23.1 测量-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

第23章解 ©23.1 基础在线》知识要点分类绣 … 知识点1利用勾股定理进行测量 1.如图，池塘两边有A、B两点，C为过点A且与 BA垂直的直线上一点，测得BC=61m,AC =11m,求A、B两点之间的距离.由题意知， ∠BAC= °，则在Rt△ABC中，由勾股 定理，得AB2+AC2= ,即AB2= ,所以AB= m. 第1题图 第3题图 2.如图①，大树移植后常用木头支撑.将其中一 根木头的支撑情况抽象为数学图形（图②），如果 木头AB的长为1.8米，木头底端A到树底端C 的距离AC长为1米，则BC的长度在() 图① 图② A.1.2米到1.3米之间 B.1.3米到1.4米之间 C.1.4米到1.5米之间 D.1.5米到1.6米之间 3.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高5米， 两树相距12米.一只鸟从一棵树的树梢飞到 另一棵树的树梢，小鸟至少飞行 () A.8米B.10米C.13米D.14米 知识点2利用相似三角形进行测量 4.如图，为测量出湖边不可直接到达的A、B间的 距离，测量人员选取一定点O,使点A、O、C和 85探究在线九年级数学（上）·HD 直角三角形 测量 B、O、D分别在同一直线上，且OB=3OD,OA= 3OC,量得CD=120米，则AB= 米 c0.8m" 3m 第4题图 第5题图 5.如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离 网4m的位置上，则网球的击球高度h为 6.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上 部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一 根垂直于井口的木杆AB,从木杆的顶端B观 测井水水岸D,视线BD与井口的直径CA交 于点E,若测得AB=1米，AC=1.6米，AE= 0.4米，则水面以上的深度CD为 () D A.4米 B.3米 C.3.2米D.3.4米 ②能力在线沙方法规稚综合臻 … 7.如图，直立在点B处的标杆AB=2.5m,站立 在点F处的观测者从点E看到标杆顶A,树 顶C在同一直线上（点F、B、D也在同一直线 上).已知BD=10m,FB=3m,人的身高EF =1.7m,则树高DC约为 ·(精确到 0.1m) 8.《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知 高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出 二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段 话的意思是：今有门不知其高宽，有竿，不知其 长短，横放，竿比门宽长出4尺，竖放，竿比门 高长出2尺，斜放，竿与门对角线恰好相等，则 该问题中的门高是 9.相邻两根电线杆都用钢索在地面上固定，如 图，一根电线杆钢索系在离地面4米处，另一 根电线杆钢索系在离地面6米处，两根电线杆 的钢索都有一根固定在另一根电线杆底部，则 中间两根钢索相交处点P离地面 () A.2.4米 B.8米 C.3米 D.无法确定 10.(教材P117习题T3变式)如图，花果山上有 两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC =5m,它们都要到A处吃东西，其中一只猴 子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A 处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆 绳DA线段滑到A处.已知两只猴子所经过 的路程相等，设BD为xm. (1)请用含有x的整式表示线段AD的长为 m; (2)求这棵树高多少米？ 3 拓展在线》培代拔尖提升练 11.小明为了测量一深坑的深度，采取如下方案： 如图，在深坑左侧用观测仪AB从观测出发 点A观测深坑底部P,且观测视线刚好经过 深坑边缘点M,在深坑右侧用观测仪CD从 观测出发点C观测深坑底部P,且观测视线 恰好经过深坑边缘点N,点E、B、M、N、D、F 在同一水平线上.已知AB⊥EF,CD⊥EF, 观测仪AB高为2m,观测仪CD高为1m,MB =1.6m,DN=0.8m,深坑宽度MN=8.8m, 请根据以上数据计算深坑的深度为多少米？ 第23章86.∠B=30°.由(1)知，△ACD≌△AED, :AAFE的周长=EF △CBF的周长一C示.六△CBF的周长=2 .'ED=CD=5. .在Rt△BED中，BD=2ED=10. .△CBF的周长=5. .BD的长为10. 答：△CBF的周长为5. 6.C 11.C12.5.7513.B14.B15.(9,-4) 7.(1)由折叠可知，CD=CB, 核心素养提升 B(10,8),.CD=CB=10,OC=8. 16.812 在Rt△ODC中，由勾股定理，得OD=6, 第23章解直角三角形 点D的坐标为(6,0) 23.1测量 (2).OA=BC=10,OD=6, 基础在线 .AD=OA-OD=10-6=4. 1.90BC BC-AC602.C3.C4.3605.1.4m 由折叠可知，BE=DE, 6.B 设AE=x,则DE=BE=8-x, 能力在线 在Rt△ADE中，由勾股定理，得 7.5.2m8.8尺9.A x2+42=(8-x)2,解得x=3, 10.(1)(15-x) .点E的坐标为(10,3). (2).∠C=90°，.AD2=AC2+DC2. 能力在线 .(15-x)2=(x+5)2+102. 8.B9.D10.1211.2√2 ∴.x=2.5. 12.将“圆柱形储罐”展开为如图所示，由题 .CD=5+2.5=7.5(m) 意可知BC⊥AC, 答：树高7.5m. 拓展在线 :圆柱底面半径为米，π取3， 11.过点P作PH垂直EF,垂足为 “底面圆的周长的一半AC=2X2X3 1 H,如图. AB⊥EF, PH⊥EF,CDI EF, ×9=16米。 .AB∥HP∥CD. :圆柱的高为12米， '.△ABMp△PHM,△CDN∽△PHN. .BC=12米. 锦姗册 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB=√/AC+B区=√162+12=20（米）. PH=AB·MH,PH=CD:HN 13.(1)由题意，得AB=30×2=60(海里). MB DN ,∠NBC=60°，∠NAC=30°， AB·MHCD·HN ∴.∠ACB=∠NBC-∠NAC=30. MB DN ∴.∠ACB=∠NAC. 设MH=xm,则HN=(8.8-x)m, ∴.BC=AB=60(海里) 2器-1x882.x=4.4 .从海岛B到灯塔C的距离为60海里 0.8 (2)如图，过点C作CP⊥AB于点P Hp-26-5.5(m. ∴.根据垂线段最短，线段CP的长为小船与 .深坑的深度为5.5米 灯塔C的最短距离. 23.2直角三角形的性质 在Rt△CBP中，∠BCP=90°-60°=30°， 基础在线 ∴PB=2BC=30(海里). 1.B2.C ∴.AP=AB+BP=60+30=90(海里). 3.1CD=2AB=号×8=4. ∴.航行的时间为90÷30=3（时） 8+3=11(时). (2)证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°， ∴若这条船继续向正北航行，上午11时船与灯塔C的距 ∴∠A=90°-30°=60°. 离最小 :CD=号AB=AD,“△ACD为等边三角形. 拓展在线 14.√17-1 ∴.∠ADC=60° 23.3锐角三角函数 :CELAD,.F是CD的中点，EF=CD=DF 23.3.1锐角三角函数 .△EDF为等边三角形 第1课时锐角三角函数 4.B 基础在线 5.(1)证明：：AD平分∠CAB, ∴∠CAD=∠EAD. 1B2A3.C4号 ∴DE⊥AB于点E. 5.在Rt△BCD中，CD=3,BD=5, ∴∠AED=90°=∠C. ,∴.BC=VBD-CD2=/52-32=4. ∴.△ACD≌△AED(AAS).'.AC=AE 又AC=AD+CD=8, (2)DE⊥AB于点E,E是AB的中点， .AB=√AC+BC=√82+4=4V5. ∴.AD=BD..∠B=∠BAD=∠CAD. :∠B+∠BAD+∠CAC=90°， 则m4器有总 一探究在线·九年 COsA-AC=_8_2/5 又：AD平分∠BAC,∠BAC=60° AB 455 ∴.∠B=30°.∴.AB=2AC=16,BC=AB·sin∠BAC= 16×sin60°=8√3 18.由题意，tanA·cosB= 3 6.A7.26°8.A9.⑤ ,tanA=√3， 3 能力在线 c0sB=月.w万，9为-元二次方程2x-3m+3=0 2 的两个实数根. 10.A11,C12.A13.A14. 15.:nB-器告AD-12 5+员=3m 22 m=√3. AB=15. :c0sB=停，∠B为锐角， 由勾股定理，得 .∠B=30°..∠C=180°-∠A-∠B=90°. BD-√AB-AD=√1F-12=9, △ABC为直角三角形. .BC=14, 拓展在线 ∴.线段DC的长为14一9=5， 19.1 (2)E为边AC的中点，AD是边BC 23.3.2用计算器求锐角三角函数值 上的高， 基础在线 AE=EC=DE.∠EDC=∠ECD. 1.A2.2.143.540.8090 ∴.tan∠EDC=tan∠ECD= AD=1 4.(1)0.7314(2)0.9041(3)1.0000 C 5 5.D (3)过点C作CF⊥AB于点F, 6.(1)a≈39.23°.(2)a≈67.08°.(3)a≈74.26°. 由面积公式知，AD·BC=AB·CF, 能力在线 :.CF-AD.BC_12X14_56 7.(1)0.2395(2)0.7488 AB 15 5 8.16.59.8.16 又AC=√AD+CD=13, 拓展在线 isin∠BMC-能-曾×B-器 10.(1)随着锐角度数的增大，它的正弦值逐渐增大，它的余 弦值逐渐减小 拓展在线 (2)sinl8°sin34°<sin50°<sin62°<sin88°， 16.A c0s18°>cos34>c0s50°>c0s62°>c0s88°. 第2课时特殊角的三角函数值 (3)=<> 基础在线 (4)sin10°<cos70°<sin50°<cos30°. 1.C2.A3.D4.A 微专题9求锐角三角函数值的常用方法 +v2x 5.(1)原式=2× 1B223c49526号号 (2原式=1+6×号-3×（停）=3。 阶段测评6(23.1-23.3) 9+1 1.C2.B3.A4.D5.B6.A7.号8含 (3)原式= 1+3 3×1 3 9.(3,1) 10.号 1.312,3m 6.B7B859.号或号 18原武=6×（停）-×-2×号 能力在线 10.A11.C12.60°13.2y3 3 14,6-2 =6×号-号-巨 15.原式=3×得-+唇×竖+V1-3 3 1 (2)原式-号×号-1+名+号 =3-2+2+3-1 =-1+1 =2√3-1. 16.sina-号，且a是锐角，a=45 14.直线y=2x一4的图象与x轴的交点A为(2,0)，即OA ,∴.3cos2a+sin(a-15°)tan(a+15°)-√3cos(a-15°) =2,与y轴的交点B为(0，一4)，即OB=4. =3cos245°+sin30°tan60°-√3cos30 则AB=√22+4=2√5. =3x()'+号×-×9=+9-- ÷.sia=sin∠BA0=AB25-方 OB4_25 17.:在R△ACD中，AC=8,AD=165,∠C=90, COsa-cos_BAO-OA=_2-5 AB2√55， ∴DAC--AS-.∴∠DAC=30 aean∠BA0-8贺-告-2 及数学（上）·HD一 25