专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 ·2026--2027学年人教版八年级数学上册

专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （三角形+全等三角形+轴对称）·2026人教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练掌握等腰、等边三角形性质与判定，能解决角度与线段压轴计算 · 灵活选用全等三角形五种判定方法处理复杂几何证明与动点问题 · 综合运用角平分线、线段垂直平分线性质解决多结论判断题 · 掌握轴对称最短路径与折叠问题的转化方法 · 突破三角形、全等、轴对称跨章综合压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.等腰与等边三角形 等腰三角形等边对等角、三线合一，分类讨论腰与底 等边三角形三边相等、三角60°，是特殊的等腰三角形 含30°角的直角三角形中，30°对的直角边等于斜边一半 见到等腰三角形常作底边上的高，利用三线合一构造直角三角形 概念辨析例题：等腰三角形一内角为80°，求另外两角。 答案：另外两角为80°、20°或50°、50° 解析：若80°为顶角，底角各为(180-80)/2=50°；若80°为底角，另一底角80°，顶角20°。 ☆ 2.全等三角形 判定：SSS、SAS、ASA、AAS，直角三角形另有HL 全等对应边相等、对应角相等，是证线段角相等的主要工具 复杂综合题中常通过二次全等或倍长中线、截长补短构造全等 注意SAS的角必须是夹角，SSA不能判定全等 概念辨析例题：AB=AC，AD平分∠BAC，求证BD=CD。 答案：由SAS证△ABD≌△ACD，得BD=CD 解析：AD平分∠BAC得∠BAD=∠CAD，AB=AC，AD公共，由SAS得两三角形全等，对应边BD=CD。 ☆ 3.角平分线与线段垂直平分线 角平分线上的点到角两边距离相等，常向两边作垂线 线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，常连接端点 三角形三条角平分线交于内心，三边垂直平分线交于外心 角平分线+平行线常推出等腰三角形 概念辨析例题：OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PC=4，求P到OB距离。 答案：P到OB距离为4 解析：由角平分线性质，P到角两边距离相等，故P到OB距离等于PC=4。 ☆ 4.轴对称与折叠 轴对称图形沿对称轴折叠后对应边、对应角相等 关于坐标轴对称的点：横同纵反（x轴），横反纵同（y轴） 最短路径（将军饮马）作对称点化折线为两点间线段 折叠问题抓折叠前后对应边、对应角相等 概念辨析例题：等边△ABC边长为2，D为BC中点，E在AC上，求AD+DE最小值。 答案：AD+DE最小值为 解析：作D关于AC的对称点D'，连AD'交AC于E，此时AD+DE=AD'最短。等边三角形中AD为高=，由对称性AD'=AD=。 📋 知识总结表 核心模型 方法要点 注意事项 等腰三线合一 作底边高得直角三角形 分类讨论后检验三边 全等判定 先找公共边角再选判定 SSA不能判定 角平分线 向两边作垂线 面积法常用 垂直平分线 连接端点得等线段 注意外心位置 将军饮马 作对称点化折为直 两点之间线段最短 折叠问题 对应边对应角相等 常结合平行线角度 ⚠️ 核心考点 【考点1】等腰、等边三角形的性质与判定（第1-17题） · 等边对等角求角度，三线合一作高构造直角三角形 · 等边三角形结合含30°直角三角形求线段 · 等腰与全等综合时，先由等腰得等角再证全等 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（24-25八年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，C、D、E三点在同一直线上，连接，以下四个结论：①；②；③；④平分．其中正确的是（　　）． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，和是等边三角形，，连接、，交于点D．有以下结论：①；②连接，；③连接，；④连接，平分；⑤连接，．其中正确的结论个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，与都是等边三角形，点，，在同一条直线上，与相交于点，与相交于点，与相交于点．连接、．给出下列个结论：①；②；③；④；⑤平分．其中正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，为射线上一动点（不与点重合），点在射线上，且．点运动的过程中，当取最小值时，的度数是_______． 6．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，在中，，为上一点，且为等边三角形，．点是边上的一个动点，连结，以为边在左侧作一个等边，连结．在整个运动过程中，的最小值是______． 7．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在等腰中，，点E为上一点，点H为上一点，连接和交于点F，．连接，若平分，则______，在此条件下，延长到点D，连接，使，此时若，，则______． 8．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，点为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，交于点，若，则的度数为________． 9．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的选项有________（填序号）． 10．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在等腰中，，在上取一点D，连接，使，延长至点E，连接使，延长交于点F，的角平分线交于点G，点M、N分别为、上的动点，连接、、，当面积是8时，周长的最小值为________． 11．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图1，等边的边长为，点、分别是等边的边、上的动点，点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的速度都为． (1)连接、交于点，则在点、运动的过程中，求出的度数； (2)求运动时间为多少秒时，是直角三角形？ (3)如图2，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则的度数是否变化？若变化，请说明理由，若不变，则直接写出它的度数． 12．（20-21八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，，点在上，连接，过作于，． (1)求的度数； (2)连接，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 13．（24-25八年级上·北京·期中）在中，，，D点是边上一点，E为边上一点，连接，． (1)如图1，，点D为中点，，，直接写出的长； (2)如图2，，，，连接交于点F，延长至P，使得，连接， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点E为定点，，连接，点M为线段上的一个动点，且满足，当取得最小值时，直接写出的值（用和表示）． 14．（25-26八年级上·新疆·期中）如图，点在线段上，分别以线段，为边作和，．，． (1)如图①，若，写一个未知角的度数：___________； (2)如图②，连接，交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，求证：线段为的平分线． 15．（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，，点B，E，D在同一条直线上，连接． (1)如图1，若，，求证：是等边三角形； (2)在（1）的条件下，猜想线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，若是钝角，交于点F，，垂足为E，，，，求的面积． 16．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）【问题提出】 如图①，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】 经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接，经过推理可知，…； （1）由已知和作图得到的理由是______． A．边边边    B．边角边    C．角边角    D．斜边直角边 （2）的取值范围为______． 【问题应用】 （3）如图②，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：． 【问题拓展】 （4）如图③，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则的面积为______．    17．（25-26八年级上·福建泉州·期中）（综合与实践） 【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，是的中点，平分，试判断之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长、的相交于点，构造和等腰三角形BCF（由即可判断） 【问题解决】（1）按照小颖的方法，之间的数量关系是_________； 【自主探究】（2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，试说明：． 【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，点在上且满足，请求出的长． 【考点2】全等三角形判定与性质综合（第18-30题） · 多结论判断题逐项证全等，注意二次全等 · 动点问题抓不变量，用全等表示线段列方程 · 坐标几何中用ASA/AAS证明，结合坐标计算 18．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，中，是中点，点在的延长线上，过点作的垂线与的平分线交于点，与交于点，，垂足是．下列说法正确的是（     ） A． B．是的垂直平分线 C．当时， D． 19．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，是的高，平分交于点E，过点B作，垂足为点F，并交于点G．若，则下列结论中：①；②；③；④．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 20．（24-25八年级上·重庆綦江·期中）如图，在中，，两条角平分线相交于点O，下列结论： ①；②连接，则平分；③；④；⑤与的面积之和等于的面积．其中正确的结论有（      ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 21．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图， 中，的角平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点 ， 于点． 若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知点在同一直线上，和都是等边三角形．交于点，交于点、交于点．①；②；③是等边三角形；④连接，则平分，以上结论正确的有（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 23．（26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）已知，，，其中，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的倍； ②当、两点同时到达点时，； ③若，，时，； ④若与全等，则或． 以上选项，正确的是________ 24．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，等腰中，，，，点为中点，如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动．当与全等时，点Q的运动速度为____． 25．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒．当________秒时，与全等． 26．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，在中，，平分交于点，点在边上，连接，，如果，，那么_____． 27．（23-24八年级上·河南濮阳·期中）如图，在中，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，点Q在线段上由C点向A点运动．若发现与恰好全等，则点Q运动速度可能为________ 28．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 29．（24-25八年级上·广西南宁·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，，点为轴负半轴上一点，过点作交轴于点． (1)如图1，若点的坐标为，求点的坐标； (2)如图2，若点在轴负半轴上运动，且，其它条件不变，连接，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，试探索线段，，的数量关系，并证明． 30．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点H是正方形对角线延长线上一点，，，射线交于点G，交延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 【考点3】角平分线与三角形内角和、外角（第31-38题） · 双角平分线模型：两内角平分线夹角=90°+顶角一半 · 内外角平分线夹角=90°-顶角一半 · 角平分线+外角结合列角度方程 31．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，的平分线与外角的平分线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C．25° D． 32．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，和是的外角，和分别是和的平分线，反向延长和交于点．若，则的度数为（   ） A．60° B．55° C．50° D．45° 33．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，中，，若恰好经过点B，交于D，则的度数为（   ） A． B． C． D． 34．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，于点D，点F是边的中点，平分分别交于点G、点E，连接BF．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有__________． 35．（24-25七年级下·吉林长春·期末）将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则________度． 36．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，点分别在上，点为平面内一点，连接．当点在上方时，且． (1)如图，求证：； (2)如图，过点作直线交直线于，且与互补，的平分线与直线交于点，请你判断与的位置关系，并说明理由； (3)在（）的条件下，连接，交于点，连接，，，，求的度数． 37．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，A，B分别是两边，上的动点（均不与点O重合）．    (1)如图1，当时，的外角，的平分线交于点C，则______； (2)如图2，当时，，的平分线交于点D，则______（用含n的式子表示）； (3)如图3，当（α为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．随着点A，B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由． 38．（23-24七年级下·四川乐山·期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理可知“对顶三角形”有如下性质∶．    (1)性质理解：如图1，在“对顶三角形”与中，若，则 ； (2)性质应用∶ ①如图2，则 ； ②如图3，在中，分别平分和，若，比大，求的度数； (3)拓展提高：如图4，是的角平分线，和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用含α的式子表示）． 【考点4】线段垂直平分线与轴对称最短路径（第39-43题） · 垂直平分线上的点连端点得等腰三角形 · 最短路径作对称点，化折线为直线距离 · 坐标轴对称问题按坐标变化规律求点坐标 39．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图所示，点为内一点，分别作出点关于、的对称点，，连接交于，交于，若，则（   ） A． B． C． D． 40．（25-26八年级上·北京·阶段检测）如图，，点，分别是射线，上的两个定点，点，分别是射线，上的两个动点，当最小时，的大小是（   ）． A． B． C． D． 41．（25-26七年级下·陕西·期末）在中，的垂直平分线与交于点，连接，点在上，且，若，，则________． 42．（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）如图，，D为的垂直平分线上一点，且，，则_____．    43．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，点是边上的一点，连结，垂直平分，垂足为，交于点．连结． (1)若的周长为，的周长为，求的长． (2)若，，求的度数． 【考点5】折叠问题综合（第44-49题） · 折叠前后对应边、对应角相等 · 折叠+平行线推出角度等量关系 · 折叠后形成等腰三角形时抓等角对等边 44．（2024·河北石家庄·二模）我们知道平行四边形有很多性质．如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，那么会发现这其中还有更多的结论． 题目：在中，已知，，将沿翻折至，连接．当长为多少时，是直角三角形？ 对于其答案，甲答：；乙答：；丙答：．则下列结论正确的是（   ）    A．甲、丙答案合在一起才完整 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起也不完整 45．（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，将一条长方形纸带进行两次折叠，第一次沿着折叠，第二次沿着折叠，使得，若的度数为，则的度数为____________（用含的代数式表示）． 46．（25-26八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，，是线段上的一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为________． 47．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为___________度．    48．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在三角形纸片中，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与，分别相交于点、，当为等腰三角形时，的度数为________． 49．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）如图，等边，点为边的中点，为射线上一动点，连接，将沿翻折，得到．当所在直线与的边垂直时，则___________． 【考点6】三角形三边关系、高与中线面积（第50-52题） · 三边关系确定第三边范围，求整数解 · 中线平分三角形面积，高结合面积公式求线段 · 尺规作图题按步骤保留作图痕迹并证明 50．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点F．当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 51．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在三角形纸板中，．将纸板沿射线方向平移得到，与交于点K．有下列结论：①；②；③若，则；④当，时，四边形的面积为64．其中正确的有______．（填序号） 52．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，． (1)基本作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图形中，求证：．请完成下面的证明过程： 证明：平分， ________， 在与中 ，________， ，且 ________， ________， 💯 课后巩固 复习建议 · 等腰三角形问题先分类讨论腰与底，求出后用三边关系检验 · 全等证明先找公共边、公共角、对顶角，再选最直接的判定 · 多结论判断题逐项排除，注意反例构造 · 最短路径与折叠问题先作对称点或找对应边，再列式 · 跨章压轴题拆成小模型，逐步转化为基本定理 【作业1】．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，在等腰和等腰中，大于，顶角与顶角均为，，交于点，连接．有下列结论：①；②；③点在的平分线上；④平分． 其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【作业2】．（24-25七年级下·全国·周测）如图，在和中，点E，F在BC上，，．添加下列条件仍无法证明的是（    ） A． B． C． D． 【作业3】．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，外角的平分线与内角的平分线交于点P，若，请你求出（　　） A． B． C． D． 【作业4】．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，中，，如果和分别垂直平分和，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【作业5】．（2026·山西运城·一模）科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图，两个平面镜的夹角，一束平行于的光线从点A出发，射向平面镜，经过几次反射后，光线回到点A，则反射的次数为（　　） A．2次 B．3次 C．4次 D．5次 【作业6】．（2026·安徽马鞍山·三模）已知三边长分别为，，，（，，为正整数），且． （1）若则______． （2）若从，，，，，，，这个数中取个不同的数，且这个数中，总存在三个不同的数作为，，的值，则的最小值＝______． 【作业7】．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，的角平分线交的角平分线的反向延长线于点P，直线交于点N，若，则____________° 【作业8】．（22-23八年级上·河南开封·期末）如图，等边中，，于点，点在线段上运动，点在上，且，当取最小值时，________°． 【作业9】．（23-24八年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图，已知，在的内部有一点，为上一动点，为上一动点，，则的周长最小值是______． 【作业10】．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在长方形纸片中，，把纸片沿折叠后，点分别落在点的位置．若，则等于________． 【作业11】．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，在长方形中，，，为边上的点，且．为边上的动点，以为边在其右侧作等腰直角三角形，．设中点为，则的最小值为________．      【作业12】．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，三角形，点D在上且，点E在上且，与交点F，点G为的中点，连接，，若和的面积的和为19，则四边形的面积______． 【作业13】．（24-25八年级上·浙江台州·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试    （1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长． 综合应用 （3）如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点．请根据上述条件，回答以下问题： ①的度数为 ； ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 【作业14】．（24-25八年级上·湖北·期中）在平面直角坐标系中，点，，点为轴正半轴上一动点，过点作交轴于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若点在轴正半轴上运动，且，连接． ①求证：平分； ②当时，求的值． 【作业15】．（23-24八年级上·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线l经过点T且与x轴垂直．对于图形M和图形N，给出如下定义：将图形M关于y轴对称的图形记为，图形关于直线l对称的图形记为，若图形与图形N有公共点，则称图形M是图形N的“双称图形”． 例如，如图1，当时，对于点和第三象限角平分线，点P关于y轴的对称点是，点关于直线l的对称点在射线上，则点P是射线的“双称图形”． 已知点，，图形N是以线段为一边在直线上方所作的正方形． (1)当时，直线l和正方形如图2所示． ①在，，这三个点中，点 是图形N的“双称图形”； ②点，，，是图形N的“双称图形”，求m的取值范围； (2)若图形N是它自身的“双称图形”，直接写出t的取值范围． 【作业16】．（24-25八年级上·江西上饶·期末）（1）如图1，，，以点为直角顶点，为腰在第三象限作等腰．求点的坐标； （2）如图2，，为轴负半轴上的一个动点，当点向轴负半轴向下运动时，在轴下方，以为直角顶点，为腰作等腰，过作轴于点，求的值； （3）如图3，已知点坐标为，点在轴的负半轴上沿负方向运动时，作，始终保持，与轴负轴交于点，与轴正半轴交于点，当点在轴的负半轴上沿负方向运动时，求的值． 【作业17】．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）光的反射是生活中常见的现象，图①是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． (1)如图①，若入射光线与平面镜的夹角为，则反射角的度数是____________； (2)如图②，已知：入射光线，反射光线．求作：法线（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； (3)如图③，已知：A为入射光线上一点，B为反射光线上一点．求作：入射点O（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）． 【作业18】．（24-25八年级上·陕西西安·期中）【初步探究】 （1）如图1，在四边形中，，是边上一点，，．连接、．请判断的形状并说明理由． 【拓展应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若为等腰直角三角形，求点的坐标． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （三角形+全等三角形+轴对称）·2026人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练掌握等腰、等边三角形性质与判定，能解决角度与线段压轴计算 · 灵活选用全等三角形五种判定方法处理复杂几何证明与动点问题 · 综合运用角平分线、线段垂直平分线性质解决多结论判断题 · 掌握轴对称最短路径与折叠问题的转化方法 · 突破三角形、全等、轴对称跨章综合压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.等腰与等边三角形 等腰三角形等边对等角、三线合一，分类讨论腰与底 等边三角形三边相等、三角60°，是特殊的等腰三角形 含30°角的直角三角形中，30°对的直角边等于斜边一半 见到等腰三角形常作底边上的高，利用三线合一构造直角三角形 概念辨析例题：等腰三角形一内角为80°，求另外两角。 答案：另外两角为80°、20°或50°、50° 解析：若80°为顶角，底角各为(180-80)/2=50°；若80°为底角，另一底角80°，顶角20°。 ☆ 2.全等三角形 判定：SSS、SAS、ASA、AAS，直角三角形另有HL 全等对应边相等、对应角相等，是证线段角相等的主要工具 复杂综合题中常通过二次全等或倍长中线、截长补短构造全等 注意SAS的角必须是夹角，SSA不能判定全等 概念辨析例题：AB=AC，AD平分∠BAC，求证BD=CD。 答案：由SAS证△ABD≌△ACD，得BD=CD 解析：AD平分∠BAC得∠BAD=∠CAD，AB=AC，AD公共，由SAS得两三角形全等，对应边BD=CD。 ☆ 3.角平分线与线段垂直平分线 角平分线上的点到角两边距离相等，常向两边作垂线 线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，常连接端点 三角形三条角平分线交于内心，三边垂直平分线交于外心 角平分线+平行线常推出等腰三角形 概念辨析例题：OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PC=4，求P到OB距离。 答案：P到OB距离为4 解析：由角平分线性质，P到角两边距离相等，故P到OB距离等于PC=4。 ☆ 4.轴对称与折叠 轴对称图形沿对称轴折叠后对应边、对应角相等 关于坐标轴对称的点：横同纵反（x轴），横反纵同（y轴） 最短路径（将军饮马）作对称点化折线为两点间线段 折叠问题抓折叠前后对应边、对应角相等 概念辨析例题：等边△ABC边长为2，D为BC中点，E在AC上，求AD+DE最小值。 答案：AD+DE最小值为 解析：作D关于AC的对称点D'，连AD'交AC于E，此时AD+DE=AD'最短。等边三角形中AD为高=，由对称性AD'=AD=。 📋 知识总结表 核心模型 方法要点 注意事项 等腰三线合一 作底边高得直角三角形 分类讨论后检验三边 全等判定 先找公共边角再选判定 SSA不能判定 角平分线 向两边作垂线 面积法常用 垂直平分线 连接端点得等线段 注意外心位置 将军饮马 作对称点化折为直 两点之间线段最短 折叠问题 对应边对应角相等 常结合平行线角度 ⚠️ 核心考点 【考点1】等腰、等边三角形的性质与判定（第1-17题） · 等边对等角求角度，三线合一作高构造直角三角形 · 等边三角形结合含30°直角三角形求线段 · 等腰与全等综合时，先由等腰得等角再证全等 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称求最短距离、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 如图：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P，连接，、P、F三点共线，时，的值最小，利用所对直角边等于斜边一半求出，易得，最后求得以及等边三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P， ∴， ∴， 连接，、P、F三点共线，时，的值最小， ∵是正三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵ ∴，解得：． ∴，即． 故选：B． 2．（24-25八年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，C、D、E三点在同一直线上，连接，以下四个结论：①；②；③；④平分．其中正确的是（　　）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，正确寻找全等三角形是解题的关键． 先证明，再利用全等三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确，，， ∴， ∴，故②正确， ∵， ∴，故③正确， ∵， ∴平分，故④正确． 故选：D． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，和是等边三角形，，连接、，交于点D．有以下结论：①；②连接，；③连接，；④连接，平分；⑤连接，．其中正确的结论个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、全等三角形综合问题 【分析】①根据等边三角形的性质得，，，再根据得，由此可得的度数，进而可对结论①进行判断； ②证明，进而可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质可对结论②进行判断； ③根据含有角的直角三角形的性质得当时，则AFEF，此时，则，但是根据已知条件无法判定，由此可对结论③进行判断； ④过点A作于点M，于点N，先证明和全等得，，再根据三角形的面积公式得，然后根据角平分线的性质可对结论④进行判断； ⑤在上截取，连接，设与交于点H，先证明和全等得，，进而再证明是等边三角形得，由此可对结论⑤进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵和是等边三角形， ∴，，， 又∵， ∴， ；故结论①正确； ②连接，如图1所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论②成立； ③连接，如图2所示： ∵， ∴当时，则， ∴， ∴， 根据已知条件无法判定，故结论③不正确； ④过点A作于点M，于点N，如图3所示： ∵， ∴， 即， 在和中， ，，， ∴， ∴，， ∴， ∴点A在的平分线上， ∴平分，故结论④正确； ⑤在上截取，连接，设与交于点H，如图4所示： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论是①②④⑤，共4个． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形是解决问题的关键． 4．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，与都是等边三角形，点，，在同一条直线上，与相交于点，与相交于点，与相交于点．连接、．给出下列个结论：①；②；③；④；⑤平分．其中正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质等知识点，熟悉等边三角形的性质以及全等三角形的判定是解题的关键．利用证明，即可判定①；通过,则判断，则可判定②；根据三角形的内角和定理、对顶角性质可得出,即可判定③；利用证明，即可证明为等边三角形，即可判定④；过点作、，利用证明，即可判定⑤． 【详解】解：∵与都是等边三角形， ∴,,, ∴，即 ∴ ，故①正确； ∴， ∴，故②错误； ∴ ∵， ， ∴，故③正确； ∵，，， ∴ ， ∴， ∴是等边三角形, ∴，故④正确； 如图，过点作、， ∴， ∵，， ∴ ∴, ∴点在的角平分线上， ∴平分，故⑤正确． 综上，正确的有①、③、④、⑤，个结论． 故选． 5．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，为射线上一动点（不与点重合），点在射线上，且．点运动的过程中，当取最小值时，的度数是_______． 【答案】120 【知识点】等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解、三角形内角和定理的应用 【分析】作点关于的对称点，连接，过点作交于点，交于点，连接，得出当三点共线，且时，最小，证明是等边三角形，得出，，根据三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作交于点，交于点，连接， 根据对称可得， ∵ ∴ ∴ ∴当三点共线，且时，最小， 此时，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：120． 【点睛】该题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，三角形内角和定理，最短路径问题等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． 6．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，在中，，为上一点，且为等边三角形，．点是边上的一个动点，连结，以为边在左侧作一个等边，连结．在整个运动过程中，的最小值是______． 【答案】1 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、垂线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】题目主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等，理解题意，作出辅助线，确定运动轨迹是解题关键． 连接，证明，可得，由此得出在整个运动过程中，最小时，最小，根据点到直线，垂线段最短，可知，当时，最短，进一步证明当时，、、三点共线，求出此时，，即最小值为1，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∴，即， ∵、为等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∴在整个运动过程中，最小时，最小， 根据点到直线，垂线段最短， 当时，最短，如图3所示，    ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴当时，、、三点共线， ∵， ∴， ∴，即最小值为1，故最小值为1． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在等腰中，，点E为上一点，点H为上一点，连接和交于点F，．连接，若平分，则______，在此条件下，延长到点D，连接，使，此时若，，则______． 【答案】 1 / 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理 【分析】过点作于点，过点作于点， ，交的延长线于点，根据角平分线的性质，得到，证明，推出，进而证明，得到，即可得到答案；过点作交于点，过点作交延长线于点，先证明，得到，，同理可证，得到，，再结合平行线的性质，推出，从而证明，得到，然后根据已知条件求出，，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，，交的延长线于点， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 如图，过点作交于点，过点作交延长线于点， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 同理可证， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 8．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，点为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，交于点，若，则的度数为________． 【答案】/88度 【知识点】等边三角形的判定和性质、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】先证明，进而可依据“”判定和全等，则，再根据得，则，进而得，由此可判定是等边三角形，则，从而得是等边三角形，则，再求出即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 9．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的选项有________（填序号）． 【答案】①②④ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、角平分线的判定定理、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的判定、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 先由证明，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，可判断①正确； 设交于点，因为，所以，可判断②正确； 作于点，于点，由得，则，即可证明平分，可判断④正确； 假设，则，所以，由，，得，即可推导出，得，与已知条件相矛盾，可判断③错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故①正确； 设交于点， ∴， 故②正确； 作于点I，于点J，如下图： ∵， ∴， ∴， ∴点在的平分线上， ∴平分， 故④正确； 假设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，与已知条件相矛盾， ∴， 故③错误， ∴①②④这3个结论正确， 故答案为：①②④． 10．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在等腰中，，在上取一点D，连接，使，延长至点E，连接使，延长交于点F，的角平分线交于点G，点M、N分别为、上的动点，连接、、，当面积是8时，周长的最小值为________． 【答案】4 【知识点】等边三角形的判定和性质、三线合一、等腰三角形的定义、线段问题(轴对称综合题) 【分析】通过等腰三角形的定义得到，结合已知条件利用导角可求得，从而证得是等腰直角三角形，并求得，利用轴对称的性质可得周长的最小时为的长度，证明是等边三角形，从而求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， 设，则， ∴，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵点M、N分别为、上的动点， 如图，作点F关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，与交点，与交点， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， 由轴对称的性质可知，，， ∴，即点在上， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即周长的最小值为4． 11．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图1，等边的边长为，点、分别是等边的边、上的动点，点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的速度都为． (1)连接、交于点，则在点、运动的过程中，求出的度数； (2)求运动时间为多少秒时，是直角三角形？ (3)如图2，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则的度数是否变化？若变化，请说明理由，若不变，则直接写出它的度数． 【答案】(1) (2)当第秒或第秒时，为直角三角形 (3) 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）由“”可证可得 ，由外角的性质可求； （2）分两种情况当时，当时讨论，由直角三角形的性质列出等式可求解； （3）由“”可证可得，由三角形内角和定理可求解； 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴，， 又由条件得， 在和中， ∴， ∴， ∴； （2）设时间为，则，, 当时， ∵， ∴， ∴，得，； 当时， ∵， ∴， ∴， 得，； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形； （3）不变， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 又由条件得， ∴， ∴， 又∵， ∴． 12．（20-21八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，，点在上，连接，过作于，． (1)求的度数； (2)连接，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 证明：如图，过作于， 在和中， ， ， ， ，即； (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握并灵活应用各性质定理是解题的关键． （1）设，，根据等边对等角，以及三角形内角和等于，可得到，在中，根据两锐角互余可得，进而根据求解即可； （2）过作于，证明，得到，从而根据三角形面积公式即可得证； （3）在上截取，连接，，则，通过证明，得到，，最后根据 求解即可． 【详解】（1）解：设，， ， ， 在中， ， ， ； （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接，，则， 在中，， ， 平分， ， ， 易证， ， 延长交于，于， 在中，， ， ， ，， ， ，舍负值，即． 13．（24-25八年级上·北京·期中）在中，，，D点是边上一点，E为边上一点，连接，． (1)如图1，，点D为中点，，，直接写出的长； (2)如图2，，，，连接交于点F，延长至P，使得，连接， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点E为定点，，连接，点M为线段上的一个动点，且满足，当取得最小值时，直接写出的值（用和表示）． 【答案】(1)6 (2) ①补全图形如图所示． ②，证明： 连接， ，， ∴是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ，， ， ， ∴是等边三角形， ，． ，，， ， 在和中， ， ∴， ， ； (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、全等三角形综合问题 【分析】（1）先根据线段中点的定义可得，计算，再由含角的直角三角形的性质可得，从而可得的长； （2）①依题意补全图形即可； ②先证，再证即可得到； （3）看见，考虑构造逆等线全等模型，过点A作，使，先证得到，从而将转化为，当N、D、C三点一线时，取得最小值，再利用角得和差求解即可． 【详解】（1）解：，， ∴是等边三角形， ∵D为中点， ∴， ， ， ∴， ； （2）解：①略 ②略 （3）解：过点A作，使，连接， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ， ∴当N、D、C三点一线时，取得最小值，如图所示， ，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 14．（25-26八年级上·新疆·期中）如图，点在线段上，分别以线段，为边作和，．，． (1)如图①，若，写一个未知角的度数：___________； (2)如图②，连接，交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，求证：线段为的平分线． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； (3) 证明：过作于点，于点， ∵， ∴，， ∴， 即：， ∴线段为的平分线． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形证明是等边三角形，即可解答； （2）根据可证两三角形全等，即可证得结论； （3）先根据全等三角形的面积相等可得高相等，最后由角平分线的判定即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，等边三角形的性质和判定等知识，添加恰当辅助线构造高线是解题的关键． 15．（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，，点B，E，D在同一条直线上，连接． (1)如图1，若，，求证：是等边三角形； (2)在（1）的条件下，猜想线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，若是钝角，交于点F，，垂足为E，，，，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴是等边三角形，则． ∵， ∴． ∵，， ∴是等边三角形； (2) 解：． 理由如下：∵与均是等边三角形， ∴． ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）先证明是等边三角形，再根据有一个角等于的三角形是等边三角形即可证明结论成立； （2）证明，推出，据此即可证明； （3）延长，作与其相交于点G，使得，证明，则，再利用等腰三角形的性质求得，，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长，作与其相交于点G，使得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴，则， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴． ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 16．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）【问题提出】 如图①，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】 经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接，经过推理可知，…； （1）由已知和作图得到的理由是______． A．边边边    B．边角边    C．角边角    D．斜边直角边 （2）的取值范围为______． 【问题应用】 （3）如图②，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：． 【问题拓展】 （4）如图③，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则的面积为______．    【答案】（1）B；（2）； （3）如图所示，延长到点G使，连接，    ∵，，， ∴， ∴，； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）16 【知识点】等腰三角形的性质和判定、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握倍长中线法构造全等三角形． （1）根据题意利用证明出求解； （2）根据三角形三边关系得到，然后结合求出； （3）延长到点G使，连接，首先证明出，然后得到，，然后结合得到，，进而可证明出； （4）延长到点H，使，连接，首先证明出，得到，，然后结合平行线的性质和角平分线的概念得到，，进而求出和得长度，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）在和中， ， ∴， ∴由已知和作图得到的理由是边角边， 故选：B； （2）∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴的取值范围为； 故答案为：； （3）略 （4）如图所示，延长到点H，使，连接，    ∵，，， ∴， ∴，； ∵， ∴，； ∵平分， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴的面积为． 17．（25-26八年级上·福建泉州·期中）（综合与实践） 【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，是的中点，平分，试判断之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长、的相交于点，构造和等腰三角形BCF（由即可判断） 【问题解决】（1）按照小颖的方法，之间的数量关系是_________； 【自主探究】（2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，试说明：． 【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，点在上且满足，请求出的长． 【答案】（1）； （2）延长至点H，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， （对顶角相等）， ， ， ； （3） 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； （3）过点延长、相交于点，根据三角形面积公式及得，证明和全等得，则，再根据，得，进而可得答案． 【详解】解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长、相交于点F， ， ，， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）略 （3）延长、相交于点， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ，， ， ， 因此，的长为． 【考点2】全等三角形判定与性质综合（第18-30题） · 多结论判断题逐项证全等，注意二次全等 · 动点问题抓不变量，用全等表示线段列方程 · 坐标几何中用ASA/AAS证明，结合坐标计算 18．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，中，是中点，点在的延长线上，过点作的垂线与的平分线交于点，与交于点，，垂足是．下列说法正确的是（     ） A． B．是的垂直平分线 C．当时， D． 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】过作延长线于，连接，，，根据角平分线的定义证得，证明得到，，再证明得到，，进而可判断选项D正确；假设是的垂直平分线，证明得到，则根据垂直平分线的判定可得点、、共线，这种情况不一定成立，故假设不成立，可判断选项B错误；假设，则，可证明得到，可得，与矛盾，可知选项C错误；现有的条件无法证明，可判断选项A错误，进而可得答案． 【详解】解：如图，过作延长线于，连接，，， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵是中点，， ∴是的中垂线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，故选项D正确，符合题意； 对于选项B，假设是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上，即点、、共线， 由图知，这种情况不一定成立，故假设不成立，即选项B错误，不符合题意； 对于选项C，假设，则， ∴， ∵， ∴， ∴在中，这与矛盾，故选项C错误，不符合题意； 对于选项A，现有的条件无法证明，故选项A不符合题意． 19．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，是的高，平分交于点E，过点B作，垂足为点F，并交于点G．若，则下列结论中：①；②；③；④．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，余角定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． ①利用等腰直角三角形的判定和性质进行求解即可； ②根据等角的余角相等得出，利用证明即可； ③利用角平分线的性质得出相等角，利用①②的结论得出相等角，然后利用等角对等边即可； ④延长交于点，证明，得出，然后利用三角形边和角的关系即可得出结论． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴； 故①正确，符合题意； ②∵，是的高， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 故②正确，符合题意； ③∵平分， ∴， 由②得， ∴， 由①得， ∴， 即， ∴， 由②得， ∴， ∵， ∴， ∴； 故③正确，符合题意； ④如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为钝角， ∴在中，， ∴； 故④正确，符合题意； 综上，正确选项为①②③④； 故选：D． 20．（24-25八年级上·重庆綦江·期中）如图，在中，，两条角平分线相交于点O，下列结论： ①；②连接，则平分；③；④；⑤与的面积之和等于的面积．其中正确的结论有（      ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了三角形角平分线和全等三角形．熟练掌握角平分线定义和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，是解决问题的关键． 根据三角形内角和求出 ， 根据角平分线定义得，，得，根据三角形外角性质得，可判断①；根据三角形角平分线性质知，点O在平分线上，平分，可判断②；证明，过点O作于点F，于点G，可得,得，可判断③；证，得，由，，得，可判断④；在上取点H，使，证，得，可得，可得 ,得，可判断⑤． 【详解】解；∵， ∴ ， ∵ 平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ①正确； ∵平分，平分， ∴点O在平分线上，平分， ②正确； ∵， ∴， 过点O作于点F，于点G， 则，， ∴, ∴ ， ③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ④不正确； 在上取点H，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴，与的面积之和等于的面积， ⑤正确． ∴正确的有①②③⑤，共4个． 故选：C． 21．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图， 中，的角平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点 ， 于点． 若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，连接，由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质的得到，进而由“”可证，可得，即得到，据此即可求解，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【详解】解：连接 ∵是的平分线 ， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 22．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知点在同一直线上，和都是等边三角形．交于点，交于点、交于点．①；②；③是等边三角形；④连接，则平分，以上结论正确的有（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的性质、角平分线的判定定理 【分析】由等边三角形的性质可证明，从而得，，则可判定①与②；证明，得，则可判定③；过点C作，垂足分别为M，N，则可证明，则有，从而可判定④，则最后可确定答案． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∵点在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∴，， 故①正确； ∵， ∴； 故②正确； ∵ ∴， ∴； ∵， ∴是等边三角形； 故③正确； 如图，过点C作，垂足分别为M，N， 则； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴平分； 故④正确； 综上，全部正确； 故选：D． 23．（26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）已知，，，其中，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的倍； ②当、两点同时到达点时，； ③若，，时，； ④若与全等，则或． 以上选项，正确的是________ 【答案】 ①②④ 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、全等三角形的性质 【分析】①若，即点P的速度是点Q的2倍，即可求解； ②求出P、Q的运动时间即可求解； ③证明．即可求解； ④若与全等，则且或且，即可求解． 【详解】解：①若，即点P的速度是点Q的2倍，点P运动路程是，点Q运动路程为，故点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确，符合题意； ②点P到达A的时间为：，当时，点Q到达点A的时间为：，故②正确，符合题意； ③若，，时，如图， 此时，， ， ， 若，则， 而， 故③错误，不符合题意； ④由题意得，， 则，， 则， 若与全等， ∵， ∴有两种情况：情况一：且；情况二：且， 情况一得：且 情况二得：且， 解得：或， 故④正确，符合题意， 24．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，等腰中，，，，点为中点，如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动．当与全等时，点Q的运动速度为____． 【答案】2或 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质．根据等边对等角可得，然后表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设点P、Q的运动时间为t， ， ∵， ∴， ∵与全等， ∴或， ①当时，， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为：； ②当时， ∵， ∴，， ∴（秒）． 故点Q的运动速度为． 故答案为：2或． 25．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒．当________秒时，与全等． 【答案】4或或12． 【知识点】全等三角形的性质 【分析】分点在上，点在上；点与点重合；与重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【详解】解：∵，， ， ， ； ①如图1，当点在上，点在上时， 由题意得，，， ，， ，， 当时，则， 即， 解得； ②如图2，当点与点重合时，则，此时满足， ∵， ， 解得； ③如图3，当点与重合时， 当时，则， 即， 解得； 综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 故答案为：4或或12． 26．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，在中，，平分交于点，点在边上，连接，，如果，，那么_____． 【答案】3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、用HL证全等（HL） 【分析】过点Ｄ作于点Ｆ，证明，得到，接着再根据已知证明，得到，，解答即可． 本题考查了角的平分线的性质，直角三角形的全等判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点Ｄ作于点Ｆ， ∵平分，， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：3． 27．（23-24八年级上·河南濮阳·期中）如图，在中，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，点Q在线段上由C点向A点运动．若发现与恰好全等，则点Q运动速度可能为________ 【答案】2或3 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质定理和等腰三角形的性质，能根据全等三角形的性质定理得出 两种情况是解此题的关键，注意∶全等三角形的对应边相等．设运动时间是t秒，点的运动速度为厘米秒，根据全等三角形的性质得出两个情况∶①，②，代入后先求出t，再求出x即可． 【详解】解：设两点的运动时间为秒，点的运动速度为厘米秒， ，． 点为的中点， ①当时， ②当时， 综上，当点的运动速度为2或3厘米秒时，能够使与全等． 故答案为∶2或3． 28．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）．证明如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3） 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查了一线三等角模型，结合已知条件运用等量代换找到相等的角是解题关键． （1）利用同角的余角相等得出，再利用角角边证明全等即可． （2）利用和可得，证明，得到，等量代换即可． （3）过点A和点B向轴作垂线，借助一线三等角得到全等三角形，并利用边长相等求坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点A作轴点D，过点B作轴于点E， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， ， ． 29．（24-25八年级上·广西南宁·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，，点为轴负半轴上一点，过点作交轴于点． (1)如图1，若点的坐标为，求点的坐标； (2)如图2，若点在轴负半轴上运动，且，其它条件不变，连接，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，试探索线段，，的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2) 即为所求，如图： (3) 结论：． 理由：如图所示，在上截取，连接， 平分． ∴， 又∵，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、角平分线的判定定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）先根据判定，得出，再根据点的坐标为，得到，进而得到点的坐标； （2）先过点作于点，作于点，根据，得到，且，再根据，，得出，进而得到平分； （3）结论：．在上截取，连接，根据判定，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，求得，，证明即可解决问题． 【详解】（1）如图①，，， ， 又， ， ，， ， ， ， 又点的坐标为， ， 点的坐标为． （2）略． （3）略． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解． 30．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点H是正方形对角线延长线上一点，，，射线交于点G，交延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 【答案】(1) 证明：∵正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； (2) 【知识点】根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、用SAS证明三角形全等（SAS）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先证明，求得，又证明是等腰直角三角形，求得，再证明，推出，由等腰直角三角形的性质求得，据此即可证明结论成立； （2）过点E作，设．利用（1）的结论求得，在中，利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：过点E作， 则， ∴； 设． ∵， ∴， ∴， 在中，，即， 解得，负值已舍去． 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵正方形， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，二次根式的混合运算．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【考点3】角平分线与三角形内角和、外角（第31-38题） · 双角平分线模型：两内角平分线夹角=90°+顶角一半 · 内外角平分线夹角=90°-顶角一半 · 角平分线+外角结合列角度方程 31．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，的平分线与外角的平分线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C．25° D． 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形外角的性质和角平分线的定义，解题关键是利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和的关系进行转化．本题先求出，再利用即可求解． 【详解】解：如图，延长和交于点G， ∵， ∴ ， ∴， ∵的平分线与外角的平分线相交于点， ∴， ∴ 故选：C． 32．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，和是的外角，和分别是和的平分线，反向延长和交于点．若，则的度数为（   ） A．60° B．55° C．50° D．45° 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和与角平分线．熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线有关计算，是解题的关键． 根据三角形的外角性质得，根据角平分线定义和对顶角性质得再根据三角形的内角定理即可得到． 【详解】解：∵和是的外角， ∴， ∴． ∵和分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 33．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，中，，若恰好经过点B，交于D，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键． 根据全等三角形的性质可得，，结合内角和定理可得，由等腰三角形的性质可得，由内角和定理可得，则，再次利用内角和定理就可求出的度数． 【详解】∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：B． 34．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，于点D，点F是边的中点，平分分别交于点G、点E，连接BF．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①②④ 【知识点】根据三角形中线求面积、三角形的外角的定义及性质、三角形角平分线的定义、同(等)角的余(补)角相等的应用、与三角形的高有关的计算问题 【分析】①利用三角形中线的性质即可判断①；②运用等面积法即可判断②；利用三角形外角的性质以及作差法即可判断③；先利用同角的余角相等可得，再结合角平分线的定义即可判断④． 【详解】解：∵点F是边的中点， ∴，即①正确； ∵在中，，于点D， ∴，即，即②正确； ∵， ∴， ∵无法判断的正负， ∴无法判断的大小关系，即③错误； ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即④正确． 综上，正确的结论有①②④． 35．（24-25七年级下·吉林长春·期末）将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则________度． 【答案】43 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和为180度是解题的关键． 如图：连接，由三角形内角和定理可得出，根据角的和差关系即可得出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由题意可知，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴，即， 在中，， ∴． 故答案为：43． 36．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，点分别在上，点为平面内一点，连接．当点在上方时，且． (1)如图，求证：； (2)如图，过点作直线交直线于，且与互补，的平分线与直线交于点，请你判断与的位置关系，并说明理由； (3)在（）的条件下，连接，交于点，连接，，，，求的度数． 【答案】(1) 证明：设与相交于点， ， ∴， 为的外角， ， ， ； (2) 解：，理由如下： 设，交于点， 与互补， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 直线平分， ， ∵， ； (3)． 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】（）由平行线的性质可得，由三角形外角性质可得，等量代换即可求证； （）．设，交于点，由补角性质可得，进而证明，即可求证； （）设，，由已知条件求出，，根据可求出，得到，，利用内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图， 平分， ∴设，， ， ， 在中，， ， 又， ， ， ， ， ， 又， 在中， ∴， 解得， ， ， 在中， ， ∴的度数为． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理和外角性质，补角性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． 37．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，A，B分别是两边，上的动点（均不与点O重合）．    (1)如图1，当时，的外角，的平分线交于点C，则______； (2)如图2，当时，，的平分线交于点D，则______（用含n的式子表示）； (3)如图3，当（α为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．随着点A，B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由． 【答案】(1)61 (2) (3)∠F的大小不变， 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义． （1）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义计算即可； （3）根据三角形的外角性质得到，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算即可． 【详解】（1） 分别为，的平分线 故答案为：61． （2）， 分别为，的平分线 故答案为：． （3）的大小不变，． 理由如下： 又是的平分线，是的平分线， ． 38．（23-24七年级下·四川乐山·期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理可知“对顶三角形”有如下性质∶．    (1)性质理解：如图1，在“对顶三角形”与中，若，则 ； (2)性质应用∶ ①如图2，则 ； ②如图3，在中，分别平分和，若，比大，求的度数； (3)拓展提高：如图4，是的角平分线，和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2)①② (3) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题综合考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，掌握整体思想是解题关键． （1）求出即可求解； （2）①连接，可得，据此即可求解；②求出即可求解； （3）根据、、 即可求解； 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵， ∴ 故答案为： （2）解：①连接，如图所示：    则 ∴ 故答案为： ②∵， ∴ ∵分别平分和， ∴ ∵ ∴ ∵ 由①②可得： （3）解：∵， ∴ ∵是的角平分线， ∴ ∵和的平分线和相交于点P， ∴ ∵ ∴得： ∴ 【考点4】线段垂直平分线与轴对称最短路径（第39-43题） · 垂直平分线上的点连端点得等腰三角形 · 最短路径作对称点，化折线为直线距离 · 坐标轴对称问题按坐标变化规律求点坐标 39．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图所示，点为内一点，分别作出点关于、的对称点，，连接交于，交于，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角的和差，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据轴对称的性质得到，，由等边对等角得到，，根据三角形内角和定理求出，再根据角的和差计算即可得到答案． 【详解】解： 点关于、的对称点为，， ，， ，， ， ， ， 故选：A． 40．（25-26八年级上·北京·阶段检测）如图，，点，分别是射线，上的两个定点，点，分别是射线，上的两个动点，当最小时，的大小是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角度问题(轴对称综合题)、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理与外角的性质，熟练掌握相关知识是关键． 作点C关于的对称点，作点D关于的对称点，连接，由轴对称的性质可知，，，因此，当，，，四点共线时，取到最小值．设，用和表示出和，作差得出结果． 【详解】解：如图，作点C关于的对称点，作点D关于的对称点，连接， 由轴对称的性质可知，，， ∴， 当，，，四点共线时，取到最小值， 设此时点、的位置为，，设， 由轴对称的性质可知，，， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 41．（25-26七年级下·陕西·期末）在中，的垂直平分线与交于点，连接，点在上，且，若，，则________． 【答案】/31度 【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】由垂直平分线的性质可得，进而可得，再证，得到，然后根据求解． 【详解】解： 的垂直平分线与交于点， ，则， ，则， ， ， 在和中， ， ， ， ． 42．（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）如图，，D为的垂直平分线上一点，且，，则_____．    【答案】/36度 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】连接，过点D作交于点，与交于点，根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，等量代换得出，根据三条边对应相等的两个三角形是全等三角形，全等三角形的对应角相等得出，根据等角对等边得出，推得，根据等边对等角得出，结合对顶角相等得出，即，据此设，则，根据三角形内角和定理列出方程，求得，即． 【详解】解：连接，过点D作交于点，与交于点，如图：    ∵D为的垂直平分线上一点， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，且， ∴， ∴， 设，则， 故， 解得：， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，对顶角的性质等．熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 43．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，点是边上的一点，连结，垂直平分，垂足为，交于点．连结． (1)若的周长为，的周长为，求的长． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）由垂直平分线的性质可得，，在由的周长为，的周长为列式，即可得出的长． （2）由三角形内角和可得，再由等边对等角可得，即可求得，在由三角形外角即可求得的度数． 【详解】（1）解：垂直平分， ，， 的周长为，的周长为， ，， ， ． （2）解：∵，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，三角形内角和，三角形外角，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【考点5】折叠问题综合（第44-49题） · 折叠前后对应边、对应角相等 · 折叠+平行线推出角度等量关系 · 折叠后形成等腰三角形时抓等角对等边 44．（2024·河北石家庄·二模）我们知道平行四边形有很多性质．如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，那么会发现这其中还有更多的结论． 题目：在中，已知，，将沿翻折至，连接．当长为多少时，是直角三角形？ 对于其答案，甲答：；乙答：；丙答：．则下列结论正确的是（   ）    A．甲、丙答案合在一起才完整 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起也不完整 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题、根据矩形的性质与判定求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】根据平行四边形的性质、折叠的性质，利用证明，得到，设相交于点E，根据平行线的判定证明，分“当，时”，“当时”，“当时”，“当，时”，四种情况画出图形，解直角三角形，讨论求解即可 【详解】解：如图，设、相交于点，    ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∵将沿翻折至， ∴，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 如图，当，时，    ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵将沿翻折至， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵将沿翻折至， ∴，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴； 如图，当时，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵将沿翻折至， ∴，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴； 如图，当，时，延长交于点，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的中点， 在中，， ∴； ∴当的长为或或或时，是直角三角形， 又∵甲答：；乙答：；丙答：， ∴三人答案合在一起也不完整， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定和性质、解直角三角形等知识，灵活运用知识点推理证明、分类讨论、数形结合是解题的关键． 45．（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，将一条长方形纸带进行两次折叠，第一次沿着折叠，第二次沿着折叠，使得，若的度数为，则的度数为____________（用含的代数式表示）． 【答案】 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】先由折叠性质得，，再根据平行线的性质得到，，最后根据即可解答． 【详解】解：由折叠性质可知，，， ， ， ， 纸带为长方形， ， ，， ． 46．（25-26八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，，是线段上的一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为________． 【答案】或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、三角形折叠中的角度问题 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理、平角与周角的定义、折叠的性质，熟练掌握分类讨论的思想和折叠前后对应角相等的性质是解题的关键．本题需分两种情况讨论求解，当时，利用平行线的性质和折叠的性质，求出的度数．当时，利用平行线的性质、平角的定义及折叠的性质，求出的度数． 【详解】解：在中， ，， ， 情况1：当时， ， ， 由折叠性质可知，， ， 在中， ， ， 情况2：当时， ， ， ， 由折叠性质可知， ， 故答案为：或． 47．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为___________度．    【答案】 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的内角和定理，平行线的性质，根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理可得出，进而根据平行线的性质可得，得出，根据折叠得出，进而根据平角的定义得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠 ∴， 在中，， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵折叠， ∴ 又 ∴ 解得： 故答案为： 48．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在三角形纸片中，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与，分别相交于点、，当为等腰三角形时，的度数为________． 【答案】或或 【知识点】折叠问题、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，折叠性质，熟练相关性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点和易错点．先求出，由折叠的性质得出，再分三种情况：①当时；②当时；③当时分别进行求解即可． 【详解】解：在中，， ， 由折叠的性质得：， 当为等腰三角形时，有以下三种情况： ①当时，如图1所示： ， ， ， ； ②当时，此时点与点C重合，如图2所示： ， ， ， ； ； ③当时，如图3所示： ， ， ， ， 综上所述：的度数为或或， 故答案为：或或． 49．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）如图，等边，点为边的中点，为射线上一动点，连接，将沿翻折，得到．当所在直线与的边垂直时，则___________． 【答案】，，， 【知识点】等边三角形的性质、三角形折叠中的角度问题 【分析】根据等边三角形的性质，折叠的性质，分4种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：∵等边， ∴， ∵折叠， ∴， 当所在直线与的边垂直时，分四种情况： ①当所在直线与垂直时，如图，则， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当所在直线与垂直时，如图，则， ∴； ③当时，如图，则； ④当在的延长线上，且时，如图， 则， ∴； 综上：. 【考点6】三角形三边关系、高与中线面积（第50-52题） · 三边关系确定第三边范围，求整数解 · 中线平分三角形面积，高结合面积公式求线段 · 尺规作图题按步骤保留作图痕迹并证明 50．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点F．当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求面积、垂线段最短 【分析】连接，过点A作的延长线于点H，设，，根据等高的三角形的面积等于底之比得到，，以及，，由面积关系得到，结合已知得到，，解方程组得到，，进而利用三角形的面积求得，利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点A作的延长线于点H， 设，， ∵，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形的面积为7， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最小值为10． 51．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在三角形纸板中，．将纸板沿射线方向平移得到，与交于点K．有下列结论：①；②；③若，则；④当，时，四边形的面积为64．其中正确的有______．（填序号） 【答案】①②④ 【知识点】利用平移的性质求解、与三角形的高有关的计算问题 【分析】根据平移的性质，对应边平行且相等，对应点连线平行且相等，可判断①②；连接，由平移的性质得，，求出，可得，进而可判断③错误；说明，然后根据梯形面积公式求解可判断④正确． 【详解】解：沿射线平移得到， ，， 结论①正确； 点的对应点为，点的对应点为， 与都是平移距离， ， 结论②正确； 连接， 由平移的性质得，， ∴，即， ∴，即， ∴，即， ∵，即点是的中点， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 结论③错误； ∵， ∴， ∴， ，， ， ， ，， ， ∴， 结论④正确． 综上可知，正确的有①②④． 52．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，． (1)基本作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图形中，求证：．请完成下面的证明过程： 证明：平分， ________， 在与中 ，________， ，且 ________， ________， 【答案】(1) 如图： (2)；；； 【知识点】作线段(尺规作图)、根据等角对等边证明边相等、作角平分线(尺规作图)、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、等角对等边． （1）根据角平分线的作图方法作图可得的角平分线，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，连接即可； （2）根据角平分线的定义、全等三角形的判定与性质，结合题目上下步骤的逻辑关系填空即可． 【详解】（1）略 （2）证明：平分， ， 在与中 ， ， ，， ，且， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；；；. 💯 课后巩固 复习建议 · 等腰三角形问题先分类讨论腰与底，求出后用三边关系检验 · 全等证明先找公共边、公共角、对顶角，再选最直接的判定 · 多结论判断题逐项排除，注意反例构造 · 最短路径与折叠问题先作对称点或找对应边，再列式 · 跨章压轴题拆成小模型，逐步转化为基本定理 【作业1】．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，在等腰和等腰中，大于，顶角与顶角均为，，交于点，连接．有下列结论：①；②；③点在的平分线上；④平分． 其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、三角形内角和定理的证明 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定及角平分线的判定定理，三角形内角和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的判定定理是解题的关键．先结合是等腰三角形，是等腰三角形，证明，再结合全等三角形的性质得，运用三角形内角和性质进行列式计算，得；再证明，则，结合角平分线的判定，得点在的平分线上；先假设平分，整理得出，则，与大于，相矛盾，故平分是错误的，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵是等腰三角形，是等腰三角形， ∴，， ∴， 故①符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②符合题意； 过点O作于点E，于点F，与相交于点H，如图所示： ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ 即点在的平分线上； 故③符合题意； 假设平分． 则， ∵， 则， ∴， ∵平分， ∴， 则， 故， ∴， 则， ∵， ∴， 则，与大于，相矛盾， 故平分是错误的， 故④不符合题意， ∴正确的个数有3个； 故选：B． 【作业2】．（24-25七年级下·全国·周测）如图，在和中，点E，F在BC上，，．添加下列条件仍无法证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 先由推出，结合已知，逐一判断各选项添加的条件是否符合全等三角形的判定定理，找出无法证明全等的选项． 【详解】解：∵， ∴，即， A、添加，结合，符合，可证，不符合题意； B、添加，结合，符合，可证，不符合题意； C、添加，结合，符合，可证，不符合题意； D、添加，此时是，无法判定，符合题意． 故选：D． 【作业3】．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，外角的平分线与内角的平分线交于点P，若，请你求出（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、角平分线的判定定理、三角形的外角的定义及性质 【分析】添加辅助线，作，，，根据角平分线的性质以及三角形外角的性质求解的度数，再结合角平分线的性质可得，可得平分，由此求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点H，交的延长线于点F，作于点E，如图， ∵外角的平分线与内角的平分线交于点P， ∴，， ∵在中，， 在中，， ∵， ∴，即， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分， ∵， ∴． 【作业4】．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，中，，如果和分别垂直平分和，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和性质，先运用三角形内角和性质得，结合和分别垂直平分和，则，即，结合角的和差关系列式计算，即可作答． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵和分别垂直平分和， ∴， ∴， 则． 故选：A． 【作业5】．（2026·山西运城·一模）科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图，两个平面镜的夹角，一束平行于的光线从点A出发，射向平面镜，经过几次反射后，光线回到点A，则反射的次数为（　　） A．2次 B．3次 C．4次 D．5次 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】设第一次，第二次，第三次反射点分别为D、E、F，根据平行线的性质得到，则可得到，进而可求出，证明，可确定第四次的反射点为点E，则第五次的反射点为点F，且反射光线为射线，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设第一次，第二次，第三次反射点分别为D、E、F， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴第四次的反射点为点E， ∴第五次的反射点为点F，且反射光线为射线， ∴反射的次数为五次． 【作业6】．（2026·安徽马鞍山·三模）已知三边长分别为，，，（，，为正整数），且． （1）若则______． （2）若从，，，，，，，这个数中取个不同的数，且这个数中，总存在三个不同的数作为，，的值，则的最小值＝______． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】(1) 根据三角形三边关系，结合，，是正整数的条件推导的值； (2) 先构造出最大的不存在三个数可构成三角形的集合，再根据题意得到的最小值． 【详解】（1）解： ，，，，为正整数， ， 将代入，得， 又， ， 且是整数， ； （2）解：若个数中不存在三个能作为三角形三边长， 则其中任意从小到大排列的三个数 ，且都满足， 要得到满足该条件的数的个数，构造从小到大的序列： 取第一个数为，第二个数为， 第三个数满足，取， 第四个数满足，取， 第五个数满足，取， 第六个数需要满足， ，超出到的范围， 不存在三个可构成三角形的集合最多有个元素， 当取个不同数时，任意个数中一定存在三个不同数可作为三角形三边长． 【作业7】．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，的角平分线交的角平分线的反向延长线于点P，直线交于点N，若，则____________° 【答案】36 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的外角定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理， 根据角平分线的性质和可得，再根据三角形的外角定理分别求出，，进而可求解 【详解】解：如图所示：交于点E， 由题意可知： 平分，平分， ， ， ， 即， ， ， 是的一个外角， 是的一个外角， , 故答案为：36 【作业8】．（22-23八年级上·河南开封·期末）如图，等边中，，于点，点在线段上运动，点在上，且，当取最小值时，________°． 【答案】30 【知识点】等边三角形的性质、线段问题(轴对称综合题) 【分析】根据等边三角形的对称性，等边三角形的性质，线段和最小原理计算即可． 本题考查了等边三角形的性质和对称轴，线段和最小，熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形，，， ∴直线为的一条对称轴，，， 平分， ∴点B，点C关于直线对称， 连接，交于点，则点为取最小值时的位置点， ∵， ∴， ∴平分， ∵平分， ∴点是等边三角形角平分线的交点， 连接 ∴平分， ∴， 故答案为：30． 【作业9】．（23-24八年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图，已知，在的内部有一点，为上一动点，为上一动点，，则的周长最小值是______． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、线段问题(轴对称综合题) 【分析】此题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的判定和性质，分别作点关于，的对称点，， 连接，分别交，于点、点 ，连接、，由轴对称可得，，，，，，进而得到，，由此推导出为等边三角形，即可求解，解题的关键是根据轴对称找到最短的路线． 【详解】解：如图所示，分别作点关于，的对称点，， 连接，分别交，于点、点 ，连接、，则此时的周长最小， 连接、， ∵点关于对称， ∴，，， 同理可得，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长 ， 根据两点之间，线段最短，可知此时的周长最小， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 【作业10】．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在长方形纸片中，，把纸片沿折叠后，点分别落在点的位置．若，则等于________． 【答案】 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查长方形的性质与折叠的性质，掌握利用平行线的性质和折叠前后角的对应关系推导角度是解题的关键． 利用长方形对边平行的性质和折叠的性质，通过角度关系推导求出的度数． 【详解】解：， ． 由折叠的性质，得，， ， ， ， ． 故答案为：． 【作业11】．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，在长方形中，，，为边上的点，且．为边上的动点，以为边在其右侧作等腰直角三角形，．设中点为，则的最小值为________．      【答案】 【知识点】垂线段最短、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、直角三角形的两个锐角互余 【分析】过点作于，过点作，证明，可得，可得点在平行且到距离为的直线上运动，则当点、、共线时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，过点作， ∴， ∵四边形是长方形也就是矩形，，， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在平行且到距离为的直线上运动， 当点、、共线时，，则，此时有最小值， 此时， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：．      【点睛】本题考查长方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等腰直角三角形的性质，垂线段最短，确定点的运动轨迹是解题的关键． 【作业12】．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，三角形，点D在上且，点E在上且，与交点F，点G为的中点，连接，，若和的面积的和为19，则四边形的面积______． 【答案】16 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查三角形的面积公式求解，设，．可可得出，由已知条件得出结合等高的三角形面积比为底边边长之比得出，进而得出，联立方程组解出x，y的值，再由已知条件得出，最后代入求值即可求得答案． 【详解】解：设， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点A，B到的高为：，， ， ∴， ∵， 同理可得：， ∴， ∴ ∴ 解得：， ， 故答案为：16． 【作业13】．（24-25八年级上·浙江台州·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试    （1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长． 综合应用 （3）如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点．请根据上述条件，回答以下问题： ①的度数为 ； ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 【答案】（1）3; （2）; （3）①180； ②， 理由如下：延长至G，使，连接，如图所示：   ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由①得：， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【知识点】全等三角形综合问题、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、三角形三边关系的应用 【分析】（1）根据新定义，当为的中点时，满足条件，从而可得答案； （2）由与为偏等积三角形，证明，再证明，可得，，再利用三角形三边的关系求解，结合为正整数，求解，从而可得答案； （3）①由周角的定义可得出答案； ②延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出 ，证明， 由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】解：（1）如图，连接 当时，，   与不全等， 与为偏等积三角形， 故答案为． （2）与为偏等积三角形， ． ， ． ， ， ，， ， ， ， ． 为正整数， ， ． （3）①∵， ∴． ②略 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，倍长中线的问题，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 【作业14】．（24-25八年级上·湖北·期中）在平面直角坐标系中，点，，点为轴正半轴上一动点，过点作交轴于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若点在轴正半轴上运动，且，连接． ①求证：平分； ②当时，求的值． 【答案】(1) 证明：由题意知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴； (2) ①证明：如图2，作于，于，    ∵， ∴，， ∴，解得， ∵，， ∴是的平分线； ② 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、坐标与图形综合 【分析】（1）由题意知，，，则，证明即可； （2）①如图2，作于，于，由，可知，，则，即是的平分线； ②如图3，在上截取，使，证明，由，可得，进而可求，，然后计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：如图3，在上截取，使，    由①可知，是的平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的判定与性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【作业15】．（23-24八年级上·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线l经过点T且与x轴垂直．对于图形M和图形N，给出如下定义：将图形M关于y轴对称的图形记为，图形关于直线l对称的图形记为，若图形与图形N有公共点，则称图形M是图形N的“双称图形”． 例如，如图1，当时，对于点和第三象限角平分线，点P关于y轴的对称点是，点关于直线l的对称点在射线上，则点P是射线的“双称图形”． 已知点，，图形N是以线段为一边在直线上方所作的正方形． (1)当时，直线l和正方形如图2所示． ①在，，这三个点中，点 是图形N的“双称图形”； ②点，，，是图形N的“双称图形”，求m的取值范围； (2)若图形N是它自身的“双称图形”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2) 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了轴对称，坐标与图形，不等式组的应用； （1）①根据题意在坐标系中描出两次对称的点，根据新定义，即可求解； ②根据题意求得两次对称的点的坐标，结合新定义，列出不等式组，解不等式组，即可求解； （2）根据新定义，求得点关于两次对称后的点的坐标，列出不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示， ∴，；是图形N的“双称图形”； ②设点关于轴的对称点为，则，设点关于直线的对称点为， 则，即 ∴ 同理可得，关于轴和直线两侧对称后的对称点分别为， ∵是图形N的“双称图形”， ∴与正方形有交点， ∴或， 解得：或 （2）解：∵已知点，， ∴关于轴的对称点为，关于轴对称的点的为 设点关于的对称点为， 则，即 ∴， 设点关于的对称点为， 则，即 ∴， ∵图形N是它自身的“双称图形”， ∴①或② 解不等式组①得 解不等式组②得 综上所述， 【作业16】．（24-25八年级上·江西上饶·期末）（1）如图1，，，以点为直角顶点，为腰在第三象限作等腰．求点的坐标； （2）如图2，，为轴负半轴上的一个动点，当点向轴负半轴向下运动时，在轴下方，以为直角顶点，为腰作等腰，过作轴于点，求的值； （3）如图3，已知点坐标为，点在轴的负半轴上沿负方向运动时，作，始终保持，与轴负轴交于点，与轴正半轴交于点，当点在轴的负半轴上沿负方向运动时，求的值． 【答案】（1）；（2）2；（3） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、坐标与图形综合 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，坐标与图形，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）过点作轴于点，证明，得到，，求出点的坐标； （2）过点作轴于点，证明，得到，得到答案； （3）过点作轴于点，轴于点，证明，得到，根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作轴于点，轴于点， 点坐标为， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ， ． 【作业17】．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）光的反射是生活中常见的现象，图①是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． (1)如图①，若入射光线与平面镜的夹角为，则反射角的度数是____________； (2)如图②，已知：入射光线，反射光线．求作：法线（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； (3)如图③，已知：A为入射光线上一点，B为反射光线上一点．求作：入射点O（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）． 【答案】(1)60 (2) 如图所示，射线即为所求； (3) 如图所示，点即为所求． 【知识点】垂线的定义理解、作角平分线(尺规作图)、轴对称中的光线反射问题、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）根据法线与平面镜垂直求出入射角的度数即可得到答案； （2）根据入射角等于反射角可知，法线即为入射光线与反射光线组成的角的角平分线，据此作的角平分线即可； （3）过点A作平面镜所在直线的垂线，垂足为D，以D为圆心，的长为半径画弧交直线于点C，连接交平面镜所在直线于点O，则点O即为所求． 【详解】（1）解：∵入射光线与平面镜的夹角为， ∵法线与平面镜垂直， ∴入射角的度数为， ∴反射角的度数是； （2）解：略； （3）解：略． 【作业18】．（24-25八年级上·陕西西安·期中）【初步探究】 （1）如图1，在四边形中，，是边上一点，，．连接、．请判断的形状并说明理由． 【拓展应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若为等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】 （1）是等腰直角三角形，理由如下： 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （2）点C的坐标是或或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、坐标与图形综合 【分析】（1）证，得，再证，即可得出结论； （2）分三种情况，构造全等三角形，由全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）分三种情况： 时，， 如图3，过C作轴于D，过B作轴于E，则：，     ∴， ∴， ， ， ， ∵， ， ， ； 时，， 如图4，过B作轴于E，过C作轴于G，作于F，    则， 同①得：， ， ， ， ； 时，， 如图5，过B作轴于E，过C作轴于D，过B作于F，过A作于G，    则， 同①得：， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，点C的坐标是或或 【点睛】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定和性质、以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $