专题二·期中综合复习·培优提高讲义 ·2026--2027学年人教版八年级数学上册

专题二·期中综合复习·培优提高讲义 （三角形+全等三角形+轴对称）·2026人教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 系统掌握三角形三边关系、内角和、外角性质及高、中线、角平分线概念 · 熟练运用全等三角形五种判定方法证明线段与角相等 · 掌握等腰、等边三角形性质与判定及三线合一的应用 · 理解轴对称性质、线段垂直平分线性质，会解决最短路径问题 · 综合运用三角形、全等、轴对称知识解决期中几何压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的基本性质 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 三角形内角和为180°，外角等于不相邻两内角之和 三角形的高、中线、角平分线都是线段，中线平分三角形面积 等腰三角形等边对等角，三线合一；等边三角形三边相等、三角均为60° 概念辨析例题：等腰三角形两边长为4和9，求周长。 答案：周长为22 解析：若4为腰，4+4<9不能构成三角形；若9为腰，三边9、9、4，周长为22。 ☆ 2.全等三角形 全等三角形对应边相等、对应角相等 判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，直角三角形还有HL SAS中的角必须是夹角，SSA不能判定全等 证明时先找公共边、公共角、对顶角等隐含条件 概念辨析例题：AB=AD，BC=DC，求证∠B=∠D。 答案：由SSS证△ABC≌△ADC，得∠B=∠D 解析：连接AC，AB=AD，BC=DC，AC为公共边，由SSS得两三角形全等，对应角∠B=∠D。 ☆ 3.角平分线与线段垂直平分线 角平分线上的点到角两边距离相等；反之亦然 线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；反之亦然 见到角平分线常向两边作垂线；见到垂直平分线常连接端点得等线段 三角形三条角平分线交于一点（内心），三边垂直平分线交于一点（外心） 概念辨析例题：∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，D到AB距离为3，求CD。 答案：CD=3 解析：AD是角平分线，DC⊥AC，D到AB的垂线段为距离，由角平分线性质得CD等于该距离，即CD=3。 ☆ 4.轴对称与最短路径 轴对称图形沿对称轴折叠后直线两旁部分完全重合 关于坐标轴对称的点：关于x轴对称横同纵反，关于y轴对称横反纵同 最短路径（将军饮马）问题作对称点，化折线为直线，再用两点之间线段最短 折叠问题：折叠前后对应边、对应角相等 概念辨析例题：点P(2,-3)关于y轴对称的点坐标是什么？ 答案：(-2,-3) 解析：关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数，故为(-2,-3)。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 三边关系 |a-b|<c<a+b 较短两边之和大于最长边 内角和/外角 180°；外角=不相邻两内角和 外角与相邻内角互补 全等判定 SSS、SAS、ASA、AAS、HL SAS的角必须是夹角 等腰三角形 等边对等角，三线合一 分类讨论后检验三边 角平分线 到角两边距离相等 常向两边作垂线 垂直平分线 到线段两端距离相等 常连接端点得等线段 ⚠️ 核心考点 【考点1】轴对称图形识别与坐标对称（第1-7题） · 找对称轴判断轴对称图形，注意镜面对称实际时刻左右相反 · 关于坐标轴对称的点：横同纵反（x轴），横反纵同（y轴） · 画轴对称图形先找关键点的对称点，再顺次连接 1．（25-26七年级上·全国·单元复习）下列图形是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级下·全国·课后作业）若点关于轴的对称点是，则______________． 3．（24-25八年级上·山东聊城·期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标，则______． 4．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，平面直角坐标系中，三点的坐标分别为，，，，点M，N是x轴，线段上的动点，则的最小值为______． 5．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在等边三角形网格中，每个小等边三角形的边长都为1，图中已经涂黑了3个三角形，从①、②、③号位置选择一个三角形涂黑，其中能与图中涂黑部分构成轴对称图形的三角形序号是__________．    6．（14-15八年级上·江苏·期末）在方格纸中的位置如图所示，方格纸中的每个小正方形的边长为1个单位． (1)与关于轴对称，请你在图中画出； (2)将向下平移8个单位后得到，请你在图中画出． (3)请分别写出、、的坐标． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）（1）在平面直角坐标系内，已知点关于轴对称，求的值． （2）在平面直角坐标系内，已知点在轴上，求点的坐标． 【考点2】线段垂直平分线与最短路径（第8-14题） · 垂直平分线上的点到两端距离相等，连接端点转化线段 · 最短路径问题作对称点，化折线为两点间线段 · 结合等腰三角形三线合一求周长最小值 8．（22-23八年级下·辽宁锦州·期中）如图，点P为内一点，过点P的线段分别交，于点M，N，且M，N分别在，的垂直平分线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·天津·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点，若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．9 C．12 D．14 10．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接，分别与边，BC相交于点D，E，若，的周长为17，则BC的长为（   ） A．7 B．10 C．12 D．17 11．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，中，，，点D为中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则为（    ）度． A．100 B．118 C．108 D．128 12．（24-25八年级上·甘肃定西·期中）如图，在中，，，是的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为______． 13．（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在中,,的垂直平分线交于M，交于的垂直平分线交于N，交于F，则__________. 14．（23-24八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，在中，已知，是边上的中线，点E是边上一动点，点P是上的一个动点．    (1)若，，，且时，求的长： (2)在（1）的条件下，求的最小值． 【考点3】等腰、等边三角形的性质与判定（第15-23题） · 等边对等角求角度，三线合一作高构造直角三角形 · 等边三角形三边相等、三角60°，含30°直角边等于斜边一半 · 等腰问题分类讨论腰与底，求出后用三边关系检验 15．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，AD是的平分线，，过D点作于点E，交于点F，则下列结论：①②③ ④， 其中正确结论的序号有（    ）      A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 16．（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）如图，小宣在一张三角形纸片上放置三根互相平行的木棍，其中两根木棍经过三角形的顶点，，测得，，，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 17．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，是边上的高．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 18．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在等腰中，，过点作，交的延长线于点，且，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 19．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在边长为10的等边中，点M在边的延长线上，点N在边上，且，若，则的长为（   ）     A．3 B．4 C．5 D．6 20．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在等边三角形中，E为上一点，过点E的直线交于点F，交延长线于点D，作垂足为G，如，，则的长为（    ） A． B． C． D． 21．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）在等腰三角形中，已知，则顶角的大小为________度． 22．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为________． 23．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图所示，在中，于点D，，求的长． 【考点4】全等三角形的判定与性质（第24-37题） · 先挖隐含条件（公共边、公共角、对顶角、平行线），再选判定 · 添加条件题从已知出发补齐一种判定，注意SSA不能判定 · 要证线段（角）相等，先看它们分别在哪两个三角形中 24．（23-24八年级上·江苏南京·期中）已知，的周长为，若，，的长是（    ） A．4 B．6 C．8 D． 25．（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．偶数一定能被整除 B．两直线平行，内错角相等 C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形 D．若，则 26．（2025八年级上·全国·专题练习）根据下列条件，能判定的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，，与的周长相等 27．（22-23八年级上·全国·期末）如图，已知，添加下列条件不能判定的是（　　） A． B． C． D． 28．（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（    ） A． B． C． D． 29．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，点在同一条直线上，，要使，只需添加一个条件，这个条件可以是_______． 30．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，是的角平分线，于点，且，，，则的面积为______． 31．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在和中，，，，线段的延长线交于点，连接．若，，，则线段的长度为_________． 32．（2025八年级上·全国·专题练习）已知：如图，与相交于点F，与相交于点G，，，．求证：． 33．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点在边上，且，平分交于点，交于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若，，，求的周长． 34．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，点均在线段上，且，分别过点在的异侧作，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 35．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，已知 ， 的对应角为， 的对应角为，若，求的长． 36．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）在中，，，点是上一点，，点是上一点，． (1)如图，求证：是等腰三角形． (2)如图，过点作于点，求证：平分． 37．（19-20八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)________．（用t的代数式表示） (2)当t为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【考点5】角平分线的性质与判定综合（第38-49题） · 角平分线上的点向两边作垂线，得到两条相等垂线段 · 面积法：用角平分线性质转化高，结合面积公式求线段 · 平行线+角平分线常推出等腰三角形，注意尺规作角平分线的原理 38．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当的长度为半径作弧，交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 39．（23-24七年级下·河南鹤壁·阶段检测）如图，是的外角的平分线，若，，则（    ） A． B． C． D． 40．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，锐角 的面积为10， 的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是_______． 41．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为______． 42．（22-23七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，和的角平分线交于点，延长BO与的外角平分线交于点，若，则________． 43．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 44．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若的长为2，则点到的最短距离为______． 45．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为______ 46．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，，连接．求的度数． 47．（2024·江苏南通·二模）如图，点P是内一射线上一点，点M、N分别是边、上的点，连接，且，． 求证：是的平分线． 小星的解答如下： 证明：在和中， ∵，，， ∴……第一步 ∴……第二步 ∴是的平分线．……第三步 (1)小星的解答从第 步开始出现错误； (2)请写出你认为正确的证明过程． 48．（24-25七年级下·吉林长春·期中）“如图①，在中，，和的平分线相交于点，求的度数．”小白在解决这个问题的过程中，发现当取不同的数值时，的大小并不改变，于是猜想三角形的两个内角的平分线的夹角和第三个内角的度数之间存在着某种数量关系，所以决定将其作为一个项目做进一步探究． 【项目模型】如图②，直线与直线相交于点，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合）．连接，和的平分线交于点．探究与的数量关系． 【特例发现】如图②，当时，__________度；当时，_____________度． 【规律探索】如图②，当度数为时，用含的代数式表示的大小，并写出推导过程． 【拓展应用】如图③，当时，和的平分线交于点，和的角平分线交于点．在点和点的运动过程中，当的三个内角中有一个角是另一个角的3倍时，直接写出的度数． 49．（22-23七年级下·四川成都·期中）在锐角中，，点D，E分别是边上一点，的相交于点F． (1)如图1，若平分，平分，求的度数； (2)如图2，若，且，，证明：； (3)如图3，，，，且，线段与相交，点N是的中点，连接，若，，求的长． 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【考点6】三角形内角和、外角与三边关系（第50-60题） · 内角和180°列方程求角度，外角等于不相邻两内角和 · 三边关系确定第三边范围，求整数解结合不等式 · 中线平分面积，高与角平分线结合求面积或角度 50．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为，另外两边的长为_________． 51．（24-25七年级下·上海·期末）在中，已知，那么_______（大小比较）． 52．（25-26七年级下·福建福州·期末）已知的三个内角分别是、、，若，，则________°． 53．（24-25八年级上·全国·期中）如图，的边上有一点D，取的中点E，连接，如果的面积为4，则图中阴影部分的面积为_____． 54．（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，，为的两个外角，，，则的度数为________． 55．（24-25七年级下·全国·周测）如图，已知，若，点在同一条直线上，则的度数为_______． 56．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，是的边上的高线，，且，，那么______．    57．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）三角形的两边长分别为和，第三边与前两边中的一边相等，求第三边的长． 58．（2026七年级下·全国·专题练习）在中，已知，且其中一个内角为，你能说出的外角分别是多少度吗？ 59．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，中，、分别是的高和角平分线，是的平分线，与交于，若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 60．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）如图，已知四边形，点是延长线上一点，连接，交于点，其中； (1)求证：； (2)若平分，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，连接，若，，求的度数． 💯 课后巩固 复习建议 · 三角形边、角、高、中线、角平分线概念要分清，注意钝角三角形高的位置 · 全等证明先找隐含条件（公共边、公共角、对顶角），再选判定 · 等腰三角形与三边关系问题务必分类讨论并检验能否构成三角形 · 角平分线作垂线、垂直平分线连端点，是两类最常用辅助线 · 轴对称最短路径问题作对称点化折为直，折叠问题抓对应边相等 【作业1】．（2025·山西阳泉·二模）如今，各省市县纷纷开启网络宣传新征程，下面是网络平台上我们平定县的相关账号头像，其中头像的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【作业2】．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，，点在上，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【作业3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，则（    ） A．13 B．8 C．5 D．3 【作业4】．（25-26八年级上·全国·期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【作业5】．（25-26七年级下·四川内江·期末）下列长度的各组线段，能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【作业6】．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，，、、分别平分的内角、外角、外角．其中不正确的结论有（    ） A． B． C． D． 【作业7】．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）小明在穿衣镜里看到身后墙上电子钟显示，则此时实际时刻为_____． 【作业8】．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，中，是的垂直平分线，，若的周长为，则______． 【作业9】．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，平分，平分，经过点与相交于点，且，，，的周长为_____． 【作业10】．（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E．若，，则的面积为_______． ∵平分，，， ∴， ∴， 故答案为：15． 【作业11】．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，D、E分别是的中点，与关于直线对称，若的面积是8，则面积为_________． 【作业12】．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为________． 【作业13】．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，是边长为2的等边三角形，点是延长线上一点，在右侧作等边，连接，若，则的长为__________． 【作业14】．（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，是等边三角形的高，是延长线上一点，且．若，则的长是____． 【作业15】．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，已知，分别是，的角平分线，且，垂足为E．求证：． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵______°， ∵，垂足为E， ∴______°，∴______°． 又∵，分别是，的角平分线， ∴______，______， ∴______°，即______°， ∴（______）． 【作业16】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，与关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在图①与图②中分别作出直线l． 【作业17】．（25-26八年级上·福建厦门·期中）我们生活在一个充满对称的世界中，而轴对称是一种重要的对称，同学们已经学习了在平面直角坐标系中图形的对称特征，请完成以下小题： (1)作出关于轴对称的图形，并写出点的坐标． (2)在平面直角坐标系中，经过点且平行于轴的直线记作直线． 给出定义：将点关于轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于轴和直线的“双轴对称点”． 例如：点关于轴和直线的“双轴对称点”为点． ①点关于轴和直线的“双轴对称点”的坐标是_____； ②点关于轴和直线的“双轴对称点”的坐标是，求和的值； 【作业18】．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 【作业19】．（24-25八年级上·广东佛山·期末）尺规作图（用无刻度直尺和圆规绘制几何图形）是一种古老而重要的几何作图技术，在现代科学研究中仍然发挥着重要的作用．用尺规作已知角的平分线是其中的一种基本作图． (1)如图1，由尺规作图痕迹，可推导出，继而得到，其中三角形全等的依据是________（单选题）； A．   B．    C．    D． (2)如图2，在射线上任取一点，作，在射线上截取一点，使，作射线．根据以上步骤，请证明是的平分线； (3)综上可发现：用尺规作已知角的平分线，其实是在角的内部构造与等角有关的图形．根据这一发现，在图3尝试第三种作法（保留作图痕迹）． 【作业20】．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）已知，，是的三边长，满足，为奇数，求的值及的周长． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二·期中综合复习·培优提高讲义 （三角形+全等三角形+轴对称）·2026人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 系统掌握三角形三边关系、内角和、外角性质及高、中线、角平分线概念 · 熟练运用全等三角形五种判定方法证明线段与角相等 · 掌握等腰、等边三角形性质与判定及三线合一的应用 · 理解轴对称性质、线段垂直平分线性质，会解决最短路径问题 · 综合运用三角形、全等、轴对称知识解决期中几何压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的基本性质 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 三角形内角和为180°，外角等于不相邻两内角之和 三角形的高、中线、角平分线都是线段，中线平分三角形面积 等腰三角形等边对等角，三线合一；等边三角形三边相等、三角均为60° 概念辨析例题：等腰三角形两边长为4和9，求周长。 答案：周长为22 解析：若4为腰，4+4<9不能构成三角形；若9为腰，三边9、9、4，周长为22。 ☆ 2.全等三角形 全等三角形对应边相等、对应角相等 判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，直角三角形还有HL SAS中的角必须是夹角，SSA不能判定全等 证明时先找公共边、公共角、对顶角等隐含条件 概念辨析例题：AB=AD，BC=DC，求证∠B=∠D。 答案：由SSS证△ABC≌△ADC，得∠B=∠D 解析：连接AC，AB=AD，BC=DC，AC为公共边，由SSS得两三角形全等，对应角∠B=∠D。 ☆ 3.角平分线与线段垂直平分线 角平分线上的点到角两边距离相等；反之亦然 线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；反之亦然 见到角平分线常向两边作垂线；见到垂直平分线常连接端点得等线段 三角形三条角平分线交于一点（内心），三边垂直平分线交于一点（外心） 概念辨析例题：∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，D到AB距离为3，求CD。 答案：CD=3 解析：AD是角平分线，DC⊥AC，D到AB的垂线段为距离，由角平分线性质得CD等于该距离，即CD=3。 ☆ 4.轴对称与最短路径 轴对称图形沿对称轴折叠后直线两旁部分完全重合 关于坐标轴对称的点：关于x轴对称横同纵反，关于y轴对称横反纵同 最短路径（将军饮马）问题作对称点，化折线为直线，再用两点之间线段最短 折叠问题：折叠前后对应边、对应角相等 概念辨析例题：点P(2,-3)关于y轴对称的点坐标是什么？ 答案：(-2,-3) 解析：关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数，故为(-2,-3)。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 三边关系 |a-b|<c<a+b 较短两边之和大于最长边 内角和/外角 180°；外角=不相邻两内角和 外角与相邻内角互补 全等判定 SSS、SAS、ASA、AAS、HL SAS的角必须是夹角 等腰三角形 等边对等角，三线合一 分类讨论后检验三边 角平分线 到角两边距离相等 常向两边作垂线 垂直平分线 到线段两端距离相等 常连接端点得等线段 ⚠️ 核心考点 【考点1】轴对称图形识别与坐标对称（第1-7题） · 找对称轴判断轴对称图形，注意镜面对称实际时刻左右相反 · 关于坐标轴对称的点：横同纵反（x轴），横反纵同（y轴） · 画轴对称图形先找关键点的对称点，再顺次连接 1．（25-26七年级上·全国·单元复习）下列图形是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．根据轴对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B 2．（26-27八年级下·全国·课后作业）若点关于轴的对称点是，则______________． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据关于轴对称的点的坐标规律，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求出的值. 【详解】解：点与点关于轴对称， . 3．（24-25八年级上·山东聊城·期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标，则______． 【答案】1 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，利用关于y轴对称的点纵坐标相同，可得，即可求出答案． 【详解】解：∵点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 4．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，平面直角坐标系中，三点的坐标分别为，，，，点M，N是x轴，线段上的动点，则的最小值为______． 【答案】4 【知识点】坐标系中描点、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了轴对称－最短路线问题，过点P作于H，交x轴于点E，连接．则的最小值为的长， 根据，，推出． 【详解】解：过点P作于H，交x轴于点E，连接， 点M，N是x轴，线段上的动点， 的最小值为的长， ，， ． 故对答案为：4． 5．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在等边三角形网格中，每个小等边三角形的边长都为1，图中已经涂黑了3个三角形，从①、②、③号位置选择一个三角形涂黑，其中能与图中涂黑部分构成轴对称图形的三角形序号是__________．    【答案】①② 【知识点】设计轴对称图案 【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案，直接利用轴对称图形的性质分析得出答案． 【详解】解：从①、②、③号位置选择一个三角形涂黑，其中能与图中涂黑部分构成轴对称图形的是①②号位置的三角形． 故答案为：①②． 6．（14-15八年级上·江苏·期末）在方格纸中的位置如图所示，方格纸中的每个小正方形的边长为1个单位． (1)与关于轴对称，请你在图中画出； (2)将向下平移8个单位后得到，请你在图中画出． (3)请分别写出、、的坐标． 【答案】(1) 解：关于轴对称的，如下图所示： (2) 解：向下平移8个单位后得到，如下图所示： (3),, 【知识点】画轴对称图形、写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图) 【分析】本题考查网格中图形的平移与旋转，熟练掌握网格中图形的平移的规律是解题的关键， （1）由于关于轴对称，则所有点的坐标不变，坐标相反即可得到图形； （2）根据题中所给图形的平移特点即可得到； （3）根据（2）中图形的位置可直接写出各点坐标． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）（1）在平面直角坐标系内，已知点关于轴对称，求的值． （2）在平面直角坐标系内，已知点在轴上，求点的坐标． 【答案】（1）（2）点的坐标为 【知识点】已知点所在的象限求参数、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）根据平面直角坐标系中点的坐标关于y轴对称，则“横坐标互为相反数，纵坐标相同”，列方程直接求解即可； （2）根据平面直角坐标系在y轴上的点的横坐标，列方程求出m的值，即可知道Q的坐标. 【详解】（1）解：∵点关于轴对称， ∴解得. （2）解：∵点   在  y 轴上， ∴ ∴， ∴. 【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质和坐标轴上点的坐标特征，正确掌握点的坐标特点是解题关键． 【考点2】线段垂直平分线与最短路径（第8-14题） · 垂直平分线上的点到两端距离相等，连接端点转化线段 · 最短路径问题作对称点，化折线为两点间线段 · 结合等腰三角形三线合一求周长最小值 8．（22-23八年级下·辽宁锦州·期中）如图，点P为内一点，过点P的线段分别交，于点M，N，且M，N分别在，的垂直平分线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据平角的概念求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，得到，，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：， ． ，N分别在，的垂直平分线上， ，． ，． ，， ． ． 故选：B． 9．（24-25八年级上·天津·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点，若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．9 C．12 D．14 【答案】B 【知识点】最短路径问题、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，将军饮马问题，理解将军饮马问题，正确添加辅助线是解题关键．连接，，先证明，，根据三角形面积公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到点C关于直线的对称点为点A，根据，即可求出的周长最小值为9． 【详解】解：连接，． ∵，点D是边的中点，， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵，当点A、M、D共线时取等号， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小值为． 故选：B． 10．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接，分别与边，BC相交于点D，E，若，的周长为17，则BC的长为（   ） A．7 B．10 C．12 D．17 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了尺规作图作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，由作图可知是的垂直平分线，得，再根据的周长得，进而可求解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，是的垂直平分线， ∴ ， ∵，的周长 ， 即： ， ∴ ， 故选：B． 11．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，中，，，点D为中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则为（    ）度． A．100 B．118 C．108 D．128 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、全等的性质和SAS综合（SAS）、折叠问题 【分析】连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后判断出点O是的外心，根据三角形外心的性质可得，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接、， ∵，为的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上， 又∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴， ∴， 在中，． 故选：C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 12．（24-25八年级上·甘肃定西·期中）如图，在中，，，是的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【知识点】垂线段最短、根据成轴对称图形的特征进行求解、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了垂线段最短以及对称轴作图，结合等腰三角形性质和对称性求解时关键．作关于的对称点，连接交于，连接，过作于，根据三角形面积公式求出，根据对称性质求出，根据垂线段最短得出即可得出答案． 【详解】解：作关于的对称点，连接交于，连接，过作于，如图， ∵，，， ∴， ∵E关于的对称点M， ∴， ∴， 根据垂线段最短得出：， 即， 即的最小值是． 13．（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在中,,的垂直平分线交于M，交于的垂直平分线交于N，交于F，则__________. 【答案】2 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、等边对等角 【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．解题的关键是作出恰当的辅助线． 连接、，根据线段的垂直平分线的性质证明，得到，同理，得到，得到答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：2． 14．（23-24八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，在中，已知，是边上的中线，点E是边上一动点，点P是上的一个动点．    (1)若，，，且时，求的长： (2)在（1）的条件下，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】垂线段最短、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可得，再利用三角形面积公式即可求解； （2）根据垂直平分线的性质可得，结合垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解： 中，，是边上的中线， ， ， ， ； （2）解：如图，连接．    由（1）可得垂直平分线段， ， ， 由垂线段最短可得时，取最小值，最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，垂线段最短等知识点，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 【考点3】等腰、等边三角形的性质与判定（第15-23题） · 等边对等角求角度，三线合一作高构造直角三角形 · 等边三角形三边相等、三角60°，含30°直角边等于斜边一半 · 等腰问题分类讨论腰与底，求出后用三边关系检验 15．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，AD是的平分线，，过D点作于点E，交于点F，则下列结论：①②③ ④， 其中正确结论的序号有（    ）      A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理、三角形内角和定理的应用、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质；由“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，由“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”可得，于是可得结论②；设，交于点，在和中，由和对顶角相等，结合三角形内角和可得结论③；利用在等腰三角形中求得表达式，利用∠BAC的补角和角平分线的定义求得的表达式，结合结论③可得结论④； 【详解】解：∵AD是的平分线，过D点作于点E，交于点F，， ∴， 又∵，， ∴，即①正确， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即②正确， 如下图设，交于点，    ∵，， ∴， ∴，即③正确， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴，即④正确， 综上所述①②③④正确， 故选： D． 16．（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）如图，小宣在一张三角形纸片上放置三根互相平行的木棍，其中两根木棍经过三角形的顶点，，测得，，，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、等边三角形的判定 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理应用，三角形形状的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 先根据平行线的性质得出，，求出，再根据三角形内角和定理得出，即可得出答案． 【详解】解：如图，根据题意可得：， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴为等边三角形． 故选：C． 17．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，是边上的高．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】由等腰三角形的性质求出顶角的度数，再由直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴． 18．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在等腰中，，过点作，交的延长线于点，且，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、等腰三角形的定义 【分析】本题可通过连接，利用三角形面积的和差关系，结合等腰三角形的性质，推导出与的等量关系，进而求出的值． 【详解】解：连接， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 19．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在边长为10的等边中，点M在边的延长线上，点N在边上，且，若，则的长为（   ）     A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、和等腰三角形“三线合一”的性质．熟练掌握以上知识，正确作出辅助线是解题的关键．过M点作于D点，由等边三角形的性质得，则．根据“直角三角形中的角所对的边等于斜边的一半” 可得，则可得．由等腰三角形“三线合一”可得． 【详解】 过M点作于D点， 则， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ， 中，，， ， ． 故选：B 20．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在等边三角形中，E为上一点，过点E的直线交于点F，交延长线于点D，作垂足为G，如，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，过E作，先证明是等边三角形，再证，即可得到答案； 【详解】解：过E作， ∵是等边三角形，， ， ∴，， ∵， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 21．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）在等腰三角形中，已知，则顶角的大小为________度． 【答案】或 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质，可知的角可能是顶角，也可能是底角，利用三角形内角和定理，可求解． 【详解】解：当顶角为时，则这个等腰三角形的顶角为； 当底角为时，顶角为， 故答案为：或． 22．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为________． 【答案】5 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形，根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，求得，，，再由等边三角形的边长为4，得出的长．掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解： 为等边三角形，， ，， ，， ， ， ，， 点是的中点， ， ， ， ， ． 故答案为：5． 23．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图所示，在中，于点D，，求的长． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，所对的直角边等于斜边的一半．是基础知识要熟练掌握． 由，，，得，得出，即可得到的长． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点4】全等三角形的判定与性质（第24-37题） · 先挖隐含条件（公共边、公共角、对顶角、平行线），再选判定 · 添加条件题从已知出发补齐一种判定，注意SSA不能判定 · 要证线段（角）相等，先看它们分别在哪两个三角形中 24．（23-24八年级上·江苏南京·期中）已知，的周长为，若，，的长是（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得的长，从而可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵的周长为，若， ∴． 故选：B． 25．（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．偶数一定能被整除 B．两直线平行，内错角相等 C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形 D．若，则 【答案】D 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假、内错角相等两直线平行、全等三角形的性质 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题．写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：A、逆命题为能被整除的数一定是偶数，正确，是真命题，不符合题意； B、逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意； C、逆命题为全等三角形的三条边对应相等，正确，是真命题，不符合题意； D、逆命题为若，则，错误，是假命题，符合题意． 故选：D． 26．（2025八年级上·全国·专题练习）根据下列条件，能判定的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，，与的周长相等 【答案】D 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 根据各选项条件结合全等判定定理（、、、、）进行判断，注意和不能判定全等． 【详解】解：A、，，，但是边的对角，不能判定三角形全等，故A选项不符合题意； B、，，，但的对应边应为，而非，边不对应，不能判定三角形全等，故B选项不符合题意； C、，，，为，不能判定三角形全等，故C选项不符合题意； D、∵，，与的周长相等， ， 又，， ， 即三边对应相等，符合，能判定三角形全等，故D选项不符合题意． 故选：D． 27．（22-23八年级上·全国·期末）如图，已知，添加下列条件不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，常用的全等三角形的判定方法有：、、、，解决本题的关键是根据原有的条件与添加的条件是否能组成上述的条件，如果符合上述条件中的一种即可证明三角形全等． 【详解】解：由图可知是和的公共角， A选项：添加，在和中有两条边和其中一条边的对角对应相等，不能证明三角形全等，故A选项符合题意； B选项：添加，在和中，根据可证，故B选项不符合题意； C选项：添加，在和中，根据可证，故C选项不符合题意； D选项：添加，在和中，根据可证，故D选项不符合题意． 故选：A． 28．（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】题目主要考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，根据题意得出，然后进行等量代换求解即可，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故选：B 29．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，点在同一条直线上，，要使，只需添加一个条件，这个条件可以是_______． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判断，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理，已知两组边相等，再添加一个角相等，或者一条边相等即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 添加， ∵，，， ∴． 添加， ∵，，， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 30．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，是的角平分线，于点，且，，，则的面积为______． 【答案】 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的性质，过点作的垂线交于点，先证明，得到后，将拆成，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过点作的垂线交于点， ， ， 是的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：． 31．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在和中，，，，线段的延长线交于点，连接．若，，，则线段的长度为_________． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】先证明，，求解，可得，可得，进一步求解即可． 【详解】解：，，， ， ， ∵，， ∴， ∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 32．（2025八年级上·全国·专题练习）已知：如图，与相交于点F，与相交于点G，，，．求证：． 【答案】 证明：如图，设与交于点H， ∵，且，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；设与交于点H，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证． 【详解】略 33．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点在边上，且，平分交于点，交于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)，理由如下： ， ∴ ， ， ∴， 平分 ， ∴， ， ∴； (2)10 【知识点】两直线平行同位角相等、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、角平分线的有关计算、全等三角形的性质 【分析】（1）先根据平行线的性质以及已知条件证明，再由证明即可； （2）利用全等三角形的性质把线段进行转换，即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴， ， ∴， ， ∴的周长为． 34．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，点均在线段上，且，分别过点在的异侧作，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用可证明，则由全等三角形的性质可证明结论； （2）由全等三角形的性质得到，再证明，得到，最后根据线段的和差关系可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 35．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，已知 ， 的对应角为， 的对应角为，若，求的长． 【答案】1 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，可得，进而可得，结合即可求解． 【详解】解： ， ， 即， ， ， ， 即， ． 36．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）在中，，，点是上一点，，点是上一点，． (1)如图，求证：是等腰三角形． (2)如图，过点作于点，求证：平分． 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 证明：如图，过作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）、两直线平行内错角相等 【分析】（）由，，，得，，证明，故有，从而求证； （）过作于点，则有，故，由（）得，所以，，由等腰三角形的性质得，根据垂直的定义可得，然后证明，根据性质得，从而求证； 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 37．（19-20八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)________．（用t的代数式表示） (2)当t为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，2或 【知识点】列代数式、全等三角形综合问题 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质，列代数式，解本题的关键是全等三角形性质的掌握． （1）根据点的运动速度可得的长； （2）根据全等三角形的性质即可得出即可； （3）此题主要分两种情况①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值． 【详解】（1）解：点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒时，， 故答案案为：； （2）当时，， 理由：，， ， ， ， ， （3）①当时， ，， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当时， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：． 综上所述：当或时，与全等． 【考点5】角平分线的性质与判定综合（第38-49题） · 角平分线上的点向两边作垂线，得到两条相等垂线段 · 面积法：用角平分线性质转化高，结合面积公式求线段 · 平行线+角平分线常推出等腰三角形，注意尺规作角平分线的原理 38．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当的长度为半径作弧，交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了做垂线，直角三角形的两个锐角互余，先由作图过程得出，则，根据，解得，又因为，则，即可作答． 【详解】解：依题意，由作图过程得出， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故， ∵在中，， ∴， 故选：C． 39．（23-24七年级下·河南鹤壁·阶段检测）如图，是的外角的平分线，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握定义和性质是解题的关键． 根据角平分线的定义得出，再根据三角形的外角即可得出答案． 【详解】 是的外角的平分线，， ， ，， 故选C． 40．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，锐角 的面积为10， 的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是_______． 【答案】4 【知识点】垂线段最短、角平分线的有关计算、两点之间线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，在上取一点E，使，连接ME， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为， 又由垂线段最短得：当时，BE取得最小值， ， ， 解得， 即的最小值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键． 41．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为______． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、同(等)角的余(补)角相等的应用、角平分线的有关计算、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，延长和相交于点，由折叠可得，，进而由角平分线可证，得到，即得，再证明，可得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长和相交于点， 由翻折可知，，， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 42．（22-23七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，和的角平分线交于点，延长BO与的外角平分线交于点，若，则________． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形角平分线的定义 【分析】由是的平分线，为的外角平分线，可得，，则，根据，可得，然后计算求解即可． 【详解】解：∵是的平分线，为的外角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线，三角形外角的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 43．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、与三角形的高有关的计算问题、角平分线的有关计算 【分析】先根据角的和差关系求出的度数，再在中，利用三角形的内角和定理求出，结合角平分线的定义求出，最后根据三角形的内角和定理求解． 【详解】解： ，， ∴， ∵是边上的高， ， ， 是的平分线， ， ∴, ∴． 44．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若的长为2，则点到的最短距离为______． 【答案】2 【知识点】垂线段最短、作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键． 过点作于点，可知点到的最短距离为，根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：过点作于点，点到的最短距离为， 根据作图可知为的角平分线， ∵ ∴， 故答案为：2． 45．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为______ 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】延长和，过点作于点，过点作于点，根据是的平分线可得出，故，过点作于点，可得出，，进而得出为的平分线，得出，再根据即可得出结论．本题考查了角平分线的性质，以及三角形的全等和三角形的内角和定理，注意知识点的综合运用． 【详解】解：延长和，过点作于点，过点作于点， 是的平分线 在与中， ， ， ， 又 ， 为的平分线， 过点作于点， 在与中， ， ， ， ． 在与中， ， 为的平分线 ， 在中， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 46．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，，连接．求的度数． 【答案】 【知识点】角平分线的判定定理、角平分线的性质定理、角平分线的有关计算 【分析】此题考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键．过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的性质可得出结论 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ，， ， ， ， ，即为的平分线． 又，， ． 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分． 47．（2024·江苏南通·二模）如图，点P是内一射线上一点，点M、N分别是边、上的点，连接，且，． 求证：是的平分线． 小星的解答如下： 证明：在和中， ∵，，， ∴……第一步 ∴……第二步 ∴是的平分线．……第三步 (1)小星的解答从第 步开始出现错误； (2)请写出你认为正确的证明过程． 【答案】(1)一 (2) 证明：过点P作，于点D，E， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是的平分线． 【知识点】角平分线的判定定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 过点P作，于点D，E，根据证明，即可得到，然后根据角平分线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）小星的解答从第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）略 48．（24-25七年级下·吉林长春·期中）“如图①，在中，，和的平分线相交于点，求的度数．”小白在解决这个问题的过程中，发现当取不同的数值时，的大小并不改变，于是猜想三角形的两个内角的平分线的夹角和第三个内角的度数之间存在着某种数量关系，所以决定将其作为一个项目做进一步探究． 【项目模型】如图②，直线与直线相交于点，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合）．连接，和的平分线交于点．探究与的数量关系． 【特例发现】如图②，当时，__________度；当时，_____________度． 【规律探索】如图②，当度数为时，用含的代数式表示的大小，并写出推导过程． 【拓展应用】如图③，当时，和的平分线交于点，和的角平分线交于点．在点和点的运动过程中，当的三个内角中有一个角是另一个角的3倍时，直接写出的度数． 【答案】特例发现：；； 规律探索：，推理如下： ∵，， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴， ∴， ∴； 拓展应用：或 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，熟知三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键． 特例发现：先由三角形内角和定理得到的度数，再由角平分线的定义得到，据此得到，则由三角形内角和定理可求出的度数； 规律探索：同特例发现中的方法求解即可； 拓展应用：由三角形内角和定理可得，则由平角的定义可得，再由角平分线的定义得到，则由三角形内角和定理可得，则由规律探索的结论可得；再分，，和， 四种情况根据三角形内角和定理求出的度数，进而根据角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：特例发现：当时， ∵， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴， ∴， ∴； 规律探索：略． 拓展应用：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵和的角平分线交于点， ∴； 当时， 则， ∴， ∴， ∴； 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 综上所述，的度数为或． 49．（22-23七年级下·四川成都·期中）在锐角中，，点D，E分别是边上一点，的相交于点F． (1)如图1，若平分，平分，求的度数； (2)如图2，若，且，，证明：； (3)如图3，，，，且，线段与相交，点N是的中点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)60° (2) 如图，延长至点，使得， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， (3)4 【知识点】等边三角形的判定和性质、三角形角平分线的定义、全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）先根据角平分线的定义，得出再结合三角形内角和，得出，因为邻补角性质，列式计算即可作答． （2）如图，延长至点，使得，证明，推出，，再根据邻补角定义、四边形内角和定理推出，根据等腰三角形的判定定理及等量代换可得结论； （3）首先证明，如图，延长到，使得，连接，连接，，证明，推出，延长到，使得，则是等边三角形，再证明，推出，，推出是等边三角形，可得结论． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵平分，平分， ∴ ∵ ∴； （2）略 （3）证明：延长到Q，使得，连接， ，， ∴是等边三角形， ，， 在与中， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在与中， ， ∴， ， ∴ ∴ 延长到，使得，则是等边三角形，连接， ∵， ， ，， ， 在与中， ， ， ，， ∴是等边三角形， ∴． ∵，， ∴ 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题，属于中考压轴题． 【考点6】三角形内角和、外角与三边关系（第50-60题） · 内角和180°列方程求角度，外角等于不相邻两内角和 · 三边关系确定第三边范围，求整数解结合不等式 · 中线平分面积，高与角平分线结合求面积或角度 50．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为，另外两边的长为_________． 【答案】， 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形三边之间的关系，熟练掌握以上知识，并且分类讨论是解题的关键． 分两种情况进行讨论：①若的边为底边，②若的边为腰．分别求出另外两边长，再根据三角形三边之间的关系判断能否组成三角形进行取舍． 【详解】解：①若的边为底边，则腰长为：， ， ∴此时能构成三角形， ∴另两边的长度分别是，； ②若的边为腰，则另一腰也为，则底边长为：， ，不满足三角形三边之间的关系，因此的边不能为腰． 综上，另两边的长度分别是，． 