专题01 三角形的概念与三角形有关线段 期中复习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题01三角形的概念与三角形有关线段期中复习讲义 1.认识三角形，会识别三角形的边、顶点、内角，掌握三角形的分类方法（按边、按角），能准确数出图形中三角形的个数。 2.掌握三角形三边关系定理，能利用 “两边之和大于第三边，两边之差小于第三边” 判断三条线段能否构成三角形，求解边长取值范围。 3.理解三角形的高、中线、角平分线的定义，会画出三类线段；掌握中线平分三角形面积的结论。 4.了解三角形的稳定性，能区分生活中利用稳定性与不稳定性的实例。 5.能结合线段相关知识进行简单计算，求解线段长度、三角形面积。 6.理清易错点：钝角三角形的高有两条在三角形外部；三边关系需要检验任意两边之和；注意分类讨论边长问题，排除不符合三边关系的解。 7.建立几何识图意识，规范几何语言书写，为后续三角形证明打好基础。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形的识别与有关概念 ★ 题型二 三角形的个数问题 ★ 题型三 三角形的分类 ★ 题型四 等腰三角形的定义 ★ 题型五 构成三角形的条件 ★★ 题型六 确定第三边的取值范围 ★★ 题型七 三角形三边关系的应用 ★★ 题型八 根据三角形中线求长度 ★★ 题型九 根据三角形中线求面积 ★★ 题型十 重心的概念 ★ 题型十一 三角形角平分线的定义 ★ 题型十二 画三角形的高 ★★ 题型十三 与三角形的高有关的计算问题 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:三角形基本概念与分类（基础必背） 1.三角形定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 三要素：3 个顶点、3 条边、3 个内角 表示方法：顶点为A、B、C的三角形记作△ ABC 2.三角形两种分类 1.按边分类 2.按角分类 直角三角形记作Rt △ABC，直角两边为直角边，对边为斜边。 知识点02:三角形三边关系（超级重点） · 定理：三角形任意两边之和 大于 第三边。a+b>c,a+c>b,b+c>a) · 推论：任意两边之差 小于 第三边。 |a-b|<c 高频易错点 1.必须同时满足两边和、两边差； 2.周长取值范围考题必考； 3.等腰三角形边长需分类讨论，并检验三边关系。 知识点03:三角形的稳定性 特性：三角形三边固定，形状、大小唯一确定，不易变形； 对比：四边形无稳定性，边长不变形状可改变； 生活应用：自行车车架、屋顶三角支架；伸缩门利用四边形不稳定性。 知识点04:三角形的重要线段定义整理 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点，顶点与交点之间的线段； “三线的交点”一个三角形有3条中线.3条角平分线.3条高 知识点05:三角形的重心 1. 定义 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 重心一定在三角形内部 2. 重心定理（性质） 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心分中线为2:1）。 在△ABC 中，∵ O 是△ABC 的重心，AD、BE、CF 是中线， ∴ AO=2OD，BO=2OE，CO=2OF（或 AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1）。 核心总结表 项目 中位线 重心 定义 两边中点的连线 三条中线的交点 数量 3 条 1 个 核心性质 平行且等于第三边的一半 分中线为2:1 关键作用 证平行、算边长 算线段比、分面积 知识点06:高频易错点汇总表 易错分类 错误表现 正确结论 避坑提示 三角形定义 忽略 “不在同一直线” 共线三条线段不能构成三角形 判断先看三点是否共线 三边关系 只验证一组两边和 只需短两边之和＞最长边；求范围同时看和与差 求边长范围写不等式区间 钝角三角形的高 三条高都画在内部 钝角两条高在外部，需延长对边再作垂线 作图看清三角形类型 中线面积 认为中线分周长相等 中线平分面积，不平分周长 面积计算直接用等分结论 分类混淆 把等边三角形单独脱离等腰 等边属于特殊等腰三角形 按边分类时不能并列书写 题型一：三角形的识别与有关概念 1．观察下列图形，其中是三角形的是（    ）． A． B． C．D． 2．下列语句中，不属于定义的是（   ） A．有一个角是直角的三角形是直角三角形 B．有一个角是锐角的三角形称为锐角三角形 C．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 D．等边三角形的三条边是相等的 3．如图，在△ABC中，点E在AC，点D在BE上，已知，，若，则△ABD的面积为_________． 题型二：三角形的个数问题 4．如图：三角形有____________个． 5．如图所示，图中共有三角形______个． 6．若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，则图中以为公共角的“共角三角形”有（     ） A．8对 B．7对 C．6对 D．5对 题型三：三角形的分类 7．在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中，分类错误的是（     ） A．①是三边都不相等的三角形 B．②③是等腰三角形 C．②③是等边三角形 D．③是等边三角形 8．如图，根据图形填空． （1）以为边的三角形是_______； （2）的三个内角是______________，其中的对边是_______； （3）以为一个内角的三角形是______； （4）图中共有_______个三角形． 9．如图，在中，，于，点在线段上，图中锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各（     ） A．，，个 B．，，个 C．，，个 D．，，个 题型四：等腰三角形的定义 10．等腰三角形周长是29，其中腰长是9，则等腰三角形的底边长是（   ） A．9 B．10 C．11 D．15 11．如图，在中，，点D在线段上，，则图中共有等腰三角形（    ） A．2个 B．3个 C．1个 D．0个 12．如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五：构成三角形的条件 13．下列每组数分别是三根小木棒的长度：①，，；②，，；③，，；④，，．其中______能摆成三角形（只填序号即可）． 14．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ） A．5，5，5 B．4，5，6 C．3，6，9 D．3，5，7 15．四根木棒的长度分别为，，，．从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形．则下列取法中不能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型六：确定第三边的取值范围 16．已知的三边长分别为．若的长为大于6的偶数，的周长为（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 17．已知三角形的两边长分别为2和3，第三边长为整数，则这个三角形周长的最大值为_____． 18．平面内，将长度分别为1，4，2，的线段，顺次首尾相接构成如图所示的凸四边形，则的值可能是（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 题型七：三角形三边关系的应用 19．一个三角形的三边长是3，，8，则m的取值范围是__________． 20．如图，甲、乙二人分别从地前往地，若A，B两地之间的距离为7千米，甲行走的路线为11千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为__________千米．（写出一个合理的答案即可） 21．7条长度均为整数厘米的线段，满足，且这7条线段中的任意3条都不能组成三角形．若，则的可能取值是（　　） A． B． C． D． 题型八：根据三角形中线求长度 22．如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（     ） A． B． C． D． 23．如图，已知分别是的中线、高，且，则与的周长之差为_______． 24．如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型九：根据三角形中线求面积 25．如图，已知是的中线，是的中线，若，则为（     ） A． B． C． D． 26．如图，D是的边上任意一点，，，分别是，，的中线，若的面积为4，则的面积为______． 27．如图，在中，点在上，点是的中点，已知，，则阴影部分的面积为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型十：重心的概念 28．跳高运动是一项集速度、力量、爆发力、技巧和胆识于一体的田径项目，它的魅力不局限于跳得高矮的表层较量，更藏在运动员腾跃横杆时，精准降低身体重心的智慧与艺术之中．如下图，当运动员采用“背越式”越过横杆时，成绩往往比采用“跨越式”和“滚式”要好，最合理的解释是（    ） A．“跨越式”过横杆时运动员重心最低 B．“滚式”过横杆时运动员重心最低 C．“背越式”过横杆时运动员重心最低 D．三种方式过横杆时运动员重心相同 29．如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若的面积是3．则四边形的面积是______． 30．如图，在确定匀质薄板的重心位置时，已经通过悬挂画出一条重力线l，还需选择一个点作为悬挂点再次画出重力线才能找到重心，在图中三个点中，可以选择的点的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型十一：三角形角平分线的定义 31．如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 32．如图，平分，平分，，的周长为20，，则为 ___________ . 33．如图，在中，，平分，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型十二：画三角形的高 34．作的边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（     ） A． B． C． D． 35．如图，已知于点，于点，于点，则中边上的高是(        ) A． B． C． D． 36．如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 题型十三：与三角形的高有关的计算问题 37．如图，已知中，，点D沿自B向C移动点D不与B、C重合．作于点E，于点F，则的值为（   ） A．一直增大 B．一直减少 C．先减小后增大 D．先增大后减小 38．如图，在中，，，，分别是边和边上的高，，则______． 39．如图，在中，为边上的中线，．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 解答题 40．如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)图中共有__________个三角形，其中包含__________个直角三角形； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________； (3)直接写出以为边的三角形． 41．已知的三边长为，，． (1)若，，求边长的取值范围； (2)化简． 42．按要求，画出图形并回答问题： (1)在下列三角形中，分别画出边上的高． (2)在方格纸中，过点C画线段的垂线，垂足为D，并量出C点到线段所在的直线的距离． 43．如图，方格纸中的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形． (1)画出边上的中线（保留作图痕迹）； (2)若，求边上的高线长． 44．【发现与探究】 三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．关于三角形的重心有哪些性质呢?希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)【尝试探究】如图1，点为的重心，则，，．若设，，，则，，之间的数量关系为：________；根据你得到的，，之间的关系可推出重心的一个重要性质：________； (2)【类比延伸】如图2，中，点是上一点，且，点是上一点且．连接、，交于点，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，，，，求四边形的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角形的概念与三角形有关线段期中复习讲义 1.认识三角形，会识别三角形的边、顶点、内角，掌握三角形的分类方法（按边、按角），能准确数出图形中三角形的个数。 2.掌握三角形三边关系定理，能利用 “两边之和大于第三边，两边之差小于第三边” 判断三条线段能否构成三角形，求解边长取值范围。 3.理解三角形的高、中线、角平分线的定义，会画出三类线段；掌握中线平分三角形面积的结论。 4.了解三角形的稳定性，能区分生活中利用稳定性与不稳定性的实例。 5.能结合线段相关知识进行简单计算，求解线段长度、三角形面积。 6.理清易错点：钝角三角形的高有两条在三角形外部；三边关系需要检验任意两边之和；注意分类讨论边长问题，排除不符合三边关系的解。 7.建立几何识图意识，规范几何语言书写，为后续三角形证明打好基础。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形的识别与有关概念 ★ 题型二 三角形的个数问题 ★ 题型三 三角形的分类 ★ 题型四 等腰三角形的定义 ★ 题型五 构成三角形的条件 ★★ 题型六 确定第三边的取值范围 ★★ 题型七 三角形三边关系的应用 ★★ 题型八 根据三角形中线求长度 ★★ 题型九 根据三角形中线求面积 ★★ 题型十 重心的概念 ★ 题型十一 三角形角平分线的定义 ★ 题型十二 画三角形的高 ★★ 题型十三 与三角形的高有关的计算问题 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:三角形基本概念与分类（基础必背） 1.三角形定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 三要素：3 个顶点、3 条边、3 个内角 表示方法：顶点为A、B、C的三角形记作△ ABC 2.三角形两种分类 1.按边分类 2.按角分类 直角三角形记作Rt △ABC，直角两边为直角边，对边为斜边。 知识点02:三角形三边关系（超级重点） · 定理：三角形任意两边之和 大于 第三边。a+b>c,a+c>b,b+c>a) · 推论：任意两边之差 小于 第三边。 |a-b|<c 高频易错点 1.必须同时满足两边和、两边差； 2.周长取值范围考题必考； 3.等腰三角形边长需分类讨论，并检验三边关系。 知识点03:三角形的稳定性 特性：三角形三边固定，形状、大小唯一确定，不易变形； 对比：四边形无稳定性，边长不变形状可改变； 生活应用：自行车车架、屋顶三角支架；伸缩门利用四边形不稳定性。 知识点04:三角形的重要线段定义整理 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点，顶点与交点之间的线段； “三线的交点”一个三角形有3条中线.3条角平分线.3条高 知识点05:三角形的重心 1. 定义 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 重心一定在三角形内部 2. 重心定理（性质） 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心分中线为2:1）。 在△ABC 中，∵ O 是△ABC 的重心，AD、BE、CF 是中线， ∴ AO=2OD，BO=2OE，CO=2OF（或 AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1）。 核心总结表 项目 中位线 重心 定义 两边中点的连线 三条中线的交点 数量 3 条 1 个 核心性质 平行且等于第三边的一半 分中线为2:1 关键作用 证平行、算边长 算线段比、分面积 知识点06:高频易错点汇总表 易错分类 错误表现 正确结论 避坑提示 三角形定义 忽略 “不在同一直线” 共线三条线段不能构成三角形 判断先看三点是否共线 三边关系 只验证一组两边和 只需短两边之和＞最长边；求范围同时看和与差 求边长范围写不等式区间 钝角三角形的高 三条高都画在内部 钝角两条高在外部，需延长对边再作垂线 作图看清三角形类型 中线面积 认为中线分周长相等 中线平分面积，不平分周长 面积计算直接用等分结论 分类混淆 把等边三角形单独脱离等腰 等边属于特殊等腰三角形 按边分类时不能并列书写 题型一：三角形的识别与有关概念 1．观察下列图形，其中是三角形的是（    ）． A． B． C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，依据三角形的定义，判断所给图形是否为三角形，三角形的定义为在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形． 【详解】解：A项：选项中是一个角，且只有两条线段没有闭合，所以不是三角形，不符合题意； B项：选项中2条线段没有相接，所以不是三角形，不符合题意； C项：3条线段的端点首尾相接，且为闭合图形，满足三角形的定义，符合题意； D项：有1条线段的端点连接了另一条线段上的一点，所以不是三角形，不符合题意． 故选：C． 2．下列语句中，不属于定义的是（   ） A．有一个角是直角的三角形是直角三角形 B．有一个角是锐角的三角形称为锐角三角形 C．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 D．等边三角形的三条边是相等的 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的定义，熟知各个类型三角形的定义是解题的关键． 根据三角形的定义进行判断即可． 【详解】解：A．有一个内角是直角的三角形是直角三角形，是定义，故A不符合题意； B．有一个角是锐角的三角形称为锐角三角形，是定义，故B不符合题意； C．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，是定义，故C不符合题意； D．等边三角形的三条边是相等的，是性质，故D符合题意． 故选：D． 3．如图，在△ABC中，点E在AC，点D在BE上，已知，，若，则△ABD的面积为_________． 【答案】4 【分析】由三角形面积公式，当高一样时，面积比=底边比，由，解得，，由解得，据此解答． 【详解】解：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查三角形面积公式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 题型二：三角形的个数问题 4．如图：三角形有____________个． 【答案】15 【分析】本题主要考查三角形的计数，涉及对图形的观察、分类归纳能力，以及对“由不同数量小三角形组成的三角形”的识别，解题的关键点在于分类计数，易错点在于重复计数，分类混乱，遗漏计数；或者掌握利用“底边线段数”计数的方法也可以；方法一：由一个小三角形组成的有个；由两个小三角形组成的有个；由三个小三角形组成的有个；由四三角形组成的有个；最有还有个最大的三角形，加上总和即可．方法二：利用“底边线段数”计数，对于这种顶点固定、底边被分成若干段的三角形计数问题，先观察底边的分段，再计算底边的线段总数，线段总数的计算公式为：（其中是基本线段的数量），每一条底边的线段（无论是短的还是长的）都与顶点形成一个唯一的三角形，按公式计算即可． 【详解】底边线段分段数：5 三角形个数：（个） 故三角形有个． 5．如图所示，图中共有三角形______个． 【答案】5/五 【详解】解：图中有：，，，，，共个． 6．若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，则图中以为公共角的“共角三角形”有（     ） A．8对 B．7对 C．6对 D．5对 【答案】C 【分析】数出以为其中一个内角的三角形的个数即可得出结果. 【详解】解：由图可知，以为其中一个内角的三角形有， 故以为公共角的“共角三角形”有和，和，和，和，和，和共6对. 题型三：三角形的分类 7．在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中，分类错误的是（     ） A．①是三边都不相等的三角形 B．②③是等腰三角形 C．②③是等边三角形 D．③是等边三角形 【答案】C 【分析】根据等边三角形，等腰三角形的定义可逐项判定求解． 【详解】解：A．①三边，是三边都不相等的三角形，故①是不等边三角形，分类正确，不符合题意； B．②有两边相等，③三边都相等（等边属于特殊等腰），所以②③都是等腰三角形，分类正确，不符合题意； C．②边长是3、3、4，三边不全部相等，不是等边三角形；只有③三边都是3，才是等边三角形．所以这个分类错误，符合题意； D选项：③三边都为3，是等边三角形，分类正确，不符合题意． 8．如图，根据图形填空． （1）以为边的三角形是_______； （2）的三个内角是______________，其中的对边是_______； （3）以为一个内角的三角形是______； （4）图中共有_______个三角形． 【答案】 6 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：以为边的三角形是； 的三个内角是；其中的对边是； 以为一个内角的三角形是； 图中共有，个三角形； 故答案为：；；；；； 9．如图，在中，，于，点在线段上，图中锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各（     ） A．，，个 B．，，个 C．，，个 D．，，个 【答案】D 【分析】先列出图中全部三角形，再根据锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的定义，逐一识别图中的所有三角形即可． 【详解】解：首先列出图中全部三角形，分别为，，，，，，再进行分类统计：锐角三角形只有，共个；直角三角形有，，，，共个；钝角三角形只有，共个． 题型四：等腰三角形的定义 10．等腰三角形周长是29，其中腰长是9，则等腰三角形的底边长是（   ） A．9 B．10 C．11 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形两腰相等，是解题的关键．根据等腰三角形一腰长是9，周长为29，求出等腰三角形的底边长即可． 【详解】解：∵等腰三角形周长是29，其中腰长是9， ∴等腰三角形的底边长为：． 故选：C． 11．如图，在中，，点D在线段上，，则图中共有等腰三角形（    ） A．2个 B．3个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定．根据有两条边相等的三角形是等腰三角形即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等腰三角形， 综上，共有3个等腰三角形， 故选：B． 12．如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定，根据为等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求得符合的点B，即可得解． 【详解】解：要使为等腰三角形分三种情况讨论： ①当时，作线段的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个； ②当时，以点A为圆心，为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个； ③当时，以点O为圆心，为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个， ， 故选：D． 题型五：构成三角形的条件 13．下列每组数分别是三根小木棒的长度：①，，；②，，；③，，；④，，．其中______能摆成三角形（只填序号即可）． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：①∵，∴，，能摆成三角形； ②∵，∴，，不能摆成三角形； ③∵，∴，，不能摆成三角形； ④∵，∴，，能摆成三角形． 故答案为：①④． 14．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ） A．5，5，5 B．4，5，6 C．3，6，9 D．3，5，7 【答案】C 【详解】解：A选项、，能组成三角形； B选项、，能组成三角形； C选项、，不能组成三角形； D选项、，能组成三角形． 15．四根木棒的长度分别为，，，．从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形．则下列取法中不能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为，所以长度为，，的三根木棒能组成一个三角形，则此项不符合题意； B、因为，所以长度为，，的三根木棒能组成一个三角形，则此项不符合题意； C、因为，所以长度为，，的三根木棒不能组成一个三角形，则此项符合题意； D、因为，所以长度为，，的三根木棒能组成一个三角形，则此项不符合题意； 故选：C． 题型六：确定第三边的取值范围 16．已知的三边长分别为．若的长为大于6的偶数，的周长为（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】利用三角形三边关系确定的取值范围． 【详解】解：根据三角形三边关系，得 ，即． ∵ 是大于的偶数， ∴ ． ∴ 的周长为． 17．已知三角形的两边长分别为2和3，第三边长为整数，则这个三角形周长的最大值为_____． 【答案】9 【分析】先利用三角形三边关系确定第三边长的取值范围，再根据第三边长为整数，得出第三边长的最大值，即可得到三角形周长的最大值． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为和， ∴第三边长，即第三边长， ∵第三边长为整数， ∴第三边长最大值为， 则这个三角形周长的最大值为． 18．平面内，将长度分别为1，4，2，的线段，顺次首尾相接构成如图所示的凸四边形，则的值可能是（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】B 【分析】设这个凸四边形为，连接，设，在中，根据三角形三边关系得，从而得出，，在中，根据三角形三边关系得，即可得出，从而解答即可． 【详解】解：如图，设这个凸四边形为，连接，设， 在中，，即， ∴，， 在中，， ∴， 观察四个选项可知，只有选项B符合． 题型七：三角形三边关系的应用 19．一个三角形的三边长是3，，8，则m的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，列出不等式求解的范围即可． 【详解】解：根据三角形三边关系可得， 解得：． 20．如图，甲、乙二人分别从地前往地，若A，B两地之间的距离为7千米，甲行走的路线为11千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为__________千米．（写出一个合理的答案即可） 【答案】8（答案不唯一） 【分析】设乙走的路程为x千米，根据题意，得，且x是整数，求解即可； 【详解】解：设乙走的路程为x千米，根据题意，得，且x是整数， 故乙走的路程是8千米或9千米或10千米； 21．7条长度均为整数厘米的线段，满足，且这7条线段中的任意3条都不能组成三角形．若，则的可能取值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，理解不能构成三角形的条件是解题的关键． 此题只需根据所有的线段都是整数，且满足，不能构成三角形，则前两个数之和小于或等于第三个数字，找到最小情况；再依次利用“后边的一个一定大于或等于前边的两个的和”确定各个数的值，从而做出判断． 【详解】解：由于不能构成三角形，那么前两个数之和小于或等于第三个数字， 而最小的，则最小情况如下：1，2，3，5，8，13，21满足条件， ∴若，则的取值的是13或14， 对比选项可知，只有13是的可能取值， 故选： C． 题型八：根据三角形中线求长度 22．如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形中线的性质得，然后列式求解即可． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴与的周长之差为． 23．如图，已知分别是的中线、高，且，则与的周长之差为_______． 【答案】 【分析】与的周长的差，据此答题即可． 【详解】解：的周长，的周长， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴与的周长的差． 24．如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中线，掌握三角形的中线是三角形一边的中点与对角的顶点的连线段是解题的关键． 由于是边上中线，所以，所以的周长比的周长多的部分等于，再根据即可得出的长． 【详解】解：∵是边上中线， ∴， ∴， ∵的周长比的周长大，且． ∴，即． 故选：A． 题型九：根据三角形中线求面积 25．如图，已知是的中线，是的中线，若，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：是的中线，若， ， 是的中线， ． 26．如图，D是的边上任意一点，，，分别是，，的中线，若的面积为4，则的面积为______． 【答案】16 【分析】根据三角形的中线平分面积进行计算即可． 【详解】解：分别为的中线， ， ， 是的中线， ， ， ∵的面积为4， ． 27．如图，在中，点在上，点是的中点，已知，，则阴影部分的面积为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】利用三角形中线平分面积及同高三角形面积比等于底边比的性质，将阴影部分面积转化为已知三角形面积的和． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∴阴影部分的面积． 题型十：重心的概念 28．跳高运动是一项集速度、力量、爆发力、技巧和胆识于一体的田径项目，它的魅力不局限于跳得高矮的表层较量，更藏在运动员腾跃横杆时，精准降低身体重心的智慧与艺术之中．如下图，当运动员采用“背越式”越过横杆时，成绩往往比采用“跨越式”和“滚式”要好，最合理的解释是（    ） A．“跨越式”过横杆时运动员重心最低 B．“滚式”过横杆时运动员重心最低 C．“背越式”过横杆时运动员重心最低 D．三种方式过横杆时运动员重心相同 【答案】C 【分析】本题考查几何图形的重心概念，把运动员的身体抽象成几何图形是解题关键． 把运动员的身体视为几何图形，找出三种姿势的重心，然后判断重心与横杆的相对位置． 【详解】解：越过相同高度的横杆时，运动员所需提升的重心高度越小，则越过的横杆更高，成绩更好， 选项，过杆时，身体像一个“直角梯形”，重心在身体内部，明显高于横杆，重心不是最低； 选项，过杆时，身体像一个“斜置的长方形”，重心在横杆上方，重心不是最低； 选项，过杆时，身体呈“弓形”，此时重心落在弓形的外部、横杆的下方，重心最低； 选项，三种方式过横杆时运动员重心不相同． 故选：． 29．如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若的面积是3．则四边形的面积是______． 【答案】 【分析】连接，并延长交于点F，根据三角形的重心可得，从而有，，，进而求得，于是即可求得四边形的面积． 【详解】解：连接，并延长交于点F， ∵点O是的重心， ∴， ∴，， ∴即， ∴， ∴， ∴． 30．如图，在确定匀质薄板的重心位置时，已经通过悬挂画出一条重力线l，还需选择一个点作为悬挂点再次画出重力线才能找到重心，在图中三个点中，可以选择的点的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了重心的概念，两点确定一条直线，解题关键是掌握重心的概念． 根据重心的意义求解． 【详解】解：因为已经通过悬挂画出一条重力线， 所以重心位置一定在直线上， 由图可知：点与都在直线l上， 所以点与都不可选， 所以只有可选， 所以可以选择的点的个数是个， 故选：B． 题型十一：三角形角平分线的定义 31．如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【答案】B 【分析】该题考查了三角形的角平分线，根据题意得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 故选：B． 32．如图，平分，平分，，的周长为20，，则为 ___________ . 【答案】13 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质及等腰三角形的判定，解题的关键是利用平行线和角平分线得出等腰三角形，将的周长转化为． 由角平分线和平行线的性质得、，从而、；的周长可转化为，结合周长和AB的长度求出． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理可得， 的周长为20， ， ， ． 故答案为：13． 33．如图，在中，，平分，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的角平分线、高，由平分，可得，由，，可求得的度数，在中利用三角形内角和可求得答案．求得的度数是解题的关键． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． ∴的度数为． 故选：B． 题型十二：画三角形的高 34．作的边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形高的定义，根据三角形高的定义，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，作边上的高需过点且垂直于． 【详解】：三角板直角边垂直于，作出的是边上的高，故本选项错误； ：三角板直角边未经过点，无法作出边上的高，故本选项错误； ：三角板一条直角边与重合，另一条直角边经过点，符合定义，故本选项正确； ：三角板直角边经过点，作出的是过点垂直于的直线，故本选项错误． 故选：． 35．如图，已知于点，于点，于点，则中边上的高是(        ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．根据此概念求解即可． 【详解】A、CF⊥AB，∴线段CF是△ABC中AB边上的高，此选项不符合题意； B、BE⊥AC，∴线段BE是△ABC中AC边上的高，此选项不符合题意； C、CD不是△ABC的高，此选项不符合题意； D、AD⊥BC，∴线段AD是△ABC中BC边上的高，此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的高．准确识图并熟记三角形高的定义是解题的关键． 36．如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义，判断解答即可． 【详解】解：A． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； B． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； C． 线段是中边上的高，不是中边上的高，原说法错误，符合要求； D． 线段是中边上的高，正确，不符合要求． 题型十三：与三角形的高有关的计算问题 37．如图，已知中，，点D沿自B向C移动点D不与B、C重合．作于点E，于点F，则的值为（   ） A．一直增大 B．一直减少 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】D 【分析】本题考查了与三角形的高有关的计算问题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 依据题意，由于E，于F，从而可得出，又一定，随着D的移动先减小再增大，则随着D的移动先增大后减小，即可得解． 【详解】解：于E，于F， 一定，随着D的移动先减小再增大， 随着D的移动先增大后减小． 故选：D． 38．如图，在中，，，，分别是边和边上的高，，则______． 【答案】 【分析】利用三角形面积公式，根据同一三角形面积相等建立等式，代入已知数据求解即可． 【详解】解：，分别是边和边上的高， ， ，，， ， ． 39．如图，在中，为边上的中线，．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质可得，再结合直角三角形面积公式，代入与的面积，进而求出垂线段的长度． 【详解】解：为边上的中线， ， ， ， ． 解答题 40．如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)图中共有__________个三角形，其中包含__________个直角三角形； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________； (3)直接写出以为边的三角形． 【答案】(1)6；3 (2)； (3)，， 【分析】（1）根据三角形和直角三角形的定义可得答案； （2）依据“角的对边是角对面的边”可得答案； （3）根据三角形的定义可得答案． 【详解】（1）解：图中的三角形有，共6个三角形， ∵， ∴， ∴都是直角三角形，即直角三角形有3个； （2）解：由题意得，在中，的对边是； 在中，的对边是； （3）解：以为边的三角形有． 41．已知的三边长为，，． (1)若，，求边长的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形三边关系列不等式，求解的取值范围； （2）根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，去绝对值后合并化简． 【详解】（1）解：∵，，是的三边长，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，是的三边长. ∴，. ∴，. ∴ ． 42．按要求，画出图形并回答问题： (1)在下列三角形中，分别画出边上的高． (2)在方格纸中，过点C画线段的垂线，垂足为D，并量出C点到线段所在的直线的距离． 【答案】(1)如下图，即是要画的边上的高． (2) C点到线段所在的直线的距离是线段的长度，为． 【分析】（1）画三角形的高关键是从对顶点向边（或延长线）作垂线，钝角三角形的高会落在图形外面． （2）点到直线的距离指垂线段的长度，不是线段本身，作图后测量垂线段即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）略 43．如图，方格纸中的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形． (1)画出边上的中线（保留作图痕迹）； (2)若，求边上的高线长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）取格点、，连接交于点，连接，线段即为所作； （2）根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图：取格点、，连接交于点， 由网格特点可得：为的中点，连接，线段即为所作； （2）解：设边上的高线长为， ∴， ∴， 即边上的高线长为． 44．【发现与探究】 三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．关于三角形的重心有哪些性质呢?希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)【尝试探究】如图1，点为的重心，则，，．若设，，，则，，之间的数量关系为：________；根据你得到的，，之间的关系可推出重心的一个重要性质：________； (2)【类比延伸】如图2，中，点是上一点，且，点是上一点且．连接、，交于点，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的重心可得，，，，，则得到，，即可求解，，之间的关系；然后根据共高三角形面积比等于底之比求解； （2）连接，根据共高三角形面积比等于底之比可得，则，，设，同理可得，那么，则，再由求解即可； （3）先得到，求出，则可求，那么由已知可得，再由三角形面积公式求解，即可求解四边形的面积． 【详解】（1）解：∵点为的重心 ∴是的中线 ∴，，，， ∴， ∴， ∴； ∵以为底边的高相同， ∴ ∴； （2）解：连接 设 ∵ ∴ ∵以为底边的高相同， ∴ ∴ 同理可得， 设，同理可得 ∴ ∴ ∴； （3）解：由（2）得，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $