专题03 轴对称（期中复习讲义·培优版）八年级数学上学期新教材人教版

专题03 轴对称（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 题型02 题型03 题型04 题型05 题型06 题型07 题型08 题型09 题型10 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 轴对称与轴对称图形 能准确区分轴对称图形和两个图形成轴对称，会判断常见图形的对称轴条数，能根据他们的性质解决相应题目 基础必考点，常出现在选择填空题，易错点是混淆对称轴为直线而非线段 线段垂直平分线的性质与判定 能运用垂直平分线性质求线段长度，会证明点在垂直平分线上，会自己画线段的垂直平分线，也能根据作图痕迹判断出垂直平分线从而解决相应的题目 高频考点，常与等腰三角形结合出现在解答题，注意区分性质和判定的条件 坐标系中的轴对称规律 熟练掌握点关于x轴、y轴对称的坐标变化规律，能作出轴对称图形 送分考点，常出现在选择题和作图题，牢记“关于谁对称谁不变，另一个变为相反数”的口诀 等腰三角形的性质与判定 掌握“等边对等角”“等角对等边”和“三线合一”性质，会分类讨论等腰三角形的边长和角度 单元重点，选择、填空、大题均有涉及，易错点是腰和底不明确时漏解，需用三边关系检验 等边三角形的性质与判定 能运用等边三角形的60°角特性解题，掌握三种判定方法 常考考点，多与全等三角形结合出现在解答题，注意“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的快速判定 含30°角的直角三角形性质 能在直角三角形中识别30°角，运用“30°角所对的直角边是斜边的一半”求线段长度 高频易错点，常出现在选择填空和几何计算题，注意前提条件是“在直角三角形中” 最短路径问题 会用轴对称变换解决直线上动点到两定点距离和最小的问题，角内一定点或两定点到角的边上的两动点构成的图形的周长最小问题 压轴题型，常出现在选择填空最后一题或解答题，核心思路是“化折为直”，利用两点之间线段最短求解 知识点01 轴对称与轴对称图形 1. 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 2. 两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 2. 性质：①轴对称图形的对应线段相等、对应角相等； ②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③成轴对称的两个图形是全等形。 ·示例：正方形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；平面镜中人和像的关系就是两个图形成轴对称。 ·易错点：对称轴是直线，不是线段或射线；轴对称图形是单个图形的特性，成轴对称是两个图形的 位置关系；常见图形对称轴条数：角1条、等腰三角形1条、等边三角形3条、正方形4条、圆无数条。 知识点02 线段的垂直平分线 1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 ·示例：已知线段AB，MN是线段AB的垂直平分线，点P在直线MN上，则PA=PB， 3. 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ·示例：已知线段AB，存在一点P，若满足PA=PB，则点P在AB的垂直平分线上。 ·易错点：证明线段的垂直的平分线必须证明两个点到线段的端点距离相等。若只证明一个点，则只能说明在个点在垂直平分线上，不能得到垂直平分线。垂直平分线是直线，不是线段；角平分线是射线，注意两者的区别。 4. 线段垂直平分线的尺规作图： 具体步骤： ①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。如图① ②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。如图②，直线MN即为所作直线。 5. 三角形外心性质：三角形三边的垂直平分线交于一点（外心），该点到三个顶点的距离相等，锐角 三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部。 知识点03 画轴对称图形以及画轴对称图形的对称轴 1. 画轴对称图形的画法步骤： （1） 找特殊点（如顶点、端点）； （2） 画特殊点关于对称轴的对称点（过点作对称轴垂线，截取等长线段得到对称点）； （3） 连接对称点，得到轴对称图形。 2. 轴对称变换性质：由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 ·示例：画△ABC关于直线l的对称图形： 如上图，先分别画出A、B、C三点的对称点A'、B'、C'，再顺次连接A'B'、B'C'、C'A'即可。 ·易错点：画对称点时，对应点到对称轴的距离必须相等，对应点连线与对称轴垂直；作图时需保留作图 痕迹。 3. 画轴对称以及轴对称图形的对称轴： 因为对称轴是任意一组对应点连线的垂直平分线，所以画对称轴时只需按照垂直平分线的画法画出任意一组对应点的垂直平分线。 知识点04 坐标系中的轴对称 1. 关于x轴对称的点的坐标特征： 横坐标不变，纵坐标互为相反数，即点P(x，y)关于x轴的对称点为P'(x，－y)。 2. 关于y轴对称的点的坐标特征： 纵坐标不变，横坐标互为相反数，即点P(x，y)关于y轴的对称点为P'(﹣x，y)。 3. 拓展规律： 关于直线x=a对称的点，纵坐标不变，横坐标满足；关于直线y=b对称的点，横坐标不变， 纵坐标满足。 ·示例：点（3，2）关于x轴的对称点是（3，﹣2），关于y轴的对称点是（﹣3，2），关于直线x=1对称 的点是（﹣1，2），关于直线y=1对称的点是（3，0）。 ·易错点：关于直线对称时注意区分谁变谁不变。 知识点05 等腰三角形 1. 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所 夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。 2. 性质： （1） 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）； （2） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。 ·示例：若△ABC是等腰三角形，则AB=AC，∠B=∠C，AD既是顶角∠A的角平分线，也是底边BC的高 线和中线。即∠ABD＝∠CAD，AD⊥BC，BD＝CD。 3. 判定： （1） 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）； （2） 若一个三角形一边上存在“三线合一”，则该三角形是等腰三角形。 ·示例：在△ABC中 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 ∵∠B＝∠C ∴AB＝AC ∴△ABC是等腰三角形 或∵AD⊥BC且BD＝BC（三线表达其二即可） ∴△ABC是等腰三角形 ·易错点：“三线合一”仅适用于等腰三角形，且是顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，其他 边上的高或中线不具备此性质；分类讨论：当题目中未明确等腰三角形的顶角或底角、腰或底边时，需要分情况讨论，同时满足三角形三边关系。 知识点06 等边三角形 1. 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形，是特殊的等腰三角形。 2. 性质： （1）等边三角形的三边相等，三个内角也相等，并且每一个角都等于60°； （2）等边三角形三边都具有“三线合一”； （3）是轴对称图形，有3条对称轴。 3. 判定： （1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； （4）有两个角是60°的三角形也是等边三角形。 ·示例：若△ABC是等边三角形，则AB=BC=CA，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°。AD既是∠BAC的角平分线， 也是底边BC的高线和中线。即∠ABD＝∠CAD，AD⊥BC，BD＝CD。同理在另两边也成立。 ·易错点：等边三角形的三条高、三条中线、三条角平分线全都相等，且交于一点； 知识点07 含30°角的直角三角形的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边 所对的锐角等于30°。 ·示例：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5，则AB=10。 ·易错点：该性质的前提条件是“在直角三角形中”，锐角为30°，不能在非直角三 角形中使用；需准确识别30°角所对的直角边，避免混淆对应边。 知识点08 最短路径问题（将军饮马模型） 1. 两点一线型（两点在直线的异侧）： 问题 如图，直线两侧有点A与点B，在直线l上找一点p，使PA＋PB最小。 作法 如图，连接AB，AB与直线l的交点即为点P。 结论 PA＋PB最小 原理及证明 两点之间，线段最短 2. 两点一线型（两点在直线的同侧）： 问题 如图：直线同侧有点P与点Q，在直线l上找一点M，使MP＋MQ最小。 作法 如图，作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段与直线的交点即为要找的点M。即作点P关于直线l的对称点p’。连接P’ Q，P’ Q与直线l交于即为点M。 结论 MP＋MQ最小 原理及证明 ∵P与P’关于直线l对称 ∴直线l是PP’的垂直平分线 ∴MP＝MP’ ∴MP＋MQ＝MP’＋MQ＝P’ Q。 ∴MP＋MQ此时有最小值，为P’ Q的长度 3. 一点两线型： 问题 如图，已知∠MON以及角内一点P，角的两边OM与ON上存在点A与点B，使得△PAB的周长最小。 作法 如图，分别作点P关于OM与ON的对称点P’与P’’，连接P’ P’’。P’ P’’与OM、ON的交点A与B即为要找到的点 结论 △PAB的周长最小 原理及证明 ∵P与P’关于OM对称，P与P’’关于ON对称 ∴OM是PP’的垂直平分线，ON是PP’’的垂直平分线。 ∴AP＝AP’，BP＝BP’’ ∴＝AP’＋AB＋BP’’＝P’P’’ ∴△PAB的周长最小。 4. 两点两线型： 问题 如图，已知∠AOB以及角内两点点P与点Q，角的两边上分别存在M、N使得四边形PQMN的周长最小。 作法 如图，分别作点关于较近直线的对称点，连接两个对称点的线段与边OA与OB相交与点M与点N，此时点M与点N即为要找的点。即作点Q关于OA的对称点D，点P关于OB的对称点C，连接DC，DC与OA交于点M，与OB交于点N，连接QM，MN，PN，PQ。 结论 四边形PQMN的周长最小 原理及证明 ∵Q与D关于OA对称，P与C关于OB对称 ∴OA是QD的垂直平分线，OB是PC的垂直平分线。 ∴MD＝MQ，NP＝NC。 ＝PQ＋MD＋MN＋NC ＝PQ＋DC。 ∴四边形PQMN的周长最小。 ·易错点：需明确对称点的作法，确保对称点到对称轴的距离与原点相等；多线段最短路径问题可多次使 用对称转化为线段长度求解。 题型一 轴对称与轴对称图形的概念辨析及其性质应用 解｜题｜技｜巧 1. 轴对称图形判断核心：单个图形沿直线折叠后直线两侧完全重合，重点关注对称轴为直线而非线段； 2. 成轴对称判断核心：两个图形的位置关系，对应点连线被同一直线垂直平分； 易｜错｜点｜拨 1. 混淆“轴对称图形”（单个图形属性）和“成轴对称”（两个图形位置关系）； 2. 误将对称轴认为是线段/射线，忽略其直线属性； 【典例1】（2026春•相城区期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、图形是轴对称图形，符合题意； B、图形不是轴对称图形，不符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 【变式1】（2026春•武进区校级期中）如图，弹性小球从点D出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到长方形的边时，落脚点为I；第2次碰到长方形的边时落脚点为E1；如此运动下去，则第2026次落脚点为（　　） A．D B．E1 C．I D．V 【答案】B 【解答】解：如图， 小球第1次碰到矩形的边时，落脚点为I，第2次碰到矩形的边时落脚点为E1，第3次落脚点为Q，第4次落脚点为V，第5次落脚点为A1，第6次落脚点为M，第7次落脚点为I1，第8次落脚点为D，…， ∴每8次循环1次， ∵2026÷8＝253...2， ∴第2026次落脚点为E1． 故答案为：B． 【变式2】（2026春•江阴市期中）如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法中不一定正确的是（　　） A．∠ABC＝∠A′B′C′ B．AB∥A′B′ C．AA′⊥MN D．BO＝B′O 【答案】B 【解答】解：根据轴对称图形的特征可知：∠ABC＝∠A′B′C′，AA′⊥MN，BO＝B′O，无法判断AB与A′B′的位置关系， ∴A、C、D选项不符合题意，B选项符合题意； 故选：B． 【变式3】（2026春•南山区期中）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平使A与A'重合，若∠A＝35°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．70° B．75° C．105° D．35° 【答案】A 【解答】解：由折叠可知， ∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE． ∵∠1+∠A′DA＝180°，∠2+∠A′EA＝180°， ∴∠ADE，∠AED． 又∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°， ∴∠A＝180°， 则∠1+∠2＝2∠A＝70°． 故选：A． 题型二 线段垂直平分线的性质与判定应用 解｜题｜技｜巧 1. 性质应用：题目中出现垂直平分线条件时，优先推导“线段两端点到垂直平分线上任意点距离相等”，转化为等腰三角形问题，也是做辅助线的依据； 2. 判定证明：证明某条直线是线段垂直平分线，需证明至少两个点到线段两端点距离相等，两点确定一条直线； 易｜错｜点｜拨 1. 仅证明一个点到线段两端点距离相等，不能直接得到垂直平分线，只能说明该点在垂直平分线上； 2. 混淆垂直平分线（直线）和角平分线（射线）的性质，前者到线段两端点距离相等，后者到角两边距离相等； 【典例1】（2026春•宝安区期中）游戏时，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【答案】A 【解答】解：游戏时，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的三条垂直平分线的交点，此时这个点到三角形各顶点的距离相等， 故选：A． 【变式1】（2026春•禅城区校级期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OA，OB，OC． （1）若△ADE的周长为8cm，线段BC的长为　8cm ； （2）判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由； （3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数． 【答案】（1）8cm； （2）答案见解答； （3）60°． 【解答】解：（1）AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E， 则AD＝BD，AE＝CE， ∵△ADE的周长为8cm， ∴AD+DE+AE＝8cm， ∴BD+DE+EC＝BC＝8cm， 故答案为：8cm； （2）点O在BC的垂直平分线上，理由如下： ∵AB边的垂直平分线l1与AC边的垂直平分线l2相交于点O， ∴OB＝OA，OC＝OA， ∴OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上； （3）∵∠BAC＝120°， ∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣120°＝60°， 由（1）可知：AD＝BD，AE＝CE， ∴∠DAB＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB， ∴∠DAB+∠EAC＝60°， ∴∠DAE＝120°﹣60°＝60°． 题型三 坐标系中的轴对称变换 解｜题｜技｜巧 1. 坐标变换规律：关于x轴对称“横不变，纵相反”；关于y轴对称“纵不变，横相反”； 2. 直线对称换算：关于直线x=a对称，纵坐标不变，横坐标满足；关于直线y=b对称，横坐标不变，纵坐标满足； 3. 图形对称作图：先找到图形所有顶点的对称点，再顺次连接对称点得到对称图形。 易｜错｜点｜拨 1. 混淆x轴和y轴对称的坐标变化规律，导致坐标符号错误； 2. 直线对称换算时，错误计算对称点坐标，忽略“中点在对称轴上”的核心条件； 3. 作图时遗漏特殊点（如端点、拐点）的对称点，导致图形变形。 【典例1】（2026春•裕华区校级期中）若在平面直角坐标系中，点A（1﹣2m，9+m）与点B（﹣5，7）关于y轴对称，则m的值是（　　） A．﹣16 B．16 C．2 D．﹣2 【答案】D 【解答】解：根据题意可知，1﹣2m＝﹣（﹣5）且9+m＝7， 解得：m＝﹣2． 故选：D． 【变式1】（2026春•金山区期中）在平面直角坐标系中，已知点P（a﹣1，5）和点Q（2，b﹣1）为关于x轴对称，则（a+b）2025＝　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：∵点P（a﹣1，5）和点Q（2，b﹣1）关于x轴对称， ∴a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5， 解得a＝3，b＝﹣4， ∴（a+b）2025＝（3﹣4）2025＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【变式2】（2026春•长宁区校级期中）在直角坐标平面内，已知点M（a，3），如果该点关于直线x＝3的对称点M的坐标为（5，3），那么a的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解答】解：∵该点关于直线x＝3的对称点的坐标为（5，3）， ∴对称点到直线x＝3的距离为2， ∵点（a，3）到直线x＝3的距离为2， ∴a＝1， 故选：D． 题型四 轴对称作图综合应用 解｜题｜技｜巧 1. 画对称轴：找到任意一组对应点，作对应点连线的垂直平分线，即为对称轴； 2. 画对称图形：①找特殊点（顶点、端点、拐点）；②作各特殊点关于对称轴的对称点；③顺次连接对称点得到对称图形； 3. 尺规作图：作线段垂直平分线、角平分线等需保留作图痕迹，不得省略圆弧标记。 易｜错｜点｜拨 1. 作图时遗漏特殊点的对称点，导致图形变形或不完整； 2. 作对称点时，错误判断对称点到对称轴的距离，导致对称点位置偏差； 3. 尺规作图时未保留作图痕迹，被判定为无效作答。 【典例1】（2026春•龙岗区期中）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线MN与AC，BC分别相交于点E和点D，连接AD，若AB＝3cm，BC＝6cm，则△ABD的周长是（　　） A．6cm B．7.5cm C．9cm D．12cm 【答案】C 【解答】解：由题意得：DE垂直平分AC， ∴AD＝CD，AE＝CE， 则△ABD的周长＝AB+BD+DC＝9cm， 故选：C． 【变式1】（2026春•上海期中）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2； （3）求出△ABC的面积． 【答案】（1）（2）作图见解答； （3）△ABC的面积为． 【解答】解：（1）△A1B1C1即为所求作； （2）△A2B2C2即为所求作； （3）由割补法可得：S△ABC． 【变式2】（2026春•江都区期中）如图，已知点P为△ABC边AC上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线： （1）如图①，作一条直线l，使得点B关于l的对称点为P． （2）如图②，作一条过点C的直线m，使得点P关于m的对称点落在BC上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解答． （2）见解答． 【解答】解：（1）如图①，连接BP，作线段BP的垂直平分线l， 则直线l即为所求． （2）如图②，作∠ACB的平分线， 则∠ACB的平分线所在的直线m即为所求． 【变式3】（2026春•龙华区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求． （2）∵DF垂直平分线段AB， ∴DB＝DA， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∵∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°， ∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE∠DAC＝40°． 题型五 等腰三角形性质与判定综合应用 解｜题｜技｜巧 1. 等边对等角应用：已知等腰三角形边长或角度时，优先推导底角相等，结合三角形内角和计算未知角度； 2. 三线合一应用：等腰三角形中遇到高、中线、角平分线条件时，优先考虑三线合一性质，转化为垂直、中点、角相等关系； 3. 等角对等边判定：证明三角形是等腰三角形时，优先证明两个角相等，简化证明过程； 易｜错｜点｜拨 1. 忽略“三线合一”仅适用于等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高，错误应用于其他边的中线或高； 2. 分类讨论时遗漏三边关系验证，导致出现无效解（如两边之和小于第三边）； 3. 误将“两边相等”直接等同于等腰三角形，忽略三角形存在的前提条件。 【典例1】（2026春•迎泽区校级期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”就能三等分角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠CDE＝80°，则∠BDE的度数是（　　） A．60° B．65° C．75° D．80° 【答案】C 【解答】解：∵OC＝CD＝DE， ∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC， ∵∠CDE＝80°， ∴DCE＝∠DEC（180°﹣80°）＝50°， ∵∠O+∠CDO＝∠DCE， ∴2∠O＝∠DCE＝50°， ∴∠O＝25°， ∴∠BDE＝∠O+∠DEC＝75°． 故选：C． 【变式1】（2026春•西安期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F，G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【解答】解：∵ED∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC，∠EGC＝∠BCG（两直线平行，内错角相等）， ∵∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F，G， ∴∠DBF＝∠FBC，∠GCE＝∠BCG， ∴∠DFB＝∠DBF，∠EGC＝∠GCE， ∴DF＝DB，EG＝EC（等角对等边）， ∵FG＝2，ED＝6， ∴DB+EC＝DF+EG＝6﹣2＝4， 故选：B． 【变式2】（2026春•南海区校级期中）在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H． （1）求证：△APF是等腰三角形； （2）猜想AB与PC的大小有什么关系？并说明理由． 【答案】见解答． 【解答】（1）证明：如图所示： ∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2， ∵EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P， ∴∠1＝∠AFP，∠2＝∠P， ∴∠AFP＝∠P， ∴AF＝AP， ∴△APF是等腰三角形； （2）解：AB与PC的大小有什么关系是：AB＝PC，理由如下： ∵CH∥AB交AD的延长线于点H， ∴∠1＝∠H，∠B＝∠3， ∵∠1＝∠2， ∴∠H＝∠2， ∴AC＝HC， ∵∠1＝∠AFP，∠4＝∠AFP，∠1＝∠H， ∴∠4＝∠H， 在△BEF和△HDC中， ， ∴△BEF≌△HDC（AAS）， ∴BF＝CH， ∵AC＝HC， ∴BF＝AC， ∵AF＝AP， ∴PC＝AP+AC＝AF+HC＝AF+BF＝AB， 即AB＝PC． 【变式3】（2026春•惠来县期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒． （1）出发2秒后，求△ABP的周长． （2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？ （3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1， 由∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm， ∴AC＝4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm， ∴出发2秒后，则CP＝2， ∵∠C＝90°， ∴PB（cm）， ∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝2+5（7）cm． （2）①如图2，若P在边AC上时，BC＝CP＝3cm， 此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形； ②若P在AB边上时，有三种情况： i）如图3，若使BP＝CB＝3cm，此时AP＝2cm，P运动的路程为2+4＝6cm， 所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形； ii）如图4，若CP＝BC＝3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm， 作CD⊥AB于点D， 在Rt△PCD中，PD1.8（cm）， 所以BP＝2PD＝3.6cm， 所以P运动的路程为9﹣3.6＝5.4cm， 则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形； ⅲ）如图5，若BP＝CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5＝6.5cm 则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形； 综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形 （3） 如图6， 当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3， ∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分， ∴t+2t﹣3＝3， ∴t＝2； 如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP＝t﹣4，AQ＝2t﹣8， ∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分， ∴t﹣4+2t﹣8＝6， ∴t＝6， ∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 题型六 等边三角形性质与判定综合应用 解｜题｜技｜巧 1. 性质应用：等边三角形三边相等、三角均为60°，三边均满足三线合一，可直接推导角度和线段相等关系； 2. 判定技巧：优先使用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”快速判定，简化证明步骤； 3. 综合应用：常与全等三角形结合，通过等边三角形的边、角相等条件构造全等三角形，证明线段或角度关系。 易｜错｜点｜拨 1. 混淆等边三角形与等腰三角形的关系，忽略等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质； 2. 判定等边三角形时，仅证明两个角为60°即完成判定，无需额外证明边相等； 3. 等边三角形的三条高、中线、角平分线均相等，容易误判为只有三条对称轴而忽略其他性质。 【典例1】（2026春•无锡期中）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为21，则PD+PE+PF等于（　　） A．21 B．9 C．7 D．条件不够，不能确定 【答案】C 【解答】解：延长DP交AC于点M， 由条件可知四边形AFPM是平行四边形， ∴PF＝AM， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°、AB＝BC＝CA， 由条件可知∠PME＝∠A＝60°、∠PDC＝∠B＝60°， ∴△DMC是等边三角形， ∴MC＝DM＝DP+PM， ∴PD＝MC﹣PM， ∵PE∥DC， ∴∠MEP＝∠C＝60°， ∴∠MEP＝∠PME＝60°， ∴△PME是等边三角形， ∴PE＝PM＝ME， ∴PD＝MC﹣ME＝EC， ∴3AC＝21， ∴AC＝7， ∴PD+PE+PF＝CE+EM+MA＝CA＝7． 故选：C． 【变式1】（2026春•重庆期中）为了丰富数学学习方法，老师带领学生们在综合实践活动课上学习了问题解决策略：特殊化．内容为：点P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P向等边三角形作垂线，垂足分别为D，E，F．其中，已知AB长度为2，请同学们从特殊情形入手，探索AF+BD+CE的长度为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【解答】解：如图所示，连接PA，PB，PC， 当点P是△ABC的三边的垂直平分线的交点时，则PB＝PA＝PC， 当P为等边三角形重心时，D，E，F分别为三边中点． 由条件可知， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC＝AB＝2， ∴AF＝1，BD＝1，CE＝1， ∴AF+BD+CE＝3． 故选：C． 【变式2】（2026春•紫金县期中）如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作等边三角形ADE，DE与AC交于点F． （1）试判断DF与EF的数量关系，并给出证明． （2）若CF的长为4cm，试求等边三角形ABC的边长． 【答案】（1）DF＝EF，证明见解答， ∴DF＝EF； （2）16cm． 【解答】解：（1）DF＝EF，证明如下： ∵△ABC和△ADE均是等边三角形， ∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AD＝AE， ∵AD⊥BC， ∴BD＝DC，， ∴∠CAE＝60°﹣30°＝30°， ∴∠DAC＝∠CAE，即AF平分∠DAE， 又∵AD＝AE， ∴DF＝EF； （2）由（1）得，AD＝AE，AF平分∠DAE， ∴AF⊥DE， ∴∠CFD＝90°， ∵∠FCD＝60°， ∴∠CDF＝90°﹣60°＝30°， ∵CF＝4cm， ∴DC＝2CF＝8cm， ∴BC＝2DC＝16cm， 即等边三角形ABC的边长为16cm． 【变式3】（2026春•青山湖区校级期中）如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）若AF＝2，求CE长． 【答案】（1）证明见解答； （2）4． 【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，点D是AC边的中点， ∴BD垂直平分AC， ∴AB＝CB． ∵EF⊥AB， ∴∠ABC+∠E＝90°． ∵∠E＝30°， ∴∠ABC＝90°﹣∠E＝90°﹣30°＝60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）解：由（1）得，∠A＝60°， ∴在Rt△ADF中，∠ADF＝90°﹣60°＝30°． ∵AF＝2， ∴AD＝2AF＝2×2＝4． ∵在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点， ∴CD＝AD＝4． ∵∠CDE＝∠ADF＝30°，∠E＝30°， ∴∠CDE＝∠E＝30°（等量代换）， ∴CE＝CD＝4（等角对等边）， 即CE的长为4． 题型七 含30°角直角三角形的性质应用 解｜题｜技｜巧 1. 定理应用：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可直接用于线段长度计算，无需额外证明； 2. 逆定理应用：在直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的锐角为30°，可用于角度证明； 3. 构造技巧：遇到30°角、60°角条件时，优先构造直角三角形，利用该性质简化计算。 易｜错｜点｜拨 1. 忽略性质的前提条件是“在直角三角形中”，错误应用于非直角三角形； 2. 混淆30°角所对的直角边，错误将邻边等同于30°角对边，导致计算错误； 3. 逆定理使用时同样需要直角三角形前提，不能直接在任意三角形中应用。 【典例1】（2026春•沈阳期中）如图，在△ABC中，∠C＝60°，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F．若AF＝DF，EF＝1，则BE长为（　　） A． B． C．5 D．4 【答案】C 【解答】解：在△ABC中，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，EF＝1， ∴∠CAD＝∠CBE＝30°， ∴AF＝2EF，BF＝2DF， ∵AF＝DF， ∴AF＝2EF＝2×1＝2＝DF， ∴BF＝2DF＝2×2＝4， ∴BE＝BF+EF＝4+1＝5， 故选：C． 【变式1】（2026春•朝阳区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE、GF分别是AB、AC的垂直平分线，BC＝30cm，则EG＝（　　） A．15cm B．8cm C．7cm D．10cm 【答案】D 【解答】解：连接AE，AG， ∵∠BAC＝120°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C30°， ∵DE，GF分别是AB，AC的垂直平分线， ∴BE＝AE，AG＝CG， ∴∠B＝∠EAB＝30°，∠C＝∠GAC＝30°， ∴∠EAG＝∠BAC﹣∠EAB﹣∠GAC＝120°﹣30°﹣30°＝60°， 在△ABE和△ACG中， ， ∴△ABE≌△ACG（AAS）， ∴AE＝AG， ∵∠EAG＝60°， ∴△AEG是等边三角形， ∴EG＝AE＝AG＝BE＝CG， ∴（cm）， 故选：D． 【变式2】（2026春•龙华区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB，连接AE． （1）证明：∠AEC＝2∠B． （2）若∠BAC＝60°，EC＝3，求BE的长． 【答案】（1）答案见解答过程； （2）6． 【解答】（1）证明：∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴∠EAB＝∠B， ∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝2∠B； （2）解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°， ∴∠B＝180°﹣（∠ACB+∠BAC）＝30°， 由（1）可知∠AEC＝2∠B＝60°， 在Rt△ACE中，∠AEC＝60°， ∴∠CAE＝30°， ∴AE＝2CE＝6， ∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE＝6． 题型八 最短路径模型综合应用（将军饮马模型） 解｜题｜技｜巧 1. 两点一线模型（异侧）：直接连接两点，与直线交点即为所求点，原理是两点之间线段最短； 2. 两点一线模型（同侧）：作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一个点，与直线交点即为所求，原理是轴对称转化+两点之间线段最短； 3. 一点两线模型（角内周长最小）：作点关于两条直线的对称点，连接两个对称点，与两条直线的交点即为所求动点； 4. 两点两线模型（四边形周长最小）：分别作两个点关于两条直线的对称点，连接两个对称点，与两条直线的交点即为所求动点； 5. 造桥选址模型：将其中一个点沿垂直于河岸方向平移桥长距离，连接平移后的点与另一个点，与河岸交点即为桥的一端位置。 易｜错｜点｜拨 1. 混淆对称点的作法，错误选择对称的对象，导致最短路径求解错误； 2. 造桥选址模型中，平移方向错误（未垂直于河岸）或平移距离不等于桥长，导致结果偏差； 3. 忽略最短路径的本质是转化为两点之间线段最短，盲目套用模型而不理解原理。 【典例1】（2026春•郑州期中）有一以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现在要在河上建一座桥梁MN（桥与河岸垂直），使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据轴对称确定最短路线问题，D选项图形符合． 故选：D． 【变式1】（2026春•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是（　　） A．45° B．90° C．75° D．135° 【答案】B 【解答】解：作点D关于BC的对称点D'，作点E关于AC的对称点E'，连接D'E'分别交AC，BC于点M'，N'，连接ME'，ND'，EM'，DN'， 则ME＝ME'，ND＝ND'， ∴四边形DEMN的周长＝DE+ME+MN+ND＝DE+ME'+MN+ND'≥DE+D'E'， ∵DE长固定， ∴点M与M'重合，点N与点N'重合时，四边形DEMN的周长最小，此时∠DNM+∠EMN＝∠DN'M+∠EM'N， 由对称性和三角形外角性质可知：∠DN'M＝∠N'DD'+∠N'D'D＝2∠N'D'D，∠EM'N＝∠M'EE'+∠M'E'E＝2∠M'E'E， ∴∠DN'M+∠EM'N＝2∠N'D'D+2∠M'E'E＝2（180°﹣∠D'DE'）， 设DD'与BC交于点H， ∵AB＝AC，∠A＝90°， ∴∠BDH＝45°， ∴∠D'DE'＝180°﹣45°＝135°， ∴∠DN'M+∠EM'N＝2（180°﹣135°）＝90°， 即当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是90°， 故选：B． 【变式2】（2026春•长春期中）如图，△ABC中，BA＝BC＝5，BD是AC边的中线，点E是BD上的动点，点F是BC边上的动点，若CE+EF的最小值为4.8，则△ABC的面积为（　　） A．12 B．19 C．24 D．48 【答案】A 【解答】解：连接AE，作AH⊥BC，垂足为H，连接AF， ∵BA＝BC， ∴△ABC是等腰三角形， ∵BD是AC边的中线， ∴BD⊥AC，AD＝CD， ∴BD是AC的中垂线， ∴AE＝AC， ∴AH≤AF≤AE+EF＝CE+EF， ∴当A、E、F三点共线，且点F与点H重合时，CE+EF有最小值，最小值为AH的长， ∵CE+EF的最小值为4.8， ∴AH＝4.8， ∴， 故选：A． 【变式3】（2026春•深圳期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（　　） A．2.4 B．3 C．4 D．4.8 【答案】A 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝5， 过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M'，过点M'作M′N′⊥BC于N'， ∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，M'N'⊥BC于N′， ∴M'N'＝M'E， ∴CE＝CM'+M'E＝CM'+M'N'的最小值． ∵∠ACB＝90°， ∴AB•CEBC•AC， 即5CE＝3×4 ∴CE＝2.4． 即CM'+M'N'的最小值为2.4． 故选：A． 【变式4】（2026春•徐州期中）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：如图（2），作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图（3），在直线l上另取不同于点C的任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′． ∵点B、B′关于直线l对称，点C、C′在直线l上， ∴CB＝CB′　 ，C′B＝C′B′　 ， ∴AC+CB＝AC+CB′＝AB′　 ． ∵在△AC′B′中，AB′＜AC′+C′B′， ∴AC+CB ＜AC′+C′B′，即AC+CB最小． 【解决问题】 任务一 请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） 任务二 如图（4），将军从A地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到B处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹） 任务三 如图（5），在P、Q两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥MN，则这座桥MN造在何处可使由P村到Q村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置） 【答案】见解答． 【解答】解：任务一：∵点B、B′关于直线l对称，点C、C′在直线l上， ∴CB＝CB′，C′B＝C′B′， ∴AC+CB＝AC+CB′＝AB′． ∵在△AC′B′中，AB′＜AC′+C′B′， ∴AC+CB＜AC′+C′B′，即AC+CB最小， 故答案为：CB′，C′B′，AB′，AC+CB； 任务二：如图，AC﹣CD﹣BD即为最短路径． 任务三：如图，PM﹣MN﹣NQ即为最短路径． 题型九 等腰三角形的分类讨论 解｜题｜技｜巧 1. 角度未知分类：题目未明确给出等腰三角形的顶角或底角时，需分“已知角是顶角”和“已知角是底角”两种情况讨论，最终需满足三角形内角和为180°； 2. 边长未知分类：题目未明确给出等腰三角形的腰或底边时，需分“已知边是腰”和“已知边是底边”两种情况讨论，最终需满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）； 3. 高的位置分类：题目仅说明等腰三角形腰上的高，未明确高在三角形内部还是外部时，需分“锐角等腰三角形（高在内部）”和“钝角等腰三角形（高在外部）”两种情况讨论。 易｜错｜点｜拨 1. 忽略三角形内角和限制：当已知角为钝角或直角时，只能作为顶角，无需再分情况讨论； 2. 忽略三边关系验证：边长分类讨论后必须验证是否满足三角形三边关系，不符合的情况需舍去； 3. 遗漏高在外部的情况：等腰三角形腰上的高可能落在三角形外部，此时顶角为钝角，该情况极易被忽略。 【典例1】（2026春•福田区校级期中）等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 【答案】C 【解答】解：分两种情况讨论： ①当该等腰三角形的腰长为3时，则底边为7， 此时该该等腰三角形的三边长为：3，3，7， ∵3+3＜7，不满足构成三角形的条件， ∴此种情况不存在； ②当该等腰三角形的腰长为7时，则底边为3， 此时该该等腰三角形的三边长为：7，7，3， ∵3+7＞7，满足构成三角形的条件， ∴该等腰三角形的周长为：7+7+3＝17． 故选：C． 【变式1】（2026春•温江区校级期中）一个等腰三角形形状的装饰品的顶角为40°，则它的底角为（　　） A．40° B．70° C．100° D．100°或70° 【答案】B 【解答】解：∵等腰三角形的装饰品的顶角为40°， ∴等腰三角形的装饰品的底角为：（180°﹣40°）＝70°， 故选：B． 【变式2】（2026春•盐湖区期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则其顶角度数为 　42或138　 °． 【答案】42或138 【解答】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部． 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+48°＝138°； ②如图1，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部， 故顶角是90°﹣48°＝42°． 故答案为：42或138． 【变式3】已知等腰△ABC中．AB＝AC，两腰的垂直平分线交于点P，已知∠BPC＝100°，则等腰三角形的顶角为　50°或130°　 ． 【答案】50°或130° 【解答】解：分两种情况： 当P在△ABC的内部，连接AP，如图1， ∵两腰的垂直平分线交于点P， ∴AP＝BP＝CP， ∴∠CAP＝∠ACP，∠BAP＝∠ABP， ∵∠BAC＝∠BAP+∠CAP，∠BPC＝100°， ∠BAP+∠CAP+∠ACP+∠ABP＝2∠BAC， ∵∠BPC＝100°， ∴∠BPA+∠CPA＝360°﹣100°＝260°， ∵∠BPA+∠CPA+2∠BAC＝360°， ∴∠BAC＝50°； 当P在△ABC的外部，连接AP，如图2， 由题意得：AP＝BP＝CP， ∴∠PAC＝∠PCA，∠PBA＝∠PAB， ∴∠PBA+∠PAB+∠PCA+∠PAC＝2∠BAC， ∵∠PBA+∠PAB+∠PCA+∠PAC+∠BPC＝360°， ∵∠BPC＝100°， ∴2∠BAC＝360°﹣100°＝260°， ∴∠BAC＝130°， 则等腰三角形的顶角为50°或130°， 故答案为：50°或130°． 【变式4】已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BDC是△ADC的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD， ∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠BDC． ∴CD＝CB； （2）①∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠ACB＝90°， 设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α， ∴∠BCD＝2∠CBE； ②∵∠BFD是△CBF的一个外角， ∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α， 分三种情况： 当BD＝BF时， ∴∠BDC＝∠BFD＝3α， ∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴90°﹣α＝3α， ∴α＝22.5°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°； 当DB＝DF时， ∴∠DBE＝∠BFD＝3α， ∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∴90°﹣2α＝3α， ∴α＝18°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°； 当FB＝FD时， ∴∠DBE＝∠BDF， ∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF， ∴不存在FB＝FD， 综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 题型十 等腰三角形的辅助线类型 解｜题｜技｜巧 1. 作“三线合一”辅助线：等腰三角形中遇到底边中点、底边上的高、顶角平分线条件时，优先作底边的高/中线/顶角平分线，利用三线合一性质转化为垂直、中点、角相等关系，简化证明过程； 2. 截长补短法构造全等：题目要求证明线段和差关系（如a+b=c）时，可在长边上截取一段等于短边，或延长短边至等于长边，构造等腰三角形和全等三角形证明； 3. 平移/旋转构造等腰：遇到分散的相等线段条件时，可通过平移或旋转将线段集中到同一个三角形中，构造等腰三角形解决角度或边长计算问题。 易｜错｜点｜拨 1. 三线合一仅适用于等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高，腰上的中线或高不满足该性质，不可随意使用； 2. 截长补短法使用时需明确截取或延长的线段长度，确保构造的三角形满足全等条件，避免逻辑漏洞； 3. 旋转构造时需明确旋转中心和旋转角度，确保旋转后对应边和对应角相等，不要遗漏旋转后的位置验证。 【典例1】（2026春•高陵区期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝14，BC＝DC，∠A＝60°，CE∥AB，交边AD于点E，连接BD，交CE于点F，若CE＝12，则CF的长为（　　） A．6 B．7 C．9 D．10 【答案】D 【解答】解：如图，连接AC交BD于点O， ∵AB＝AD＝14，BC＝DC，∠A＝60°， ∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，∠CAB＝∠CAD∠BAD＝30°， ∴∠ADB＝60°， ∵CE∥AB， ∴∠BAD＝∠DEF＝60°，∠CAB＝∠ACE＝∠CAD＝30°， ∴△DEF是等边三角形，△AEC是等腰三角形， ∴AE＝CE＝12，DE＝EF＝AD﹣AE＝14﹣12＝2， ∴CF＝CE﹣EF＝12﹣2＝10． 故选：D． 【变式1】（2026春•浦东新区校级期中）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D．点A与点E关于直线BC对称，连接BE，CE，延长AD交BE于点F． （1）补全图形； （2）求证：△BDF是等腰三角形； （3）求证：AB+BD＝2AC． 【答案】（1）补全图形见解答过程； （2）证明见解答过程； （3）证明见解答过程． 【解答】（1）解：补全图形如下： （2）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∵AD是∠CAB的平分线， ∴∠CAD＝∠BAD＝22.5°， ∴∠ADC＝∠BDF＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∵点A与点E关于直线BC对称， ∴∠EBC＝∠CBA＝45°， ∴∠ABF＝90°， ∴∠AFB＝90°﹣∠BAD＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴∠BDF＝∠AFB， ∴BF＝BD； ∴△BDF是等腰三角形； （3）证明：过D作DK⊥AB于K，如图： ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠KAD， ∵DK⊥AB， ∴∠AKD＝90°＝∠ACD， 在△ACD和△AKD中， ， ∴△ACD≌△AKD（AAS）， ∴AC＝AK，CD＝DK， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠KBD＝45°， ∴△KBD是等腰直角三角形， ∴BK＝DK， ∴BK＝CD， ∵AB＝AK+BK， ∴AB＝AC+CD， ∴AB+BD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝AC+AC＝2AC． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2026春•二七区期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（　　） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 【答案】C 【解答】解：由题知， 由图①的折叠方式可知， ∠BAD＝∠CAD， 所以AD是△ABC的角平分线． 由图②的折叠方式可知， ∠ADB＝∠ADB′， 又因为∠ADB+∠ADB′＝180°， 所以∠ADB＝∠ADB′＝90°， 即AD⊥BC， 所以AD是△ABC的高线． 由图③的折叠方式可知， CD＝BD， 所以AD是△ABC的中线． 故选：C． 2．（2026春•梁溪区校级期中）如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（　　） A．AD⊥BC B．AC⊥PQ C．∠A＝∠C D．AC∥BD 【答案】A 【解答】解：由题知， 因为△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D， 所以线段AC和线段BD被对称轴PQ垂直平分，∠A＝∠C， 则AC⊥PQ，BQ⊥PQ， 所以AC∥BD， 但是得不到AD与BC是否垂直， 所以只有A选项符合题意． 故选：A． 3．（2026春•宝山区校级期中）已知点P（3，m）和Q（n，4）关于x轴对称，则m+n的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】B 【解答】解：∵点P（3，m）和Q（n，4）关于x轴对称， ∴n＝3，m＝﹣4， ∴m+n＝﹣4+3＝﹣1． 故选：B． 4．（2026春•温江区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为（　　） A．21 B．14 C．13 D．9 【答案】C 【解答】解：∵DE垂直平分线段AB， ∴BD＝AD， ∴△BDC的周长＝BC+DB+CD＝BC+AD+CD＝BC+AC＝8+5＝13． 故选：C． 5．（2026春•化州市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，AC的垂直平分线DE分别交AC，BC于点D，E，则∠BAE的度数为（　　） A．50° B．40° C．60° D．80° 【答案】C 【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝40°， ∴∠B＝∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∵DE垂直平分AC， ∴EA＝EC， ∴∠EAC＝∠C＝40°， ∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝100°﹣40°＝60°， 故选：C． 6．（2026春•龙华区期中）景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形ABC（如图2），若AB＝AC＝26，AD⊥BC于点D，∠ABC＝30°，则AD的长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【解答】解：∵AB＝AC＝26，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABC＝30°， ∴ADAB＝13， 故选：C． 7．（2026春•南山区校级期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　　） A．25° B．20° C．15° D．7.5° 【答案】C 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°． ∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG， ∴∠CGD+∠CDG＝60°． ∵CG＝CD， ∴∠CGD＝∠CDG＝30°． ∵∠CDG＝∠DFE+∠E， ∴∠DFE+∠E＝30°． ∵DF＝DE， ∴∠E＝∠DFE＝15°． 故选：C． 8．（2026春•青羊区校级期中）如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，分别交AB，AC于D，E两点．若AE＝3cm，△BCD的周长为12cm，则△ABC的周长为（　　） A．16cm B．17cm C．18cm D．19cm 【答案】C 【解答】解：由作图知DE垂直平分AC， ∴AD＝CD，CE＝AE＝3cm， ∴AC＝AE+CE＝6cm， ∵△BCD的周长为12cm， ∴AD+BD+BC＝AB+BC＝12cm， ∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝12+6＝18cm， 故选：C． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2026春•海州区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点M是BC上一点，AC＝3，AB＝4，BC＝5，若点M1和点M关于AB对称，点M2和点M关于AC对称．则点M1，M2之间的距离最小值是（　　） A．6 B．2.4 C．4.8 D．4 【答案】C 【解答】解：如图，连接AM，AM1，AM2，M1M2， ∵点M1和点M关于AB对称，点M2和点M关于AC对称， ∴AM＝AM1，AM＝AM2，∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵∠A＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∴A，M1，M2三点共线， ∴M1M2＝AM1+AM2＝2AM， ∴当AM最小时，M1M2最小， ∵点M是BC上一点， ∴AM⊥BC时，AM最小， 此时：S△ABCAC•ABBC•AM， ∴3×4＝5AM， ∴AM＝2.4， ∴M1M2的最小值为2×2.4＝4.8， 故选：C． 2．（2026春•昆都仑区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，点P在边BA的延长线上，PE⊥AC交CA的延长线于点E，点Q在边BC上，CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，结论①AB＝2DE，②DE＝DC，③PD＝DQ，④PQ⊥BC，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：过P作PF∥BC交CA延长线于点F，则∠F＝∠C，∠APF＝∠B， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠C＝∠B＝∠BAC＝60°， ∴∠F＝∠APF＝∠PAF＝60°， ∴△APF是等边三角形，则AP＝PF， ∵CQ＝PA， ∴PF＝CQ， 在△PDF和△QDC中， ， ∴△PDF≌△QDC（AAS）， ∴DF＝CD，PD＝DQ，∠DPF＝∠DQC， ∴DE≠CD， 故选项②错误，不符合题意； 过Q作GQ∥AB交AC于点G， ∴∠CGQ＝∠BAC＝60°， ∴△CGQ是等边三角形， ∴CQ＝GQ， ∴AP＝GQ， ∵GQ∥AB， ∴∠DGQ＝∠PAD，∠ADP＝∠GDQ， ∴△ADP≌△GDQ（ASA）， ∴PD＝DQ， 故选项③正确，符合题意； ∵AC＝AD+CD＝AD+DF＝AD+AD+AF＝2AD+2AE＝2DE， ∴AB＝2DE， 故选项①正确，符合题意； ∵∠DPF不一定是直角， ∴∠DQC不一定是直角， 故选项④错误，不符合题意， 故选：B． 3．（2026春•兰州期中）如图，P是∠BAC内部一点，P关于AB、CD的对称点分别是点P1、点P2，连接P1P2分别与AB，AC交于点M，点N，连接PM，PN，则下列结论： ①若∠BAC＝30°，则△P1P2A是等边三角形； ②△PMN的周长等于线段P1P2的长； ③PA平分∠MPN； ④． 正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解：由题知， ∵P关于AB、CD的对称点分别是点P1、点P2， ∴AP＝AP1＝AP2，∠PAM＝∠P1AM，∠PAN＝∠P2AN， ∴∠P1AP2＝2∠BAC． ∵∠BAC＝30°， ∴∠P1AP2＝60°， ∴△P1P2A是等边三角形． 故①正确； ∵P关于AB、CD的对称点分别是点P1、点P2， ∴MP＝MP1，NP＝NP2， ∴PM+MN+PN＝MP1+MN+NP2＝P1P2， 即△PMN的周长为线段P1P2的长． 故②正确； ∵P关于AB、CD的对称点分别是点P1、点P2， ∴∠MPA＝∠MP1A，∠NPA＝∠NP2A，AP1＝AP2＝AP， ∴∠MP1A＝∠NP2A， ∴∠MPA＝∠NPA， ∴PA平分∠MPN． 故③正确； 由上述过程可知， ∠MPN＝∠MP1A+∠NP2A＝180°﹣∠P1AP2． 又∵∠P1AP2＝2∠BAC， ∴∠MPA+2∠BAC＝180°， 则． 故④正确． 故选：D． 4（2026春•南海区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于点E．当△ADE是等腰三角形时，∠BAD的度数为　30°或15°　 ． 【答案】30°或15°． 【解答】解：AB＝ AC，∠B ＝50°， ∴∠C＝∠B＝50°， ∴∠BAC＝80°， ∵∠ADE ＝ 50°，△ADE是等腰三角形，分情况讨论：①AD ＝ AE时，∠AED ＝∠ADE ＝ 50°， ∴∠DAE＝80°，此时D点与B点重合，不符合题意；②EA＝ ED时，∠EAD＝∠ADE ＝50°， ∴∠BAD＝80﹣50°＝ 30°；③DA＝ DE时，∠DAE＝∠DEA＝65°， ∴∠BAD＝80°﹣65°＝ 15°， 综上，∠BAD的度数为30°或15°． 故答案为：30°或15°． 5．（2026春•静安区校级期中）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（0，2）、B（4，2）、C（3，1）．如果平面内有一点D，使得四边形ACBD关于直线y＝2成轴对称图形，那么满足条件的点D坐标为　（3，3）　 ． 【答案】（3，3）． 【解答】解：由题知， 因为A（0，2）、B（4，2）， 所以点A和点B都在直线y＝2上． 因为四边形ACBD关于直线y＝2成轴对称， 则，xD＝xC＝3， 所以yD＝3， 所以点D坐标为（3，3）． 故答案为：（3，3）． 6．（2026•滕州市校级模拟）如图，等边△ABC中，BD平分∠ABC，点P、Q分别为AB、AD上的点，且QD＝2，BP＝AQ＝3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为　7　 ． 【答案】7． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴BA＝BC， ∵D为AC中点， ∴BD⊥AC， ∵AQ＝3，QD＝2， ∴AD＝DC＝AQ+QD＝5， 如图，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于点E，连接QE， PE+QE＝PE+EQ′， 当点P，E，Q′共线时，PE+EQ的值最小．最小值为PQ′， ∵AQ＝3，AD＝DC＝5， ∴QD＝DQ′＝2， ∴CQ′＝BP＝3， ∴AP＝AQ′＝7， ∵∠A＝60°， ∴△APQ′是等边三角形， ∴PQ′＝PA＝7， ∴PE+QE的最小值为7． 故答案为：7． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2026春•上海期中）【引入概念】引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为一对“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中其中一个是等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”． 【理解概念】： （1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，请写出图中你找到的1对“等角三角形”：　△ABC与△CBD ； （2）如图②，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，请说明CD是△ABC的“巧等线”； 【应用概念】： （3）在△ABC中，若∠A＝40°，CD为△ABC的“巧等线”，请直接写出所有可能的∠B度数． 【答案】（1）△ABC与△CBD，△ACD与△CBD； （2）证明见解答； （3）60°；30°；（）°；（）°． 【解答】解：（1）根据“等角三角形”的定义可知△ABC与△ACD是“等角三角形”； 故答案为：△ABC与△CBD； （2）证明：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°， ∵CD为角平分线， ∴∠ACD＝∠DCB∠ACB＝40°， ∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A， ∴CD＝DA， 在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°， ∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°， ∴∠BDC＝∠ACB， ∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A， ∠B＝∠B， ∴CD为△ABC的巧等线； （3）当△ACD是等腰三角形，如图2， DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝40°， ∴∠ACB＝∠BDC＝40°+40°＝80°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝60°； 当△ACD是等腰三角形，如图3， DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝70°， ∠BCD＝∠A＝40°， ∴∠ACB＝70°+40°＝110°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝30°； 当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在， 当△BCD是等腰三角形，如图4， DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠B（）°， 当△BCD是等腰三角形，如图5， DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD， 设∠BDC＝∠BCD＝x， 则∠B＝180°﹣2x， 则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x， 由题意得，180°﹣2x+40°＝x， 解得x＝（）°， ∴∠B＝180°﹣2x＝（）°， 当△BCD是等腰三角形，CD＝CB的情况不存在， 综上，∠B的度数为60°；30°；（）°；（）°． 2．（2026春•肥城市期中）【探究型问题】 （1）小欣遇到这样一个问题： 如图①，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，E为AB上一点，BE的垂直平分线交AD于点F，交AB于点G，连接EF，FC．求∠EFC的度数． 小欣思考后发现，可以用两种方法解决问题： 方法一：通过运用线段垂直平分线的性质定理和三角形外角的性质定理直接计算可解决问题； 方法二：过点F作FM⊥AC于点M，构造全等三角形可以解决问题． 请你选择以上两种方法中的一种方法完成上述问题． （2）参考小欣思考问题的方法，解决下列问题： 如图②，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为BA延长线上一点，BE的垂直平分线交AD于点F，交AB于点G，连接EF，FC，CE．猜想∠CAD与∠FCE的数量关系，补全图形并加以证明． 【答案】（1）120°； （2）， 猜想∠CAD＝∠FCE． 【解答】解：（1）连接BF并延长交AC于H， ∵FG是BE的垂直平分线， ∴FE＝FB， ∴∠FEB＝∠FBE， ∴∠HFE＝2∠FBE， ∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC， ∴FD是BC的垂直平分线， ∴FB＝FC， ∴∠FBC＝∠FCB， ∴∠HFC＝2∠FBC， ∴∠EFC＝∠HFE+∠HFC＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°； （2）补全图形如图，连接BF，CE， 由（1）可知∠FEB＝∠FCA， ∵∠FEB+∠AME+∠MAE＝180°，∠FCA+∠FMC+∠EFC＝180° ∴∠EAC＝∠EFC ∵∠BAD+∠CAD+∠EAC＝180°，∠FEC+∠FCE+∠EFC＝180°，∠BAD＝∠CAD，∠FEC＝∠FCE ∴∠CAD＝∠FCE． 3．（2025秋•隆回县期中）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． （1）如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，则有 　△BAD ≌　△CAE ． （2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，并连接BE，CD，则∠BOD＝　60　 °． （3）如图3，在两个等腰直角△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，交于点P，请判断BD和CE的关系，并说明理由． 【答案】（1）△BAD，△CAE； （2）60； （3）BD＝CE，BD⊥CE，理由见解析过程． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， 故答案为：△BAD，△CAE； （2）∵△ABD和△ACE是等边三角形， ∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°， ∴∠DAC＝∠BAE， ∴△DAC≌△BAE（SAS）， ∴∠ADC＝∠ABE， ∵∠ADC+∠BDC+∠ABD+∠DAB＝180°，∠ABE+∠BDC+∠ABD+∠DOB＝180°， ∴∠DAB＝∠BOD＝60°， 故答案为：60； （3）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下： ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE， 即∠CAE＝∠BAD， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， ∵∠BPC+∠ABD＝∠BAC+∠ACE， ∴∠BPC＝∠BAC＝90°， ∴BD⊥CE． $ 专题03 轴对称（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 题型02 题型03 题型04 题型05 题型06 题型07 题型08 题型09 题型10 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 轴对称与轴对称图形 能准确区分轴对称图形和两个图形成轴对称，会判断常见图形的对称轴条数，能根据他们的性质解决相应题目 基础必考点，常出现在选择填空题，易错点是混淆对称轴为直线而非线段 线段垂直平分线的性质与判定 能运用垂直平分线性质求线段长度，会证明点在垂直平分线上，会自己画线段的垂直平分线，也能根据作图痕迹判断出垂直平分线从而解决相应的题目 高频考点，常与等腰三角形结合出现在解答题，注意区分性质和判定的条件 坐标系中的轴对称规律 熟练掌握点关于x轴、y轴对称的坐标变化规律，能作出轴对称图形 送分考点，常出现在选择题和作图题，牢记“关于谁对称谁不变，另一个变为相反数”的口诀 等腰三角形的性质与判定 掌握“等边对等角”“等角对等边”和“三线合一”性质，会分类讨论等腰三角形的边长和角度 单元重点，选择、填空、大题均有涉及，易错点是腰和底不明确时漏解，需用三边关系检验 等边三角形的性质与判定 能运用等边三角形的60°角特性解题，掌握三种判定方法 常考考点，多与全等三角形结合出现在解答题，注意“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的快速判定 含30°角的直角三角形性质 能在直角三角形中识别30°角，运用“30°角所对的直角边是斜边的一半”求线段长度 高频易错点，常出现在选择填空和几何计算题，注意前提条件是“在直角三角形中” 最短路径问题 会用轴对称变换解决直线上动点到两定点距离和最小的问题，角内一定点或两定点到角的边上的两动点构成的图形的周长最小问题 压轴题型，常出现在选择填空最后一题或解答题，核心思路是“化折为直”，利用两点之间线段最短求解 知识点01 轴对称与轴对称图形 1. 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 2. 两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 2. 性质：①轴对称图形的对应线段相等、对应角相等； ②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③成轴对称的两个图形是全等形。 ·示例：正方形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；平面镜中人和像的关系就是两个图形成轴对称。 ·易错点：对称轴是直线，不是线段或射线；轴对称图形是单个图形的特性，成轴对称是两个图形的 位置关系；常见图形对称轴条数：角1条、等腰三角形1条、等边三角形3条、正方形4条、圆无数条。 知识点02 线段的垂直平分线 1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 ·示例：已知线段AB，MN是线段AB的垂直平分线，点P在直线MN上，则PA=PB， 3. 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ·示例：已知线段AB，存在一点P，若满足PA=PB，则点P在AB的垂直平分线上。 ·易错点：证明线段的垂直的平分线必须证明两个点到线段的端点距离相等。若只证明一个点，则只能说明在个点在垂直平分线上，不能得到垂直平分线。垂直平分线是直线，不是线段；角平分线是射线，注意两者的区别。 4. 线段垂直平分线的尺规作图： 具体步骤： ①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。如图① ②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。如图②，直线MN即为所作直线。 5. 三角形外心性质：三角形三边的垂直平分线交于一点（外心），该点到三个顶点的距离相等，锐角 三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部。 知识点03 画轴对称图形以及画轴对称图形的对称轴 1. 画轴对称图形的画法步骤： （1） 找特殊点（如顶点、端点）； （2） 画特殊点关于对称轴的对称点（过点作对称轴垂线，截取等长线段得到对称点）； （3） 连接对称点，得到轴对称图形。 2. 轴对称变换性质：由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 ·示例：画△ABC关于直线l的对称图形： 如上图，先分别画出A、B、C三点的对称点A'、B'、C'，再顺次连接A'B'、B'C'、C'A'即可。 ·易错点：画对称点时，对应点到对称轴的距离必须相等，对应点连线与对称轴垂直；作图时需保留作图 痕迹。 3. 画轴对称以及轴对称图形的对称轴： 因为对称轴是任意一组对应点连线的垂直平分线，所以画对称轴时只需按照垂直平分线的画法画出任意一组对应点的垂直平分线。 知识点04 坐标系中的轴对称 1. 关于x轴对称的点的坐标特征： 横坐标不变，纵坐标互为相反数，即点P(x，y)关于x轴的对称点为P'(x，－y)。 2. 关于y轴对称的点的坐标特征： 纵坐标不变，横坐标互为相反数，即点P(x，y)关于y轴的对称点为P'(﹣x，y)。 3. 拓展规律： 关于直线x=a对称的点，纵坐标不变，横坐标满足；关于直线y=b对称的点，横坐标不变， 纵坐标满足。 ·示例：点（3，2）关于x轴的对称点是（3，﹣2），关于y轴的对称点是（﹣3，2），关于直线x=1对称 的点是（﹣1，2），关于直线y=1对称的点是（3，0）。 ·易错点：关于直线对称时注意区分谁变谁不变。 知识点05 等腰三角形 1. 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所 夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。 2. 性质： （1） 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）； （2） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。 ·示例：若△ABC是等腰三角形，则AB=AC，∠B=∠C，AD既是顶角∠A的角平分线，也是底边BC的高 线和中线。即∠ABD＝∠CAD，AD⊥BC，BD＝CD。 3. 判定： （1） 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）； （2） 若一个三角形一边上存在“三线合一”，则该三角形是等腰三角形。 ·示例：在△ABC中 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 ∵∠B＝∠C ∴AB＝AC ∴△ABC是等腰三角形 或∵AD⊥BC且BD＝BC（三线表达其二即可） ∴△ABC是等腰三角形 ·易错点：“三线合一”仅适用于等腰三角形，且是顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，其他 边上的高或中线不具备此性质；分类讨论：当题目中未明确等腰三角形的顶角或底角、腰或底边时，需要分情况讨论，同时满足三角形三边关系。 知识点06 等边三角形 1. 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形，是特殊的等腰三角形。 2. 性质： （1）等边三角形的三边相等，三个内角也相等，并且每一个角都等于60°； （2）等边三角形三边都具有“三线合一”； （3）是轴对称图形，有3条对称轴。 3. 判定： （1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； （4）有两个角是60°的三角形也是等边三角形。 ·示例：若△ABC是等边三角形，则AB=BC=CA，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°。AD既是∠BAC的角平分线， 也是底边BC的高线和中线。即∠ABD＝∠CAD，AD⊥BC，BD＝CD。同理在另两边也成立。 ·易错点：等边三角形的三条高、三条中线、三条角平分线全都相等，且交于一点； 知识点07 含30°角的直角三角形的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边 所对的锐角等于30°。 ·示例：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5，则AB=10。 ·易错点：该性质的前提条件是“在直角三角形中”，锐角为30°，不能在非直角三 角形中使用；需准确识别30°角所对的直角边，避免混淆对应边。 知识点08 最短路径问题（将军饮马模型） 1. 两点一线型（两点在直线的异侧）： 问题 如图，直线两侧有点A与点B，在直线l上找一点p，使PA＋PB最小。 作法 如图，连接AB，AB与直线l的交点即为点P。 结论 PA＋PB最小 原理及证明 两点之间，线段最短 2. 两点一线型（两点在直线的同侧）： 问题 如图：直线同侧有点P与点Q，在直线l上找一点M，使MP＋MQ最小。 作法 如图，作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段与直线的交点即为要找的点M。即作点P关于直线l的对称点p’。连接P’ Q，P’ Q与直线l交于即为点M。 结论 MP＋MQ最小 原理及证明 ∵P与P’关于直线l对称 ∴直线l是PP’的垂直平分线 ∴MP＝MP’ ∴MP＋MQ＝MP’＋MQ＝P’ Q。 ∴MP＋MQ此时有最小值，为P’ Q的长度 3. 一点两线型： 问题 如图，已知∠MON以及角内一点P，角的两边OM与ON上存在点A与点B，使得△PAB的周长最小。 作法 如图，分别作点P关于OM与ON的对称点P’与P’’，连接P’ P’’。P’ P’’与OM、ON的交点A与B即为要找到的点 结论 △PAB的周长最小 原理及证明 ∵P与P’关于OM对称，P与P’’关于ON对称 ∴OM是PP’的垂直平分线，ON是PP’’的垂直平分线。 ∴AP＝AP’，BP＝BP’’ ∴＝AP’＋AB＋BP’’＝P’P’’ ∴△PAB的周长最小。 4. 两点两线型： 问题 如图，已知∠AOB以及角内两点点P与点Q，角的两边上分别存在M、N使得四边形PQMN的周长最小。 作法 如图，分别作点关于较近直线的对称点，连接两个对称点的线段与边OA与OB相交与点M与点N，此时点M与点N即为要找的点。即作点Q关于OA的对称点D，点P关于OB的对称点C，连接DC，DC与OA交于点M，与OB交于点N，连接QM，MN，PN，PQ。 结论 四边形PQMN的周长最小 原理及证明 ∵Q与D关于OA对称，P与C关于OB对称 ∴OA是QD的垂直平分线，OB是PC的垂直平分线。 ∴MD＝MQ，NP＝NC。 ＝PQ＋MD＋MN＋NC ＝PQ＋DC。 ∴四边形PQMN的周长最小。 ·易错点：需明确对称点的作法，确保对称点到对称轴的距离与原点相等；多线段最短路径问题可多次使 用对称转化为线段长度求解。 题型一 轴对称与轴对称图形的概念辨析及其性质应用 解｜题｜技｜巧 1. 轴对称图形判断核心：单个图形沿直线折叠后直线两侧完全重合，重点关注对称轴为直线而非线段； 2. 成轴对称判断核心：两个图形的位置关系，对应点连线被同一直线垂直平分； 易｜错｜点｜拨 1. 混淆“轴对称图形”（单个图形属性）和“成轴对称”（两个图形位置关系）； 2. 误将对称轴认为是线段/射线，忽略其直线属性； 【典例1】（2026春•相城区期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2026春•武进区校级期中）如图，弹性小球从点D出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到长方形的边时，落脚点为I；第2次碰到长方形的边时落脚点为E1；如此运动下去，则第2026次落脚点为（　　） A．D B．E1 C．I D．V 【变式2】（2026春•江阴市期中）如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法中不一定正确的是（　　） A．∠ABC＝∠A′B′C′ B．AB∥A′B′ C．AA′⊥MN D．BO＝B′O 【变式3】（2026春•南山区期中）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平使A与A'重合，若∠A＝35°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．70° B．75° C．105° D．35° 题型二 线段垂直平分线的性质与判定应用 解｜题｜技｜巧 1. 性质应用：题目中出现垂直平分线条件时，优先推导“线段两端点到垂直平分线上任意点距离相等”，转化为等腰三角形问题，也是做辅助线的依据； 2. 判定证明：证明某条直线是线段垂直平分线，需证明至少两个点到线段两端点距离相等，两点确定一条直线； 易｜错｜点｜拨 1. 仅证明一个点到线段两端点距离相等，不能直接得到垂直平分线，只能说明该点在垂直平分线上； 2. 混淆垂直平分线（直线）和角平分线（射线）的性质，前者到线段两端点距离相等，后者到角两边距离相等； 【典例1】（2026春•宝安区期中）游戏时，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【变式1】（2026春•禅城区校级期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OA，OB，OC． （1）若△ADE的周长为8cm，线段BC的长为　 ； （2）判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由； （3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数． 题型三 坐标系中的轴对称变换 解｜题｜技｜巧 1. 坐标变换规律：关于x轴对称“横不变，纵相反”；关于y轴对称“纵不变，横相反”； 2. 直线对称换算：关于直线x=a对称，纵坐标不变，横坐标满足；关于直线y=b对称，横坐标不变，纵坐标满足； 3. 图形对称作图：先找到图形所有顶点的对称点，再顺次连接对称点得到对称图形。 易｜错｜点｜拨 1. 混淆x轴和y轴对称的坐标变化规律，导致坐标符号错误； 2. 直线对称换算时，错误计算对称点坐标，忽略“中点在对称轴上”的核心条件； 3. 作图时遗漏特殊点（如端点、拐点）的对称点，导致图形变形。 【典例1】（2026春•裕华区校级期中）若在平面直角坐标系中，点A（1﹣2m，9+m）与点B（﹣5，7）关于y轴对称，则m的值是（　　） A．﹣16 B．16 C．2 D．﹣2 【变式1】（2026春•金山区期中）在平面直角坐标系中，已知点P（a﹣1，5）和点Q（2，b﹣1）为关于x轴对称，则（a+b）2025＝　 　 ． 【变式2】（2026春•长宁区校级期中）在直角坐标平面内，已知点M（a，3），如果该点关于直线x＝3的对称点M的坐标为（5，3），那么a的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 题型四 轴对称作图综合应用 解｜题｜技｜巧 1. 画对称轴：找到任意一组对应点，作对应点连线的垂直平分线，即为对称轴； 2. 画对称图形：①找特殊点（顶点、端点、拐点）；②作各特殊点关于对称轴的对称点；③顺次连接对称点得到对称图形； 3. 尺规作图：作线段垂直平分线、角平分线等需保留作图痕迹，不得省略圆弧标记。 易｜错｜点｜拨 1. 作图时遗漏特殊点的对称点，导致图形变形或不完整； 2. 作对称点时，错误判断对称点到对称轴的距离，导致对称点位置偏差； 3. 尺规作图时未保留作图痕迹，被判定为无效作答。 【典例1】（2026春•龙岗区期中）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线MN与AC，BC分别相交于点E和点D，连接AD，若AB＝3cm，BC＝6cm，则△ABD的周长是（　　） A．6cm B．7.5cm C．9cm D．12cm 【变式1】（2026春•上海期中）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2； （3）求出△ABC的面积． 【变式2】（2026春•江都区期中）如图，已知点P为△ABC边AC上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线： （1）如图①，作一条直线l，使得点B关于l的对称点为P． （2）如图②，作一条过点C的直线m，使得点P关于m的对称点落在BC上．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式3】（2026春•龙华区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 题型五 等腰三角形性质与判定综合应用 解｜题｜技｜巧 1. 等边对等角应用：已知等腰三角形边长或角度时，优先推导底角相等，结合三角形内角和计算未知角度； 2. 三线合一应用：等腰三角形中遇到高、中线、角平分线条件时，优先考虑三线合一性质，转化为垂直、中点、角相等关系； 3. 等角对等边判定：证明三角形是等腰三角形时，优先证明两个角相等，简化证明过程； 易｜错｜点｜拨 1. 忽略“三线合一”仅适用于等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高，错误应用于其他边的中线或高； 2. 分类讨论时遗漏三边关系验证，导致出现无效解（如两边之和小于第三边）； 3. 误将“两边相等”直接等同于等腰三角形，忽略三角形存在的前提条件。 【典例1】（2026春•迎泽区校级期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”就能三等分角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠CDE＝80°，则∠BDE的度数是（　　） A．60° B．65° C．75° D．80° 【变式1】（2026春•西安期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F，G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 【变式2】（2026春•南海区校级期中）在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H． （1）求证：△APF是等腰三角形； （2）猜想AB与PC的大小有什么关系？并说明理由． 【变式3】（2026春•惠来县期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒． （1）出发2秒后，求△ABP的周长． （2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？ （3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？ 题型六 等边三角形性质与判定综合应用 解｜题｜技｜巧 1. 性质应用：等边三角形三边相等、三角均为60°，三边均满足三线合一，可直接推导角度和线段相等关系； 2. 判定技巧：优先使用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”快速判定，简化证明步骤； 3. 综合应用：常与全等三角形结合，通过等边三角形的边、角相等条件构造全等三角形，证明线段或角度关系。 易｜错｜点｜拨 1. 混淆等边三角形与等腰三角形的关系，忽略等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质； 2. 判定等边三角形时，仅证明两个角为60°即完成判定，无需额外证明边相等； 3. 等边三角形的三条高、中线、角平分线均相等，容易误判为只有三条对称轴而忽略其他性质。 【典例1】（2026春•无锡期中）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为21，则PD+PE+PF等于（　　） A．21 B．9 C．7 D．条件不够，不能确定 【变式1】（2026春•重庆期中）为了丰富数学学习方法，老师带领学生们在综合实践活动课上学习了问题解决策略：特殊化．内容为：点P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P向等边三角形作垂线，垂足分别为D，E，F．其中，已知AB长度为2，请同学们从特殊情形入手，探索AF+BD+CE的长度为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【变式2】（2026春•紫金县期中）如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作等边三角形ADE，DE与AC交于点F． （1）试判断DF与EF的数量关系，并给出证明． （2）若CF的长为4cm，试求等边三角形ABC的边长． 【变式3】（2026春•青山湖区校级期中）如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）若AF＝2，求CE长． 题型七 含30°角直角三角形的性质应用 解｜题｜技｜巧 1. 定理应用：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可直接用于线段长度计算，无需额外证明； 2. 逆定理应用：在直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的锐角为30°，可用于角度证明； 3. 构造技巧：遇到30°角、60°角条件时，优先构造直角三角形，利用该性质简化计算。 易｜错｜点｜拨 1. 忽略性质的前提条件是“在直角三角形中”，错误应用于非直角三角形； 2. 混淆30°角所对的直角边，错误将邻边等同于30°角对边，导致计算错误； 3. 逆定理使用时同样需要直角三角形前提，不能直接在任意三角形中应用。 【典例1】（2026春•沈阳期中）如图，在△ABC中，∠C＝60°，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F．若AF＝DF，EF＝1，则BE长为（　　） 【典例1】 【变式1】 A． B． C．5 D．4 【变式1】（2026春•朝阳区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE、GF分别是AB、AC的垂直平分线，BC＝30cm，则EG＝（　　） A．15cm B．8cm C．7cm D．10cm 【变式2】（2026春•龙华区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB，连接AE． （1）证明：∠AEC＝2∠B． （2）若∠BAC＝60°，EC＝3，求BE的长． 题型八 最短路径模型综合应用（将军饮马模型） 解｜题｜技｜巧 1. 两点一线模型（异侧）：直接连接两点，与直线交点即为所求点，原理是两点之间线段最短； 2. 两点一线模型（同侧）：作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一个点，与直线交点即为所求，原理是轴对称转化+两点之间线段最短； 3. 一点两线模型（角内周长最小）：作点关于两条直线的对称点，连接两个对称点，与两条直线的交点即为所求动点； 4. 两点两线模型（四边形周长最小）：分别作两个点关于两条直线的对称点，连接两个对称点，与两条直线的交点即为所求动点； 5. 造桥选址模型：将其中一个点沿垂直于河岸方向平移桥长距离，连接平移后的点与另一个点，与河岸交点即为桥的一端位置。 易｜错｜点｜拨 1. 混淆对称点的作法，错误选择对称的对象，导致最短路径求解错误； 2. 造桥选址模型中，平移方向错误（未垂直于河岸）或平移距离不等于桥长，导致结果偏差； 3. 忽略最短路径的本质是转化为两点之间线段最短，盲目套用模型而不理解原理。 【典例1】（2026春•郑州期中）有一以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现在要在河上建一座桥梁MN（桥与河岸垂直），使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2026春•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是（　　） A．45° B．90° C．75° D．135° 【变式2】（2026春•长春期中）如图，△ABC中，BA＝BC＝5，BD是AC边的中线，点E是BD上的动点，点F是BC边上的动点，若CE+EF的最小值为4.8，则△ABC的面积为（　　） A．12 B．19 C．24 D．48 【变式3】（2026春•深圳期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（　　） A．2.4 B．3 C．4 D．4.8 【变式4】（2026春•徐州期中）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：如图（2），作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图（3），在直线l上另取不同于点C的任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′． ∵点B、B′关于直线l对称，点C、C′在直线l上， ∴CB＝ 　 ，C′B＝ 　 ， ∴AC+CB＝AC+CB′＝ 　 ． ∵在△AC′B′中，AB′＜AC′+C′B′， ∴ ＜AC′+C′B′，即AC+CB最小． 【解决问题】 任务一 请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） 任务二 如图（4），将军从A地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到B处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹） 任务三 如图（5），在P、Q两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥MN，则这座桥MN造在何处可使由P村到Q村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置） 题型九 等腰三角形的分类讨论 解｜题｜技｜巧 1. 角度未知分类：题目未明确给出等腰三角形的顶角或底角时，需分“已知角是顶角”和“已知角是底角”两种情况讨论，最终需满足三角形内角和为180°； 2. 边长未知分类：题目未明确给出等腰三角形的腰或底边时，需分“已知边是腰”和“已知边是底边”两种情况讨论，最终需满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）； 3. 高的位置分类：题目仅说明等腰三角形腰上的高，未明确高在三角形内部还是外部时，需分“锐角等腰三角形（高在内部）”和“钝角等腰三角形（高在外部）”两种情况讨论。 易｜错｜点｜拨 1. 忽略三角形内角和限制：当已知角为钝角或直角时，只能作为顶角，无需再分情况讨论； 2. 忽略三边关系验证：边长分类讨论后必须验证是否满足三角形三边关系，不符合的情况需舍去； 3. 遗漏高在外部的情况：等腰三角形腰上的高可能落在三角形外部，此时顶角为钝角，该情况极易被忽略。 【典例1】（2026春•福田区校级期中）等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 【变式1】（2026春•温江区校级期中）一个等腰三角形形状的装饰品的顶角为40°，则它的底角为（　　） A．40° B．70° C．100° D．100°或70° 【变式2】（2026春•盐湖区期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则其顶角度数为 　 　 °． 【变式3】已知等腰△ABC中．AB＝AC，两腰的垂直平分线交于点P，已知∠BPC＝100°，则等腰三角形的顶角为　 　 ． 【变式4】已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 题型十 等腰三角形的辅助线类型 解｜题｜技｜巧 1. 作“三线合一”辅助线：等腰三角形中遇到底边中点、底边上的高、顶角平分线条件时，优先作底边的高/中线/顶角平分线，利用三线合一性质转化为垂直、中点、角相等关系，简化证明过程； 2. 截长补短法构造全等：题目要求证明线段和差关系（如a+b=c）时，可在长边上截取一段等于短边，或延长短边至等于长边，构造等腰三角形和全等三角形证明； 3. 平移/旋转构造等腰：遇到分散的相等线段条件时，可通过平移或旋转将线段集中到同一个三角形中，构造等腰三角形解决角度或边长计算问题。 易｜错｜点｜拨 1. 三线合一仅适用于等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高，腰上的中线或高不满足该性质，不可随意使用； 2. 截长补短法使用时需明确截取或延长的线段长度，确保构造的三角形满足全等条件，避免逻辑漏洞； 3. 旋转构造时需明确旋转中心和旋转角度，确保旋转后对应边和对应角相等，不要遗漏旋转后的位置验证。 【典例1】（2026春•高陵区期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝14，BC＝DC，∠A＝60°，CE∥AB，交边AD于点E，连接BD，交CE于点F，若CE＝12，则CF的长为（　　） A．6 B．7 C．9 D．10 【变式1】（2026春•浦东新区校级期中）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D．点A与点E关于直线BC对称，连接BE，CE，延长AD交BE于点F． （1）补全图形； （2）求证：△BDF是等腰三角形； （3）求证：AB+BD＝2AC． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2026春•二七区期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（　　） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 2．（2026春•梁溪区校级期中）如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（　　） A．AD⊥BC B．AC⊥PQ C．∠A＝∠C D．AC∥BD 3．（2026春•宝山区校级期中）已知点P（3，m）和Q（n，4）关于x轴对称，则m+n的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 4．（2026春•温江区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为（　　） A．21 B．14 C．13 D．9 5．（2026春•化州市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，AC的垂直平分线DE分别交AC，BC于点D，E，则∠BAE的度数为（　　） A．50° B．40° C．60° D．80° 6．（2026春•龙华区期中）景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形ABC（如图2），若AB＝AC＝26，AD⊥BC于点D，∠ABC＝30°，则AD的长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 7．（2026春•南山区校级期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　　） A．25° B．20° C．15° D．7.5° 8．（2026春•青羊区校级期中）如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，分别交AB，AC于D，E两点．若AE＝3cm，△BCD的周长为12cm，则△ABC的周长为（　　） A．16cm B．17cm C．18cm D．19cm 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2026春•海州区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点M是BC上一点，AC＝3，AB＝4，BC＝5，若点M1和点M关于AB对称，点M2和点M关于AC对称．则点M1，M2之间的距离最小值是（　　） A．6 B．2.4 C．4.8 D．4 2．（2026春•昆都仑区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，点P在边BA的延长线上，PE⊥AC交CA的延长线于点E，点Q在边BC上，CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，结论①AB＝2DE，②DE＝DC，③PD＝DQ，④PQ⊥BC，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2026春•兰州期中）如图，P是∠BAC内部一点，P关于AB、CD的对称点分别是点P1、点P2，连接P1P2分别与AB，AC交于点M，点N，连接PM，PN，则下列结论： ①若∠BAC＝30°，则△P1P2A是等边三角形； ②△PMN的周长等于线段P1P2的长； ③PA平分∠MPN； ④． 正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 4（2026春•南海区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于点E．当△ADE是等腰三角形时，∠BAD的度数为　 　 ． 5．（2026春•静安区校级期中）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（0，2）、B（4，2）、C（3，1）．如果平面内有一点D，使得四边形ACBD关于直线y＝2成轴对称图形，那么满足条件的点D坐标为　 　 ． 6．（2026•滕州市校级模拟）如图，等边△ABC中，BD平分∠ABC，点P、Q分别为AB、AD上的点，且QD＝2，BP＝AQ＝3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为　 　 ． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2026春•上海期中）【引入概念】引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为一对“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中其中一个是等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”． 【理解概念】： （1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，请写出图中你找到的1对“等角三角形”：　 ； （2）如图②，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，请说明CD是△ABC的“巧等线”； 【应用概念】： （3）在△ABC中，若∠A＝40°，CD为△ABC的“巧等线”，请直接写出所有可能的∠B度数． 2．（2026春•肥城市期中）【探究型问题】 （1）小欣遇到这样一个问题： 如图①，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，E为AB上一点，BE的垂直平分线交AD于点F，交AB于点G，连接EF，FC．求∠EFC的度数． 小欣思考后发现，可以用两种方法解决问题： 方法一：通过运用线段垂直平分线的性质定理和三角形外角的性质定理直接计算可解决问题； 方法二：过点F作FM⊥AC于点M，构造全等三角形可以解决问题． 请你选择以上两种方法中的一种方法完成上述问题． （2）参考小欣思考问题的方法，解决下列问题： 如图②，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为BA延长线上一点，BE的垂直平分线交AD于点F，交AB于点G，连接EF，FC，CE．猜想∠CAD与∠FCE的数量关系，补全图形并加以证明． 3．（2025秋•隆回县期中）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． （1）如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，则有 　 ． （2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，并连接BE，CD，则∠BOD＝　 　 °． （3）如图3，在两个等腰直角△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，交于点P，请判断BD和CE的关系，并说明理由． 1/3 学科网（北京）股份有限公司 $