专题02 全等三角形（期中复习讲义·培优版）八年级数学上学期新教材人教版

专题01 全等三角形（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 题型02 题型03 题型04 题型05 题型06 题型07 题型08 题型09 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 全等三角形的有关概念 能准确识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角，正确书写全等符号 基础必考点，常出现在选择、填空小题，对应顶点位置易错 全等三角形的性质 能利用全等三角形性质求解对应边长度、对应角度数 高频考点，常与判定结合出现在解答题，对应关系易混淆 三角形全等的判定 掌握“边边边（SSS）”“边角边（SAS）”“角边角（ASA）”“角角边（AAS）”判定定理，能规范书写证明过程，能区分边与角的对应关系，能够灵活选用合适的判定方法 基础判定考点，解答题必考，常出现在基础证明题，常与三角形内角和结合考查，需注意边的对应关系 高频易错点，“SSA”不能判定全等是常见丢分点 直角三角形全等的判定 掌握直角三角形特有的“HL”判定定理，能区分一般三角形与直角三角形的判定方法 高频考点，仅适用于直角三角形，常出现在综合证明题 角的平分线的性质与判定 能运用角平分线的性质和判定解决线段相等、点在角平分线上的证明问题 常与全等三角形结合出现在辅助线构造类难题，“距离”的垂线段要求是易错点 尺规作图 掌握尺规作一个三角形等于已知三角形，一个角等于已知角、作角平分线的步骤，能结合全等三角形原理理解作图依据 常出现在操作类填空、解答题，作图痕迹保留和步骤规范性是丢分点 全等三角形的综合应用 能综合运用全等判定和性质解决实际问题、动态几何问题 期中压轴题常考方向，常涉及辅助线构造（如截长补短、倍长中线） 知识点01 全等三角形的有关概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角 叫对应角。全等用符号“≌”表示，读作“全等于”；如△ABC≌△DEF。 ·示例：△ABC与△DEF全等，记作“△ABC≌△DEF”，则： 点A与D、B与E、C与F是对应顶点； AB与DE、BC与EF、AC与DF是对应边； ∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F是对应角。 ·易错点： 1.记写全等时，对应顶点字母要写在对应位置，即“△ABC≌△DEF”隐含了对应关系，不能随意调换； 2.“完全重合”是本质，图形经过平移、旋转、翻折后能重合也算全等； 3.只有"形状相同"不一定全等，还必须大小（边长）相等。 知识点02 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形周长相等、面积相等，对应边上的高、中线、对 应角的平分线也分别相等。 ·示例：若△ABC≌△DEF，则 AB=DE，AC=DF，BC=EF； ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F； 。 ·易错点：性质常与判定配合使用——先证明全等，再利用对应边、对应角相等去求线段或角度；找对应 关系是解题关键，防止对应边、对应角配错。 知识点03 三角形全等的判定 ①三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边（SSS）”。 ·示例：如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SSS）。 ·易错点： 1.必须是对应的三边都相等； 2.只有两边相等不能判定全等（夹角或第三边未定）； 3.几何证明时先写"在△...中"，再列对应相等条件，最后下结论。 ②两边和它们的夹角分别对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边（SAS）”。 ·示例：如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SAS）。 ·易错点： 1.必须是“两边的夹角”相等，不是任意一个角； 2.“SSA”（两边与其中一边的对角相等）不能判定全等，是常见错误； 3.证明时书写顺序一般为：边→角→边，且角必须是夹角。 ③两角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等。简写为“角边角（ASA）”。 ·示例：如图，在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 ④两角和其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等。简写为“角角边（AAS）”。 ·示例：如图，在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 ·易错点： 1.ASA的边必须是两角的夹边；AAS的边是其中一角的对边； 2.两者常可相互转化（三角形内角和180°，知道两角就知三角），证明时灵活选用； 3.列条件时，角边角与角角边的顺序不要写错。 知识点04 直角三角形全等的判定（斜边直角边（HL），仅用于直角三角形） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写为“斜边、直角边（HL）”。 · 示例：如图：在Rt△ABC与Rt△DEF中： ∴Rt△ABC≌Rt△DEF。 ·易错点： 1.HL只适用于直角三角形，一般三角形不能用； 2.条件是“”斜边+一条直角边”，两直角边相等时用SAS也可； 3.判定直角三角形全等有5种：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，HL是直角三角形特有的简便方法。 知识点05 角的平分线的性质与判定 角平分线性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 · 示例：OC平分∠AOB，P是OC上一点，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D， 则PE=PD。 角平分的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 · 示例：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD ∴∠AOC＝∠BOC ·易错点： 1.“距离”指点到直线的垂线段长度，必须作垂线（PE⊥OA、PD⊥OB）才成立； 2.性质用于由“角平分线”推“距离相等”，判定用于由“距离相等”推“点在角平分线上”，方向不要 混； 3.常借助全等三角形（HL）证明这两条结论。 知识点06 尺规作图 ①作三角形 已知 线段a，b，c 求作 △ABC，使其三边的长分别为a，b，c 作法 步骤： （1）作线段BC＝a； （2）以点C为圆心，以b为半径画圆弧，再以B为圆心，以c为半径画圆弧，两弧交于点A； （3）连接AC和AB，则三角形即为所求作三角形。 依据 SSS证全等 ②作一个角等于已知角 已知 ∠AOB 求作 ∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB 作法 步骤： （1）以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于C，D； （2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于C′； （3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点D′； （4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求角。 依据 SSS证全等 ③过一点作已知直线的平行线 已知 直线AB及直线外一点C 求作 过C作直线AB的平行线CD 作法 步骤： （1）过C作一条直线与直线AB相交于点E； （2）在点C处作∠CEB的同位角∠FCD，使∠CEB＝∠FCD； （3）反向延长CD得到直线CD，则CD∥AB。 ④作已知角的角平分线 已知 ∠AOB 求作 ∠AOB的角平分线 作法 步骤： （1）以角的顶点为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N； （2）以点M和点N为圆心，大于MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P； （3）连接OP即为角平分线。 ·易错点： 1.作图工具规范：必须使用无刻度直尺和圆规，不能使用量角器、带刻度尺子度量长度或角度； 2.弧长要求：作角平分线时，两次画弧的半径必须大于MN长度的，否则两弧无法相交或交点不准确； 3.步骤完整性：所有作图步骤需完整呈现，不能省略关键步骤（如作三角形时必须明确三边对应关系，作平行线时必须标注同位角相等）； 4.痕迹保留：所有圆弧、交点的作图痕迹必须清晰保留，不得擦除，否则视为无效作答； 5.交点位置：画弧时交点必须在角的内部（作角平分线）或指定区域，不能取外部交点； 6.书写规范：最终结论必须明确写出“××即为所求”，标注对应字母时需与题干要求一致。 题型一 全等三角形性质的综合应用 解｜题｜技｜巧 全等三角形对应边、对应角相等，周长、面积、对应高/中线/角平分线也相等；常结合三角形内角和、外角性质求未知线段长度或角度；证明线段/角度相等时，优先证明所在三角形全等，再利用性质推导。 易｜错｜点｜拨 1. 不要混淆“对应”元素，非对应边/角不具备相等关系； 2. 性质仅在三角形全等的前提下成立，未证明全等时不能直接使用； 3. 计算角度时不要忽略三角形内角和为180°的隐含条件。 【典例1】（2026春•金牛区校级期中）如图，△ABC≌△AEF，则对于结论①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵△ABC≌△AEF， ∴AF＝AC，EF＝BC，∠EAF＝∠BAC，故①、③符合题意， ∵∠EAB+BAF＝∠EAF，∠FAC+∠BAF＝∠BAC， ∴∠EAB+BAF＝∠FAC+∠BAF， ∴∠EAB＝∠FAC，故④符合题意， ∵∠EAF＝∠BAC， ∴∠EAB＝∠CAF， ∴∠EAB＝∠FAB不一定成立，故②不符合题意， 故选：C． 【典例2】（2026春•黄浦区校级期中）如图，已知△ABC≌△DEB，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在AB边上，DE与AC交于点F．如果AE＝8，BC＝12，则线段DE的长是 　20　 ． 【答案】20． 【解答】解：由条件可知BE＝BC＝12，DE＝AB， ∴AB＝AE+BE＝12+8＝20， ∴DE＝20． 故答案为：20． 【典例3】（2026春•龙岗区期中）如图，已知△ABC≌△ABE≌△ADC，若∠1＝131°，则∠α的度数为（　　） A．89° B．88° C．98° D．109° 【答案】C 【解答】解：∵△ABC≌△ABE， ∴∠BAE＝∠1＝131°， ∴∠CAE＝360°﹣∠BAE﹣∠1＝360°﹣131°﹣131°＝98°， ∵△ABE≌△ADC， ∴∠E＝∠ACD， ∴∠CFE＝∠α+∠E＝∠α+∠ACD， ∵∠CFE＝∠CAE+∠ACD， ∴∠α+∠ACD＝∠CAE+∠ACD， ∴∠α＝∠CAE＝98°， 故选：C． 【典例4】（2026春•崂山区校级期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D、E是CD上一点，若△BDE≌△CDA，AB＝14，AC＝12，则△BDE的周长为（　　） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】D 【解答】解：∵△BDE≌△CDA， ∴DE＝DA、BE＝CA， ∴△BDE的周长BD+DE+BE＝BD+DA+CA＝BA+CA， ∵AB＝14，AC＝12， ∴△BDE的周长为BA+CA＝14+12＝26． 故选：D． 【典例5】（2026春•白云区校级期中）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（　　） A．42 B．48 C．84 D．96 【答案】B 【解答】解：由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10， ∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6， ∵△ABC≌△DEF， ∴S△ABC＝S△DEF， ∴S四边形ODFC＝S梯形ABEO（AB+OE）•BE（10+6）×6＝48， 故选：B． 题型二 三角形全等判定应用 解｜题｜技｜巧 证明时规范书写：先写“在△XXX和△XXX中”，再列对应相等条件，最后下结论；灵活选用判定定理：已知两角优先考虑ASA/AAS，已知两边优先考虑SSS/SAS。 易｜错｜点｜拨 1. SSA不能判定全等，避免将“两边及其中一边的对角”误认为SAS； 2. 列条件时必须对应相等，顺序要符合判定定理要求； 3. 公共边的对应关系要明确，不要遗漏“公共边相等”的隐含条件。 4. 区分ASA的“夹边”和AAS的“对边”，不要混淆边的位置； 5. 两个三角形有两个角相等时，第三个角必然相等，可简化证明过程； 6. 公共角、对顶角都是相等的隐含条件，不要忽略。 【典例1】（2026春•雁塔区校级期中）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，下列条件中不能判断△ABC与△DEF全等的是（　　） A．∠A＝∠D B．BF＝CE C．AC＝DF D．∠ACB＝∠DFE 【答案】C 【解答】解：选项 A：∠A＝∠D结合AB＝DE，∠B＝∠E符合ASA判定，所以此选项正确，不符合题意； 选项 B：BF＝CE则BF+FC＝CE+FC即BC＝EF，结合AB＝DE，∠B＝∠E符合SAS判定，能判断全等，所以此选项正确，不符合题意； 选项 C：AC＝DF结合AB＝DE，∠B＝∠E是SSA不能判断三角形全等，所以此选项错误，符合题意； 选项 D：∠ACB＝∠DFE结合AB＝DE，∠B＝∠E符合AAS判定，能判断全等，所以此选项正确，不符合题意． 故选：C． 【变式1】（2026春•高新区期中）根据下列条件，能作出唯一三角形的是（　　） A．AB＝4，AC＝3，∠B＝30° B．AB＝4，BC＝4，AC＝8 C．∠A＝50°，∠B＝60°，AC＝8 D．∠C＝90°，AB＝6 【答案】C 【解答】解：利用三角形三边关系和全等三角形的判定定理得， A、已知两边及其中一边的对角SSA，不能确定唯一三角形，所以本选项错误，不符合题意． B、AB+BC＝4+4＝8＝AC，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能作出三角形，所以本选项错误，不符合题意． C、已知两个角，第三个角可由三角形内角和求出，且已知一条边，符合全等三角形AAS的判定条件，能作出唯一三角形，所以本选项正确，符合题意． D、只知道一个直角和斜边，缺少边或角的条件，不能确定唯一三角形，所以本选项错误，不符合题意， 故选：C． 【典例2】（2026春•临淄区期中）如图，在△ABC和△DEF中，点C，F，B，E在同一条直线上，若∠C＝∠DFE，AC＝DF，请你从以下三个选项：①CF＝BE；②AB＝DE；③∠ABC＝∠DEF中选择一个合适的选项作为补充条件，使得△ABC≌△DEF． （1）你选择的补充条件是　①　 （填序号）； （2）根据你选择的补充条件，写出△ABC≌△DEF的证明过程． 【答案】（1）①．（答案不唯一） （2）证明见解答． 【解答】（1）解：选择①CF＝BE，可根据“SAS”证明△ABC≌△DEF， 故答案为：①．（答案不唯一） （2）证明：∵CF＝BE， ∴CF+FB＝BE+FB， ∴CB＝FE， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【变式2】（2026春•福田区校级期中）如图，已知：在△ABC中，AM是△ABC的中线，MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC，且BP⊥MP于点P，CQ⊥MQ于点Q． （1）求证：MP⊥MQ； （2）求证：△BMP≌△MCQ． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC， ∴∠AMP∠AMB，∠AMQ∠AMC， ∴∠PMQ＝∠AMP+∠AMQ∠AMB∠AMC （∠AMB+∠AMC） 180° ＝90°， ∴MP⊥MQ； （2）由（1）知，MP⊥MQ， ∵BP⊥MP， ∴BP∥QM，∠BPM＝90°，∠CQM＝90°， ∴∠PBM＝∠QMC， ∵AM是△ABC的中线， ∴BM＝MC， 在△BMP和△MCQ中 ， ∴△BMP≌△MCQ（AAS）． 题型三 直角三角形全等的判定 解｜题｜技｜巧 HL判定仅适用于直角三角形，条件为斜边和一条直角边对应相等；直角三角形全等的判定有5种：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，HL是特有简便方法；两直角边对应相等时，用SAS也可判定全等，灵活选择判定方法。 易｜错｜点｜拨 1. HL不能用于一般三角形全等的判定，必须明确是直角三角形才能使用； 2. 不要误以为直角三角形只能用HL判定，普通判定定理同样适用； 3. 证明时需先明确两个三角形是直角三角形，再列HL的条件。 【典例1】（2026春•盐湖区期中）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（　　） A．∠B＝∠D B．∠ACB＝∠CAD C．AB＝CD D．AD＝CB 【答案】D 【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°， 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）， ∴用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，需要添加的条件是AD＝CB． 故选：D． 【变式1】（2026春•五华县期中）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵∠A＝∠B＝90°， ∴△ADE和△BEC均为直角三角形， ∵∠1＝∠2， ∴DE＝EC， 在Rt△ADE和Rt△BEC中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）． 题型四 全等三角形的性质和判定 解｜题｜技｜巧 根据已知条件选择合适的判定定理：已知两边找夹角或第三边，已知一边一角找另一角或另一边，已知两角找任意一边；利用全等性质可推导线段、角的数量关系，是证明几何问题的基础工具。 易｜错｜点｜拨 1. 对应元素必须找准，不能混淆不同位置的边角，判定时条件顺序要对应； 2. 判定全等至少需要一组边对应相等，仅三个角对应相等不能判定全等； 3. 利用全等性质推导结论时，必须先完成全等证明，不能直接默认结论成立。 【典例1】（2026春•西安期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N，CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结论中，①∠AMD＝45°；②AC＝BE；③MC+EM＝NE．正确结论的个数是（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【解答】解：∵CD⊥AB，BM⊥AC， ∴∠BDC＝∠BMC＝90°， 又∵∠DEB＝∠MEC， ∴∠DBN＝∠DCM， ∵∠ABC＝45°，∠BDC＝90°， ∴∠DCB＝∠DBC＝45°， ∴DB＝DC， ∵CD⊥AB，DN⊥MD， ∴∠BDC＝∠NDM＝90°， ∴∠BDN＝∠CDM， ∴△DBN≌△DCM（ASA）， ∴DN＝DM， ∴∠DNM＝∠DMN＝45°， ∴∠AMD＝180°﹣∠DMN﹣∠BMC＝45°，故结论①正确， 在△DBE和△DCA中， ， ∴△DBE≌△DCA（ASA）， ∴BE＝CA，故结论②正确， 如图，过点D作DF⊥BM， ∵DM＝DN，∠NDM＝90°， ∴DF＝NF＝MF， ∵点E是CD的中点， ∴DE＝CE， 又∵∠DFE＝∠CME＝90°，∠DEF＝∠CEM， ∴△DEF≌△CEM（ASA）， ∴DF＝CM，EF＝EM， ∴MC+EM＝NF+FE＝NE，故结论③正确， 综上所述，结论①②③正确，正确的结论有3个． 故选：A． 【变式1】（2026春•昆都仑区校级期中）如图，在△ABC中，AD为中线，在DA的延长线上取一点G，连接GC，使∠G＝∠BAD．过点C作CF⊥AD于点F，过点B作BE⊥AD延长线于点E．下列结论中正确的是　①②③④　 ． ①∠EBD＝∠FCD； ②AB＝CG； ③FE+AC＞AB； ④AG＝2DF； ⑤∠BAD+∠FDC+∠FCG＝180°． 【答案】①②③④． 【解答】解：∵CF⊥AD，BE⊥AD， ∴CF∥BE， ∴∠EBD＝∠FCD， 故①符合题意； ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵∠BED＝∠CFD＝90°，∠BDE＝∠CDF， ∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝CF，DE＝DF， ∵∠BAD＝∠G，∠E＝∠CFG＝90°， ∴△ABE≌△GCF（AAS）， ∴AB＝CG， 故②符合题意； ∵△ABE≌△GCF（AAS）， ∴AE＝GF， ∴AG＝EF＝2DF， 故④符合题意； ∵AG+AC＞CG， ∴FE+AC＞AB， 故③符合题意； ∵△ABE≌△GCF， ∴∠ABE＝∠FCG， ∵∠E＝90°， ∴∠BAD+∠FCG＝∠BAD+∠ABE＝90°， ∵∠FDC＜90°， ∴∠BAD+∠FDC+∠FCG＜180°， 故⑤不符合题意． 故答案为：①②③④． 【典例2】（2026春•凉州区期中）已知如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D．在DA上取一点E，使DE＝DC，连接BE交AC于点F． （1）求证：∠BFC＝90°； （2）过点D作DG⊥BE于点G，作DH⊥AC于点H，连接DF，求证：∠BFD＝45°． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）证明见解答过程． 【解答】证明：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝45°， ∴BD＝AD， 在△BDE和△ADC中， ， ∴△BDE≌△ADC（SAS）， ∴∠DBE＝∠DAC， ∵∠BDE＝90°， ∴∠DBE+∠BED＝90°，且∠BED＝∠AEF， ∴∠DAC+∠AEF＝90°， ∴∠BFC＝∠DAC+∠AEF＝90°； （2）∵DG⊥BE，DH⊥AC， ∴∠BGD＝90°，∠AHD＝90°， 由（1）可知，∠DBE＝∠DAC，BD＝AD， 在△BGD和△AHD中， ， ∴△BGD≌△AHD（AAS）， ∴DG＝DH， ∵DG⊥BE，DH⊥AC， ∴DF平分∠BFC， 由（1）知，∠BFC＝90°， ∴∠BFD∠BFC＝45°． 【变式2】（2026春•南海区期中）问题情境： 已知：射线AB和射线CB相交于点B．点D在射线CB上，作射线AD，在射线AD上取一点E，连接CE，使∠AEC＝∠ABC． 任务一：当点D在线段CB上时， （1）如图1，请写出∠A与∠C的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当∠AEC＝∠ABC＝90°，AB＝CB时，连接BE．在射线AD上取一点F，使AF＝CE，连接BF． ①判断BF与BE的数量关系与位置关系，并说明理由； ②∠AEB的度数为 　45°　 ； 任务二：当点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合）． （3）如图3，当AB＝CB，∠AEC＝∠ABC＝α（90°＜α＜180°），且AF＝CE时，请直接写出∠AEB的度数（用含α的式子表示）． 【答案】（1）∠A＝∠C，理由见解析； （2）①BF＝BE，BF⊥BE，理由见解析； ②45°； （3）∠AEB的度数为90°α或90°α． 【解答】解：（1）∠A＝∠C； 理由：∵∠C+∠AEC+∠CDE＝180°，∠A+∠ABC+∠ADB＝180°， 又∵∠ABC＝∠AEC＝a，∠ADB＝∠CDE， ∴∠A＝∠C； （2）①BF＝BE，BF⊥BE，理由如下： 由（1）知：∠A＝∠C， 在△ABF和△CBE中， ， ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE， 又∵∠ABC＝a＝90°＝∠ABF+∠FBC， ∴∠CBE+∠FBC＝90°， 即∠FBE＝90°， ∴BF⊥BE； ②∵△ABF≌△CBE， ∴BF＝BE， ∴∠ABF＝∠CBE， ∴∠FBE＝∠ABC＝90°， ∴∠AEB＝45°， 故答案为：45°； （3）∠AEB＝90°α或90°α，理由如下： 当点D在线段BC上时，如图3，在射线AD上取一点F，使AF＝CE，连接BF， 由（1）知：∠A＝∠C， 在△ABF和△CBE中， ， ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE， 又∵∠ABC＝a＝∠ABF+∠FBC， ∴∠CBE+∠FBC＝α， 即∠FBE＝α， ∴∠AEB＝∠EFB90°α； 当点D在CB的延长线上时，在射线AD上取一点F，使AF＝CE，连接BF，如图4， 由（1）知：∠BAF＝∠ECB， 在△ABF和△CBE中， ， ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE， 又∵∠ABC＝α＝∠BAF+∠AFB， ∴∠ECB+∠CEB＝α， 即∠FBE＝α， ∴∠BEF＝∠BFE， ∴∠AEB＝180°﹣∠BEF＝180°90°α， 综上所述，∠AEB的度数为90°α或90°α． 题型五 角平分线的性质与判定综合应用 解｜题｜技｜巧 结合角平分线性质与角平分线判定解决题目；遇角平分线时，常作的辅助线是过点作角两边的垂线，构造全等直角三角形。 易｜错｜点｜拨 “距离”是指点到直线的垂线段长度，必须有垂直条件才能使用性质，且仅知道点在角平分线上，未作垂线时不能直接得到线段相等。 【典例1】（2026春•细河区校级期中）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处． 故选：C． 【变式1】（2026春•龙华区期中）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【解答】解：过P点作PE⊥OB于E点，如图， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PC＝3， ∴S△POD6×3＝9． 故选：C． 【变式2】（2026春•龙岗区校级期中）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D， ∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC， ∴PM＝PN，PM＝PD， ∴PN＝PD， ∵PN⊥BF，PD⊥AC， ∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， 在Rt△PAM和Rt△PAD中， ， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM＝∠APD， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD＝∠CPN， ∴∠MPN＝2∠APC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确； ③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC， ∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM∠ABC+∠APB， ∴∠ACB＝2∠APB，③正确； ④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL） ∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN， ∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确， 故选：D． 【典例2】（2026春•即墨区期中）如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，作DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，且AD平分∠BAC，连接EF． （1）证明：AD垂直平分EF． （2）若△ABC的周长为18，面积为24，BC＝6，求DE的长． 【答案】（1）见解答； （2）4． 【解答】（1）证明：∵DF⊥AC，DE⊥AB， ∴∠AED＝∠AFD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD， 在△AED和△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴DE＝DF，AE＝AF， ∴点A和点D在EF的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF； （2）解：∵BC＝6，△ABC的周长为18， ∴AB+AC＝12， 由（1）得△ADE≌△ADF， ∴∠AED＝∠AFD＝90°， ∴， ∴， ∴若△ABC的周长为18，面积为24，BC＝6，则DE＝4． 【变式1】（2026春•大东区期中）如图，△ABC的外角∠ACD的角平分线CE与内角∠ABC的角平分线BE交于点E，点F在边BA的延长线上，AE的延长线交边BC的延长线于点D，过点E作EH⊥BD于点H． （1）求证：AE平分∠CAF； （2）若∠BAC＝30°，求∠BEC的度数； （3）若AB＝6，AC＝5，CD＝8，且S△ABE＝12，求△ACD的面积． 【答案】（1）见解答； （2）15°； （3）26． 【解答】（1）证明：如图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N， ∵BE平分∠ABC，EM⊥BF，EH⊥BD，CE平分∠ACD，EN⊥AC，EH⊥BD， ∴EM＝EH，EN＝EH， ∴EM＝EN（等量代换）， 又∵点E在∠CAF的内部， ∴AE平分∠CAF； （2）解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，BE为∠ABC的角平分线，CE为∠ACD的角平分线， ∴，（角平分线的性质）， ∵∠ECD＝∠EBC+∠BEC，∠ACD＝∠ABC+∠BAC， ∴，∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC， ∴． 则∠BEC的度数为15°； （3）解：由（1）已得：EM＝EH＝EN， 设EM＝EH＝EN＝x， ∵S△ABE＝12， ∴， 解得x＝4， ∴EM＝EH＝EN＝4， ∴． 题型六 手拉手模型中的全等 解｜题｜技｜巧 角手拉手模型一般为两个共顶点、等邻边的图形（常为等腰三角形、等边三角形或正方形），共顶点为公共顶点，两组等邻边就是“拉手边”，核心结论是两个拉手三角形全等；证明全等时，找准公共旋转角，利用等边加（减）公共角得到对应角相等，再结合拉手边相等即可完成证明，全等后可进一步推导线段夹角、数量关系。 易｜错｜点｜拨 1. 角度要计算正确，区分是加公共角还是减公共角，不要弄错对应角的度数关系； 2. 不止共顶点的等边三角形能构成手拉手全等，正方形、等腰直角三角形也适用，不要死套模型结论； 3. 推导线段夹角时，注意利用“8字模型”导角，不要记错“拉手线夹角等于原等腰三角形顶角”这个结论。 【典例1】（2026春•阳江期中）如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，设正方形A的面积为SA，正方形B的面积为SB， 图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2， ∵图1中，BC＝BE，∠BCD＝∠BEF，∠CBD＝∠EBF＝90°﹣∠DBE， ∴△BCD≌△BEF（AAS）， ∴S1SB， ∵S1SA， ∴SASB， ∴SASB， 同理，图2中，S2SA， ∴S2SBSB， 即当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的， 故选：B． 【变式1】（2026春•沙坪坝区期中）如图，点E为正方形ABCD的对角线AC的中点，在Rt△FEG中，两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：过点E作EG⊥DC于点G，EH⊥BC于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB⊥BC，∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，AD⊥CD， ∴EG＝EH， ∴四边形EHCG是正方形， ∴∠HEG＝90°， ∵∠MEN＝90°， ∴∠HEM＝∠GEN＝90°﹣∠MEG， ∴△GEN≌△HEM（ASA）， ∴S△GEN＝S△HEM， ∵AE＝EC， ∴． 故选：B． 【变式2】（2026春•崂山区校级期中）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝30°，连接AC，BD交于点M，AC与OD相交于E，BD与OA相交于F，连接OM．则下列结论中：①△AOC≌△BOD；②AC＝BD；③∠AMB＝30°；④△OEM≌△OFM．正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝30°， ∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，即∠BOD＝∠AOC， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS），则①正确； ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，∠OAC＝∠OBD，则②正确； 由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠OFD＝∠AOB+∠OBD， ∴∠AMB＝∠AOB＝30°，则③正确； 如图，作OH⊥MB于H，OG⊥MC于G，则∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG和△ODH中， ， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴∠GOM＝∠HOM，OG＝OH， ∴MO平分∠BMC，即∠CMO＝∠BMO， ∵∠CMD＝∠BMA， ∴∠DMO＝∠AMO， 假设△OEM≌△OFM， ∴OE＝OF， 在Rt△EOG和Rt△FOH中， ∵OE＝OF，OG＝OH， ∴Rt△EOG≌Rt△FOH（HL）， ∴∠EOG＝∠FOH， ∴∠EOG+∠GOM＝∠FOH+∠MOH，即∠EOM＝∠FOM， 在△DMO和△AMO中， ∵∠EOM＝∠FOM，∠DMO＝∠AMO，OM＝OM， ∴△DMO≌△AMO（ASA）， ∴OD＝OA，即OC＝OA，与OA＞OC矛盾， 则假设不成立，则④△OEM≌△OFM错误； 故选：B． 【典例2】（2026春•温江区校级期中）如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD，BE交于点H，连CH． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）求∠AHB；（用含α的式子表示） （3）求证：HC平分∠AHE． 【答案】（1）（3）证明过程见解答； （2）∠AHB＝α． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝α， ∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD， 即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）； （2）解：∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE， 又∵∠CAD+∠AOC＝∠CBE+∠BOH， ∴∠AHB＝∠ACB＝α； （3）证明：过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N， ∵△ACD≌△BCE， ∴AD＝BE， ∴CM＝CN， ∴HC平分∠AHE． 【变式1】（2026春•沈阳期中）【发现问题】 如图（1），△ABC和△ECD都是等边三角形，连接AD，BE交于点F．AD与BE的数量关系为AD＝BE ，∠AFB的度数为　60　 °； 【类比探究】 如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接BD，CE．猜想BD与CE之间关系，并说明理由． 【答案】（1）AD＝BE，60； （2）BD＝CE，BE⊥CE． 【解答】（1）【发现问题】如图1，标记AC与BE交点为O， ∵△ABC和△ECD都是等边三角形， ∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE， ∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴AD＝BE，∠DAC＝∠EBC， ∵∠AOF＝∠BOC， ∴∠AFB＝∠ACB＝60°， 故答案为：AD＝BE，60； （2）【类比探究】BD＝CE，BD⊥CE；理由如下： ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， 如图2，延长BD，使BD的延长线交AC于点O，交CE于点H， ∵∠AOB＝∠COH，∠AOB+∠ABO＝90°， ∴∠ACE+∠COH＝90°， ∴∠CHO＝90°， ∴BD⊥CE． 题型七 一线三等角模型 解｜题｜技｜巧 一线三等角指一条直线上有三个相等的角，在给定边相等的条件下可得到全等；常见为直角型一线三等角，证明全等时，利用直角三角形两锐角互余，推导出两个三角形的对应锐角相等，再结合已知等边即可判定全等，常用于坐标系中求点坐标、等腰直角三角形的线段推导。 易｜错｜点｜拨 1. 三个角不一定都是直角，锐角、钝角也能构成一线三等角，不要只记得直角型模型； 2. 要注意只有存在对应边相等的条件才能判定全等，不要直接默认全等； 3. 点的位置变化可能导致图形位置变化，要注意分情况讨论，不要漏解。 【典例1】（2026春•杨浦区校级期中）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（2，5），则A点的坐标是 　（﹣6，3）　 ． 【答案】（﹣6，3）． 【解答】解：如图，过A作AE⊥x轴于点E，过B作BF⊥x轴于点F， ∵点C的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（2，5）， ∴OC＝1，OF＝2，BF＝5， ∴CF＝OC+OF＝1+2＝3， ∵∠ACE+∠BCF＝90°，∠BCF+∠CBF＝90°， ∴∠ACE＝∠CBF， ∵∠AEC＝∠BFC＝90°，AC＝BC， ∴△AEC≌△CFB（AAS）， ∴CF＝AE＝3，BF＝CE＝5， ∴OE＝CE+OC＝6， ∴点A的坐标为（﹣6，3）， 故答案为：（﹣6，3）． 【变式1】（2026春•历下区期中）为巩固数学知识、提升实践操作与解决实际问题的能力，小明按如下方式测量旗杆高度AB：将旗杆顶部A处的绳子拉直至地面C点，使B，C两点间距离等于小明直立时眼睛的离地高度；在C处放置直角三角板OMN，让直角顶点O与C点重合，边OM与绳子AC重合．随后小明后退，当看到点N，O共线时（即N，O，E共线），停在D点． （1）小明认为CD的长等于旗杆高度AB，你认同他的观点吗？请说明理由． （2）若DE＝1.7米，DB＝16米，求旗杆高度AB． 【答案】（1）我认同小明的观点， 理由见解答； （2）14.3米． 【解答】解：（1）我认同小明的观点， 理由：由题意得：AB⊥DB，ED⊥BD， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°， ∴∠BAC+∠ACB＝90°， ∵∠ACE＝90°， ∴∠ACB+∠ECD＝180°﹣∠ACE＝90°， ∴∠BAC＝∠ECD， ∵BC＝ED， ∴△ABC≌△CDE（AAS）， ∴AB＝CD； （2）∵△ABC≌△CDE， ∴DE＝BC＝1.7米， ∵DB＝16米， ∴CD＝DB﹣BC＝16﹣1.7＝14.3（米）， ∴AB＝CD＝14.3米． 【变式2】（2026•鼓楼区校级开学）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过点C，过A作AD⊥l，垂足为D，过B作BE⊥l，垂足为E． （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）如图2，延长AD至F，连接CF，过点C作CG⊥CF，且CG＝CF，连接BG交直线l于点H，连接EG． ①求证：S△ACD＝S△ECG； ②若AF＝12，求CH的长． 【答案】（1）证明见解答． （2）①证明见解答． ②CH＝6． 【解答】（1）证明：∵AD⊥l，BE⊥l， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠ACD，∠BCE＝90°﹣∠ACD， ∴∠CAD＝∠BAE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． （2）①证明：如图2， 过G作GK⊥l于K， ∵AD⊥l， ∴∠FDC＝∠CKG＝90°， ∴∠F+∠DCF＝90°， 又∵CF⊥CG， ∴∠FCG＝90°， ∴∠DCF+∠GCK＝90°， ∴∠F＝∠GCK， ∵CG＝CF， ∴△FDC≌△CKG（AAS）， ∴DC＝KG， 由（1）得：△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE， ∵，S△CEGCE•KG， ∴S△ACD＝S△CEG． ②解：如图2， 由（1）得：△ADC≌△CEB（AAS），∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴AD＝CE，DC＝BE， 由（2）①得：△FDC≌△CKG，∠FDC＝∠CKG＝90° ∴DC＝KG，DF＝KC， ∴DC＝BE＝KG，∠BEH＝∠GKH＝90°， ∵∠BHE＝∠GHK， ∴△BEH≌△GKH（AAS）， ∴EH＝HK， ∴AF＝AD+DF， ∴AF＝CE+CK， ∴AF＝CE+CH+KH＝CE+CH+EH＝CE+EH+CH＝2CH， ∴AF＝2CH， ∵AF＝12， ∴CH＝6． 【变式3】（2026春•玉门市校级期末）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm． （1）若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC． ①如图1，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为BD＝AE ； ②如图2，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系； （2）如图3，若∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，直接写出相应的t的值和x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）BD＝AE；②DE＝BD+CE； （2）存在x，使得△ABD与△EAC全等，当x＝2时，t＝1或x时，t． 【解答】解：（1）①∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD， ∴∠CAE＝∠ABD， 又∵∠BDA＝∠AEC，BA＝CA， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE， 故答案为：BD＝AE； ②DE＝BD+CE，理由如下： 同①的方法得，△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，CE＝AD， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE． （2）存在x，使得△ABD与△EAC全等， 当△DAB≌△ECA时，AD＝CE＝2cm，BD＝AE＝7cm， ∴t＝1， 此时x＝2， 当△DAB≌△EAC时， ∴AD＝AEcm，DB＝EC＝7cm， ∴t，此时，x＝7， 综上，当x＝2时，t＝1或x时，t． 题型八 全等三角形辅助线构造（截长补短/倍长中线） 解｜题｜技｜巧 1. 截长补短法：用于证明线段和差关系（如a+b=c），在长线段上截取一段等于短线段，或延长短线段等于长线段，证明剩余部分相等； 2. 倍长中线法：遇三角形中线时，延长中线至原来的2倍，构造全等三角形，转化线段和角的关系； 3. 辅助线构造后，优先证明新构造的三角形全等，再推导所需结论。 易｜错｜点｜拨 1. 截长补短时，截取或延长的长度要明确，避免构造无效； 2. 倍长中线时，要注意对应顶点的连接，确保全等条件成立； 3. 辅助线需在解题过程中说明作法，不要忽略描述步骤。 【典例1】（2024秋•高安市期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC． （1）为了证明结论“AB+BD＝AC”，小亮在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） （2）如图2，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝60°，∠D＝110°，∠ACD＝40°，∠ACB＝80°，CE是△ABC的高，AD＝10，EB＝2，求AB的长． 【答案】（1）见解析； （2）AB的长为14． 【解答】（1）证明：在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∵AD＝AD， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴∠B＝∠AED，BD＝DE， ∵∠B＝2∠C， ∴∠AED＝2∠C， ∵∠AED是△DEC的一个外角， ∴∠AED＝∠C+∠EDC， ∴∠C＝∠EDC， ∴DE＝CE， ∴BD＝EC， ∵AE+EC＝AC， ∴AB+BD＝AC； （2）在AE上截取AF＝AD，连接CF， 由题意可得： ∴∠DAC＝180°﹣∠D﹣∠ACD＝30°， ∴∠FAC＝∠BAD﹣∠DAC＝30°， ∴∠DAC＝∠FAC＝30°， ∵AC＝AC， 在△DAC和△FAC中， ， ∴△DAC≌△FAC（SAS）， ∴∠AFC＝∠D＝110°， ∴∠CFE＝180°﹣∠AFC＝70°， ∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠FAC＝70°， ∴∠B＝∠CFE， ∵CE⊥AB， ∴∠CEF＝∠CEB＝90°， ∴CE＝CE， 在△CEF和△CEB中， ， ∴△CEF≌△CEB（AAS）， ∴EF＝BE， ∴BF＝2BE＝4， ∴AB＝AF+BF＝10+4＝14， ∴AB的长为14． 【变式1】（2026春•兰州期中）如图，在△ABC中，点D为边AC上一点，连接BD，延长BD至点E，使得BE＝AC，连接CE． （1）如图1，若AC＝BC，∠A＝80°，∠EBC＝44°，求∠ECD的度数； （2）如图2，∠ECB的角平分线CF交BE于点F．若BD＝CD，∠A＝2∠DBC，求证：BC＝AB+EF． 【答案】（1）48°； （2）见解答． 【解答】（1）解：∵AC＝BC，∠A＝80°， ∴∠ACB＝180°﹣80°﹣80°＝20°， ∵BE＝AC，BC＝AC， ∴BE＝BC， ∵∠EBC＝44°， ∴∠BCE， ∴∠ECD＝68°﹣20°＝48°； （2）证明：在BC上取一点G，使CG＝CE，如图2， ∵CF是∠ECB的平分线， ∴∠ECF＝∠GCF， 在△ECF和△GCF中， ∴△ECF≌△GCF（SAS）， ∴EF＝CG，∠E＝∠FGC， ∵BE＝AC，BD＝CD， ∴AD＝DE， 在△ABD和△ECD中， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB＝EC，∠A＝∠E， ∴∠A＝∠FGC， ∵∠A＝2∠DBC， ∴∠FGC＝2∠DBC， 又∵∠FGC＝∠DBC+∠GFB， ∴∠DBC＝∠GFB， ∴FG＝BG， ∵BC＝CG+BG， ∴BC＝CE+FG， ∴BC＝AB+EF． 【典例2】（2026春•海淀区校级期末）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB＝10，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 B ． A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是 C ． A.8＜AD＜10 B.8≤AD≤10 C.1＜AD＜9 D.1≤AD≤9 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中， 【问题解决】 （3）如图2，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE＝AB，∠BAC＝∠BCA，求证：AE＝2AD． 【答案】（1）B； （2）C； （3）证明见解答． 【解答】（1）解：∵△ADC≌△EDB的理由是AD＝DE，BD＝CD，∠ADC＝∠EDB，符合SAS判定， 故答案为：B； （2）解：由（1）知△ADC≌△EDB， ∴AC＝BE＝8， ∴10﹣8＜AE＜10+8， 即2＜2AD＜18， ∴1＜AD＜9， 故答案为：C； （3）证明：倍长AD，连接CF，如图， ∵AD＝DF，∠ADB＝∠FDC，BD＝CD， ∴△ABD≌△FCD（SAS）， ∴AB＝CF，∠B＝∠FCD， ∵∠BAC＝∠BCA， ∴∠BAC+∠B＝∠BCA+∠FCD，即∠ACF＝∠ACE， ∵CE＝AB， ∴CF＝CE， ∴△ACF≌△ACE（SAS）， ∴AE＝AF， ∵AF＝2AD， ∴AE＝2AD． 【变式1】（2026春•福田区校级期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． 【问题背景】 （1）如图1，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝5，求AD的取值范围． 我们可以延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，根据SAS可证△ADC≌△EDB，所以BE＝AC．接下来，在△ABE中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线AD的取值范围．请按照上述思路，写出求解AD的取值范围的完整过程． 【变式思考】 （2）如图2，△ABC中，AD是中线，分别以AB，AC为腰向外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，连接EF．求证：EF＝2AD． 【探究延伸】 （3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠BAC+∠BAD＝180°，点F是BC的中点，∠CEF＝∠ADB，当EF＝6时，求BD的长． 【答案】（1）答案见解答； （2）证明见解答； （3）12． 【解答】（1）解：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE， ∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC＝5， ∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，AB＝8，AC＝5， ∴8﹣5＜AE＜8+5， ∴3＜AE＜13， ∵DE＝AD， ∴AE＝2AD， ∴3＜2AD＜13， ∴AD， 故AD的取值范围为AD； （2）证明：如图，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG， 则AG＝2AD， ∵D为BC的中点， ∴CD＝BD， ∵∠ADC＝∠GDB， ∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴∠C＝∠GBD，AC＝BG， ∴AC∥BG， ∴∠ABG+∠BAC＝180°， ∵AC＝AF， ∴BG＝AF， ∵∠BAE＝∠CAF＝90°， ∴∠EAF+∠BAC＝180°， ∴∠ABG＝∠EAF， 在△EAF和△ABG中， ∴△EAF≌△ABG（SAS）， ∴AG＝EF， ∴EF＝2AD； （3）解：如图，延长EF到G，使EF＝FG，连接CG，延长CA到H，使AH＝AD，连接BH， ∵F是BC的中点， ∴CF＝BF， ∵∠EFB＝∠CFG， ∴△BEF≌△CGF（SAS）， ∴BE＝CG，∠G＝∠BEF， ∴CG∥BE， ∴∠BEH＝∠GCE， ∵∠BAC+∠BAH＝180°，∠BAC+∠BAD﹣180°米 ∴∠BAH＝∠BAD， 在△BAH和△BAD中， ∴△BAH≌△BAD（SAS）， ∴BH＝BD，∠H＝∠ADB， ∵∠ADB＝∠CEF， ∴∠H＝∠CEF， ∴△HBE≌△EGC（AAS）， ∴EG＝BH＝BD＝2EF＝2×6＝12， 即BD＝12． 题型九 尺规作图与全等综合应用 易｜错｜点｜拨 1. 必须使用无刻度直尺和圆规，禁止使用量角器、带刻度尺子度量； 2. 作角平分线时画弧半径需大于线段长度的1/2，保证交点准确； 3. 最终必须明确写出“××即为所求”，字母标注与题干一致。 【典例1】（2026春•青羊区校级期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠AOB＝∠A′O′B′的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【解答】解：在△ODC和△O′D′C′中， ， ∴△ODC≌△O′C′D′（SSS）， ∴∠AOB＝∠A′O′B′． 故选：A． 【变式1】（2026春•金牛区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线AM交BC于点F，若BF＝3，BC＝5，则点F到AB的距离为（　　） A．3 B．4 C．2.5 D．2 【答案】D 【解答】解：如图，BC＝5，BF＝3，过F点作FH⊥AB于H点， ∴FC＝BC﹣BF＝5﹣3＝2， 由题意得：AF平分∠CAB，且∠C＝90°， ∴FC⊥AC， ∴FH＝FC＝2， ∴点F到AB的距离为2． 故选：D． 【变式2】（2026春•南山区校级期中）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB、AC于E、F两点：再分别以E、F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点G，作射线AG交CD于点H．若∠C＝130°，则∠AHD的大小是（　　） A．135° B．145° C．150° D．155° 【答案】D 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠AHC＝∠HAB， ∵AH平分∠CAB， ∴∠CAH＝∠HAB， ∴∠CAH＝∠AHC， ∵∠C＝130°， ∴∠AHC＝∠CAH（180°﹣130°）＝25°， ∴∠AHD＝180°﹣25°＝155°． 故选：D． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2026春•双流区校级期中）如图，已知∠ABC＝∠BAD，再添加一个条件，仍不能判定△ABC≌△BAD的是（　　） A．∠ABD＝∠BAC B．∠C＝∠D C．AD＝BC D．AC＝BD 【答案】D 【解答】解：∵∠ABC＝∠BAD，AB＝BA， ∴若添加∠ABD＝∠BAC，则△ABC≌△BAD（ASA），故选项A不符合题意； 若添加∠C＝∠D，则△ABC≌△BAD（AAS），故选项B不符合题意； 若添加AD＝BC，则△ABC≌△BAD（SAS），故选项C不符合题意； 若添加条件AC＝BD，无法判定△ABC≌△BAD，故选项D符合题意； 故选：D． 2．（2026春•茂南区期中）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，若CD＝6，则DE的长为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴AC⊥DC． ∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DE＝DC＝6． 故选：D． 3．（2026春•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是CD上一点．若△BDE≌△CDA，AB＝7，AC＝5，则△BDE的周长为（　　） A．9 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【解答】解：∵△BDE≌△CDA，AC＝5， ∴BE＝AC＝5，DE＝AD， ∴△BDE的周长为：BE+BD+DE＝BE+BD+AD＝BE+AB＝5+7＝12， 故选：B． 4．（2026春•金水区校级期中）已知AB＝10，AC＝6，BD＝8，其中∠CAB＝∠DBA＝α，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒． ①若x＝1．则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍； ②当P、Q两点同时到达A点时，x＝6； ③若α＝90°，t＝5，x＝1时，△ACP≌△BPQ； ④若△ACP与△BPQ全等，则x＝0.8或． 以上说法正确的选项为（　　） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【解答】解：①若x＝1，即点P的速度时点Q的2倍，故点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，正确，符合题意； ②点P到达A的时间为：6÷2＝3，当x＝6时，点Q到达点A的时间为：（8+10）÷6＝3，故②正确，符合题意； ③若α＝90°，t＝5，x＝1时，如图， AC＝6，则AP＝5×2﹣6＝4，则PB＝AB﹣AP＝6， 而DQ＝1×5＝5，则BQ＝8﹣5＝3， 则AP≠BQ， 故③错误，不符合题意； ④由题意得，AP＝2t﹣6，则PB＝10﹣（2t﹣6）＝16﹣2t，QD＝xt，则BQ＝8﹣xt， 若△ACP与△BPQ全等， 则AC＝PB且AP＝BQ或AC＝BQ且AP＝BP， 即6＝16﹣2t且2t﹣6＝8﹣xt或6＝8﹣xt且2t﹣6＝16﹣2t， 解得：x＝0.8或， 故④正确，符合题意， 故选：C． 5．（2026春•化州市期中）如图，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边、直角边（HL）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需补充条件：BC＝FE ． 【答案】BC＝FE． 【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DFE中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）． 故答案为：BC＝FE． 6．（2026春•未央区校级期中）如图，已知△ABC≌△EDB，∠BDE＝75°，∠C＝62°，则∠E+∠EBC＝　56°　 ． 【答案】56°． 【解答】解：∵△ABC≌△EDB，∠BDE＝75°，∠C＝62°， ∴∠CBA＝∠BDE＝75°，∠C＝∠DBE＝62°， ∴∠E＝180°﹣∠BDE﹣∠DBE＝180°﹣75°﹣62°＝43°， ∵∠EBC＝∠CBA﹣∠DBE＝75°﹣62°＝13°， ∴∠E+∠EBC＝43°+13°＝56°． 故答案为：56°． 7．（2026春•青羊区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝12，CG＝3，则△ABG的面积是　18　 ． 【答案】18． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴GC⊥AC， CG＝3，AB＝12， 过点G作GM⊥AB于点M， 由作图过程可知，AF是∠CAB的平分线， ∴GM＝CG＝3， ∴以ABG的面积AB•GM12×3＝18， 故答案为：18． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2026春•福田区校级期中）如图，在正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠2＝2∠1 C．∠2＝90°+∠1 D．∠1+∠2＝180° 【答案】D 【解答】解：如图，由方格可得：BC＝EF，∠EFD＝∠BCA＝90°，AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠1＝∠ABC（全等三角形对应角相等）， ∵∠ABC+∠2＝180°， ∴∠1+∠2＝180°． 故选：D． 2．（2026春•禅城区校级期中）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若BC＝6且△BCP的面积为6，则AD的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解答】解：作PE⊥BC于点E， ∵S△BCPBC•PE，且BC＝6，S△BCP＝6， ∴6PE＝6， ∴PE＝2， ∵AB∥CD，AD过点P，AD⊥AB， ∴∠PAB＝90°， ∴∠PDC＝180°﹣∠PAB＝90°， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，PA⊥BA于点A，PE⊥BC于点E，PD⊥CD于点D， ∴PA＝PE＝2，PD＝PE＝2， ∴AD＝PA+PD＝4， 故选：B． 3．（2026春•新吴区校级期中）已知点C在线段BE上，分别以BC、CE为边作等边三角形ABC和等边三角形DCE，AE、BD相交于点O，连接AE与CD相交于点N，连接BD与AC相交于点M，连接OC、MN，则①AE＝BD；②△ACN≌△BCM；③∠BOE＝120°；④△MNC是等边三角形；⑤OC平分∠BOE；⑥BO＝AO+CO；以上结论正确的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【解答】解：∵三角形ABC和三角形DCE都是等边三角形， ∴BC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝∠ACE＝120°， ∴△BCD≌△ACE， ∴AE＝BD，故①正确； ∴∠CBM＝∠CAN， 又∵∠BMC＝∠AMO， ∴∠AOB＝∠ACB＝60°， ∴∠BOE＝180°﹣60°＝120°，故③正确； ∵∠CBM＝∠CAN，∠BCM＝∠ACN＝60°，BC＝AC， ∴△ACN≌△BCM，故②正确； ∴CM＝CN， 又∵∠MCN＝60°， ∴△MCN是等边三角形，故④正确； 如图，过C作CG⊥BD，CH⊥AE， ∵△BCD≌△ACE， ∴△BCD中BD边上的高与△ACE中AE边上的高对应相等， 即CG＝CH， ∴点C在∠BOE的角平分线上， 即CO平分∠BOE，故⑤正确； 如图，在BO上截取OF＝OC，则△COF是等边三角形， ∴CO＝CF＝OF，∠BFC＝120°＝∠AOC， 又∵∠CAO＝∠CBF，AC＝BC， ∴△BCF≌△ACO， ∴BF＝AO， ∴BO＝BF+OF＝AO+CO，故⑥正确； 故选：D． 4．（2026春•龙华区校级期中）如图，已知四边形ABCD中，AB＝15cm，BC＝9cm，CD＝10cm，∠B＝∠C，点E是线段BA的三等分点（靠近B处，AB＝3BE）．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．若要使得△BPE与△CQP全等，则点Q的运动速度为　3或　 cm/s． 【答案】3或． 【解答】解：设点Q的运动速度为xcm/s，运动时间为ts， ∵点E是线段BA的三等分点（靠近B处），AB＝15cm， ∴BEBA＝5（cm）， 由题意得：BP＝3tcm，CQ＝xtcm， ∵BC＝9cm， ∴CP＝BC﹣BP＝（9﹣3t）cm， 分两种情况： 当△BPE≌△CQP时， ∴BE＝CP，BP＝CQ， ∴5＝9﹣3t，3t＝xt， 解得：x＝3； 当△BPE≌△CPQ时， ∴BE＝CQ，BP＝CP， ∴5＝xt，3t＝9﹣3t， 解得：t，x； 综上所述：点Q的运动速度为3cm/s或cm/s， 故答案为：3或． 5．（2026春•重庆期中）如图，△ABC为等边三角形，D，E分别在BC，AB上，且CD＝BE，连接AD，CE交于点G，作∠BEC，∠BAD的平分线交于点H，连接GH，DH．若EG＝4，CG＝3，则AD＝　7　 ，△EGH与△ADH的面积比为　4：7　 ． 【答案】7；4：7． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴BC＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°， 在△CEB和△ADC中， ， ∴△CEB≌△ADC（SAS）， ∴AD＝CE， ∵连接AD，CE交于点G，EG＝4，CG＝3， ∴CE＝EG+CG＝4+3＝7， ∴AD＝CE＝7， 过点H作HM⊥AB交AB于点M，作HN⊥CE交CE于点N，作HP⊥AD交AD的延长线于点P， ∵EH、AH是∠BEC，∠BAD的平分线， ∴∠MEH＝∠NEH，∠BAH＝∠DAH， ∵HM⊥AB，HN⊥CE，HP⊥AD， ∴∠AMH＝∠ENH＝∠APH＝90°， 在△HME和△HNE中， ， ∴△HME≌△HNE（AAS）， ∴HM＝HN， 在△AMH和△APH中， ， ∴△AMH≌△APH（AAS）， ∴HM＝PH， ∴HN＝HP， ∴，即△EGH与△ADH的面积比为4：7， 故答案为：7；4：7． 6．（2026春•深圳期中）如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF，以DF为边在DF的右侧作等边△DFE，连接EC，若存在实数k，使得为定值a，则k+a的值是　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，△ABC是等边三角形，在BC上截取CG＝CF，连接FG， ∴∠ACB＝60°， ∵CG＝CF， ∴△FCG是等边三角形， ∴FG＝CF＝CG，∠GFC＝60°， ∵△DFE是等边三角形， ∴∠DFE＝60°，FD＝FE， ∴∠DFG＝∠EFC， 在△DFG与△EFC中， ， ∴△DFG≌△EFC（SAS）， ∴DG＝EC， ∴CF+EC＝CD， ∵F是AC的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为定值a， ∴，a＝1， ∴， 故答案为：． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2026春•青浦区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ 　90　 度； （2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）90． 理由：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC． 即∠BAD＝∠CAE． 在△ABD与△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE． ∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB， ∴∠BCE＝∠B+∠ACB， 又∵∠BAC＝90° ∴∠BCE＝90°； 故答案为：90． （2）①α+β＝180°， 理由：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC． 即∠BAD＝∠CAE． 在△ABD与△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE． ∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB． ∴∠B+∠ACB＝β， ∵α+∠B+∠ACB＝180°， ∴α+β＝180°； ②当点D在射线BC上时， α+β＝180°； 理由：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠BAC+∠ABD+∠BCA＝180°， ∴∠BAC+∠BCE＝∠BAC+∠BCA+∠ACE＝∠BAC+∠BCA+∠B＝180°， ∴α+β＝180°； 当点D在射线BC的反向延长线上时， α＝β． 理由：∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAB＝∠EAC， ∵在△ADB和△AEC中， ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB， ∴∠BAC＝∠BCE， 即α＝β． 2．（2026春•温江区校级期中）如图①，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE． （1）求证：BD＝CE； （2）如图②，点C恰在边DE上，若DB⊥AB，BD＝3，求DE的长； （3）如图③，若DB⊥AB，DE交直线BC于点F，试判断DF与EF的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解答； （2）DE的长是6； （3）DF＝EF，理由见解答． 【解答】（1）证明：如图①，∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE． （2）解：如图②，由（1）得△BAD≌△CAE， ∵DB⊥AB， ∴∠ACE＝∠ABD＝90°， ∴∠ACD＝∠ABD＝90°， 在Rt△ABD和Rt△ACD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）， ∴BD＝CD＝3， ∵AD＝AE，AC⊥DE， ∴CD＝CE＝3， ∴DE＝2CD＝6， ∴DE的长是6． （3）解：DF＝EF， 理由：如图③，作DI⊥BC于点I，EK⊥BC交BC的延长线于点K，则∠DIF＝∠BID＝∠K＝90°， 由（1）得△BAD≌△CAE，BD＝CE， ∵DB⊥AB， ∴∠ACE＝∠ABD＝90°， ∴∠DBI+∠ABC＝90°，∠ECK+∠ACB＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠DBI＝∠ECK， 在△DBI和△ECK中， ， ∴△DBI≌△ECK（AAS）， ∴DI＝EK， 在△DIF和△EKF中， ， ∴△DIF≌△EKF（AAS）， ∴DF＝EF． 3．（2026春•雁塔区校级期中）如图1，已知AP平分∠MAN，定点C在射线AP上，CF⊥AM于点F，CE⊥AN于点E，AF＝8． （1）求AE的长． （2）如图2，当点D在射线AM上，点B在射线AN上，且CB与AN不垂直，∠CDA+∠CBA＝180°其它条件不变，求出AD与AB之间的数量关系． （3）如图3，当点D在射线AM的反向延长线上时，∠CDA＝∠CBA，其它条件不变，则（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出AB与AD新的数量关系式． 【答案】（1）AE＝8； （2）AD+AB＝16； （3）不成立，新的结论是：AB﹣AD＝16． 【解答】（1）证明：∵AP平分∠MAN， ∴∠EAC＝∠FAC， ∵CE⊥AN，CF⊥AM ∴∠CEA＝∠CFA＝90°， 在△AEC和△AFC中， ， ∴△AEC≌△AFC（AAS）， ∴AE＝AF， ∵AF＝8， ∴AE＝8； （2）当点D在射线AM上，点B在射线AN上，且CB与AN不垂直，∠CDA+∠CBA＝180°其它条件不变，过点C作CE⊥AN于点E，CF⊥AM于点F，如图2所示： ∴∠CFD＝∠CEB＝90°， 依题意得：AE＝8， ∵AC平分∠MAN， ∴CF＝CE， 在Rt△AFC和Rt△AEC中， ， ∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）， ∴AF＝AE＝8， ∵∠CDF+∠CDA＝180°，∠CDA+∠CBA＝180°， ∴∠CDF＝∠CBA， 在△CDF和△CBE中， ， ∴△CDF≌△CBE（AAS）， ∴DF＝BE， ∴AD＝AF﹣DF＝8﹣BE，AB＝AE+BE＝8+BE， ∴AD+AB＝16； （3）不成立，新的结论是：AB﹣AD＝16，理由如下： 如图3，当点D在射线AM的反向延长线上时，∠CDA＝∠CBA，其它条件不变， 过点C作CK⊥AT于点K，CT⊥AK于点T，如图3所示： ∴∠CTD＝∠CKB＝90°， 依题意得：AK＝8， 同理可证明：△ATC≌△AKC（AAS）， ∴AT＝AK＝8，CT＝CK， 在△CTD和△AKB中， ， ∴△CTD≌△AKB（AAS）， ∴DT＝BK， ∵DT＝AD+AT＝AD+8， ∴BK＝AD+8， ∴AB＝AK+BK＝8+8+AD＝16+AD， ∴AB﹣AD＝16． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 全等三角形（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 题型02 题型03 题型04 题型05 题型06 题型07 题型08 题型09 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 全等三角形的有关概念 能准确识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角，正确书写全等符号 基础必考点，常出现在选择、填空小题，对应顶点位置易错 全等三角形的性质 能利用全等三角形性质求解对应边长度、对应角度数 高频考点，常与判定结合出现在解答题，对应关系易混淆 三角形全等的判定 掌握“边边边（SSS）”“边角边（SAS）”“角边角（ASA）”“角角边（AAS）”判定定理，能规范书写证明过程，能区分边与角的对应关系，能够灵活选用合适的判定方法 基础判定考点，解答题必考，常出现在基础证明题，常与三角形内角和结合考查，需注意边的对应关系 高频易错点，“SSA”不能判定全等是常见丢分点 直角三角形全等的判定 掌握直角三角形特有的“HL”判定定理，能区分一般三角形与直角三角形的判定方法 高频考点，仅适用于直角三角形，常出现在综合证明题 角的平分线的性质与判定 能运用角平分线的性质和判定解决线段相等、点在角平分线上的证明问题 常与全等三角形结合出现在辅助线构造类难题，“距离”的垂线段要求是易错点 尺规作图 掌握尺规作一个三角形等于已知三角形，一个角等于已知角、作角平分线的步骤，能结合全等三角形原理理解作图依据 常出现在操作类填空、解答题，作图痕迹保留和步骤规范性是丢分点 全等三角形的综合应用 能综合运用全等判定和性质解决实际问题、动态几何问题 期中压轴题常考方向，常涉及辅助线构造（如截长补短、倍长中线） 知识点01 全等三角形的有关概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角 叫对应角。全等用符号“≌”表示，读作“全等于”；如△ABC≌△DEF。 ·示例：△ABC与△DEF全等，记作“△ABC≌△DEF”，则： 点A与D、B与E、C与F是对应顶点； AB与DE、BC与EF、AC与DF是对应边； ∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F是对应角。 ·易错点： 1.记写全等时，对应顶点字母要写在对应位置，即“△ABC≌△DEF”隐含了对应关系，不能随意调换； 2.“完全重合”是本质，图形经过平移、旋转、翻折后能重合也算全等； 3.只有"形状相同"不一定全等，还必须大小（边长）相等。 知识点02 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形周长相等、面积相等，对应边上的高、中线、对 应角的平分线也分别相等。 ·示例：若△ABC≌△DEF，则 AB=DE，AC=DF，BC=EF； ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F； 。 ·易错点：性质常与判定配合使用——先证明全等，再利用对应边、对应角相等去求线段或角度；找对应 关系是解题关键，防止对应边、对应角配错。 知识点03 三角形全等的判定 ①三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边（SSS）”。 ·示例：如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SSS）。 ·易错点： 1.必须是对应的三边都相等； 2.只有两边相等不能判定全等（夹角或第三边未定）； 3.几何证明时先写"在△...中"，再列对应相等条件，最后下结论。 ②两边和它们的夹角分别对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边（SAS）”。 ·示例：如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SAS）。 ·易错点： 1.必须是“两边的夹角”相等，不是任意一个角； 2.“SSA”（两边与其中一边的对角相等）不能判定全等，是常见错误； 3.证明时书写顺序一般为：边→角→边，且角必须是夹角。 ③两角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等。简写为“角边角（ASA）”。 ·示例：如图，在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 ④两角和其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等。简写为“角角边（AAS）”。 ·示例：如图，在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 ·易错点： 1.ASA的边必须是两角的夹边；AAS的边是其中一角的对边； 2.两者常可相互转化（三角形内角和180°，知道两角就知三角），证明时灵活选用； 3.列条件时，角边角与角角边的顺序不要写错。 知识点04 直角三角形全等的判定（斜边直角边（HL），仅用于直角三角形） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写为“斜边、直角边（HL）”。 · 示例：如图：在Rt△ABC与Rt△DEF中： ∴Rt△ABC≌Rt△DEF。 ·易错点： 1.HL只适用于直角三角形，一般三角形不能用； 2.条件是“”斜边+一条直角边”，两直角边相等时用SAS也可； 3.判定直角三角形全等有5种：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，HL是直角三角形特有的简便方法。 知识点05 角的平分线的性质与判定 角平分线性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 · 示例：OC平分∠AOB，P是OC上一点，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D， 则PE=PD。 角平分的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 · 示例：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD ∴∠AOC＝∠BOC ·易错点： 1.“距离”指点到直线的垂线段长度，必须作垂线（PE⊥OA、PD⊥OB）才成立； 2.性质用于由“角平分线”推“距离相等”，判定用于由“距离相等”推“点在角平分线上”，方向不要 混； 3.常借助全等三角形（HL）证明这两条结论。 知识点06 尺规作图 ①作三角形 已知 线段a，b，c 求作 △ABC，使其三边的长分别为a，b，c 作法 步骤： （1）作线段BC＝a； （2）以点C为圆心，以b为半径画圆弧，再以B为圆心，以c为半径画圆弧，两弧交于点A； （3）连接AC和AB，则三角形即为所求作三角形。 依据 SSS证全等 ②作一个角等于已知角 已知 ∠AOB 求作 ∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB 作法 步骤： （1）以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于C，D； （2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于C′； （3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点D′； （4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求角。 依据 SSS证全等 ③过一点作已知直线的平行线 已知 直线AB及直线外一点C 求作 过C作直线AB的平行线CD 作法 步骤： （1）过C作一条直线与直线AB相交于点E； （2）在点C处作∠CEB的同位角∠FCD，使∠CEB＝∠FCD； （3）反向延长CD得到直线CD，则CD∥AB。 ④作已知角的角平分线 已知 ∠AOB 求作 ∠AOB的角平分线 作法 步骤： （1）以角的顶点为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N； （2）以点M和点N为圆心，大于MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P； （3）连接OP即为角平分线。 ·易错点： 1.作图工具规范：必须使用无刻度直尺和圆规，不能使用量角器、带刻度尺子度量长度或角度； 2.弧长要求：作角平分线时，两次画弧的半径必须大于MN长度的，否则两弧无法相交或交点不准确； 3.步骤完整性：所有作图步骤需完整呈现，不能省略关键步骤（如作三角形时必须明确三边对应关系，作平行线时必须标注同位角相等）； 4.痕迹保留：所有圆弧、交点的作图痕迹必须清晰保留，不得擦除，否则视为无效作答； 5.交点位置：画弧时交点必须在角的内部（作角平分线）或指定区域，不能取外部交点； 6.书写规范：最终结论必须明确写出“××即为所求”，标注对应字母时需与题干要求一致。 题型一 全等三角形性质的综合应用 解｜题｜技｜巧 全等三角形对应边、对应角相等，周长、面积、对应高/中线/角平分线也相等；常结合三角形内角和、外角性质求未知线段长度或角度；证明线段/角度相等时，优先证明所在三角形全等，再利用性质推导。 易｜错｜点｜拨 1. 不要混淆“对应”元素，非对应边/角不具备相等关系； 2. 性质仅在三角形全等的前提下成立，未证明全等时不能直接使用； 3. 计算角度时不要忽略三角形内角和为180°的隐含条件。 【典例1】（2026春•金牛区校级期中）如图，△ABC≌△AEF，则对于结论①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例2】（2026春•黄浦区校级期中）如图，已知△ABC≌△DEB，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在AB边上，DE与AC交于点F．如果AE＝8，BC＝12，则线段DE的长是 　20　 ． 【典例3】（2026春•龙岗区期中）如图，已知△ABC≌△ABE≌△ADC，若∠1＝131°，则∠α的度数为（　　） A．89° B．88° C．98° D．109° 【典例4】（2026春•崂山区校级期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D、E是CD上一点，若△BDE≌△CDA，AB＝14，AC＝12，则△BDE的周长为（　　） A．20 B．22 C．24 D．26 【典例5】（2026春•白云区校级期中）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（　　） A．42 B．48 C．84 D．96 题型二 三角形全等判定应用 解｜题｜技｜巧 证明时规范书写：先写“在△XXX和△XXX中”，再列对应相等条件，最后下结论；灵活选用判定定理：已知两角优先考虑ASA/AAS，已知两边优先考虑SSS/SAS。 易｜错｜点｜拨 1. SSA不能判定全等，避免将“两边及其中一边的对角”误认为SAS； 2. 列条件时必须对应相等，顺序要符合判定定理要求； 3. 公共边的对应关系要明确，不要遗漏“公共边相等”的隐含条件。 4. 区分ASA的“夹边”和AAS的“对边”，不要混淆边的位置； 5. 两个三角形有两个角相等时，第三个角必然相等，可简化证明过程； 6. 公共角、对顶角都是相等的隐含条件，不要忽略。 【典例1】（2026春•雁塔区校级期中）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，下列条件中不能判断△ABC与△DEF全等的是（　　） A．∠A＝∠D B．BF＝CE C．AC＝DF D．∠ACB＝∠DFE 【变式1】（2026春•高新区期中）根据下列条件，能作出唯一三角形的是（　　） A．AB＝4，AC＝3，∠B＝30° B．AB＝4，BC＝4，AC＝8 C．∠A＝50°，∠B＝60°，AC＝8 D．∠C＝90°，AB＝6 【典例2】（2026春•临淄区期中）如图，在△ABC和△DEF中，点C，F，B，E在同一条直线上，若∠C＝∠DFE，AC＝DF，请你从以下三个选项：①CF＝BE；②AB＝DE；③∠ABC＝∠DEF中选择一个合适的选项作为补充条件，使得△ABC≌△DEF． （1）你选择的补充条件是　 （填序号）； （2）根据你选择的补充条件，写出△ABC≌△DEF的证明过程． 【变式2】（2026春•福田区校级期中）如图，已知：在△ABC中，AM是△ABC的中线，MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC，且BP⊥MP于点P，CQ⊥MQ于点Q． （1）求证：MP⊥MQ； （2）求证：△BMP≌△MCQ． 题型三 直角三角形全等的判定 解｜题｜技｜巧 HL判定仅适用于直角三角形，条件为斜边和一条直角边对应相等；直角三角形全等的判定有5种：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，HL是特有简便方法；两直角边对应相等时，用SAS也可判定全等，灵活选择判定方法。 易｜错｜点｜拨 1. HL不能用于一般三角形全等的判定，必须明确是直角三角形才能使用； 2. 不要误以为直角三角形只能用HL判定，普通判定定理同样适用； 3. 证明时需先明确两个三角形是直角三角形，再列HL的条件。 【典例1】（2026春•盐湖区期中）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（　　） A．∠B＝∠D B．∠ACB＝∠CAD C．AB＝CD D．AD＝CB 【变式1】（2026春•五华县期中）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC． 题型四 全等三角形的性质和判定 解｜题｜技｜巧 根据已知条件选择合适的判定定理：已知两边找夹角或第三边，已知一边一角找另一角或另一边，已知两角找任意一边；利用全等性质可推导线段、角的数量关系，是证明几何问题的基础工具。 易｜错｜点｜拨 1. 对应元素必须找准，不能混淆不同位置的边角，判定时条件顺序要对应； 2. 判定全等至少需要一组边对应相等，仅三个角对应相等不能判定全等； 3. 利用全等性质推导结论时，必须先完成全等证明，不能直接默认结论成立。 【典例1】（2026春•西安期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N，CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结论中，①∠AMD＝45°；②AC＝BE；③MC+EM＝NE．正确结论的个数是（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式1】（2026春•昆都仑区校级期中）如图，在△ABC中，AD为中线，在DA的延长线上取一点G，连接GC，使∠G＝∠BAD．过点C作CF⊥AD于点F，过点B作BE⊥AD延长线于点E．下列结论中正确的是　 　 ． ①∠EBD＝∠FCD； ②AB＝CG； ③FE+AC＞AB； ④AG＝2DF； ⑤∠BAD+∠FDC+∠FCG＝180°． 【典例2】（2026春•凉州区期中）已知如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D．在DA上取一点E，使DE＝DC，连接BE交AC于点F． （1）求证：∠BFC＝90°； （2）过点D作DG⊥BE于点G，作DH⊥AC于点H，连接DF，求证：∠BFD＝45°． 【变式2】（2026春•南海区期中）问题情境： 已知：射线AB和射线CB相交于点B．点D在射线CB上，作射线AD，在射线AD上取一点E，连接CE，使∠AEC＝∠ABC． 任务一：当点D在线段CB上时， （1）如图1，请写出∠A与∠C的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当∠AEC＝∠ABC＝90°，AB＝CB时，连接BE．在射线AD上取一点F，使AF＝CE，连接BF． ①判断BF与BE的数量关系与位置关系，并说明理由； ②∠AEB的度数为 　45°　 ； 任务二：当点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合）． （3）如图3，当AB＝CB，∠AEC＝∠ABC＝α（90°＜α＜180°），且AF＝CE时，请直接写出∠AEB的度数（用含α的式子表示）． 题型五 角平分线的性质与判定综合应用 解｜题｜技｜巧 结合角平分线性质与角平分线判定解决题目；遇角平分线时，常作的辅助线是过点作角两边的垂线，构造全等直角三角形。 易｜错｜点｜拨 “距离”是指点到直线的垂线段长度，必须有垂直条件才能使用性质，且仅知道点在角平分线上，未作垂线时不能直接得到线段相等。 【典例1】（2026春•细河区校级期中）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【变式1】（2026春•龙华区期中）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【变式2】（2026春•龙岗区校级期中）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例2】（2026春•即墨区期中）如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，作DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，且AD平分∠BAC，连接EF． （1）证明：AD垂直平分EF． （2）若△ABC的周长为18，面积为24，BC＝6，求DE的长． 【变式1】（2026春•大东区期中）如图，△ABC的外角∠ACD的角平分线CE与内角∠ABC的角平分线BE交于点E，点F在边BA的延长线上，AE的延长线交边BC的延长线于点D，过点E作EH⊥BD于点H． （1）求证：AE平分∠CAF； （2）若∠BAC＝30°，求∠BEC的度数； （3）若AB＝6，AC＝5，CD＝8，且S△ABE＝12，求△ACD的面积． 题型六 手拉手模型中的全等 解｜题｜技｜巧 角手拉手模型一般为两个共顶点、等邻边的图形（常为等腰三角形、等边三角形或正方形），共顶点为公共顶点，两组等邻边就是“拉手边”，核心结论是两个拉手三角形全等；证明全等时，找准公共旋转角，利用等边加（减）公共角得到对应角相等，再结合拉手边相等即可完成证明，全等后可进一步推导线段夹角、数量关系。 易｜错｜点｜拨 1. 角度要计算正确，区分是加公共角还是减公共角，不要弄错对应角的度数关系； 2. 不止共顶点的等边三角形能构成手拉手全等，正方形、等腰直角三角形也适用，不要死套模型结论； 3. 推导线段夹角时，注意利用“8字模型”导角，不要记错“拉手线夹角等于原等腰三角形顶角”这个结论。 【典例1】（2026春•阳江期中）如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2026春•沙坪坝区期中）如图，点E为正方形ABCD的对角线AC的中点，在Rt△FEG中，两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2026春•崂山区校级期中）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝30°，连接AC，BD交于点M，AC与OD相交于E，BD与OA相交于F，连接OM．则下列结论中：①△AOC≌△BOD；②AC＝BD；③∠AMB＝30°；④△OEM≌△OFM．正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【典例2】（2026春•温江区校级期中）如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD，BE交于点H，连CH． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）求∠AHB；（用含α的式子表示） （3）求证：HC平分∠AHE． 【变式1】（2026春•沈阳期中）【发现问题】 如图（1），△ABC和△ECD都是等边三角形，连接AD，BE交于点F．AD与BE的数量关系为AD＝BE ，∠AFB的度数为　 　 °； 【类比探究】 如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接BD，CE．猜想BD与CE之间关系，并说明理由． 题型七 一线三等角模型 解｜题｜技｜巧 一线三等角指一条直线上有三个相等的角，在给定边相等的条件下可得到全等；常见为直角型一线三等角，证明全等时，利用直角三角形两锐角互余，推导出两个三角形的对应锐角相等，再结合已知等边即可判定全等，常用于坐标系中求点坐标、等腰直角三角形的线段推导。 易｜错｜点｜拨 1. 三个角不一定都是直角，锐角、钝角也能构成一线三等角，不要只记得直角型模型； 2. 要注意只有存在对应边相等的条件才能判定全等，不要直接默认全等； 3. 点的位置变化可能导致图形位置变化，要注意分情况讨论，不要漏解。 【典例1】（2026春•杨浦区校级期中）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（2，5），则A点的坐标是 　 　 ． 【变式1】（2026春•历下区期中）为巩固数学知识、提升实践操作与解决实际问题的能力，小明按如下方式测量旗杆高度AB：将旗杆顶部A处的绳子拉直至地面C点，使B，C两点间距离等于小明直立时眼睛的离地高度；在C处放置直角三角板OMN，让直角顶点O与C点重合，边OM与绳子AC重合．随后小明后退，当看到点N，O共线时（即N，O，E共线），停在D点． （1）小明认为CD的长等于旗杆高度AB，你认同他的观点吗？请说明理由． （2）若DE＝1.7米，DB＝16米，求旗杆高度AB． 【变式2】（2026•鼓楼区校级开学）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过点C，过A作AD⊥l，垂足为D，过B作BE⊥l，垂足为E． （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）如图2，延长AD至F，连接CF，过点C作CG⊥CF，且CG＝CF，连接BG交直线l于点H，连接EG． ①求证：S△ACD＝S△ECG； ②若AF＝12，求CH的长． 【变式3】（2026春•玉门市校级期末）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm． （1）若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC． ①如图1，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 ； ②如图2，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系； （2）如图3，若∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，直接写出相应的t的值和x的值；若不存在，请说明理由． 题型八 全等三角形辅助线构造（截长补短/倍长中线） 解｜题｜技｜巧 1. 截长补短法：用于证明线段和差关系（如a+b=c），在长线段上截取一段等于短线段，或延长短线段等于长线段，证明剩余部分相等； 2. 倍长中线法：遇三角形中线时，延长中线至原来的2倍，构造全等三角形，转化线段和角的关系； 3. 辅助线构造后，优先证明新构造的三角形全等，再推导所需结论。 易｜错｜点｜拨 1. 截长补短时，截取或延长的长度要明确，避免构造无效； 2. 倍长中线时，要注意对应顶点的连接，确保全等条件成立； 3. 辅助线需在解题过程中说明作法，不要忽略描述步骤。 【典例1】（2024秋•高安市期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC． （1）为了证明结论“AB+BD＝AC”，小亮在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） （2）如图2，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝60°，∠D＝110°，∠ACD＝40°，∠ACB＝80°，CE是△ABC的高，AD＝10，EB＝2，求AB的长． 【变式1】（2026春•兰州期中）如图，在△ABC中，点D为边AC上一点，连接BD，延长BD至点E，使得BE＝AC，连接CE． （1）如图1，若AC＝BC，∠A＝80°，∠EBC＝44°，求∠ECD的度数； （2）如图2，∠ECB的角平分线CF交BE于点F．若BD＝CD，∠A＝2∠DBC，求证：BC＝AB+EF． 【典例2】（2026春•海淀区校级期末）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB＝10，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 ． A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是 ． A.8＜AD＜10 B.8≤AD≤10 C.1＜AD＜9 D.1≤AD≤9 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中， 【问题解决】 （3）如图2，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE＝AB，∠BAC＝∠BCA，求证：AE＝2AD． 【变式1】（2026春•福田区校级期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． 【问题背景】 （1）如图1，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝5，求AD的取值范围． 我们可以延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，根据SAS可证△ADC≌△EDB，所以BE＝AC．接下来，在△ABE中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线AD的取值范围．请按照上述思路，写出求解AD的取值范围的完整过程． 【变式思考】 （2）如图2，△ABC中，AD是中线，分别以AB，AC为腰向外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，连接EF．求证：EF＝2AD． 【探究延伸】 （3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠BAC+∠BAD＝180°，点F是BC的中点，∠CEF＝∠ADB，当EF＝6时，求BD的长． 题型九 尺规作图与全等综合应用 易｜错｜点｜拨 1. 必须使用无刻度直尺和圆规，禁止使用量角器、带刻度尺子度量； 2. 作角平分线时画弧半径需大于线段长度的1/2，保证交点准确； 3. 最终必须明确写出“××即为所求”，字母标注与题干一致。 【典例1】（2026春•青羊区校级期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠AOB＝∠A′O′B′的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【变式1】（2026春•金牛区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线AM交BC于点F，若BF＝3，BC＝5，则点F到AB的距离为（　　） A．3 B．4 C．2.5 D．2 【变式2】（2026春•南山区校级期中）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB、AC于E、F两点：再分别以E、F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点G，作射线AG交CD于点H．若∠C＝130°，则∠AHD的大小是（　　） A．135° B．145° C．150° D．155° 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2026春•双流区校级期中）如图，已知∠ABC＝∠BAD，再添加一个条件，仍不能判定△ABC≌△BAD的是（　　） A．∠ABD＝∠BAC B．∠C＝∠D C．AD＝BC D．AC＝BD 2．（2026春•茂南区期中）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，若CD＝6，则DE的长为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 3．（2026春•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是CD上一点．若△BDE≌△CDA，AB＝7，AC＝5，则△BDE的周长为（　　） A．9 B．12 C．13 D．14 4．（2026春•金水区校级期中）已知AB＝10，AC＝6，BD＝8，其中∠CAB＝∠DBA＝α，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒． ①若x＝1．则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍； ②当P、Q两点同时到达A点时，x＝6； ③若α＝90°，t＝5，x＝1时，△ACP≌△BPQ； ④若△ACP与△BPQ全等，则x＝0.8或． 以上说法正确的选项为（　　） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 5．（2026春•化州市期中）如图，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边、直角边（HL）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需补充条件： ． 6．（2026春•未央区校级期中）如图，已知△ABC≌△EDB，∠BDE＝75°，∠C＝62°，则∠E+∠EBC＝　 　 ． 7．（2026春•青羊区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝12，CG＝3，则△ABG的面积是　 　 ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2026春•福田区校级期中）如图，在正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠2＝2∠1 C．∠2＝90°+∠1 D．∠1+∠2＝180° 2．（2026春•禅城区校级期中）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若BC＝6且△BCP的面积为6，则AD的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2026春•新吴区校级期中）已知点C在线段BE上，分别以BC、CE为边作等边三角形ABC和等边三角形DCE，AE、BD相交于点O，连接AE与CD相交于点N，连接BD与AC相交于点M，连接OC、MN，则①AE＝BD；②△ACN≌△BCM；③∠BOE＝120°；④△MNC是等边三角形；⑤OC平分∠BOE；⑥BO＝AO+CO；以上结论正确的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（2026春•龙华区校级期中）如图，已知四边形ABCD中，AB＝15cm，BC＝9cm，CD＝10cm，∠B＝∠C，点E是线段BA的三等分点（靠近B处，AB＝3BE）．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．若要使得△BPE与△CQP全等，则点Q的运动速度为　 cm/s． 5．（2026春•重庆期中）如图，△ABC为等边三角形，D，E分别在BC，AB上，且CD＝BE，连接AD，CE交于点G，作∠BEC，∠BAD的平分线交于点H，连接GH，DH．若EG＝4，CG＝3，则AD＝　 　 ，△EGH与△ADH的面积比为　 　 ． 6．（2026春•深圳期中）如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF，以DF为边在DF的右侧作等边△DFE，连接EC，若存在实数k，使得为定值a，则k+a的值是 　 ． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2026春•青浦区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ 　 　 度； （2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 2．（2026春•温江区校级期中）如图①，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE． （1）求证：BD＝CE； （2）如图②，点C恰在边DE上，若DB⊥AB，BD＝3，求DE的长； （3）如图③，若DB⊥AB，DE交直线BC于点F，试判断DF与EF的数量关系，并说明理由． 3．（2026春•雁塔区校级期中）如图1，已知AP平分∠MAN，定点C在射线AP上，CF⊥AM于点F，CE⊥AN于点E，AF＝8． （1）求AE的长． （2）如图2，当点D在射线AM上，点B在射线AN上，且CB与AN不垂直，∠CDA+∠CBA＝180°其它条件不变，求出AD与AB之间的数量关系． （3）如图3，当点D在射线AM的反向延长线上时，∠CDA＝∠CBA，其它条件不变，则（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出AB与AD新的数量关系式． 1/3 学科网（北京）股份有限公司 $