故答案为：，． 51．（24-25七年级下·上海·期末）在中，已知，那么_______（大小比较）． 【答案】 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查比较三角形的内角度数的大小关系，根据大边对大角，比较角度之间的关系即可． 【详解】解：∵分别为的对边，且， ∴； 故答案为：． 52．（25-26七年级下·福建福州·期末）已知的三个内角分别是、、，若，，则________°． 【答案】 80 【知识点】三角形内角和定理的应用 【详解】解：∵三角形内角和为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 53．（24-25八年级上·全国·期中）如图，的边上有一点D，取的中点E，连接，如果的面积为4，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】2 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要查了中线的性质．根据点E是的中点，可得，，即可求解． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴是的中线，是的中线， ∴，， ∴， 答案为：2． 54．（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，，为的两个外角，，，则的度数为________． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】由互补关系及三角形外角性质即可求解． 【详解】解：∵为的两个外角，且， ∴， ∵， ∴． 55．（24-25七年级下·全国·周测）如图，已知，若，点在同一条直线上，则的度数为_______． 【答案】/50度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线性质和三角形外角定理的综合应用，灵活应用平行线性质和三角形外角定理解题是解题关键．由平行线的性质求出大小，再由三角形的外角定理求出的大小． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 56．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，是的边上的高线，，且，，那么______．    【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、与三角形的高有关的计算问题、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查三角形中求角度，先由高的定义得到直角三角形，列出方程组求解出，进而由平行线性质与直角三角形两锐角互余，数形结合即可得到答案．根据图形，灵活运用几何定义与性质是解决问题的关键． 【详解】解： 是的边上的高线， ， 在中，，且， ， ， ， 在中，，则， ， 故答案为：． 57．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）三角形的两边长分别为和，第三边与前两边中的一边相等，求第三边的长． 【答案】 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，分第三边的长为和第三边的长为两种情况，结合三角形中，任意两边之和大于第三边进行讨论求解即可． 【详解】解：当第三边的长为，则此时这个三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时不能构成三角形，故此种情形不符合题意； 当第三边的长为，则此时这个三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形，故此种情形符合题意； 综上所述，第三边的长为． 58．（2026七年级下·全国·专题练习）在中，已知，且其中一个内角为，你能说出的外角分别是多少度吗？ 【答案】外角分别为或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角，掌握相关知识是解决问题的关键．分类讨论或，先求出每个内角，再根据相邻的内角与外角互补求出外角即可． 【详解】解：若，则， 则外角分别为，； 若，则， 则外角分别为，． 答：外角分别为或． 59．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，中，、分别是的高和角平分线，是的平分线，与交于，若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形的角平分线与高，三角形的内角和定理，三角形外角的性质． （1）先由三角形的内角和定理求出，再根据角平分线求出，根据三角形的高得到，从而在中求出，进而根据角的和差即可解答； （2）根据角平分线求出，，根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 是的角平分线， ， 是的高， ， ， ． （2）解：是的平分线，， ， 是的角平分线，， ， ． 60．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）如图，已知四边形，点是延长线上一点，连接，交于点，其中； (1)求证：； (2)若平分，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，连接，若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴； (2) ∵平分， ∴， ∵ ∴ ， ∵ ∴， ∴， ∴； (3) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质、几何问题(一元一次方程的应用)、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）利用已知条件和对顶角相等得到，即可证明结论； （2）证明，，利用等量代换即可得到结论； （3）证明，则，设，得到，，，利用三角形内角定理列方程求出即可． 【详解】（1）略． （2）略． （3）∵ ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， 在中， 解得 即 【点睛】此题考查了平行线的判定和性质、三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、一元一次方程等知识，熟练掌握平行线的判定和性质、三角形内角和定理是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 三角形边、角、高、中线、角平分线概念要分清，注意钝角三角形高的位置 · 全等证明先找隐含条件（公共边、公共角、对顶角），再选判定 · 等腰三角形与三边关系问题务必分类讨论并检验能否构成三角形 · 角平分线作垂线、垂直平分线连端点，是两类最常用辅助线 · 轴对称最短路径问题作对称点化折为直，折叠问题抓对应边相等 【作业1】．（2025·山西阳泉·二模）如今，各省市县纷纷开启网络宣传新征程，下面是网络平台上我们平定县的相关账号头像，其中头像的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，结合图形，找出对称轴是关键． 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴，根据定义，结合图形，找出对称轴即可． 【详解】解：A、有对称轴，是轴对称图形，符合题意； B、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； C、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； D、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A ． 【作业2】．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，，点在上，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据，得到，，进而利用求出的长即可．掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵点在上， ∴； 故选C． 【作业3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，则（    ） A．13 B．8 C．5 D．3 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 由线段垂直平分线的性质推出． 【详解】解：∵， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴． 故选：D． 【作业4】．（25-26八年级上·全国·期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，一个平面图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 【作业5】．（25-26七年级下·四川内江·期末）下列长度的各组线段，能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【详解】解：A、，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形； B、，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形； C、满足三角形任意两边之和大于第三边，能组成三角形； D、，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形． 【作业6】．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，，、、分别平分的内角、外角、外角．其中不正确的结论有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， 故选项A的结论正确，不符合题意； ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， 故选项B的结论正确，不符合题意； ∵， ∴， 即， 故选项C的结论不正确，符合题意； 在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选项D的结论正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形外角的性质，角平分线定义，平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用等知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 【作业7】．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）小明在穿衣镜里看到身后墙上电子钟显示，则此时实际时刻为_____． 【答案】 【知识点】电子钟示数的镜面对称 【分析】本题考查了镜面对称，熟练掌握镜面对称是解题的关键；根据镜面对称进行求解即可． 【详解】解：根据题意，平面镜里看到其对面墙上电子钟显示数与实际的时间显示数成轴对称，据此可知实际时间为， 故答案为：． 【作业8】．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，中，是的垂直平分线，，若的周长为，则______． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得，进而由的周长为可得，据此即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【作业9】．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，平分，平分，经过点与相交于点，且，，，的周长为_____． 【答案】16 【知识点】根据等角对等边证明边相等、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质．根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而得到，，然后利用等量代换可得到的周长为，进行计算即可解答． 【详解】解： 平分，平分， ， ， ， ， ， 的周长为： ， 故答案为：16． 【作业10】．（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E．若，，则的面积为_______． 【答案】15 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，作于，由角平分线的性质定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：如图：作于， ∵平分，，， ∴， ∴， 故答案为：15． 【作业11】．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，D、E分别是的中点，与关于直线对称，若的面积是8，则面积为_________． 【答案】2 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】此题考查了三角形中线平分三角形的面积． 根据D、E分别是的中点，可得，，再由对称即可求得． 【详解】解：∵D别是的中点， ∴， ∵E别是的中点， ∴， 又∵与关于直线CE对称， ∴， 故答案为： 【作业12】．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为________． 【答案】3 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查轴对称－最短路线问题，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，能用一条线段的长表示出三条线段的和的最小值是解题的关链． 作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，根据轴对称的性质，得到的最小值为，推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接， 则， ， 的最小值为， 由轴对称的性质得，，，， ， ∵， 为等边三角形， ， 即的值最小为3； 故答案为：3． 【作业13】．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，是边长为2的等边三角形，点是延长线上一点，在右侧作等边，连接，若，则的长为__________． 【答案】5 【知识点】等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】考查等边三角形的性质、全等三角形的判定（）与性质．解题关键是利用等边三角形的边、角条件，通过“角的和差”构造全等三角形的对应角，进而证明全等实现线段转化；易错点是混淆全等三角形的对应边、对应角，或遗漏角的和差推导步骤． 先根据等边三角形的性质，得到、及；再通过角的和差关系，推出，满足全等条件；然后证明，利用全等对应边相等得；最后结合的线段和关系，代入已知长度计算出． 【详解】已知和均为等边三角形，因此： ，； ． 由，可得： ． 在和中： ， ． ． 又；，且，因此： 结合，得． 故答案为：5． 【作业14】．（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，是等边三角形的高，是延长线上一点，且．若，则的长是____． 【答案】6 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角定理等知识点． 先由等边三角形得到，，然后证明，再由求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业15】．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，已知，分别是，的角平分线，且，垂足为E．求证：． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵______°， ∵，垂足为E， ∴______°，∴______°． 又∵，分别是，的角平分线， ∴______，______， ∴______°，即______°， ∴（______）． 【答案】180；90；90；，；180，180；同旁内角互补，两直线平行 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定的运用，由垂直定义和三角形内角和定理得，由角平分线定义得，，可得，即可得出． 【详解】证明：∵， ∵，垂足为E， ∴， ∴． 又∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴，即， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：180；90；90；，；180，180；同旁内角互补，两直线平行． 【作业16】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，与关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在图①与图②中分别作出直线l． 【答案】如图： 【知识点】无刻度直尺作图、画对称轴 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟记对应边所在直线的交点一定在对称轴上是解题的关键．根据轴对称的性质，对应边所在直线的交点一定在对称轴上，图①过，的交点和点A作直线，该直线就是所求作的直线l，图②中，过，的延长线的交点和，的延长线的交点作直线，该直线就是所求作的直线l． 【详解】解：如图①，过，的交点和点A作直线，该直线就是所求作的直线l．如答图②，过，的延长线的交点和，的延长线的交点作直线，该直线就是所求作的直线l． 【作业17】．（25-26八年级上·福建厦门·期中）我们生活在一个充满对称的世界中，而轴对称是一种重要的对称，同学们已经学习了在平面直角坐标系中图形的对称特征，请完成以下小题： (1)作出关于轴对称的图形，并写出点的坐标． (2)在平面直角坐标系中，经过点且平行于轴的直线记作直线． 给出定义：将点关于轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于轴和直线的“双轴对称点”． 例如：点关于轴和直线的“双轴对称点”为点． ①点关于轴和直线的“双轴对称点”的坐标是_____； ②点关于轴和直线的“双轴对称点”的坐标是，求和的值； 【答案】(1) 如图，即为所作， (2)①；②的值为，的值为 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、坐标系中的对称、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）根据轴对称的性质作出点、、关于轴对称的对应点、、，再顺次连接，然后根据直角坐标系可得出点的坐标； （2）依照新定义计算即可； （3）依照新定义确定的坐标，根据题意列出关于和的方程组，解方程组即可． 【详解】（1）略 （2）解：①如图， ∴点关于轴和直线的“双轴对称点”的坐标是， 故答案为：； ②∵点关于轴对称的点为，再关于直线对称的点为， ∴点关于轴和直线的“双轴对称点”的坐标是， ∵的坐标是， ∴， 解得：， ∴的值为，的值为． 【点睛】本题考查图形的变换—轴对称，平面直角坐标系中坐标与图形变化，方程组的应用，解题的关键是对新定义“双轴对称点”的理解． 【作业18】．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质． （1）根据折叠前后的图象全等可知，，，再根据三角形内角和定理比可求出答案； （2）连接，将作为一个整体，根据三角形内角和定理来求； （3）将看作，看作，再根据三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：由折叠性质可知：，， ， ； （2）解：连接， 由折叠性质可知：， ， ； （3）解： ， 所以：． 【作业19】．（24-25八年级上·广东佛山·期末）尺规作图（用无刻度直尺和圆规绘制几何图形）是一种古老而重要的几何作图技术，在现代科学研究中仍然发挥着重要的作用．用尺规作已知角的平分线是其中的一种基本作图． (1)如图1，由尺规作图痕迹，可推导出，继而得到，其中三角形全等的依据是________（单选题）； A．   B．    C．    D． (2)如图2，在射线上任取一点，作，在射线上截取一点，使，作射线．根据以上步骤，请证明是的平分线； (3)综上可发现：用尺规作已知角的平分线，其实是在角的内部构造与等角有关的图形．根据这一发现，在图3尝试第三种作法（保留作图痕迹）． 【答案】(1)B (2) 证明：根据作图可得：， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 射线就是的平分线． (3)如图射线为的平分线． 【知识点】作角平分线(尺规作图)、用SSS证明三角形全等（SSS）、尺规作一个角等于已知角、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据，可由证明两个三角形全等； （2）根据作图可得：，，根据等腰三角形的性质和外角的性质可得，从而得证； （3）在射线上取点、，分别以为圆心，长为半径画弧，交射线于点，，连接，交于点，过点画射线，则射线为的平分线． 【详解】（1）解：根据作图可得：， ， ， ， 射线就是的平分线， 用到的三角形全等的判定方法是， 故选：． （2）略 （3）连接， 由作图可知，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴射线就是的平分线． 【作业20】．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）已知，，是的三边长，满足，为奇数，求的值及的周长． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值、平方的非负性，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是确定边长c的取值范围． 根据非负数的性质列式求出、的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，再根据是奇数求出的值． 【详解】解：，满足， ，， 解得，， ，， ， 又是奇数， ， 的周长为． 故答案为． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $