ∴， ∴， （2）略 题型11：一次函数与反比例函数求交点解答题 1.（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点是线段上一动点，过点作轴的平行线交反比例函数（）的图象于点．若，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为 ；（2）点的坐标为． 【分析】（1）因为点A在一次函数图象上，所以将A点横坐标代入一次函数表达式可求出a的值，得到A点坐标．因为A点在反比例函数图象上，所以将A点坐标代入反比例函数表达式可求出k的值，得到反比例函数表达式． （2）设点P的纵坐标为m，因为P在线段上，所以用一次函数表达式可表示出P点的横坐标．因为平行于x轴，所以Q点纵坐标与P点相同，代入反比例函数表达式可表示出Q点的横坐标．因为长度为2，且Q在P右侧，所以用Q点横坐标减去P点横坐标等于2列方程，求解得到m的值，进而得到P点坐标． （1）解：∵点在一次函数的图象上, 将代入一次函数解析式： ， ∴点的坐标为。 又∵点在反比例函数的图象上， 将代入得： ， 解得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵一次函数与轴交点，满足， 代入得， 解得， 即． 设点的纵坐标为， ∵在线段上， 将代入， 得， ∴的坐标为． ∵轴， ∴点的纵坐标也为； 又在反比例函数上， 将代入，得， ∴的坐标为． 由图可知在右侧，为水平线段， 长度等于两点横坐标之差： 整理方程得：， 解得，或（舍去）． 将代入的坐标表达式， 得到正确的点P的坐标为． 2.（26-27九年级上·全国·单元复习）若反比例函数的图象经过点，则一次函数与在同一坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用待定系数法算出反比例函数k的值，再根据k的值确定反比例函数所在象限，根据k的值确定一次函数解析式，根据一次函数解析式确定一次函数图象所在象限，即可选出答案． 解：∵反比例函数的图象经过点 ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∴图象在第二、四象限内， ∵， ∴一次函数为， ∴图象经过第一、三、四象限， 联立两函数解析式可得：， 则， ∵， ∴两函数图象无交点， 综上：选项D符合题意． 3.（25-26八年级下·上海·期中）如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，其横坐标分别为1和3，则关于的不等式的解集是______． 【答案】或 【分析】找到直线在双曲线下方时的自变量的范围，即可得出结果． 解：由图象可知，关于的不等式的解集是或． 4.（2026·西藏·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式： （2）将一次函数的图象向上平移3个单位长度，求平移后的一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标． 【答案】（1）一次函数，反比例函数；（2）， 【分析】（1）将点代入反比例函数可得，再令得到点，然后代入即可得一次函数解析式； （2）根据平移得到平移后的解析式为，再联立求交点即可． （1）解：点在反比例函数上， ，解得， 反比例函数， 令，则，解得， 故， 把，代入一次函数， 联立得， 解得， 所以一次函数； （2）一次函数的图象向上平移3个单位长度得， ， 解得或， 则平移后的一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标，． 题型12：反比例函数简单实际应用题 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动．客户交付首付款后，在36个月内结清余款即可．小张在活动期间购买了价格为18万元的汽车，首付款6万元．他计划用x个月结清余款，平均每月还款y万元． （1）y与x有怎样的函数关系？ （2）如果小张打算20个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？ （3）如果小张打算每月还款不超过5000元，那么他至少要多少个月才能结清余款？ 【答案】（1）与是反比例函数关系，解析式为（，且为正整数）；（2）0.6万元；（3）24个月 【分析】（1） 根据“月还款额还款月数余款总额”，即可解答； （2）把代入函数解析式求解即可； （3）根据反比例函数的性质即可解答； （1）解：根据题意，需要结清的余款为万元， 则， 整理得，根据题干要求36个月内结清余款，因此自变量的取值范围是，且为正整数， 故与是反比例函数关系，解析式为（，且为正整数）. （2）解：把代入函数，可得， 即每月还款万元； （3）解：5000元万元， 令，整理得，解得：， 根据题意， ∴，因此至少需要24个月结清余款． 2.（25-26八年级下·福建漳州·期末）某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】待定系数法求出反比例函数解析式为，然后结合图象逐项分析求解判断即可． 解：由图象得，当时，，故A错误； 设反比例函数解析式为， 将代入得，， 解得， ∴， ∴当时，，故C错误； 当时，， ∵当时，h随的增大而减小， ∴当时，，故B正确； 由图象得，当时，，故D错误． 3.（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，P的取值范围为___________． 【答案】 【分析】先确定反比例函数的解析式为，计算出两个端点的函数值，利用函数性质，求解即可． 解：根据题意，设，把代入解析式，得， 故反比例函数的解析式为， 当时，； 当时，； 由反比例函数在第一象限内，y随x的增大而减小， 故． 4.（2026九年级上·全国·专题练习）近视眼镜镜片的度数（单位：度）是关于镜片焦距（单位：m）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求近视眼镜镜片的度数关于镜片焦距的函数解析式； （2）若某近视眼镜的镜片为500度，求其焦距． 【答案】（1）；（2）其焦距为0.2米 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可． （1）解：设反比例函数为， 由图象可知，图象经过点，即当时，， 代入得：， 解得， ∴近视眼镜镜片的度数关于镜片焦距的函数解析式为； （2）解：将代入得： ， 解得， ∴其焦距为0.2米． 题型13：一元二次方程与二次函数简单参数求值解答题 1.（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知二次函数图像上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）当时，关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是______． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（）设二次函数的解析式为，再利用待定系数法解答即可； （）根据二次函数的性质解答即可； （）由二次函数的性质可得当时，，即可得要使关于的一元二次方程有实根，则抛物线与直线有交点，进而即可求解； 本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图像和性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）解：由题意知，二次函数的图象过点和 ， ∴可设二次函数的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴这个二次函数的表达式为， 即； （2）解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 由表中数据可知，当时，或， ∴当时，的取值范围为或； （3）解：当时，， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数的取值范围为， 要使关于的一元二次方程有实根，则抛物线与直线有交点， ∴， 故答案为：． 2.（24-25九年级上·安徽合肥·期中）一元二次方程可以转化为，所以其根可视为直线与双曲线交点的横坐标，根据此法可推断关于x的方程的实数根所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与反比例函数的交点问题，理解题意，得到所求方程是一个二次函数和一个反比例函数的图象交点的横坐标是解答的关键．首先根据题意推断方程的实根是抛物线与双曲线的图象交点的横坐标，画出两函数的草图可推断方程的实根所在范围． 解：根据题意，方程的实根是抛物线与双曲线交点的横坐标， ∵抛物线位于第一、二象限，双曲线位于第一、三象限， ∴它们的交点在第一象限， 可画出两个函数在第一象限的草图，如图， ∵当时，，，则此时抛物线在双曲线的下方， 当时，，，则此时抛物线在双曲线的上方， 又∵在第一象限内，函数随x的增大而增大，函数随x的增大而减小， ∴结合图象，两函数图象的交点只有一个，且交点的横坐标应在1和2之间， 故方程的实根所在的范围是， 故选：B． 3.（26-27九年级上·全国·单元复习）若关于的二次函数的图象与轴只有一个交点，则一元二次方程有两个________的实数根，从而根据判别式可得________． 【答案】 相等 1 【分析】二次函数图象与轴的交点个数对应一元二次方程实数根的个数，交点个数为1时对应判别式等于0，据此计算的值． 解：∵二次函数的图象与轴只有一个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根. 对于一元二次方程，根的判别式满足， 其中，，，代入得： ， 整理得， 解得． 4.（25-26九年级下·安徽蚌埠·阶段检测）已知二次函数． （1）若该二次函数的图象经过，，求，的值； （2）若该二次函数的图象与轴交于不同的两点，，其中，且抛物线顶点在第一象限，连接，满足． ①求关于的一元二次方程根的判别式的值； ②若，求的最大值． 【答案】（1）；（2）①4；②． 【分析】本题考查了待定系数求二次函数解析式，二次函数的性质等知识，解题的关键是： （1）把，代入函数解析式求解即可； （2）①过点作轴，垂足为，分别求出A、B、P的坐标，然后利用正切定义求解即可； ②根据①求出T关于b的函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可． （1）解：将A（-2，0），B（4，0）分别代入得： ，解得； （2）解：①过点作轴，垂足为，    由得，， ， 抛物线的顶点的顶点坐标为， ，， ， ， 解得； ②， ， ， 的最大值为． 题型14：二次函数与反比例函数图像交点及简单面积计算题 1.（2025·广东江门·一模）如图，二次函数（常数）与x轴从左到右的交点为A、B，过线段的中点D作轴，交反比例函数于点C，且． （1）求反比例函数的解析式． （2）当时，求的长，并求直线与抛物线的对称轴之间的距离． （3）把抛物线在直线右侧部分的图象（含与直线的交点）记为E，用t表示图象E最低点的坐标． 【答案】（1）；（2），直线与抛物线的对称轴之间的距离为；（3）当时，；当时， 【分析】本题考查了二次函数的几何综合，求反比例函数的解析式，求对称轴，二次函数与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合点D是线段的中点，得，结合，故，即可作答． （2）把代入，得出，得，二次函数的对称轴为直线，再求出，即可作答． （3）先表示出，二次函数的对称轴为直线，，再结合把抛物线在直线右侧部分的图象（含与直线的交点）记为E，且，则当时，故，代入，得，当时，即，把代入，则，即可作答． （1）解：∵过线段的中点D作轴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵点C在反比例函数于 ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵，且， ∴， ∵二次函数（常数）与x轴从左到右的交点为A、B， ∴， ∴，二次函数的对称轴为直线， ∵过线段的中点D作轴， ∴， ∴， ∴， 则直线与抛物线的对称轴之间的距离为1； （3）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵二次函数（常数）与x轴从左到右的交点为A、B，且， ∴， 此时二次函数的对称轴为直线， ∵过线段的中点D作轴， ∴， ∴， ∵把抛物线在直线右侧部分的图象（含与直线的交点）记为E，且， 当时，即，故， 把代入， 得， ∴． 当时，即， 把代入， 得， ∴． 综上：当时，；当时，； 2.（2026·安徽·三模）二次函数是常数且的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据抛物线的对称轴为直线得到，求出，，然后判断一次函数图象；由二次函数当时，，得到，然后判断反比例函数图象． 解：∵抛物线对称轴为直线，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ， ∴直线的图象经过第一、三、四象限； 由二次函数图象可知，当时，，即， ， ∴反比例函数的图象分别位于第一、三象限． 综上，只有C选项符合题意． 3.（25-26九年级下·浙江杭州·期中）已知函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 2 5 … y … m 5 n … 下列命题：①若y是x的反比例函数，则；②若y是x的一次函数，则；③若y是x的二次函数，且图象开口向下，则．其中正确的是______．（填写正确的序号） 【答案】/②① 【分析】①根据反比例函数系数的几何意义即可判断；②求得一次函数的解析式，分别求得、的值即可判断；③根据二次函数的性质即可判断． 解：①若是的反比例函数，则， 解得，，则，故①正确； ②若是的一次函数，设为， 把，；，代入得 ，解得： 所以一次函数关系式是， 当时；时， ，， ，故②正确； ③若是的二次函数，设解析式为， 函数经过点和， ， ， ， 当二次函数图像过时，即对称轴为时，， ∵开口向下， ∴， ∴当对称轴在左侧时，，得，解得， 当对称轴在左侧时，，得，解得且， 所以无法判断m与n的大小； 故③错误； 故答案为：． 【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数、反比例函数及二次函数的求法是解题关键． 4.（2026·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点，……都是和谐点． （1）判断函数的图象上________（填“是”或“否”）存在和谐点： （2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点． ①求a、c的值； ②若时，函数的最小值为，最大值为3，求实数m的取值范围． 【答案】（1）否；（2）①，；② 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质等等，正确理解题意是解题的关键． （1）假设存在和谐点，则可得到，由于方程无解，则假设不成立，即不存在和谐点； （2）①先把代入二次函数解析式推出，再根据只有一个和谐点得到方程只有一个实数根，由此得到，据此求出a的值进而求出c的值即可； ②根据①可得解析式为，则二次函数的对称轴为直线，由对称性求出当时，，再由当时，函数的最小值为，最大值为3，即可得到． （1）解： 若函数的图象上存在和谐点，则，即，此时方程无实数解， ∴：函数的图象上不存在和谐点， 故答案为：否； （2）解：①把代入中得， ∴， ∵二次函数的图象上有且只有一个和谐点， ∴二次函数与直线只有一个交点，即方程只有一个实数根， ∴方程只有一个实数根， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴； ②由①函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线，其顶点坐标为，则最大值为3， 在时，随的增大而增大，当时，， 根据对称轴可知，当时，， ∵当时，函数的最小值为，最大值为3， 根据函数图象可知，当时，函数的最小值为－1，最大值为3， ∴． 题型15：利用一元二次方程求解函数背景下线段长度中档解答题 1.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，直线与双曲线（）相交于，两点，与轴相交于点． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数为；一次函数为；（2）点的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）联立两个函数解析式求出x的值，代入某个函数解析式求出y的值，即可得到点B的坐标． （1）解：将代入： 得， ∴反比例函数为； 直线经过和，代入得方程组： ①②得：， 将代入②得， 解得， ∴一次函数为； （2）解：联立一次函数和反比例函数的方程组： 将①代入②： 解得：或 当时，，即点， 当时，，即点， ∴点的坐标为． 2.（2026·河北邢台·二模）已知是一元二次方程的两根之和，则关于双曲线的说法正确的是（     ） A．随增大而增大 B．点在双曲线上 C．双曲线关于直线对称 D．双曲线位于一、三象限 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程两根之和的规律求出的值，得到反比例函数的比例系数，再结合反比例函数的性质逐一判断选项即可． 解：∵ 一元二次方程 中，二次项系数为，一次项系数为， ∴ 两根之和 ， ∴ 双曲线解析式为 ，比例系数 ， 反比例函数的增减性仅在每个象限内成立， 不是在全体定义域内随增大而增大，故A错误； B. 将代入，得，所以点不在双曲线上，故B错误； C. 反比例函数的图象关于直线对称，故C正确； D. ∵ ， ∴ 双曲线位于第二、四象限，故D错误． 3.（2025·福建泉州·模拟预测）如图，双曲线上的一点，其中，过点A作轴于点B，连接．将绕点A逆时针旋转得到，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、旋转的性质、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由旋转的性质得，，得出点C的坐标为，代入点和点的坐标到反比例函数得到，解方程即可求出的值． 解：，轴， ，， 由旋转的性质得，， 点C的坐标为， 点和点都在双曲线上， ， 解得：或（舍去负值）， 的值为． 故答案为：． 4.（2026·河南南阳·二模）如图，直线与反比例函数的图形交于和两点． （1）求b，k的值；     （2）若点也在反比例函数的图象上，求当时，函数值y取值范围； （3）将直线y=-x+b向下平移m个单位，当直线与双曲线没有交点时，求m的取值范围． 【答案】（1）b=5，k=4；（2）≤y≤2；（3）1＜m＜9． 【分析】（1）把B（4，1）分别代入y=-x+b和，即可得到b，k的值； （2）根据反比例函数的性质，即可得到函数值y的取值范围； （3）将直线y=-x+5向下平移m个单位后解析式为y=-x+5-m，依据-x+5-m=，可得△=（m-5）2-16，当直线与双曲线只有一个交点时，根据△=0，可得m的值． 解：（1）∵直线 y=-x+b 过点 B（4，1）， ∴1=-4+b， 解得 b=5， ∵反比例函数的图象过点 B（4，1）， ∴k=4； （2）∵k=4＞0， ∴当 x＞0 时，y 随 x 值增大而减小， ∴当 2≤x≤6 时，≤y≤2； （3）将直线 y=-x+5 向下平移 m 个单位后解析式为 y=-x+5-m， 设直线 y=-x+5-m 与双曲线y=只有一个交点， 令-x+5-m=，整理得 x2+（m-5）x+4=0， ∴△=（m-5）2-16=0， 解得 m=9 或 1． ∴直线与双曲线没有交点时，1＜m＜9． 【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，一次函数图象与几何变换以及一元二次方程根与系数的关系的运用，解题时注意：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习专题2——综合运算与推理证明 （人教版九年级上册：期中核心综合考点） 一、专题定位 本专题整合一元二次方程、二次函数、反比例函数三章中档综合考点，既包含各章节内部综合运算、性质应用、简单实际建模，同时融入难度适中的跨章节联动中档试题。重点训练学生规范书写解题步骤，落实方程根的判别式、根与系数关系、函数图像变换、反比例函数k的几何意义等核心考点，帮助学生建立方程与函数之间的知识转化意识，攻克中档题型思路模糊、步骤疏漏、知识割裂等常见问题。适配期中第二轮专题复习、课堂专项讲练、中档题型限时训练、阶段性检测组卷，是提升期中解答题得分率的核心关键专题。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 一元二次方程 利用根的判别式判断方程实数根的情况；根与系数关系（韦达定理）的基础代数式求值；含参数一元二次方程的根的情况讨论；一元二次方程在面积、增长率场景下的实际应用建模与求解 二次函数 二次函数一般式的图像性质：对称轴、顶点坐标、增减性判断；二次函数图像平移变换规律；二次函数与一元二次方程的关联应用，借助函数图像分析方程根的情况；二次函数简单最值计算与基础应用 反比例函数 反比例函数k的几何意义，求解图像与坐标轴围成的几何图形面积；不同区间内函数值大小比较；一次函数与反比例函数联立求解交点坐标；反比例函数简单实际问题建模与计算 跨章节中档综合 一元二次方程与二次函数简单参数联动求值；二次函数与反比例函数图像交点判定、坐标求解及简单面积计算；以一元二次方程为代数工具，求解函数背景下线段长度、自变量取值及销售与利润等中档综合问题 三、必考、常考题型 题型1：一元二次方程根的判别式应用 1.（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的2倍，求的值. 2.（26-27九年级上·山西长治·阶段检测）在解关于的一元二次方程时，佳佳将的值写成了，有两个相等的实数根，则原方程（     ） A．没有实数根 B．无法判断根的情况 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 3.（26-27九年级上·河南鹤壁·阶段检测）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_____________． 4.（26-27九年级上·天津红桥·阶段检测）已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若是该一元二次方程的一个根，求的值； （2）判断该一元二次方程的实数根的情况，并说明理由； （3）若的两边，的长是该一元二次方程的两个实数根，当为何值时，是菱形？求此时菱形的边长． 题型2：一元二次方程根与系数关系简单求值 1.（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）已知是方程的两个不同的实数根，求下列各式的值． （1）； （2）． 2.（26-27九年级上·河南鹤壁·阶段检测）设、是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 3.（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，______． 4.（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）关于的一元二次方程有两个实数根，其两个实数根分别为，． （1）__________，__________； （2）若，求的值． 题型3：含参数一元二次方程根的讨论解答题 1.（26-27九年级上·全国·单元复习）若关于x的一元二次方程的两根分别为，且，求k的值． 2.（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．0或1个 D．1或2个 3.（2026年甘肃省临夏回族自治州广河县部分校初中学业水平考试标准检测试卷（五）数学）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是______． 4.（26-27九年级上·河南鹤壁·阶段检测）阅读下面的例题： 解方程：． 解：①当 时，原方程可化为 ，解得：，（不符合题意，舍去）． ②当 时，原方程可化为 ，解得：（不符合题意，舍去），． 综上，原方程的解是 或 ． 请参照例题，解方程：． 题型4：一元二次方程面积、增长率实际应用 1.（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，要求使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么的长为多少米？ （2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由 2.（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）某厂一月份生产产品50台，计划一、二、三月份共生产产品200台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 3.（26-27九年级上·全国·单元测试）屏风历史悠久，是中国古代居室内的重要家具和装饰品，具有分隔、美化、挡风等作用．如图是一个屏芯长，宽的矩形黄花梨小座屏风示意图，屏芯周围被边框宽度相同的屏框包围．若整个屏风的面积为，则屏框的宽度为______． 4.（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）某品牌汽车第一季度的销售量为万辆，第二季度的销售量下降了，经销商从第三季度起加强管理，改善经营，使销售量稳步上升，第三、四季度的销售量共达到了万辆． （1）求第二季度的销售量； （2）求第三、四季度的销售量的平均增长率． 题型5：二次函数图像性质综合问题 1.（26-27九年级上·陕西渭南·阶段检测）已知二次函数的与的部分对应值如下表： （1）求这个二次函数的解析式． （2）当为何值时，随的增大而增大． （3）判断点是否在这个函数的图像上，并说明理由． 2.（26-27九年级上·全国·单元测试）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … m 3 2 … 下列各选项中，正确的是（     ） A．抛物线开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D． 3.（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，且m满足，则当时，y的值为______． 4.（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）已知二次函数（，，为常数）的图象与轴交于点，且过点． （1）求与的关系式（用含的式子表示）． （2）当时，函数的最大值与最小值之差为9，求的值． 题型6：二次函数图像平移变换问题 1.（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知抛物线的图象经过点． （1）求二次函数的解析式； （2）经过怎样的平移可得到二次函数． 2.（26-27九年级上·山西吕梁·阶段检测）将抛物线先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·广东湛江·阶段检测）如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为___________． 4.（2026·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，． （1）求抛物线的函数解析式； （2）将抛物线向右平移个单位，当平移后抛物线经过点时，求的值． 题型7：二次函数与一元二次方程结合综合题 1.（26-27九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，已知二次函数的图象经过点． （1）求的值． （2）点在该二次函数的图象上． ①当时，求的值； ②若点到轴的距离大于3，请根据图象直接写出的取值范围． 2.（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 3.（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 4.（26-27九年级上·重庆·期中）已知二次函数． （1）若对任意的，都有随的增大而增大，求的取值范围； （2）若该抛物线与轴的交点分别为、且，求的值． 题型8：二次函数销售与利润最值问题 1.（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）某糖果经销商销售某种糖果，成本为每千克15元，规定糖果每千克的售价不低于成本，且不高于35元．试销期间发现该糖果每天销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，试销期间销售数据如下表： x/元 15 20 25 30 y/千克 120 110 100 90 （1）请求出y与x之间的函数解析式； （2）设每天获得的总利润是w（元）．当这种糖果每千克的售价是多少元时，每天获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 2.（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨元/千克时，日销售量就会减少15千克．若使日销售利润最大，则销售价格应定为（    ）元/千克． A．42 B．40 C．38 D．35 3.（上海市普陀区2026-2027学年九年级上学期10月阶段练习数学试卷）某照明公司研发了一款成本为20元的新型节能灯．经过试销售后发现，销售单价定为30元时，每月销售量为300个；每涨价1元，每月少销售10个．那么每月销售这款新型节能灯能获得的最大利润是__________元． 4.（26-27九年级上·云南曲靖·阶段检测）某公司利用互联网技术，销售一批成本为30元/箱的精品水果，按销售单价不低于成本价，且不高于60元/箱销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）之间的关系如图所示． （1）请求出y与x的函数解析式； （2）设每天的销售利润为w元，销售单价定为多少元/箱时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 题型9：反比例函数k的几何意义面积计算题 1.（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，，是反比例函数图像上的两点，线段的延长线交轴于点，过作轴，过作轴，已知为的中点，的面积为4． （1）若，则点的坐标是________． （2）的值是________． 2.（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 3.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，反比例函数上两点，的横坐标分别为m，，则的面积是______． 4.（2026·河南平顶山·三模）定义：如图，在平面直角坐标系中，为第一象限内的任意一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为．若四边形的周长与其面积相等，则称点为平面直角坐标系中的“等和积点”．已知“等和积点”在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式． （2）若为上一点，以为边作正方形，若点在反比例函数的图象上，试求出点的坐标，并判断点是否为“等和积点”． 题型10：反比例函数函数值大小比较 1.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知y是x的反比例函数，当时，． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）若点、、均在这个反比例函数的图象上，直接写出a、b、c的大小关系________．（用“”连接） 2.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 3.（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是___________________． 4.（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，它是反比例函数（为常数，且）图象的一支． （1）的取值范围为 ；画出图象另一支的示意图； （2）在这个函数图象上任取点和．若，判断和的大小关系，并说明． 题型11：一次函数与反比例函数求交点解答题 1.（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点是线段上一动点，过点作轴的平行线交反比例函数（）的图象于点．若，求点的坐标． 2.（26-27九年级上·全国·单元复习）若反比例函数的图象经过点，则一次函数与在同一坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级下·上海·期中）如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，其横坐标分别为1和3，则关于的不等式的解集是______． 4.（2026·西藏·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式： （2）将一次函数的图象向上平移3个单位长度，求平移后的一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标． 题型12：反比例函数简单实际应用题 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动．客户交付首付款后，在36个月内结清余款即可．小张在活动期间购买了价格为18万元的汽车，首付款6万元．他计划用x个月结清余款，平均每月还款y万元． （1）y与x有怎样的函数关系？ （2）如果小张打算20个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？ （3）如果小张打算每月还款不超过5000元，那么他至少要多少个月才能结清余款？ 2.（25-26八年级下·福建漳州·期末）某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 3.（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，P的取值范围为___________． 4.（2026九年级上·全国·专题练习）近视眼镜镜片的度数（单位：度）是关于镜片焦距（单位：m）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求近视眼镜镜片的度数关于镜片焦距的函数解析式； （2）若某近视眼镜的镜片为500度，求其焦距． 题型13：一元二次方程与二次函数简单参数求值解答题 1.（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知二次函数图像上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）当时，关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是______． 2.（24-25九年级上·安徽合肥·期中）一元二次方程可以转化为，所以其根可视为直线与双曲线交点的横坐标，根据此法可推断关于x的方程的实数根所在的范围是（    ） A． B． C． D． 3.（26-27九年级上·全国·单元复习）若关于的二次函数的图象与轴只有一个交点，则一元二次方程有两个________的实数根，从而根据判别式可得________． 4.（25-26九年级下·安徽蚌埠·阶段检测）已知二次函数． （1）若该二次函数的图象经过，，求，的值； （2）若该二次函数的图象与轴交于不同的两点，，其中，且抛物线顶点在第一象限，连接，满足． ①求关于的一元二次方程根的判别式的值； ②若，求的最大值． 题型14：二次函数与反比例函数图像交点及简单面积计算题 1.（2025·广东江门·一模）如图，二次函数（常数）与x轴从左到右的交点为A、B，过线段的中点D作轴，交反比例函数于点C，且． （1）求反比例函数的解析式． （2）当时，求的长，并求直线与抛物线的对称轴之间的距离． （3）把抛物线在直线右侧部分的图象（含与直线的交点）记为E，用t表示图象E最低点的坐标． 2.（2026·安徽·三模）二次函数是常数且的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（     ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级下·浙江杭州·期中）已知函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 2 5 … y … m 5 n … 下列命题：①若y是x的反比例函数，则；②若y是x的一次函数，则；③若y是x的二次函数，且图象开口向下，则．其中正确的是______．（填写正确的序号） 4.（2026·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点，……都是和谐点． （1）判断函数的图象上________（填“是”或“否”）存在和谐点： （2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点． ①求a、c的值； ②若时，函数的最小值为，最大值为3，求实数m的取值范围． 题型15：利用一元二次方程求解函数背景下线段长度中档解答题 1.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，直线与双曲线（）相交于，两点，与轴相交于点． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求点的坐标． 2.（2026·河北邢台·二模）已知是一元二次方程的两根之和，则关于双曲线的说法正确的是（     ） A．随增大而增大 B．点在双曲线上 C．双曲线关于直线对称 D．双曲线位于一、三象限 3.（2025·福建泉州·模拟预测）如图，双曲线上的一点，其中，过点A作轴于点B，连接．将绕点A逆时针旋转得到，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，的值为______． 4.（2026·河南南阳·二模）如图，直线与反比例函数的图形交于和两点． （1）求b，k的值；     （2）若点也在反比例函数的图象上，求当时，函数值y取值范围； （3）将直线y=-x+b向下平移m个单位，当直线与双曲线没有交点时，求m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $