精品解析：陕西西安航天菁英学校2026-2027学年度第一学期九年级第一次阶段学情自测数学试卷

2026~2027学年第一学期初三数学（一） 全卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）， 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，其一般形式为，其中，a、b、c为常数；根据一元二次方程的概念进行判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、是分式方程，不符合题意． 故选：C． 2. 若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d的值为（    ） A. B. 10 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段． 根据成比例线段的定义，，代入已知值求解d即可． 【详解】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 3. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可配方，根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴ 故选：A． 4. 如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 5. 下列条件中，能使平行四边形成为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质与矩形的判定定理是解决问题的关键．根据矩形的判定定理逐一判定即可． 【详解】解：A、平行四边形中，，可利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定平行四边形是菱形，不能使平行四边形成为矩形，故本选项不符合题意； B、平行四边形中，，由对角线相等的平行四边形是矩形，可证明平行四边形是矩形，故本选项符合题意； C、平行四边形中，，可利用邻边相等的平行四边形是菱形判定平行四边形是菱形，不能使平行四边形成为矩形，故本选项不符合题意； D、平行四边形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，不能判定平行四边形是矩形，故本选项不符合题意． 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，已知，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，相似比为， 点的坐标为，即， 故选：B． 7. 如图，某中学规划修建一个矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最长可用长度为），另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成面积相等的两个区域，并在两个区域中各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长为，且矩形的面积为，请求出的长，设长为，则可以列出方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题列一元二次方程，设长为，则的长为，再根据矩形的面积为列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设长为，则的长为， ∵矩形的面积为， ∴， 故选：A． 8. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相平分得到，点为的中点，根据菱形的面积公式可求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点， ∴，点为的中点， ∵菱形的面积为， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ． 9. 如图，在平行四边形中，点是边上的一点，且，交对角线于点，则为（　　） A. 60 B. 45 C. 18 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明． 先证，根据相似三角形的面积比等于边长比的平方求解． 【详解】解：∵平行四边形中，， ， ∴， ， ， 故选：A． 10. 如图，是矩形的一条对角线，过点A作，垂足为E，交边于点F，且，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据题意证明，得到，，作于点，证明，得到，，，再证明，得到，根据勾股定理，，，，算出，即可解题． 【详解】解：四边形为矩形， ，，， ， ，射线交于点， ， ， ， ，， 过点C作于点， ， ， ， ， ， ， ，， 在和中 ∴， ， ， ， ， 在中，由勾股定理： ， ， ． ，，， ， ， ， ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如果，那么____________． 【答案】 【解析】 【分析】已知比例式，可得，， （）． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 12. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点处，则点上方的琴弦长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，根据黄金分割的定义即可解决问题． 【详解】解：∵二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，即点B为黄金分割点， 设B点下方的琴弦长为，且二胡的琴弦长为， 则有， 解得， ∴， ∴ 故答案为：． 13. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则m等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】已知方程为一元二次方程，且一个根为，先将根代入方程求得的可能值，再根据一元二次方程二次项系数不为0排除不符合的取值，即可得到结果． 【详解】解：原方程是关于的一元二次方程， 二次项系数不为， 即，得， 是原方程的一个根， 将代入原方程得 ， 解得或， ∴． 14. 如图，在中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边以的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，与相似． 【答案】4或 【解析】 【分析】首先在运动过程中，与的公共角始终保持相等， 但另外两组角的对应关系不确定，因此需分情况讨论．然后就每种情况利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：设运动时间为t,由题意可知，，， ①当时， 则，即， 解得． ∴经过，． ②当时， 则，即， 解得． ∴经过，． 综上，经过或，与相似． 15. 已知，如图，O是矩形对角线的交点，平分，则的度数为____________． 【答案】30° 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及角平分线的性质，解题的关键是利用矩形的性质和等边三角形的判定与性质来求解角度． 先根据矩形性质得出相关角和边的关系，再结合角平分线性质推出三角形的特殊性质，最后计算出的度数． 【详解】解：四边形是矩形，， ， 是等边三角形， ， 平分， ， ， ， ． 16. 如图，在 中，，，，D、E分别是边、上的两个动点，且，P是的中点，连接，，则的最小值为 __． 【答案】 【解析】 【分析】如图，在 上取一点F，使得，连接，，利用相似三角形的性质证明，根据，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，在上取一点F，使得，连接，， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查阿氏圆问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出过程） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可． （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， ，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 或， ，． 18. 尺规作图：如图，在矩形中，M是边的中点，连接，在上求作一点P，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了作垂线，相似三角形的判定．矩形的性质．由点P在上，，即得出，即过点D作的垂线即可； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 过点D作的垂线， ∴， ∴，， ∴， ∴． 19. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设．则根据比例的性质，得，，，代入到求出即可． 【详解】解：设． 则根据比例的性质，得，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 20. 如图，已知在中，D是边AC上的一点，的平分线交于点，且．求证：． 【答案】∵平分， ∴. ∵， ∴. 即. 又∵， ∴. 又∵， ∴. 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可. 【详解】略 21. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）方程的两根为、，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，可得，．再由，可得到关于m 的方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：∵方程的两根为、， ∴， ∴ ∵ ∴， 即， 解得：或， 由（1）可得，， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． 22. 如图，四边形是平行四边形，对角线，交于点O，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，推出，得到四边形是菱形； （2）根据平行四边形的性质得到，，连接，交于M，根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 连接，交于M， 由（1）知，四边形是菱形， ∴、互相垂直平分， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∴． 23. 西安环城公园是一处融合了明代城墙韵味与现代绿化风貌的公益性公园．它不仅是自然的馈赠，更是历史的见证．小华和小刚打算测量环城公园安定门段的牌坊的高度．如图，小华站在点D处，位于点D正前方3米的点C处有一平面镜，通过平面镜小华刚好可以看到牌坊顶端A的像，此时测得小华眼睛到地面的距离ED为1.5米；小刚在G处竖了一根高为2米的标杆，发现地面上的点H，标杆的顶端F和牌坊的顶端A在一条直线上，此时测得米，米，已知，于G，于D，于B，点B，C，D，G，H在一条直线上，请根据以上数据计算牌坊的高度． 【答案】牌坊的高度11米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明，利用相似三角形的性质可求出，证明，得出，然后代入数据求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 即牌坊的高度11米． 24. “玫瑰香”葡萄品种是农科院研制的优质新品种，深受欢迎．某超市调查发现，当“玫瑰香”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克，已知该超市“玫瑰香”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元．若使销售“玫瑰香”每周获利2240元，求售价应上涨多少元？ 【答案】售价应上涨元 【解析】 【分析】设售价应上涨元，则每天可售出千克，根据总利润等于每千克的利润乘以销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解出的值，再结合题意，即可得出答案． 【详解】解：设售价应上涨元，则每天可售出千克， 根据题意，可得：， 整理，可得：， 解得：，， ∵该水果售价不能超过15元， ∴， ∴售价应上涨元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解本题的关键． 25. 【综合与实践】 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，某综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 【特例研究】在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为_________，k的值为_________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点O、B的对应点分别为点E、F），使得点E落在线段上，点F落在线段上，求的值； 【延伸拓展】 （3）如图3，在菱形中，，，对角线相交于点O，垂直平分线段交于点M，交于点N，将绕点A旋转并放缩得到（点M、B的对应点分别为点E、F），使得点E落在线段上且，点F落在直线上，求的长． 【答案】（1）， （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，由勾股定理解得，进而获得答案； （2）由题意可知，，由相似三角形的性质可得，进而可得，可证明，易得，利用三角函数确定，即可获得答案； （3）根据题意作出，过点交于点H，结合菱形的性质易得为等边三角形，进而解得，，的长度；在中，由勾股定理解得，再根据垂直平分线的性质可得，进而可得；在中，根据垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理解得，的长度；由（2）可知，进而解得，在中，由勾股定理解得的长度，然后由求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴旋转角为，； 【小问2详解】 解：由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：根据题意作出，如下图，过点作交于点H， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴，为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵垂直平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴，即，解得， 在中，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期初三数学（一） 全卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）， 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的有（ ） A. B. C. D. 2. 若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d的值为（    ） A. B. 10 C. 8 D. 12 3. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 1 5. 下列条件中，能使平行四边形成为矩形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，已知，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某中学规划修建一个矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最长可用长度为），另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成面积相等的两个区域，并在两个区域中各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长为，且矩形的面积为，请求出的长，设长为，则可以列出方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，点是边上的一点，且，交对角线于点，则为（　　） A. 60 B. 45 C. 18 D. 15 10. 如图，是矩形的一条对角线，过点A作，垂足为E，交边于点F，且，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如果，那么____________． 12. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点处，则点上方的琴弦长为__________． 13. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则m等于_________． 14. 如图，在中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边以的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，与相似． 15. 已知，如图，O是矩形对角线的交点，平分，则的度数为____________． 16. 如图，在 中，，，，D、E分别是边、上的两个动点，且，P是的中点，连接，，则的最小值为 __． 三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出过程） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 尺规作图：如图，在矩形中，M是边的中点，连接，在上求作一点P，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 已知，，求的值． 20. 如图，已知在中，D是边AC上的一点，的平分线交于点，且．求证：． 21. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）方程的两根为、，若，求的值． 22. 如图，四边形是平行四边形，对角线，交于点O，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 23. 西安环城公园是一处融合了明代城墙韵味与现代绿化风貌的公益性公园．它不仅是自然的馈赠，更是历史的见证．小华和小刚打算测量环城公园安定门段的牌坊的高度．如图，小华站在点D处，位于点D正前方3米的点C处有一平面镜，通过平面镜小华刚好可以看到牌坊顶端A的像，此时测得小华眼睛到地面的距离ED为1.5米；小刚在G处竖了一根高为2米的标杆，发现地面上的点H，标杆的顶端F和牌坊的顶端A在一条直线上，此时测得米，米，已知，于G，于D，于B，点B，C，D，G，H在一条直线上，请根据以上数据计算牌坊的高度． 24. “玫瑰香”葡萄品种是农科院研制的优质新品种，深受欢迎．某超市调查发现，当“玫瑰香”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克，已知该超市“玫瑰香”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元．若使销售“玫瑰香”每周获利2240元，求售价应上涨多少元？ 25. 【综合与实践】 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，某综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 【特例研究】在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为_________，k的值为_________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点O、B的对应点分别为点E、F），使得点E落在线段上，点F落在线段上，求的值； 【延伸拓展】 （3）如图3，在菱形中，，，对角线相交于点O，垂直平分线段交于点M，交于点N，将绕点A旋转并放缩得到（点M、B的对应点分别为点E、F），使得点E落在线段上且，点F落在直线上，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $