23.1 测量-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

第23章解直角三角形 23.1 01基础达标 知识点一 利用相似三角形进行测量 1.如图，为了测量一池塘的宽DE,在岸边找到一 点C,测得CD=30m,在DC的延长线上找 点A,测得AC=5m,过点A作AB∥DE交E℃ 的延长线于B,测出AB=6m,则池塘的宽DE 为 ( A.25m B.30m C.36m D.40m E>D 7 8m卡22m 第1题图 第2题图 2.如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为 3.2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿旗 杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时， 竹竿与这一点相距8m,与旗杆相距22m,则旗 杆的高为 m 3.如图，在两栋楼房之间的草坪中有一棵树，已 知楼房AB的高度为10m,楼房CD的高度为 15m,从A处看楼顶C处正好通过树顶E,而 从D处看楼顶B处也正好通过树顶E.求这 棵树的高度. E 楼 楼 房 房 73 测量 知识点二利用勾股定理进行测量 4.如图，水池中离岸边D点1.5m的C处直立长 着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5m,把芦 苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，求水 池的深度AC. B 02能力提升 5.某同学要测量树的高度，在阳光下，一名同学 测得一根长为1m的竹竿的影长为0.4m,同 时另一名同学测量树的高度时，发现树的影长 不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一 级台阶上，测得此影子长为0.2m,一级台阶高 为0.3m,如图所示，若此时落在地面上的影长 为4.4m,则树高为 A.11.5m B.11.75m C.11.8m D.12.25m 第5题图 第6题图 6.如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB 在地面上的影长DE=1.8m,窗户下沿到地 面的距离BC=1m,EC=1.2m,那么窗户的 高AB为 () A.1.5mB.1.6mC.1.86mD.2.16m 741 7.如图，小巷左右两侧是竖直的羁 墙，一架梯子斜靠在左墙时， 梯子底端到左墙角的距离为 0.7m,顶端距离地面2.4m,如 加 果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙 时，顶端距离地面2m.则小巷的宽度为() A.0.7mB.1.5mC.2.2mD.2.4m 8.如图，小明在墙上挂了一面镜子AB,调整好标 杆CD,正好通过标杆顶部在镜子上缘A处看 到旗杆的顶端E的影子，已知AB=2m,CD 1.5m,BD=2m,BF=20m,则旗杆EF的高度 为 m. 9.如图，昌昌同学和同伴秋游时，发现在某小山 坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾 角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即 DE的长度)，昌昌站在点B处，让同伴移动平 面镜至点C处，此时昌昌在平面镜内刚好可以 看到点E,且测得BC=4.8m,CD=28m, ∠CDE=135°.已知昌昌的眼睛到地面的距离 AB=1.6m,请根据以上数据，求DE的长度， (结果保留根号) 03思维拓展 10.河南省实验中学指路灯，一直陪伴着我校航 空班、足球队、田径队日夜奋战、不断训练的 同学们.一数学兴趣小组为了测量灯柱AB 的高度，设计了以下三个方案： 方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点 C处后退1m到点D处，恰好在平面镜中看 到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移 动4m(即FC=4m)放在F处.从点F处向 后退1.5m到点H处，恰好再次在平面镜中 看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距地 面的高度ED、GH为1.5m、已知点B,C、D, F、H在同一水平线上，且GH⊥FH,ED⊥ CD,AB⊥BH.(平面镜的大小忽略不计) 方案二：利用标杆CD测量灯柱的高度.已知标 杆CD高1.5m,测得DE=2m,CE=2.5m. 方案三：利用三角板的直角边CE保持水平， 并且边CE与点M在同一直线上.已知两条 边CE=0.4m,EF=0.2m,测得边CE离地 面距离DC=1.5m 三种方案中，方案 不可行，请选择 可行的方案求出灯柱的高度 D B 图 图2 图322.3.3相似三角形的性质 .∠FDN=∠C, ∴.△AMCp△FND. A2.A3.8:9,cm 14.(1)证明：·在△ABC中， 4.B5.D6.1:4 ∠BAC=90°，AB=AC, 7.F的长是学m,AC的k是g5m ∴.∠B=∠C=45°. ,∠B+∠BPE+∠BEP= 8.4:25或9：259.B10.D 180°，.∠BPE+∠BEP= 11.1:312.①②③ 135°，∠EPF=45°， 13.(1)证明略：(2) 又.∠BPE+∠EPF+ ∠CPF=180°， 14.(1)证明略； ∴.∠BPE+∠CPF=135°， (2)SA4=5cm2. ∠BEP=∠CPF, 15.C 又.∠B=∠C,∴.△BPEo 阶段提升自测（二） △CFP. 1-5 CCBDD 6.B (2)△BPEp△CFP; 7.例：△EFC∽△AFD,△EAB∽ 理由：在△ABC中，∠BAC △AFD =90°，AB=AC, 8.∠ABP=∠C9.(2,4-22) ∴.∠B=∠C=45° 10.-1611.80 .∠B+∠BPE+∠BEP= 12.(1).AF=1,AD=3,AE=2, 180°，∴.∠BPE+∠BEP CD∥EF,∴.AF:AD=AE:AC, 135°，：∠EPF=45°， 即1：3=2：AC,.AC=6. 又.'∠BPE+∠EPF+ (2)证明：，AD=3,AB=9, ∠CPF=180°， AE=2,AC=6, .∠BPE+∠CPF=135°， ..AD:AB=AE:AC, ∴∠BEP=∠CPF, :∠DAE=∠BAC, 又.∠B=∠C,∴.△BPE ∴.△ABC△ADE. △CFP. 13.(1)不相似. 22.3.4相似三角形的应用 .在Rt△BAC中，∠A=90°，1.92.5.1m3.A4.C5.B AB=3,AC=4: 6.河宽为37.5m. 在Rt△EDF中，∠D=90°，7.10.18.B9.A10.C DE=3,DF=2, 1 漂品号崇影 11.20 12.(1)证明，AB=CD,OA=C, 品.R△BAC与R△DFE 0B-0常% 不相似： 又，∠AOC=∠BOD, (2)能作如图所示的辅助线进 ∴.△AOC△BOD, 行分割 ∴.∠OAC=∠OBD, 证明：作∠BAM=∠E,交BC .AC∥BD. 于M;作∠NDE=∠B,交EF (2)小红的连衣裙会拖落到地 于N,由作法和已知条件可知 面.在△OEF中，OE=OF= △BAM∽△DEN, 34cm,EF=32cm,作OM⊥EF .∠BAM=∠E,∠NDE= 于点M,则EM=16cm. ∠B,∠AMC=∠BAM+∠B, 在Rt△OEM中，OM= ∠FND=∠E+∠NDE, √OE-E曜=√/342-16= ∴.∠AMC=∠FND. 30cm :∠FDN=90°-∠NDE, 过点A作AH⊥BD于点H,同 ∠C=90°-∠B, (1)可证得EF∥BD, 46 '.∠ABH=∠OEM, 位似图形，位似中心的坐标为 则Rt△OEk∽Rt△ABH, (0,0): 器器AH (4)S1:S2=1:4. OE 综合与实践（一）旋转相似变换 30×136-120cm (1)证明：.四边形ABCD是矩 34 形，.∠B=∠C=90°，∴.∠BAP 122>120,.小红的连衣裙 +∠BPA=90°，.∠MPN=90°， 会拖落到地面. ∴.∠CPD+∠BPA=90°， 22.4位似图形 ∴.∠BAP=∠CPD,∴.△ABP∽ 1.D2.A3.D4.B △PCD; 5.36.D7.图略. 8.A9.A10.C11.A (2票的值为定值，理由如下：如 12.18cm13.略 图3，过点F作FG⊥BC于G, 14.(1)AC∥A'C',理由略： ∴∠FGP=90°，∴.∠FGP=∠B, (2)CC=5. ∠PFG+∠FPG=90°，易知四边 15.24040 形ABGF是矩形，∴.G=AB=2, 22.5图形与坐标 ∠MPN=90°，∴.∠EPB+ 22.5.1用坐标确定位置 ∠FPG=90°，.∠EPB 1.C2.C3.D4.D ∠PFG,∴.△EBP∽△PGF, 5.(1)(南偏西60°，25)；(2)（北偏 西30°，15)；(3)图略. 票=熙之“票的值是定 6.A7.D8.C 9.南偏西30°方向，距小明家1000 值，该定值为2； 米 (3).AE=m,∴.BE=2-m, 10.(2,-1) 11.(-1,2),(3,-2),(-1,-2) ①当影-那.：∠R=∠EnF 或(3,2) =9o,ABPE∽△PFE,.B5 BP 12.(1)教学楼在校门的东北方向 2√2cm处，到校门的实际距 20分m= 3 1 离为2002米， (2)(1,1),(5,2),(5,4). ②当部时，：∠B=∠EPF 13.(1)(0,-√3)； 90,.△BPE△PEF,57 (2)Q(2,-√5). 1 22.5.2图形的变换与坐标 PE·1= PF2-m2m=0. 1.D2.D3.C4.(-1,3) 5.-66.A 综上，当m=0或号时，△BPE与 7.(-0.5a,-0.5b) △PEF相似， 8.图略.9.B10.A 综合与实践（二）折叠相似变换 山.（停-4）12.6 (1)证明略； (2),四边形ABCD是矩形， 13.(1)A(0,3),B(2,1),C(3,4), .'CD=AB=2,AD=BC=3, A'(-3,0),B(-1,-2),C ∠A=∠D=∠C=90°， (0,1),△ABC向左平移3个 P为CD中点，∴.DP=CP=1, 单位，向下平移3个单位可以 设EP=AE=x,∴.ED=AD-x 得到△A'B'C'; =3-x,在Rt△EDP中，EP2= (2)a=8,b=4. ED2+DP2,即x2=(3-x)2+1, 14.(1)~(2)图略； （3)△AC是△AB,G的解得x-号，EP=AE-x-号， -47 ∴ED=AD-AE=号：△EDP = 3√2 3 ∽△PCH,. 器即 ED_ .'.BE=- AB- 2 5 (2)略。 PH=号， 第23章解直角三角形 23.1测量 PG=AB=2,.GH=PG 1.C2.12 PH-3. 3.这棵树的高度为6米. 4.水池的深度AC为2米. (3)延长AB,PG交于点M,连接5.C6.A7.C8.7 AP,由折叠的性质，可知AP⊥ 9.DE=14√2米. EF,BG⊥直线EF,.BG∥AP, 10.二、三；AB=12m.理由略. .AE=EP,∴∠EAP=∠EPA, 23.2直角三角形的性质 .∠BAP=∠GPA,∴.△MP1.D2.D3.204.1 是等腰三角形，.MA=MP, 5.证明略. 由题意，设DP=CP=y,∴AB=6.BC=3AD.理由略. PG=CD=2y,由ASA易证7.B8.A9.310.211.8 △MBH≌△PCH, 12.EF⊥AC.证明略. ∴.BM=CP=y,HM=HP, 13.(1)受到台风影响.理由略； ∴.MP=MA=MB+AB=3y, (2)当台风中心位于D处时， 六HP=号PM=号，在R: A市所受风力最大，其风力为 12-1,00=7(级). △PCH中，CH=√PH-PC 20 y-CH-5y..AD 23.3 锐角三角函数 23.3.1 锐角三角函数 =BC=√5y,在Rt△APD中，AP 第1课时正弦、余弦和正切 =√AD+PD=6y, 1.C2.A. .BG∥AP,.△BMG∽ 4.B5.2√76.A7.C △MMP器-器-日G 8.在Rt△ABD中， =6 BD 2y二、 6，∴AB tam∠BAD-0-子∴BD= 6 AD·ta∠BAD=12X是=9， =√6BG ∴.CD=BC-BD=14-9=5, 章末考点整合与素养提升 ∴.AC=√AD+CD=√J12+5 1-3DBB4.1955.C AD_12 6.2:1 7.①②③④8.2.7 =13,.'.sinC= AC13 9.1①g ②20cm (2)0 m. 9.号或号 10.A11.A12.C 10.略.11.C 12.C 13.B 14.D15.12 18号 1.15 16.(1)△BMCp△NMA,证明略： 16.(1):△BDC由△BDC翻折 2柴-只 而成，∴·∠C=∠BAG=90°，CD =AB=CD,∠AGB= 17.(1),BD∥AC,∴.△DBE ∠DGC,在△ABG和△CDG △CE.DB '∠BAD=∠C 中，∠AGB=∠C'GD 2,AC=3√2，AB=2√2， AB-CD 48