专题二·期中综合复习·培优提升讲义 ·2026--2027学年人教版九年级数学上册

专题二·期中综合复习·培优提升讲义 （一元二次方程+二次函数+反比例函数）·2026人教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 深化一元二次方程根的判别与韦达定理的综合应用 · 掌握二次函数图象与系数关系的深层推理，能进行多结论判断 · 理解反比例函数与一次函数、几何图形的综合问题 · 能处理含参函数与方程的分类讨论问题 · 提高函数综合题、压轴题的分析与解决能力 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程深化 判别式综合：Δ>0/=0/<0对应的根的情况，结合不等式求参数范围 韦达定理应用：已知两根关系求参数、根的代数式求值 含参方程：注意二次项系数不为0、根为正/负/整数等条件 换元法：整体代换简化复杂方程，如(x-h)²=k型 概念辨析例题：已知x₁,x₂是方程x²-3x-1=0的两根，求x₁²+x₂²的值 答案：11 解析：由韦达定理x₁+x₂=3，x₁x₂=-1，故x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=9+2=11 ☆ 2.二次函数深化 图象与系数关系：a看开口、b看对称轴、c看截距，abc符号判断 对称轴与交点：利用对称性求另一交点、求最值 顶点式平移：左加右减、上加下减，注意平移方向 二次函数与不等式：图象在x轴上方/下方对应的x范围 概念辨析例题：已知二次函数y=ax²+bx+c图象开口向上，对称轴x=1，与x轴一个交点(3,0)，判断abc符号 答案：a>0，b<0，c<0，故abc>0 解析：开口向上a>0；对称轴x=-=1>0，故b<0；另一交点(-1,0)，故c=-3a<0 ☆ 3.反比例函数深化 k的几何意义深化：三角形面积、矩形面积与|k|的关系 与一次函数综合：交点坐标、函数值大小比较 与几何图形综合：相似三角形、勾股定理求坐标 增减性应用：比较函数值大小需注意象限 概念辨析例题：正比例函数y=2x与反比例函数y=的一个交点(1,2)，求另一交点 答案：(-1,-2) 解析：反比例函数图象关于原点对称，故另一交点为(1,2)关于原点的对称点(-1,-2) ☆ 4.函数综合与压轴 动态几何与函数：动点问题建立函数关系 存在性问题：是否存在满足条件的点/线/图形 最值问题：面积最大、距离最短、利润最大 新定义问题：结合函数与方程的创新题型 概念辨析例题：抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B，与y轴交于C，求△ABC面积 答案：6 解析：令y=0得x=-1或3，故A(-1,0)、B(3,0)，AB=4；令x=0得C(0,3)，高=3，面积=×4×3=6 📋 知识总结表 专题 核心方法 易错点 判别式综合 Δ=b²-4ac判断根的情况 忽略a≠0的条件 韦达定理 x₁+x₂=-，x₁x₂= 忘记检验Δ≥0 图象与系数 a、b、c符号判断 对称轴公式记错 k的几何意义 S=|k| 忘记绝对值符号 最值问题 结合自变量范围 忽略顶点是否在范围内 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念、解法与应用（第1-30题） · 含参方程讨论：先保证a≠0，再结合Δ和根的条件 · 韦达定理应用：整体代换思想，将根的代数式用x₁+x₂和x₁x₂表示 · 实际应用：增长率、面积、运动等问题建模 1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的解 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，把代入方程，求出的值，因式分解法解方程求出另一个根即可． 【详解】解：把，代入方程，得：， ∴， ∴方程化为：， ∴， ∴， ∴方程的另一个根为； 故选A． 2．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）下列属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】一元二次方程须为整式方程且只含一个未知数，未知数的最高次数为2． 【详解】解：A选项，含两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B选项，不是整式方程，不属于一元二次方程，不符合题意； C选项，含一个未知数，未知数的最高次数为2，是一元二次方程，符合题意； D选项，含一个未知数，未知数的最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意． 3．（23-24九年级上·山西晋中·阶段检测）根据下列表格的对应值： x 6.17 6.18 6.19 6.20 （a，b、c是常数，且） 由此判断方程的一个根x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】根据在和之间有一个值能使的值为0，于是可判断方程一个解x的范围． 【详解】解：由 ，得 时 随 的增大而增大， 又知 时， ，时， ， ∴的一个解x的取值范围是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，解答此题的关键是利用函数的增减性． 4．（23-24九年级上·四川达州·期中）已知a，b是方程的两个根，则的值是（    ） A．14 B． C． D．10 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的解 【分析】本题主要考查根与系数的关系和方程的解的定义，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．根据方程的解的概念和韦达定理得出，，将先后两次代入变形得出原式，再将代入计算可得． 【详解】解：，是方程的两个根， ，即，， 则原式 ， 故选：A 5．（22-23九年级上·天津滨海新区·阶段检测）下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断即可. 【详解】解：当时，方程不是一元二次方程，故A不符合题意； 是分式方程，故B不符合题意； 整理得：，是一元一次方程，故C不符合题意； ，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握“一元二次方程的定义”是解题的关键. 6．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）若m是方程的一个根，则代数式的值是________． 【答案】8 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根，理解一元二次方程的根的定义是解题的关键；根据一元二次方程的根的定义可得，再整体代入求解即可． 【详解】解：m是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：8． 7．（24-25八年级下·山东东营·阶段检测）若方程是关于的一元二次方程，则______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由题意得且，解之即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且， ∴， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·四川成都·期末）设a，b是方程的两个实数根，则的值为_________． 【答案】2021 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的解 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出、是解题的关键．根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ． 故答案为：2021 9．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）一张面积是的矩形彩纸，长比宽多，若设它的宽为，可列出一元二次方程为________．（化为一般式） 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．直接根据题意列出方程即可． 【详解】解：∵长比宽多，设它的宽为， ∴它的长为， ∵面积是， ∴， 即， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·福建南平·期中）为防控疫情，我们应该做到有“礼”有“距”，于是用“碰肘礼”代替“握手”的问候方式逐渐流行．某次会议上，每两个参会者都相互行了一次“碰肘礼”，经统计共碰肘36次，若设有x人参加这次会议，则可列方程为________________． 【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用（握手问题模型），熟练掌握“个元素中任取2个的组合数为”是解题的关键． 利用碰肘的总次数等于参会人数乘以（参会人数减1）除以2，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：依题意得， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·河北保定·期末）若是方程的一个实数根，则的值为_______. 【答案】4055 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入原方程，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：将代入原方程得：， ∴， ∴． 故答案为：4055． 12．（2025九年级上·全国·专题练习）有一面积为的长方形，将它的一边剪短，另一边剪短，恰好变成一个正方形．设正方形的边长为，根据题意，可列方程为__________，将其化为一般形式为__________． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了根据题意列一元二次方程，将一元二次方程化为一般形式． 设正方形边长为，则原长方形长和宽分别为和，根据面积公式列方程，再化为一般形式． 【详解】解：原长方形面积为，剪短后变成正方形， 设正方形边长为， 因此原长方形长为，宽为， 列方程得． 展开得， 移项得一般形式． 故答案为：；． 13．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程（都是常数，且）的解为，则方程（都是常数，且）的解为_______． 【答案】 【知识点】换元法解一元二次方程、一元二次方程的解 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意，可得：或，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（都是常数，且）的解为， ∴方程，即：的解为：或， ∴； 故答案为：． 14．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）已知，是一元二次方程的两根，求的值为_____ 【答案】100 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出，，从而得出，求出，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 15．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）在实数范围内分解因式：_________． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式、配方法的应用 【分析】先利用配方法进行整理，再根据平方差公式进行因式分解即可。 【详解】解：， 根据平方差公式可得， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，注意在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止是解题的关键． 16．（24-25九年级下·河北衡水·阶段检测）若a，b是一元二次方程的两个根，则的值是________． 【答案】2025 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查根与系数的关系，一元二次方程的解，根据方程解得到，进而得到，根与系数的关系得到，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：2025． 17．（26-27九年级上·山西吕梁·阶段检测）已知是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】2023 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次变形，再结合根与系数的关系代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴，整理得， 将代入得：， ∵是方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系得， ∴． 18．（25-26九年级上·福建泉州·期中）关于x的一元二次方程下列说法：①若c是方程的一个根，则一定有成立；②当时，则关于x的方程必有实数根；③若，则方程一定有两个不相等的实数根；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是_________________（填序号） 【答案】②③④ 【知识点】判断是否是一元二次方程的解、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和判别式的性质。对于每个说法，通过代入根的定义、分析判别式或代数变形进行判断即可． 【详解】解：①若c是方程的一个根，将代入方程得：，即，这意味着或，并非“一定有”，因此说法①错误； ②由，则， 所以，， 所以，方程必有实数根，说法②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴方程一定有两个不相等的实数根，说法③正确； ④若是方程的根，则，即， 而， 因此，说法④正确． 故答案为：②③④． 19．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，方程①，②，③，恰有一个公共解，另一个解分别为，，．则的值是__________． 【答案】0 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解的应用 【分析】根据题意可得，解得，推出，分别代入三个式子即可解答． 【详解】解：根据题意可得，，， 三个式子相加可得， 则， ， ∴， 把代入①得：， ， ， 或， 解得或， 同理把代入②，解得或， 把代入③，解得或， 所以公共解， ． 20．（23-24九年级上·陕西商洛·期中）已知抛物线与x轴只有一个公共点，求c的值． 【答案】 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟知二次函数中，，二次函数图像与x轴有两个交点；，二次函数图像与x轴有一个交点；，二次函数图像与x轴没有交点，是解本题的关键．根据二次函数与一元二次方程的关系进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点， ∴方程有两个相等的实数根． ∴． ∴． 21．（2026九年级上·全国·专题练习）选择适当的方法解方程 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】根据因式分解法解答即可． 【详解】解：， ∴， ∴或， ∴． 22．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）先移项，然后根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （3）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （4）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：， （2）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解： ∴ ∴或， 解得： （4）解： ∴ ∴ ∴ ∴或 解得： 23．（25-26九年级上·北京·期中）解方程： (1) (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法和因式分解法的解题步骤是解题的关键． （1）通过配方法将方程转化为完全平方式来求解； （2）通过因式分解法将二次方程转化为两个一次方程的乘积来求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴，； （2）解：， ， 或， ∴，． 24．（23-24九年级上·福建福州·阶段检测）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据因式分解法解一元二次方程； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或； 解得： （2）解：， ∴，， ∴， 解得：． 25．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有实数根，求的取值范围； (2)若1是该方程的一个根，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【知识点】一元二次方程的解、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则，再解不等式即可得到答案； （2）把代入原方程求出m的值即可． 【详解】（1）解：， 若方程有实数根，则，且， 即，且， 解得：且； （2）解：把，代入一元二次方程得： ， 解得：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根. 26．（23-24八年级下·山东济南·期中）用公式法解方程：． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，运用公式法即可求解。 【详解】解： ∵，，， ∴， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 27．（24-25九年级上·河南信阳·期末）已知关于x的方程． (1)当时，求该方程的根； (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】(1)； (2) 证明：在方程中， ， ， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握“当时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）根据方程的系数结合根的判别式即可得出，由此即可证出不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【详解】（1）解：当时，则方程为， ， 或， ； （2）略 28．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知关于的方程 (1)当该方程的一个根为时，求的值； (2)求证：不论取何实数，该方程都有两个实数根． 【答案】(1)； (2) 证明：对于一元二次方程， 根的判别式， ∴不论取何实数，该方程都有两个实数根． 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、由一元二次方程的解求参数 【分析】（1）根据方程的根的定义，将已知的根代入原方程，得到关于的一元一次方程，解该方程即可求出的值； （2）对于一元二次方程，根的判别式为，当时，方程有两个实数根． 【详解】（1）解：∵关于的方程的一个根为， ∴，解得． （2）略 29．（26-27九年级上·天津南开·阶段检测）选择适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程、解一元二次方程——直接开平方法 【详解】（1）解：， 方程两边同时除以4，得， 两边开平方，得， ，； （2）解：， 移项，得， 这里，，， ， ， ，； （3）解：， 整理，得， 因式分解，得， ∴或， ，； （4）解：， 原方程可变形为， 因式分解，得， ∴或， ，． 30．（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根和． (1)求k的取值范围； (2)如果，求k的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）根据方程有两个不相等实数根的条件，利用判别式列不等式求解k的取值范围． （2）利用根与系数的关系将已知等式变形，代入求解k后结合（1）的范围取舍． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴． ∵，，， ∴， ， ， 解得． （2）解：由根与系数的关系，得，． ∵，， ∴， 代入得， ， ， ， 解得，， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴． 【考点2】二次函数的图象、性质与应用（第31-50题） · 多结论判断：逐个验证选项，利用对称轴和特殊点 · 平移规律：左加右减对x，上加下减对y · 最值综合：结合图象分析，注意分类讨论 31．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练的掌握二次函数的定义是解题的关键． 先把关系式整理成二次函数的一般形式，再根据二次函数的定义判定即可． 【详解】解：①是二次函数；②不是二次函数；③是二次函数；④不是二次函数；⑤不是二次函数；⑥不是二次函数． 综上，二次函数有①③，共2个． 故选B． 32．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）若是函数图像上的两点，且，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】通过作差法比较与的大小即可. 【详解】解：∵是函数图像上的两点， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴， 即． 33．（23-24九年级上·四川凉山·阶段检测）如图，已知二次函数，（常数，且）图像的对称轴为直线，且经过点．给出以下结论： ①；②；③时，随的增大而减小；　④对于任意实数，总有． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数图像与性质，根据二次函数图像与性质，确定二次函数系数符号及代数式符号即可得到答案，熟记由二次函数图像判定系数及式子的符号是解决问题的关键． 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ， ，故①错误； ②抛物线经过点， ，即，故②正确； ③抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 时，随的增大而减小，故③正确； ④， ， 对于任意实数，总有，故④正确； 综上，正确的有②③④，共3个； 故选：C． 34．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）下列关于抛物线的叙述，正确的是（  ） A．开口向下 B．抛物线的顶点一定在第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．与轴正半轴可以相交 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】利用二次函数的基本性质，通过配方得到抛物线的顶点坐标和对称轴，利用到二次函数开口方向，增减性，与坐标轴交点坐标，逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：先对抛物线配方得： ∵ ∴抛物线开口向上，A错误． 抛物线顶点坐标为 ∵， ∴ 顶点横坐标小于0，纵坐标小于0，因此顶点在第三象限，B正确． ∵抛物线对称轴为，开口向上， ∴时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，随的增大而增大，C错误． 令，得，抛物线与轴交于，交点在轴负半轴，D错误． 综上，答案选B． 35．（23-24九年级上·河南商丘·期中）已知二次函数,下列说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据二次函数的图象及性质进行判断即可． 【详解】二次函数的对称轴为，顶点坐标为 ∵ ∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为,当时，y随x的增大而减小 ∴A、B、D选项错误，C选项正确 故选：C 36．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、二次函数与一元二次方程：根据对称轴可得抛物线与x轴的另一个交点在点和之间，再根据开口方向可判断①；根据对称轴可得，当时，，可判断②；令，根据原函数的顶点坐标为，可得的顶点坐标为：，进而可得方程有两个相等的实数根，可判断③；由的顶点坐标为：及开口方向可得与x轴没有交点，进而可得判断④；熟练掌握函数的图象及性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：由图象可得：抛物线对称轴为直线，抛物线的开口向下， 抛物线与x轴的一个交点在点和之间， 抛物线与x轴的另一个交点在点和之间， 当时，，故①错误； 抛物线对称轴为直线， ， ， 当时，，故②正确； 令， 抛物线顶点坐标为， 的顶点坐标为：， 则方程有两个相等的实数根， ， ，故③正确； 的顶点坐标为，且开口向下， 与x轴没有交点， 一元二次方程没有实数根，故④正确， 则正确的个数有3个， 故选C． 37．（26-27九年级上·全国·单元测试）抛物线的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】需同时考虑抛物线二次项系数不为0，以及图象与x轴有交点时判别式非负两个条件． 【详解】解：∵是抛物线， ∴； ∵抛物线图象和轴有交点， ∴，即，解得， 综上，的取值范围是且． 38．（2026·湖北荆州·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据所给图象结合二次函数的图象及性质进行判断即可. 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵与轴交点在轴下方， ∴， ∴，A选项错误； ∵对称轴在轴右侧，抛物线与轴的交点一个在轴左侧，一个在轴右侧， ∴， ∴，C选项错误； ∵， ∴，B选项正确； 当时，， ∴，D选项错误； 39．（25-26九年级上·湖北荆门·期末）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且．对称轴为直线．则下列结论：①；②；③当时，关于的方程无实根；④；⑤．其中正确的结论有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式、韦达定理等知识点，熟练掌握二次函数的系数与图象的关系、韦达定理的应用是解题的关键． 判断①：根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置，判断、、的符号，进而判断的符号． 判断②：利用对称轴得到，再结合得到点，将其代入抛物线方程化简． 判断③当时，方程无实根：先求出抛物线顶点纵坐标，判断与顶点纵坐标的关系，进而判断即可． 判断④：将和点代入抛物线方程化简． 判断⑤：利用韦达定理，，再结合韦达定理进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴； ∵对称轴， ∴； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴； ∴，故①正确． ∵，， ∴； ∵在抛物线上， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∴，故②错误． ∵顶点纵坐标为，， ∴； ∵， ∴； 当时，可能小于顶点的纵坐标，此时关于的方程有实根，故③错误． ∵，， ∴，故④正确． ∵，， ∴； ∵， ∴，故⑤正确． 综上，①④⑤正确，共3个． 故选：C． 40．（25-26九年级上·北京房山·期中）在二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是x与y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1.15 2.45 2.75 2.05 0.35 … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根约等于________（结果保留小数点后一位）． 【答案】3.1（答案不唯一） 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质、图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，通过观察函数值符号变化确定根所在区间，并比较函数值的绝对值得到近似根。 【详解】解：从表中数据可知，当时，；当时，，因此方程的一个根在和之间， 由于， 所以根更接近， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于， 故答案为：（答案不唯一）． 41．（25-26九年级上·四川广元·期中）已知函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是______． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查二次函数的概念，熟练掌握二次函数的定义是关键． 将函数表达式化简为一般形式，根据二次函数的定义，二次项系数不能为零，从而求解． 【详解】解：， ∵该函数为二次函数， ∴其二次项系数， ∴． 故答案为：． 42．（26-27九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）把二次函数的图象向左平移个单位后再向上平移个单位，得到的二次函数解析式为________． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】利用平移的规律“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：二次函数的图象向左平移个单位后变成， 再向上平移个单位，二次函数解析式为：， 43．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 … y … 0 4 6 6 … 根据以上信息，当时x的取值范围为_________ ． 【答案】 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】根据对称性求出对称轴以及抛物线与轴的两个交点坐标，确定抛物线的开口方向，图象法求出不等式的解集即可. 【详解】解：由表格可知，和的函数值相同，抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵由表格可知，在对称轴的左侧，随着的增大而增大， ∴抛物线的开口向下， ∴当时x的取值范围为. 44．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数，当时，函数y的最大值与最小值的差为5，则a的值为_______． 【答案】/ 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的最值问题． 由于二次函数开口向上，当时，最小值在顶点处，最大值在离对称轴较远的端点处．通过计算顶点和端点处的函数值，并令其差为5，解方程可得的值． 【详解】解：的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，由于，抛物线开口向上，最小值在处，； 最大值在处（因为离对称轴更远），； 由函数y的最大值与最小值的差为5，得：， ， 解得：． 故答案为：． 45．（24-25九年级下·江西吉安·开学考试）如图，已知在边长为6的正方形中，A为的中点，点B在边上，且，连接，P是线段上的一动点，过点作，垂足分别为M，N，则矩形面积的最大值是______． 【答案】24 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、根据正方形的性质求线段长、一次函数与几何综合 【分析】以点为原点，所在直线构造直角坐标系，得到两点的坐标，待定系数法求出直线的解析式，设，将矩形的面积转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：正方形边长为6， ∴，， ∵为的中点，， ∴，， 以点为原点，所在直线构造直角坐标系，如图： 则：， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∵P是线段上的一动点， ∴设， ∵， ∴， ∴矩形面积， ∴当时，矩形面积最大为：24； 故答案为：24． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，坐标与图形，求一次函数的解析式，二次函数的最值问题，构造直角坐标系，利用数形结合的思想，将矩形的面积转化为二次函数求最值，是解题的关键． 46．（2024·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线． (1)若，求t的值； (2)点在该抛物线上，若对于都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数性质，熟悉相关结论是解题关键． （1）由题意得，据此即可求解； （2）分类讨论①当时，②当时，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：点，点在抛物线上， 且，抛物线的对称轴为， ， ． （2）解：点，点，点在抛物线上， ，，． 且． ①当时，有， ②当时，有， ． ． ． ． 综上：． 47．（25-26九年级上·云南玉溪·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)当，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据二次函数的定义，进行求解即可； （2）根据二次函数的增减性，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴且， ∴； （2）由（1）可知，二次函数的解析式为， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为5， ∴． 48．（23-24九年级上·四川广安·阶段检测）已知函数是关于的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)判断点是否在该二次函数图象上． 【答案】(1) (2)不在 【知识点】根据二次函数的定义求参数、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数的点的坐标特征，熟练掌握函数的定义是解题的关键． （1）根据二次函数的定义得到，然后解之即可得到满足条件的m的值； （2）将代入函数关系式，求出y的值，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：函数解析式为：， 当时，， 点不在该二次函数图象上. 49．（23-24九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于二次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可知当时，恒成立，因此只需要满足n不大于，当时，的值即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：当时，则， 令， ∵函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，S随x增大而增大， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于二次函数的值， ∴当时，恒成立， 当时，， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式之间的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． 50．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)分别求出抛物线与轴、轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 (3)抛物线与轴的交点坐标为：，；抛物线与轴的交点坐标为： 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、求抛物线与y轴的交点坐标、y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）等号右边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，进行配方即可； （2）根据二次函数的图象与性质求解； （3）分别令进行求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）知：， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：令，则，解得，， 抛物线与轴的交点坐标为：，， 令，则， 抛物线与轴的交点坐标为：． 【考点3】函数综合与实际应用（第51-60题） · 函数交点：联立方程求坐标，利用对称性 · 几何综合：结合相似、勾股定理建立方程 · 压轴题思路：先易后难，分步得分 51．（25-26九年级上·广东佛山·期末）点都在反比例函数的图像上，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 根据反比例函数的性质，可知：当时，在每个象限内，y随x的增大而减小，据此即可解答． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， 又∵，即， ∴． 故选C． 52．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）一元二次方程可以转化为，所以其根可视为直线与双曲线交点的横坐标，根据此法可推断关于x的方程的实数根所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查二次函数与反比例函数的交点问题，理解题意，得到所求方程是一个二次函数和一个反比例函数的图象交点的横坐标是解答的关键．首先根据题意推断方程的实根是抛物线与双曲线的图象交点的横坐标，画出两函数的草图可推断方程的实根所在范围． 【详解】解：根据题意，方程的实根是抛物线与双曲线交点的横坐标， ∵抛物线位于第一、二象限，双曲线位于第一、三象限， ∴它们的交点在第一象限， 可画出两个函数在第一象限的草图，如图， ∵当时，，，则此时抛物线在双曲线的下方， 当时，，，则此时抛物线在双曲线的上方， 又∵在第一象限内，函数随x的增大而增大，函数随x的增大而减小， ∴结合图象，两函数图象的交点只有一个，且交点的横坐标应在1和2之间， 故方程的实根所在的范围是， 故选：B． 53．（2025·江苏南京·一模）如图①，一个小球从左侧斜坡上某处开始自由滚下，到达底端后沿着一段水平路面继续向前滚动，最后沿着右侧斜坡向上滚至某处．在这个过程中（不计任何阻力），小球的运动速度与运动时间的函数图象如图②所示，则该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据题意可设，且，然后分别求出当，，时，路程与运动时间之间的函数解析式，即可求解． 【详解】解：根据图象②，可设，且， 当时，， 此时的函数图象为抛物线的一段，且开口向上； 当时，， 此时的函数图象为直线的一段； 当时，， 此时的函数图象为抛物线的一段，且开口向下； ∴该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是 ． 故选：D． 54．（23-24九年级上·安徽六安·期末）在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为的正方形，改建的绿地的是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且．那么当为多少时，绿地的面积最大？（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、根据正方形的性质证明 【分析】此题考查二次函数的应用，关键是根据图形得出函数解析式． 设的长为，绿地的面积为，根据题意得出函数解析式进行解答即可． 【详解】解：设，则，绿地的面积为， 根据题意得： ， ∵二次项系数为， ∴当时，y有最大值72． 即当时，绿地面积最大． 故选：B． 55．（25-26九年级上·广东汕头·期末）在物理力学知识的学习中，小华同学利用如图所示的装置设计了一个探究“杠杆平衡条件”的实验： 点为杠杆的中点，实验前，杠杆在水平位置平衡，实验时，在点左侧固定位置处悬挂三个砝码，在点右侧用一个弹簧测力计施加一个竖直向下的拉力，杠杆仍能在水平位置平衡，改变弹簧测力计与点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化情况，实验数据记录如下： … 10 20 30 40 50 … … 30 15 10 7.5 6 … 则与之间的函数关系式为______． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，与待定系数法求反比例函数解析式，由表格中每对x与y的值的乘积相等，故知，猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，利用待定系数法求，将其余各点代入验证均适合即可． 【详解】解：由表格中每对x与y的值的乘积相等，故知，猜测y与x之间的函数关系为反比例函数， ∴设， 把，代入得：， ∴， 将其余各点代入验证均适合， ∴y与x的函数关系式为：． 故答案为：． 56．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）设函数与的图像的交点坐标为，则的值为________． 【答案】 【知识点】分式化简求值、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，主要考查反比例函数与一次函数图象上点的特征，分式的化简求值，解题的关键是求出与的值，然后将所求代数式化为与的形式，采用整体代入的思想解决问题．把交点坐标代入2个函数解析式后，得到，，再利用整体代入法求的值即可． 【详解】解：∵函数与的图象的交点坐标为， ∴与， ∴，， ∴． 故答案为：． 57．（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知点都在反比例函数的图象上，则的值为_____． 【答案】 【知识点】求反比例函数值、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式和求函数值，解题关键是熟练运用待定系数法求反比例函数解析式． 把点代入反比例函数解析式，用待定系数法求解得到，再把代入即可求出答案． 【详解】解：把点代入反比例函数，得， 解得， ∴反比例函数， 把代入得到， 故答案为： 58．（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，点A在函数的图象上，连接并延长，交函数的图象于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为________． 【答案】1 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ，， ， ∵点A在双曲线的图象上，点B在的图象上， ，， ， ， ， ， ，轴， ， ， ， ， ， ， ． 59．（25-26九年级上·甘肃临夏·期中）甘肃临夏回族自治州，旧称河州，位于黄河中上游，它不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图①所示的投石机是古代战争中的攻城武器．已知投石机投出的石块运动轨迹可近似看作抛物线，如图②，石块从距离地面5的点A处投出，其运动过程中的最高点距离地面30，此时到点A的水平距离为50． (1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线对应的函数解析式； (2)若高为12的城墙离的水平距离为100，请判断（1）中的石块能否越过城墙，并说明理由． 【答案】(1) 如图，以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点O为坐标原点（答案不唯一）， ，； (2) 解：不能，理由如下： 当时，， ， ∴石块不能越过城墙． 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、y=a（x-h）²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点O为坐标原点，写出A的坐标及顶点坐标，设二次函数的解析式为顶点式，将的A的坐标代入即可求得答案； （2）求出时的y值，比较这个值与城墙的高度即可做出判断． 【详解】（1）解：图略 根据题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设石块运动轨迹的抛物线对应的函数解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为； （2）略 60．（26-27九年级上·安徽铜陵·阶段检测）为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：7月份售出300套，9月份售出432套．若月平均增长率相同，求该品牌边刷套装8、9两个月销售量的月平均增长率． 【答案】该品牌边刷套装8、9两个月销售量的月平均增长率为 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【详解】解：设该品牌边刷套装8、9两个月销售量的月平均增长率为x， 根据题意得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该品牌边刷套装8、9两个月销售量的月平均增长率为． 💯 课后巩固 复习建议 · 强化含参方程讨论，注意a≠0和Δ的前提条件 · 熟练韦达定理的整体代换技巧，提高代数式求值速度 · 掌握二次函数图象与系数关系，能快速判断多结论 · 加强函数与几何综合训练，积累常见模型 · 压轴题分步得分，先做第一二问，第三问尽力而为 【作业1】．（23-24九年级上·广西南宁·期中）将抛物线向左平移2个单位，得到抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是掌握平移规律“左加右减，上加下减” ． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，得到， 故选A ． 【作业2】．（25-26九年级上·河南许昌·期末）如果关于的一元二次方程的一个实数根是，那么的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握解的定义． 本题可利用一元二次方程解的定义，将已知的实数根代入方程，通过解方程求出a的值． 【详解】解：将代入方程，得 ， 即， ， ∴， 故选：D． 【作业3】．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）已知的图象是抛物线，若抛物线不动，把轴、轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查二次函数图象的平移，抛物线不动，把轴、轴分别向上、向右平移3个单位，相当于坐标轴不动，把抛物线向下向左平移3个单位，根据平移规则左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意在新坐标系下抛物线的解析式是； 故选：B． 【作业4】．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期末）二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，把二次函数一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标． 【详解】解：∵， 把二次函数化为顶点式为：； ∴顶点坐标为：； 故选：A． 【作业5】．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）商品原售价400元，经过连续两次降价后售价为225元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出形如即可． 【详解】根据题意，得． 故选：B． 【作业6】．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）已知是一元二次方程的两个实数根，则与的值分别为（     ） A．3 和 5 B．和 C．3和 D．和5 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据是一元二次方程的两个实数根，则解答即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， 故． 【作业7】．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）一台机器原价为万元，如果每年价格的下降率为，两年后这台机器的价格为万元，则关于的函数关系式为__________． 【答案】 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价． 根据题意列出函数解析式即可． 【详解】解：由题意得：两年后的价格为：， 故y与x的函数关系式是：． 故答案为：． 【作业8】．（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 11 2 2 11 … 则抛物线的对称轴为___________； 【答案】 直线 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】从表格中找到纵坐标相等的两个点，利用抛物线的对称性即可求出对称轴． 【详解】解：∵当时，，当时，，抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 【作业9】．（26-27九年级上·河南濮阳·阶段检测）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是_____．（填序号）①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③无实数根． 【答案】② 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】先计算一元二次方程的根的判别式，得出，即可得到结论. 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 【作业10】．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）已知方程的一个根是，则k的值为______． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义,根据一元二次方程的解把代入一元二次方程得到关于k的一次方程，然后解一次方程即可． 【详解】解：将 代入方程 ， 得 ，即 ， 解得 ． 故答案为: ． 【作业11】．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式是______． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移法则是关键．根据抛物线图象的平移法则“左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移3个单位长度可得：，再向下平移2个单位长度得到 故答案为： 【作业12】．（2024·广东湛江·一模）一元二次方程的一个解为，则的值为_____． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】把代入原一元二次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴将代入方程， 得， 整理得， 解得． 【作业13】．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如果两个不相等的实数a，b满足，，那么的值为______． 【答案】3 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的应用．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据两个不相等的实数a，b满足，，得出，是方程的两个根，由根与系数的关系，得即可． 【详解】解：∵两个不相等的实数a，b满足，， ∴可以把，看作是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系可知：． 故答案为：． 【作业14】．（2026·上海徐汇·一模）将抛物线向右平移3个单位，向下平移1个单位后的抛物线的表达式是_______． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，向下平移1个单位后的抛物线的表达式是， 故答案为：． 【作业15】．（2025·安徽芜湖·二模）在平面直角坐标系中，定义两个函数． (1)如果函数的图象经过点，函数的图象经过点，求的值； (2)如果，判断函数的图象与轴的交点情况； (3)若点在上，点在上，求的最小值． 【答案】(1)10 (2)无交点 (3) 【知识点】其他问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查二次函数的性质，完全平方公式； （1）利用待定系数法求出再结合完全平方公式计算即可； （2）表示出判别式再根据题意得到，判断出即可求出结果； （3）利用待定系数法求出整理得到，根据二次函数的性质得到在对称轴处取得最小值，计算即可． 【详解】（1）解：把，分别代入中， 得 ， （2）解：由题意得 即的图象与轴没有交点； （3）解：把，分别代入中，得： 由题意得， 即 设 图象开口向上 ∴在对称轴处取得最小值， 把代入中得 ∴的最小值为， ∵ 当时，ab的最小值为． 【作业16】．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的解析式． (2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 【答案】(1) (2) 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将，代入解析式，求出的值，得到抛物线解析式即可； （2）当水面下降，即时，列方程为，求出的值，从而求出此时水面宽度即可． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 将，代入，， 得， 解得， 因此，该抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知：， 当水面下降，即时， ， 解得或， 此时水面宽度为， 答：此时水面宽度为． 【作业17】．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）若关于x的一元二次方程有两个正的实数根为，，分别以，为对角线和的长． (1)若，则对角线的长分别为_____． (2)若为正方形，求m的值． (3)若的一条对角线的长为，求m的值． 【答案】(1)1和4 (2) (3)m的值为4． 【知识点】正方形性质理解、因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，解一元二次方程，正方形的性质等知识． （1）将代入得到，利用因式分解法求解即可； （2）由题意得到方程有两个相等的实数根，利用，解方程即可求解； （3）将代入原方程，整理得到，利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：当时，则， 因式分解得， 解得或， ∴对角线的长分别为1和4， 故答案为：1和4； （2）解：∵为正方形， ∴， ∴， 整理得， ∴； （3）解：∵的一条对角线的长为， ∴， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， ∴m的值为4． 【作业18】．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）在中，，，． (1)如图，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动．如果点，分别从点，同时出发，经过几秒，的面积等于？ (2)在（1）的条件下，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． (3)若点沿射线方向从点出发，以的速度运动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，点同时出发，问：经过几秒，的面积为？ 【答案】(1)或时，的面积为； (2)线段不能将分成面积相等的两部分， 理由如下：设经过秒，线段能将分成面积相等的两部分， 依题意得，， 整理得，， ， 此方程无实数根， 线段不能将分成面积相等的两部分； (3)经过秒或秒后，的面积为； 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设经过秒后，的面积为，根据三角形面积公式列出关于的方程，求解即可； （2）设经过秒，线段能将分成面积相等的两部分，根据题意，列方程，求解即可； （3）设经过秒后，的面积为，分两种情况，当点在线段上和点在射线上，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设经过秒后，的面积为，， 由题意可得：， 整理得，， 解得，， 或时，的面积为； （2）解：略 （3）解：设经过秒后，的面积为， 点在线段上，点在射线上， 由题意可得：， 整理得，， 解得， 时，的面积为； 点在射线上，点在射线上， 由题意可得：， 整理得， 解得，， 当时，不合题意，舍去， 综上所述，经过秒或秒后，的面积为． 【作业19】．（2020·辽宁抚顺·模拟预测）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本． (1)求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本每件的成本每天的销售量） 【答案】(1) (2)当销售单价定为80元时，销售利润最大，为元 (3) 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、营销问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，不等式组的实际应用，解题的关键是读懂题意，正确地列出二次函数的解析式． （1）根据总利润等于单件利润乘以销售数量，列出二次函数即可； （2）根据二次函数的性质，求最值即可； （3）根据题意，列出不等式，进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，设销售单价为x（元），且销售单价不得低于成本， ∴， 又∵销售量为非负数， ∴， 由题意，得：； （2）∵， ∴当时，有最大值为：， 答：当销售单价定为80元时，销售利润最大，为元； （3）由题意，当：时， 解得：或， ∴当时，， 又， 解得：， 综上：． 【作业20】．（2026·陕西西安·三模）问题提出 (1)如图①，是边长为4的等边三角形，D为边的中点，过点D作于点E，求的面积； 问题解决 (2)某市为了优化城市空间利用，提升居民生活品质，促进社区融合，决定将如图②所示的公园（四边形）景观提升改造，已知，，，，E为边的中点，点F在边上，且，四边形为儿童娱乐区，现规划在四边形中，新建形状为三角形的花卉种植区，使得点P，Q分别在边，上，且满足，为了节约成本，要使的面积尽可能小，请问是否存在符合要求的？若存在，请求出面积的最小值及的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在符合要求的，面积的最小值为，此时． 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由等边三角形的性质得出，，由中点的定义得出，由三角形内角和定理得出，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，最后由三角形面积公式求解即可． （2）延长和交于点G，由三角形内角和定理以及含30度直角三角形的性质分别求出，利用勾股定理得出，同理可得出，，过点Q作于点H，设，则， ∴，， 再根据列出关于x的二次函数，再由二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵是边长为4的等边三角形， ∴，， ∵D为边的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：存在符合要求的，如下图： 延长和交于点G， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， 过点Q作于点H， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴ ， ∵ ∴抛物线开口向上， ∴当时，取的最小值，最小值为 ， 此时， ∵， ∴， 答：存在符合要求的，面积的最小值为，此时． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二·期中综合复习·培优提升讲义 （一元二次方程+二次函数+反比例函数）·2026人教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 深化一元二次方程根的判别与韦达定理的综合应用 · 掌握二次函数图象与系数关系的深层推理，能进行多结论判断 · 理解反比例函数与一次函数、几何图形的综合问题 · 能处理含参函数与方程的分类讨论问题 · 提高函数综合题、压轴题的分析与解决能力 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程深化 判别式综合：Δ>0/=0/<0对应的根的情况，结合不等式求参数范围 韦达定理应用：已知两根关系求参数、根的代数式求值 含参方程：注意二次项系数不为0、根为正/负/整数等条件 换元法：整体代换简化复杂方程，如(x-h)²=k型 概念辨析例题：已知x₁,x₂是方程x²-3x-1=0的两根，求x₁²+x₂²的值 答案：11 解析：由韦达定理x₁+x₂=3，x₁x₂=-1，故x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=9+2=11 ☆ 2.二次函数深化 图象与系数关系：a看开口、b看对称轴、c看截距，abc符号判断 对称轴与交点：利用对称性求另一交点、求最值 顶点式平移：左加右减、上加下减，注意平移方向 二次函数与不等式：图象在x轴上方/下方对应的x范围 概念辨析例题：已知二次函数y=ax²+bx+c图象开口向上，对称轴x=1，与x轴一个交点(3,0)，判断abc符号 答案：a>0，b<0，c<0，故abc>0 解析：开口向上a>0；对称轴x=-=1>0，故b<0；另一交点(-1,0)，故c=-3a<0 ☆ 3.反比例函数深化 k的几何意义深化：三角形面积、矩形面积与|k|的关系 与一次函数综合：交点坐标、函数值大小比较 与几何图形综合：相似三角形、勾股定理求坐标 增减性应用：比较函数值大小需注意象限 概念辨析例题：正比例函数y=2x与反比例函数y=的一个交点(1,2)，求另一交点 答案：(-1,-2) 解析：反比例函数图象关于原点对称，故另一交点为(1,2)关于原点的对称点(-1,-2) ☆ 4.函数综合与压轴 动态几何与函数：动点问题建立函数关系 存在性问题：是否存在满足条件的点/线/图形 最值问题：面积最大、距离最短、利润最大 新定义问题：结合函数与方程的创新题型 概念辨析例题：抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B，与y轴交于C，求△ABC面积 答案：6 解析：令y=0得x=-1或3，故A(-1,0)、B(3,0)，AB=4；令x=0得C(0,3)，高=3，面积=×4×3=6 📋 知识总结表 专题 核心方法 易错点 判别式综合 Δ=b²-4ac判断根的情况 忽略a≠0的条件 韦达定理 x₁+x₂=-，x₁x₂= 忘记检验Δ≥0 图象与系数 a、b、c符号判断 对称轴公式记错 k的几何意义 S=|k| 忘记绝对值符号 最值问题 结合自变量范围 忽略顶点是否在范围内 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念、解法与应用（第1-30题） · 含参方程讨论：先保证a≠0，再结合Δ和根的条件 · 韦达定理应用：整体代换思想，将根的代数式用x₁+x₂和x₁x₂表示 · 实际应用：增长率、面积、运动等问题建模 1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）下列属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·山西晋中·阶段检测）根据下列表格的对应值： x 6.17 6.18 6.19 6.20 （a，b、c是常数，且） 由此判断方程的一个根x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·四川达州·期中）已知a，b是方程的两个根，则的值是（    ） A．14 B． C． D．10 5．（22-23九年级上·天津滨海新区·阶段检测）下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）若m是方程的一个根，则代数式的值是________． 7．（24-25八年级下·山东东营·阶段检测）若方程是关于的一元二次方程，则______． 8．（23-24九年级上·四川成都·期末）设a，b是方程的两个实数根，则的值为_________． 9．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）一张面积是的矩形彩纸，长比宽多，若设它的宽为，可列出一元二次方程为________．（化为一般式） 10．（25-26九年级上·福建南平·期中）为防控疫情，我们应该做到有“礼”有“距”，于是用“碰肘礼”代替“握手”的问候方式逐渐流行．某次会议上，每两个参会者都相互行了一次“碰肘礼”，经统计共碰肘36次，若设有x人参加这次会议，则可列方程为________________． 11．（24-25九年级上·河北保定·期末）若是方程的一个实数根，则的值为_______. 12．（2025九年级上·全国·专题练习）有一面积为的长方形，将它的一边剪短，另一边剪短，恰好变成一个正方形．设正方形的边长为，根据题意，可列方程为__________，将其化为一般形式为__________． 13．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程（都是常数，且）的解为，则方程（都是常数，且）的解为_______． 14．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）已知，是一元二次方程的两根，求的值为_____ 15．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）在实数范围内分解因式：_________． 16．（24-25九年级下·河北衡水·阶段检测）若a，b是一元二次方程的两个根，则的值是________． 17．（26-27九年级上·山西吕梁·阶段检测）已知是方程的两个实数根，则的值是______． 18．（25-26九年级上·福建泉州·期中）关于x的一元二次方程下列说法：①若c是方程的一个根，则一定有成立；②当时，则关于x的方程必有实数根；③若，则方程一定有两个不相等的实数根；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是_________________（填序号） 19．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，方程①，②，③，恰有一个公共解，另一个解分别为，，．则的值是__________． 20．（23-24九年级上·陕西商洛·期中）已知抛物线与x轴只有一个公共点，求c的值． 21．（2026九年级上·全国·专题练习）选择适当的方法解方程 22．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．（25-26九年级上·北京·期中）解方程： (1) (2)． 24．（23-24九年级上·福建福州·阶段检测）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 25．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有实数根，求的取值范围； (2)若1是该方程的一个根，求的值． 26．（23-24八年级下·山东济南·期中）用公式法解方程：． 27．（24-25九年级上·河南信阳·期末）已知关于x的方程． (1)当时，求该方程的根； (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 28．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知关于的方程 (1)当该方程的一个根为时，求的值； (2)求证：不论取何实数，该方程都有两个实数根． 29．（26-27九年级上·天津南开·阶段检测）选择适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 30．（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根和． (1)求k的取值范围； (2)如果，求k的值． 【考点2】二次函数的图象、性质与应用（第31-50题） · 多结论判断：逐个验证选项，利用对称轴和特殊点 · 平移规律：左加右减对x，上加下减对y · 最值综合：结合图象分析，注意分类讨论 31．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）若是函数图像上的两点，且，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 33．（23-24九年级上·四川凉山·阶段检测）如图，已知二次函数，（常数，且）图像的对称轴为直线，且经过点．给出以下结论： ①；②；③时，随的增大而减小；　④对于任意实数，总有． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）下列关于抛物线的叙述，正确的是（  ） A．开口向下 B．抛物线的顶点一定在第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．与轴正半轴可以相交 35．（23-24九年级上·河南商丘·期中）已知二次函数,下列说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．当时，y随x的增大而增大 36．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．（26-27九年级上·全国·单元测试）抛物线的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 38．（2026·湖北荆州·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（     ） A． B． C． D． 39．（25-26九年级上·湖北荆门·期末）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且．对称轴为直线．则下列结论：①；②；③当时，关于的方程无实根；④；⑤．其中正确的结论有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 40．（25-26九年级上·北京房山·期中）在二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是x与y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1.15 2.45 2.75 2.05 0.35 … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根约等于________（结果保留小数点后一位）． 41．（25-26九年级上·四川广元·期中）已知函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是______． 42．（26-27九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）把二次函数的图象向左平移个单位后再向上平移个单位，得到的二次函数解析式为________． 43．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 … y … 0 4 6 6 … 根据以上信息，当时x的取值范围为_________ ． 44．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数，当时，函数y的最大值与最小值的差为5，则a的值为_______． 45．（24-25九年级下·江西吉安·开学考试）如图，已知在边长为6的正方形中，A为的中点，点B在边上，且，连接，P是线段上的一动点，过点作，垂足分别为M，N，则矩形面积的最大值是______． 46．（2024·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线． (1)若，求t的值； (2)点在该抛物线上，若对于都有，求t的取值范围． 47．（25-26九年级上·云南玉溪·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)当，求y的取值范围． 48．（23-24九年级上·四川广安·阶段检测）已知函数是关于的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)判断点是否在该二次函数图象上． 49．（23-24九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于二次函数的值，直接写出的取值范围． 50．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)分别求出抛物线与轴、轴的交点坐标． 【考点3】函数综合与实际应用（第51-60题） · 函数交点：联立方程求坐标，利用对称性 · 几何综合：结合相似、勾股定理建立方程 · 压轴题思路：先易后难，分步得分 51．（25-26九年级上·广东佛山·期末）点都在反比例函数的图像上，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D． 52．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）一元二次方程可以转化为，所以其根可视为直线与双曲线交点的横坐标，根据此法可推断关于x的方程的实数根所在的范围是（    ） A． B． C． D． 53．（2025·江苏南京·一模）如图①，一个小球从左侧斜坡上某处开始自由滚下，到达底端后沿着一段水平路面继续向前滚动，最后沿着右侧斜坡向上滚至某处．在这个过程中（不计任何阻力），小球的运动速度与运动时间的函数图象如图②所示，则该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 54．（23-24九年级上·安徽六安·期末）在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为的正方形，改建的绿地的是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且．那么当为多少时，绿地的面积最大？（　　） A． B． C． D． 55．（25-26九年级上·广东汕头·期末）在物理力学知识的学习中，小华同学利用如图所示的装置设计了一个探究“杠杆平衡条件”的实验： 点为杠杆的中点，实验前，杠杆在水平位置平衡，实验时，在点左侧固定位置处悬挂三个砝码，在点右侧用一个弹簧测力计施加一个竖直向下的拉力，杠杆仍能在水平位置平衡，改变弹簧测力计与点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化情况，实验数据记录如下： … 10 20 30 40 50 … … 30 15 10 7.5 6 … 则与之间的函数关系式为______． 56．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）设函数与的图像的交点坐标为，则的值为________． 57．（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知点都在反比例函数的图象上，则的值为_____． 58．（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，点A在函数的图象上，连接并延长，交函数的图象于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为________． 59．（25-26九年级上·甘肃临夏·期中）甘肃临夏回族自治州，旧称河州，位于黄河中上游，它不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图①所示的投石机是古代战争中的攻城武器．已知投石机投出的石块运动轨迹可近似看作抛物线，如图②，石块从距离地面5的点A处投出，其运动过程中的最高点距离地面30，此时到点A的水平距离为50． (1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线对应的函数解析式； (2)若高为12的城墙离的水平距离为100，请判断（1）中的石块能否越过城墙，并说明理由． 60．（26-27九年级上·安徽铜陵·阶段检测）为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：7月份售出300套，9月份售出432套．若月平均增长率相同，求该品牌边刷套装8、9两个月销售量的月平均增长率． 💯 课后巩固 复习建议 · 强化含参方程讨论，注意a≠0和Δ的前提条件 · 熟练韦达定理的整体代换技巧，提高代数式求值速度 · 掌握二次函数图象与系数关系，能快速判断多结论 · 加强函数与几何综合训练，积累常见模型 · 压轴题分步得分，先做第一二问，第三问尽力而为 【作业1】．（23-24九年级上·广西南宁·期中）将抛物线向左平移2个单位，得到抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【作业2】．（25-26九年级上·河南许昌·期末）如果关于的一元二次方程的一个实数根是，那么的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【作业3】．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）已知的图象是抛物线，若抛物线不动，把轴、轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【作业4】．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期末）二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【作业5】．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）商品原售价400元，经过连续两次降价后售价为225元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【作业6】．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）已知是一元二次方程的两个实数根，则与的值分别为（     ） A．3 和 5 B．和 C．3和 D．和5 【作业7】．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）一台机器原价为万元，如果每年价格的下降率为，两年后这台机器的价格为万元，则关于的函数关系式为__________． 【作业8】．（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 11 2 2 11 … 则抛物线的对称轴为___________； 【作业9】．（26-27九年级上·河南濮阳·阶段检测）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是_____．（填序号）①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③无实数根． 【作业10】．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）已知方程的一个根是，则k的值为______． 【作业11】．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式是______． 【作业12】．（2024·广东湛江·一模）一元二次方程的一个解为，则的值为_____． 【作业13】．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如果两个不相等的实数a，b满足，，那么的值为______． 【作业14】．（2026·上海徐汇·一模）将抛物线向右平移3个单位，向下平移1个单位后的抛物线的表达式是_______． 【作业15】．（2025·安徽芜湖·二模）在平面直角坐标系中，定义两个函数． (1)如果函数的图象经过点，函数的图象经过点，求的值； (2)如果，判断函数的图象与轴的交点情况； (3)若点在上，点在上，求的最小值． 【作业16】．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的解析式． (2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 【作业17】．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）若关于x的一元二次方程有两个正的实数根为，，分别以，为对角线和的长． (1)若，则对角线的长分别为_____． (2)若为正方形，求m的值． (3)若的一条对角线的长为，求m的值． 【作业18】．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）在中，，，． (1)如图，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动．如果点，分别从点，同时出发，经过几秒，的面积等于？ (2)在（1）的条件下，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． (3)若点沿射线方向从点出发，以的速度运动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，点同时出发，问：经过几秒，的面积为？ 【作业19】．（2020·辽宁抚顺·模拟预测）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本． (1)求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本每件的成本每天的销售量） 【作业20】．（2026·陕西西安·三模）问题提出 (1)如图①，是边长为4的等边三角形，D为边的中点，过点D作于点E，求的面积； 问题解决 (2)某市为了优化城市空间利用，提升居民生活品质，促进社区融合，决定将如图②所示的公园（四边形）景观提升改造，已知，，，，E为边的中点，点F在边上，且，四边形为儿童娱乐区，现规划在四边形中，新建形状为三角形的花卉种植区，使得点P，Q分别在边，上，且满足，为了节约成本，要使的面积尽可能小，请问是否存在符合要求的？若存在，请求出面积的最小值及的长；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $