精品解析：广东 佛山市禅城区汾江中学2026-2027学年度九年级上学期第一次学情自测数学试卷

九年级上学期十一假期作业检测数学科 问卷 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 如图，正方形中，为对角线上的一点，连接、，则图中全等三角形有多少对？（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 2. 如图，在矩形中，平分，平分，，，则四边形是什么图形？（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 3. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 在数学活动课上，为探究四边形瓷砖是否为菱形，以下拟定的测量方案，正确的是（ ） A. 测量一组对边是否平行且相等 B. 测量四个内角是否相等 C. 测量两条对角线是否互相垂直 D. 测量四条边是否相等 6. 如图，菱形中，，，则菱形的周长是（ ） A. 10 B. 20 C. 40 D. 96 7. 如图，在四边形中，点、、、分别为、、、的中点，当四边形满足什么条件时，四边形是菱形？（ ） A. B. C. D. 8. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 9. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为16m的墙（图中阴影部分），另外三边用长的篱笆围成．设花圃与墙垂直的一边长为．若花圃的面积为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形的周长为，，E是边的中点，P是上的边点，则的最小值是（　　） A. B. 3 C. D. 6 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 一元二次方程的负整数解______． 12. 若是一元二次方程的一个根，则的值是______． 13. 在正常情况下，10米跳台跳水运动员必须在距水面不小于时完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员距离水面的高度（）和运动员起跳后的运动时间（）之间满足关系：，则当时，即． 根据表格中的对应值，可判断运动员完成动作的时间最多不超过______．（精确到） 14. 如图，在矩形中，两条对角线相交于点，，，则长为______． 15. 如图，中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，经过______秒，四边形的面积等于． 三．解答题 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图，在四边形中，，是的中点，，． （1）请判断四边形的形状，并说明理由． （2）若要使四边形为正方形，则原来四边形中需要满足一个条件为______． （只限于写四边形的边、角或对角线的关系） 18. 已知关于的一元二次方程为． （1）若方程有一个根为2，求另一个根及的值． （2）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 19. 山清水秀的西樵镇已成为佛山地区最受欢迎的旅游地之一，其中“千古情”在2024年国庆假期间，接待游客达2万人次，预计在2026年国庆假期，接待游客2.88万人次，附近一家樵园饼屋希望在国庆假期间获得好的收益，经测算知，该店生产的西樵大饼成本价为每个10元，借鉴以往经验，若每个卖15元，平均每天将销售120个，若价格每提高0.5元，平均每天少销售4个，每天饼屋所需其他各种费用为168元． （1）设年平均增长率为，列方程求出2024至2026年国庆节同期游客人次的年平均增长率； （2）物价局规定每个西樵大饼涨价不得超过5元，则当每个涨价多少元时，才能实现每天净利润600元？ 20. 如图，点在上，过的中点作的平行线，分别交的平分线和的平分线于点、，延长交于点． （1）请根据以下命题进行判断： 命题1：，．______命题（填“真”或“假”） 命题2：四边形是矩形．______命题（填“真”或“假”） 命题3：连接，则．______命题（填“真”或“假”） （2）任选一个命题，进行证明或举反例（举反例需要画图） 21. 如图1，在矩形中，，，点在线段上运动，现将纸片折叠，使点与点重合，得折痕（点为折痕与或的交点，点为折痕与或的交点），再将纸片还原． （1）①当点与点重合时，折痕的长为______；②当______时，点与点重合． （2）尺规作图：当点与点重合时，在图2中作出四边形．（不写作法，保留作图痕迹） （3）在（2）的条件下，求出四边形的周长． 22. 综合与实践：制作长方体盒子 一块长，宽的矩形铁皮． （1）如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为，则可列方程为______． （2）由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由 （3）为了不浪费原材料，小明把这个矩形铁皮分割成5个矩形铁皮，用其中一个作为底面，其余4个作为侧面，恰好能焊接成一个无盖长方体铁盒，请画出设计图，并直接写出该铁盒侧面的高． 23. 综合探究： 如图，在正方形和正方形中，若，，连接，是的中点． （1）如图1，当顶点、、在同一直线上，求长； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，．猜想线段，的关系，并说明理由． （3）如图3，正方形绕点旋转，使得点在延长线上，连接，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网 组卷网 九年级上学期十一假期作业检测数学科问卷 一.选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1.如图，正方形ABCD中，F为对角线AC上的一点，连接BF、DF,则图中全等三角形有多少对？ A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得AB=AD,CB=CD,∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA,结合 公共边利用SAS或SSS判定全等三角形. 【详解】解：·四边形ABCD是正方形，AC为对角线， .AB=ADCB=CD∠BAC=∠DAC=45°∠BCA=∠DCA=45 在△ABC和△ADC中 AB=AD BC=DC AC=AC ∴.△ABC2△ADC(SSS) 在△ABF和△ADF中 第1页/共30页 可学科网命组卷网 AB-AD BAF=∠DAF AF=AF .△ABF≌△ADF(SAS) 在△CBF和△CDF中 CB=CD BCF=∠DCF CF=CF .△CBF≌△CDF(SAS) 综上所述，图中全等三角形共有3对. 2.如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE,则四边形 BECF 是什么图形？() A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 【答案】D 【解析】 【分析】先根据矩形的性质和平分线的定义可得∠CBE=∠BCE,进而得出BE=CE,再根据“两组对 边平行的四边形是平行四边形”说明四边形BECF是平行四边形，然后根据一组邻边相等，且有一个角是 直角的平行四边形得出答案， 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， 第2页/共30页 6学科网列组卷网 .∠ABC=∠BCD=90° ,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD, :∠CBE=ABc=45=∠BCE=BD】 .BE=CE ,.BF∥CE,CF∥BE ∴.四边形BECF是平行四边形，∠CBF=∠BCE=45°， .∠EBF=∠CBE+∠CBF=90° BE=CE. 四边形BECF是菱形. .∠EBF=90°， ∴，四边形BECF是正方形. 3.下列是一元二次方程的是() A.y=2x2 B.ar2-bx-c=0(a≠0) C.x3=9 D.(x+1)(x-I）=x2+x 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程需要同时满足三个条件：只含有一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程， 依次对四个选项逐一判断即可· 【详解】解：A.含七y两个未知数，不满足一元要求，故本选项不符合题意； B.a≠0，仅含未知数x,最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程定义，故本选项符合题意： 第3页/共30页 命学科网命组卷网 C.未知数最高次数为3，不满足二次要求，故本选项不符合题意： 2-1 D.左边展开得 ，移项合并同类项后二次项抵消，为一元一次方程，故本选项不符合题意 4一元二次方程r+2x-1=0 的根的情况为() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】计算根的判别式△的值，通过其与0的大小关系判断方程根的情况. 【详解】解：：一元二次方程为x+2x-1=0 :a=1b=2c=-1 :△=b2-4ac=22-4×1×(-1)=4+4=8>0 ∴·方程有两个不相等的实数根， 5.在数学活动课上，为探究四边形瓷砖是否为菱形，以下拟定的测量方案，正确的是() A.测量一组对边是否平行且相等 B.测量四个内角是否相等 C.测量两条对角线是否互相垂直 D.测量四条边是否相等 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的判定、菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可， 【详解】解：A、测量一组对边是否平行且相等，能判定平行四边形，不能判定菱形，故选项A不符合题意； B、测量四个内角是否相等，能判定矩形，不能判定菱形，故选项B不符合题意； C、测量两条对角线是否互相垂直，不能判定菱形故选项C不符合题意； D、测量四条边是否相等，能判定菱形，故选项D符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关 键 第4页/共30页 命学科网命组卷网 6.如图，菱形ABCD中，AC=16,BD=12,则菱形的周长是() B A.10 B.20 C.40 D.96 【答案】C 【解析】 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质，求出对角线一半的长度，再借助勾股定理求出菱形边长， 最后计算周长， 【详解】解：四边形ABCD是菱形，AC=16,BD=12, ·.AC⊥BD, 0A-14C-8 OB-BD-6 2 在Rt△AOB中， AB=VOA2+OB2=V82+62=10 4×10=40 菱形的周长为 7.如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，当四边形 ABCD EFGH 满足什么条件时，四边形 是菱形？() B AC=BD A. B.AB=CD cAC⊥BD D.AB⊥BC 第5页/共30页 6学科网 命组卷网 【答案】A 【解析】 【分析】连接AC,BD,根据三角形中位线定理说明四边形EFGH是平行四边形，再由菱形的判定即 可解答 【详解】解：连接AC,BD, .·EF AB BC 分别为 的中点， EFNAC.EF-TAC 同理GIAC, HG= AC 2 ∴.EF‖HGEF=HG 四边形 EFGH 是平行四边形， E,H分别为AB,AD的中点， ÷EH=BD 当AC=BD时，EF=EH, ·平行四边形 FGH 是菱形. 8关于x的一元二次方程x+x-a=0的一个根是名=1 ,则a的值为() A.-1 B.2 C.-2 D.1 【答案】B 第6页/共30页 命学科网命组卷网 【解析】 【分析】已知根代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到α的值. 【详解】解：：=是一元二次方程+x-a=0 的根， 将x=1代入方程得 12+1-a=0 :2-a=0 :4s2 9.如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为16m的墙（图中阴影部分），另外三边用30m长的篱 笆围成。设花圃与墙垂直的一边长为m.若花圃的面积 90m,则下面所列方程正确的是（） 墙 花圃 A.x(16-2x)=90 B.x(30-x)=90 c.(x-16)(30-2x)=90 D.x(30-2x)=90 【答案】D 【解析】 【分析】设与墙垂直的一边长为m,根据篱笆总长表示出与墙平行的一边长，利用矩形面积公式列出方 程即可， 【详解】解：设花圃与墙垂直的一边长为m, 30m 篱笆总长为 ,且矩形花圃一边靠墙， “与墙平行的一边长为 30-2x)m 第7页/共30页 6学科网命组卷网 “花圃的面积为 0m2 x(30-2x)=90 根据矩形面积公式可得方程 10.如图，菱形ABCD的周长为24cm,∠A=120°，E是BC边的中点，P是BD上的边点，则 PE+PC 的最小值是() A.3V5 B.3 c.3v2 D.6 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的判定，得出平行四边形ABCD为菱形，作出E关于BD的对称点E,转化为线段长 度的问题，再根据等边三角形的性质判断出△BCE'为直角三角形，利用勾股定理即可求出CE'的长. 【详解】解：，平行四边形ABCD为菱形. .AB=BC=CD=AD=24÷4=6,∠A=120°， ∴.∠ABD=∠CBD=60°， .BD是∠ABC的平分线. 作E关BD的对称点E', 连接CE',PE, 则PE=PE, 此时，PE+PC=PE'+PC=CE', 第8页/共30页 命学科网组卷网 CE' PE+PC 即为 的最小值. .∠ABC=60°， 又BE'=BE .△E'BE为正三角形，EE=3,∠ABE=60°， 故EE'=EC, ∠EE'C=∠ECE'=30° .∠BE'C=60°+30°=90°」 在Rt△BCE中，CE=V62-32=3V3 故选：A. 【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，内容涉及菱形的性质和判定、等边三角形的性质和判定及勾股 定理，综合性较强 二.填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11.一元二次方程 2=9 的负整数解术 【答案】 -3 【解析】 2=9 【分析】先求出方程 的所有根，再筛选出符合要求的负整数解. 【详解】解：·x=9 第9页/共30页 6学科网 命组卷网 “对等式两边开平方，得 =±3 3-3 ,即方程的根为和， 其中符合要求的负整数解为-3， 12若x=0是一元二次方程-6x-7=0的-个根，则4-60的值是 【答案】 7 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将x=Q代入原方程，整体计算即可得到所求值. 【详解】解：：X=“是一元二次方程-6x-7=0 一个根， 将t 代入原方程，得-60-7=0 移项可得0-60=7 13.在正常情况下，10米跳台跳水运动员必须在距水面不小于5m时完成规定的翻腾动作，并且调整好入 水姿势，否则就容易出现失误.假设运动员距离水面的高度h(m)和运动员起跳后的运动时间t(s) h=10+2.5t-5t 之间满足关系： ,则当h=5时，10+2.51-50=5即22-1-2=0 t 1.1 1.2 1.3 1.4 2t2-t-2 -0.68 -0.32 0.08 0.52 根据表格中的对应值，可判断运动员完成动作的时间最多不超过_§.（精确到0.1） 【答案】1.3 【解析】 【分析1本冠考查了二次函数的应用，根据表格可得当h=5时，2-(-2=0的解在2和13之间，即 可求解. 第10页/共30页 命学科网 组卷网 【详解】解：依题意，当h=5时，10+2.51-5=5即21-1-2=0 根据表格可得22-1-2=0。 的解在12和13之间， ∴.可判断运动员完成动作的时间最多不超过1.3s, 故答案为：1.3。 14.如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O,∠AOD=120°，AB=6,则BC长为 D 【答案】 6V3 【解析】 【分析】根据矩形对角线互相平分且相等得出OA=OB,结合∠AOD=120°求出∠AOB=60°，判定 △AOB OA AC BC 为等边三角形求出 “，进而求出，最后利用勾股定理求 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， .OA=OB=OC=OD,∠ABC=90°， .∠AOD=120°， .∠A0B=180°-120°=60°， .△AOB是等边三角形， .'OA=AB=6. 第11页/共30页 6学科网 命组卷网 .AC=20A=12. :在RIAABC中，BC=VAC2-AB2=V122-6=6√3 15.如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm,点P从点A开始沿边AB向点B以lcm/s 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿BC向C点以2Cm/s的速度移动，如果P、分别从A、B APOC 同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，经过秒，四边形 的面积等于 16cm2 0 【答案】2 【解析】 【分析】设运动时间为'秒，用含1的代数式表示BP和BC的长，利用w源e=S,c一S,0列出方 程求解即可. APOC 【详解】解：设经过秒，四边形 的面积等子16cm 根据题意，得1P=cm,BQ-=2cm ..BP=(6-t)cm BC=8cm ”点运动到点时停止， ∴.0<t≤4 :Sac=)4B-BC=)x6x8=24 1 2 2 且S四边形APQc=S.ABc-SaPO 16=24-8n-B0n16=24-26-0-2 第12页/供30页 6学科网 命组卷网 2-6t+8=0 整理得 解得1=24=4 .t=4 APOC 时，点O和点C重合，与四边形 矛盾， .t=2 三.解答题 16.解方程： (1)x+4x-1=0 (2)x(x+)=2(x+1) 【答案】(1)=-2+V5.x2=-2-V5 (2)=-1为=2 【解析】 【小问1详解】 解：r+4x-1=0 移项得r+4x=】 配方得+4x+4=1+4 整理得(x+2)2=5 开方得x+2=士V5 解得x=-2+5.:,=-2-V5 【小问2详解】 第13页/共30页 命学科网命组卷网 x(x+1)=2(x+1) 解： x(x+1)-2(x+1)=0 移项得 (x+10(x-2)=0 提取公因式得 可得x+1=0或x-2=0 解得1x2=2 17如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90,E是BC的中点，ADIIBC,D=2BC D B (I)请判断四边形AECD的形状，并说明理由. (2)若要使四边形AECD为正方形，则原来四边形ABCD中需要满足一个条件为一· (只限于写四边形ABCD的边、角或对角线的关系) 【答案】(I)四边形AECD是菱形，理由如下： ,E。BC 是的中点， :.BE=EC=LBC 2, .AD= 2’ .AD=EC 第14页/供30页 6学科网 命组卷网 .AD‖BC 四边形 AECD 是平行四边形， .∠BAC=90° ∴，△ABC 是直角三角形， ∴.AE=BE=EC, 四边形 AECD 是菱形： (2)AD⊥CD 【解析】 EC 【分析】(1)先由E是BC的中点得到 2BC,结合 ，AD= 2BC且ADI BC,证出四边形 AECD AE=EC 是平行四边形，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得到 ，一组邻边相等的平行四 边形是菱形： (2)己知AECD已经是菱形，菱形再加一个内角为90°就是正方形，所以填写能推出∠ADC=90°的条 件，例如AD⊥CD」 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由(I)得四边形AECD是菱形， 当AD⊥CD时，∠ADC=90°， ·四边形 AECD 为正方形. 第15页/供30页 6学科网命组卷网 18已知关于x的一元二次方程为P+(-2)x-k=0 (1)若方程有一个根为2，求另一个根及k的值. (2)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根. 【答案】(1) k 0 0 的值为，方程的另一个根为； (2) 证明：：一元二次方程为t+(亿-2)x-k=0 ：判别式△=k-2-4x1×(-) =k2-4k+4+4k =k2+4 k2≥0 :2+4≥4>0，即A>0 ∴.无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根. 【解析】 【分析】(1)将术=2代入+k-2)x-k=0 求解k,再解一元二次方程即可： (2)利用根的判别式证明即可. 【小问1详解】 解：将x=2代入×+k-2-k=0,得2+2k-2)-k=0, 解得k=0, 将fs 代入原方程，得-2x=0 第16页/共30页 6学科网命组卷网 x(x-2)=0 因式分解得 解得=25=0 ∴方程的另一个根为0，k的值为0 【小问2详解】 略 19.山清水秀的西樵镇已成为佛山地区最受欢迎的旅游地之一，其中“千古情”在2024年国庆假期间，接 待游客达2万人次，预计在2026年国庆假期，接待游客2.88万人次，附近一家樵园饼屋希望在国庆假期 间获得好的收益，经测算知，该店生产的西樵大饼成本价为每个10元，借鉴以往经验，若每个卖15元， 平均每天将销售120个，若价格每提高0.5元，平均每天少销售4个，每天饼屋所需其他各种费用为168元. (1)设年平均增长率为x,列方程求出2024至2026年国庆节同期游客人次的年平均增长率： (2)物价局规定每个西樵大饼涨价不得超过5元，则当每个涨价多少元时，才能实现每天净利润600元？ 【答案】(1)年平均增长率为20% (2)每个涨价3元时，能实现每天净利润600元 【解析】 【分析】(1)根据2024年与2026年游客人次的增长关系列一元二次方程求解： (2)根据净利润的等量关系列方程，结合涨价限制条件取舍解. 【小问1详解】 解：设年平均增长率为x, 2(1+x)2=2.88 由题意得： 解得x=0.2=20%(负值已舍去)， 答：2024年与2026年国庆节同期游客人次的年平均增长率为20%： 【小问2详解】 解：设每个西樵大饼涨价x元，单个利润为（15+x-10)元，即5+)元，价格每提高0.5元少销售4个， 第17页/共30页 6学科网命组卷网 20-x ×4=120-8x 故每天销售量为 0.5 个， (5+x)120-8x)-168=600 由题意得： x2-10x+21=0 整理得： 解得=3为=7 ,每个涨价不得超过5元，即x≤5， x=7不符合题意，舍去， x=3, 答：当每个涨价3元时，才能实现每天净利润600元. 20.如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线 于点C、D,延长AD交MN于点F. M B FN (1)请根据以下命题进行判断： 命题1：OB=OD,CB⊥BD ，命题（填“真”或“假”) 命题2：四边形ACBD是矩形. 命题（填“真”或“假”） 命题3：连接OF,则OF⊥AB.命题（填“真”或“假”） (2)任选一个命题，进行证明或举反例（举反例需要画图） 第18页/共30页 命学科网命组卷网 【答案】(1)真，真，假 (2)命题1：证明：·BD平分∠ABF, ∴.∠ABD=∠FBD, CDI/MN :∠CDB=∠FBD :∠ABD=∠CDB OB=OD :CB平分∠ABM BD 平分 ∠ABF 平分 :2CB0-3ABM.∠0BD-ABF 2 :∠BD=∠a0+∠0BD-ABM+5ABF-ABM+∠ABr)=0】 2 2 .CB⊥BD 命题1是真命题； 命题2：，CB平分∠ABM, .∠CBO=∠CBM, CDI/MIN ∴.∠OCB=∠CBM. .∠OBC=∠OCB, ∴.OC=OB=OD, 点O是AB的中点， 第19页/供30页 6学科网 组卷网 :.OA=OB, ∴.四边形ACBD是平行四边形， .CB 1 BD ∴四边形ACBD是矩形， 命题2是真命题； 命题3：如图，当∠ABF=90°时，连接OF, D M B F N CD⊥ABCD∥M W ,点D和点F不重合，点F在上， 和1 不垂直， ∴命题3是假命题. 【解析】 【分析】(1)根据题意判断即可： (2)命题1：由角平分线和平行线得到∠ABD=∠CDB,即可得到OB=OD;利用角平分线的定义和 平角为180°即可得到CB⊥BD,即可判断命题1是真命题； 命题2：同上证明出OC=OB=OD,推出四边形ACBD是平行四边形，然后结合CB⊥BD得到四边形 ACBD 是矩形，即可判断命题2是真命题： 命题3：当∠ABF=90°时，连接OF,利用过直线外一点只有一条直线与己知直线平行即可判断命题3 第20页/共30页 6学科网6组卷网 是假命题， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21.如图1，在矩形ABCD中，AB=8,AD=4,点P在线段AB上运动，现将纸片折叠，使点D与点 重合，得折痕BF(点E为折痕与1D或1B的交点，点F为折痕与BC或CD的交点)，再将纸片还 BC CD 原 D B 图1 图2 (1)①当点P与点A重合时，折痕EF的长为一：②当AP=时，点E与点A重合. (2)尺规作图：当点P与点B重合时，在图2中作出四边形DEPF.(不写作法，保留作图痕迹) (3)在(2)的条件下，求出四边形DEPF的周长. 【答案】(1)①8②4 (2)如图， D (3) (P)B 图2 20 【解析】 【分析】(1)①当点P与点A重合时，折痕EF是矩形中间一条水平线段，长度等于AB=8:②点E与 第21页/共30页 6学科网命组卷网 点A重合时，由折叠知AP=AD=4: (2)点P和点B重合时，折痕EF垂直平分DB,连接DB,作DB的垂直平分线，与DC、AB交点即 为点F、点E,依次连接点D、点E、点P、点F画出四边形DEPF: (3)设MB=x,则BE=8-X,利用折叠性质得到DE=BE,在Rt△MDE中由勾股定理列方程求出 ，在 x=3 DE=5 DE=EP=PF=FD=5 DEPF ,得到 ,再结合平行、等角对等边证得 算出四边形 周长 为20 【小问1详解】 解：①如图，当点P与点A重合时， D E A(P) 由折叠得EF垂直平分AD、BC, DEF-ZAEF-908.DE-AE--AD CF=BF-7BC :AE=BF, 又：AE∥BF, ∴四边形AEFB是矩形， ·折痕卧的长为 EF 8 ②如图，当点E与点A重合时， D F A(E) 第22页/供30页 6学科网命组卷网 由折叠得EF垂直平分DP, .AD=AP=4: 【小问2详解】 解：作垂直平分线步骤：分别以点B、点D为圆心，大于二分之一BD的长为半径画弧，两弧分别交于两 点，这两点之间的连线即为BD的垂直平分线， 图略； 【小问3详解】 解：设AE=x,则BE=8-x, 在R△DME中，DE=AE+AD2=P+4 由折叠得EF垂直平分DB,∠DEF=∠BFE, ∴DE=BE.DF=BF ∴x2+42=(8-x2 ∴.16=64-16x ∴x=3 ∴.BE=DE=5 :AB∥CD .∠DFE=∠BEF, .∠BFE=∠BEF, ∴.BE=BF=DE=DF=5 “四边形 DEPF 20 的周长为 22.综合与实践：制作长方体盒子 块长30cm,宽l2cm的矩形铁皮. (1)如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积 第23页/共30页 6学科网组卷网 44cm2 xcm 为 的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为 C如，则可列方程为 图1 (2)由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2的裁剪方 04cm2 案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否折出底面积为 的有 盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由 底 顶 图2 (3)为了不浪费原材料，小明把这个矩形铁皮分割成5个矩形铁皮，用其中一个作为底面，其余4个作为 侧面，恰好能焊接成一个无盖长方体铁盒，请画出设计图，并直接写出该铁盒侧面的高. 【答案】1)(30-2x(12-2.x)=144 104cm1 208cm3 (2)能折出底面积为 的有盖盒子，盒子的体积为 (3)设计图如下： 第24页/共30页 6学科网 组卷网 该铁盒侧面的高为4.5cm 【解析】 【分析】()四角剪去边长为m正方形后，底面长为(30-2x)cm,宽为12-2x)cm,根据底面 积为144cm2'直接列出方程(30-2x12-2x)=14 2)设正方形边长为心m,结合有盖盒子裁剪方案，底面长为230-20m宽为2-2y)cm利 用底面积列方程，利用判别式判断方程是否有解， △>0 04cm ,有解，故能折出底面积为 的有盖盒子， 然后舍去超出范围的根，算出高后求出体积： (3)把原铁皮分成1块正方形底面、4块相同长方形侧面，底面取边长12cm,算出侧面高为4.5cm 【小问1详解】 解：由思意得底面长为(30-2x)cm,宽为12-2x)cm 底面积为 44cm2 ·可列方程为(30-2x)12-2x)=144 【小问2详解】 解：设切去的正方形的边长为少cm 则底面长为2 30-2y)c ,宽为2-2y)em “底面积为 104cm2 ∴2（30-2y12-2)-104 化简得2少-42y+76=0,则广-21y+38=0 第25页/供30页 6学科网列组卷网 .△=b2-4ac=212-4×1×38=289>0 5%=21,17=2为=21+17-19>12 2 2 (舍去)， ·能折出底面积为104cm2的有盖盒子，盒子的体积为2×104=208(cm）, 【小问3详解】 解：要求不浪费原材料， “取边长为 2cm 12cm 的正方形作为底面，再把剩余部分分成长为 的四个全等长方形， 设计图略， (30-12)÷4=4.5(cm） 4.5cm 该铁盒侧面的高为 23.综合探究： 如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，若AB=l,DG=V5,连接BF,H是BF的中点. 图1 图2 图3 (I)如图1，当顶点B、D、F在同一直线上，求BF长： (2)如图2，在(1)的条件下，连接AH,GH.猜想线段AH,GH的关系，并说明理由. (3)如图3，正方形ABCD绕点D旋转，使得点H在AD延长线上，连接HE,直接写出HE的长. 【答案】(1)V2+V0 (2)AH=GH且AH⊥GH,理由如下： 第26页/共30页 6学科网6组卷网 如图，连接AC交BD于点M,连接GE交DF于点N,则AC⊥BD,GE⊥DF, 由(1)得BD=V2,DF=V10.BF=V2+VI0 :点H是BF的中点， F) 2 AM -AC-AC-BM-MD-BD2 GN-NE-1GE-DN-NF-1DF-110 2 2 MH=肚-M-分0，N=F-NF- ∴.MH=GNAM=HN 在△AMH和△HNG中， AM=HN ∠AMH=∠HNG=90 MH=NG ∴.△AMH≌△HNG(SAS) ∴.AH=HG∠AHM=∠HGN .∠HGN+∠GHN=90° 第27页/供30页 6学科网列组卷网 .∠AHM+∠GHN=90° ..∠AHG=90° .∴.AH⊥GH (3)2 【解析】 【分析】(1)利用正方形对角线公式，分别算出两个正方形的对角线BD、DF,因为点B、点D、点F 共线，所以BF=BD+DF: (2)分别取两个正方形对角线中点，构造直角三角形，通过SAS证明△AMH≌△HNG,得到AH=GH, 再通过角度转化推导出∠AHG=90°，即AH⊥GH, (3)过点F作FP⊥AH,先证△BAH≌△FPH、△GDA≌△GFP,结合等腰直角、勾股计算，再证 △DHB≌HDE,得到HE=BD=V2 【小问1详解】 解：“在正方形ABCD和正方形DEFG中，若AB=L,DG=V5, .AD=1 GF=5 ∴.BD=VAB2+AD2=√2.DF=VDG+GF2=V10 当顶点B、D、F在同一直线上时，BF=BD+DF=V2+O 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点F作FP⊥AH于点P,连接BD、AG、GP, 第28页/共30页 6学科网命组卷网 点H是BF的中点， :BH=FH, 在△BAH和△FPH中， ∠BAH=∠FPH=90 ∠AHB=∠PHF BH=FH ,∴ABAH≌aFPH(AAS) .AH=PH,AB=PF, AB=AD. ∴.AD=PF=1, DPFG∠DGF=∠DPF=90° 在四边形 中， .∠GDP+∠GFP=180° .∠GDA+∠GDP=180° ∴.∠GDA=∠GFP △GDA△GFP 交 和 中， GD=GF ∠GDA=∠GFP AD=PF ∴.AGDA≌△GFP(SAS) ∴.GA=GP∠AGD=∠PGF 第29页/共30页 6学科网命组卷网 ∴.GH⊥AP∠AGD+∠DGP=∠PGF+∠DGP=∠DGF=90° ∴.GH=AH=HP :在RtDHG中，DG=V5DH=AH-AD=GH-AD=GH-1DG2=DHP+GH .5=(GH-1)2+GH GH=2, .HP=2, 在Rt△HF中，Hf=VHP2+Fp=22+P=5 ∴.HF=HB=DE=GF ∴.∠FHG=∠FGH :∠FGH+∠DGH=90°∠DGH+∠GDH=90° ∴.∠GDH=∠FGH=∠FHG .∠HDE+∠GDH=90°∠DHB+∠FHG=90° ∴.∠DHB=∠HDE. 在△DHB和△HDE中， DH HD ∠DHB=∠HDE HB=DE ∴.ADHB≌AHDE(SAS) .HE=BD=√2 第30页/共30页