第13章 勾股定理 单元练习 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学第13章勾股定理单元卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，全面考查勾股定理的概念、应用及拓展，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题40分|勾股数（第1题）、直角三角形判定（第3题）、折叠问题（第2题）|结合几何图形（菱形、正方形）考查空间观念，如第7题菱形面积计算| |填空题|6题24分|点到坐标轴距离（第11题）、方位判断（第12题）、数轴与勾股定理（第13题）|联系实际情境，如第12题三地距离方向判断，体现应用意识| |解答题|3题36分|坐标系作图（17题）、函数与几何折叠（18题）、新定义“类勾股三角形”证明（19题）|综合考查推理能力与创新意识，如19题新定义证明，培养数学思维|

第13章勾股定理 一、单选题（共40分） 1.(本题4分)下列各组数为勾股数的是() 111 A.0.3,0.40.5 B.5'12'13 C.7,24,25 D.6,N8,√10 2.(本题4分)如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为 CE D AB=9,AD=12 ,且D点落在对角线处，若 D=() ,则 E D D B A.2 B.3 e D.4 3.(本题4分)下列各组线段中，能组成直角三角形的是() 111 A.345 B.4,5,6 C.1,N2,N5 D.9,12,15 4.(本题4分)在如图所示的平面直角坐标系中，P是直线'=x上的动点， A(2,0) B(4,0) 是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为() A B A.2 B.4 C.25 D.35 试卷第1页，共3页 5.(本题4分)如图，四边形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=90°.则 四边形ABCD的面积是() D B C A.72 B.66 C.42 D.36 6.(本题4分)如图数轴上的点O表示的数是0，点A表示的数是2，OB1OA,垂足为 O,且OB=1,以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点C,则点C表示的数为 () B A -1C0 1 2 A.、5 B.-2+5 C.2.5 D.2.5 7.(本题4分)如图，己知菱形ABCD的边长是8，∠BAD=120°，则菱形的面积是 () A.16V3 B.325 C.32 D.16 8.(本题4分)如图，Rt△ABC中，BD平分∠ABC,AC=6,BC=8,AB=10,如果 点M,N分别为BD,BC上的动点，那么CM+MN的最小值是() A.3 B.4 C.4.8 D.5 试卷第2页，共3页 9.(本题4分)如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且 AF=EC,连接EF,DE,DF,M是FE的中点，连接MC,若BF=2,设EF与DC交 于点N,与BD交于点G,则MC的值为() A.2 B. c.1 D.25 10.(本题4分)如图，点D是正△ABC内的一点，DB=3,DC=4,DA=5,则 ∠BDC的度数是() D A.90° B.120° C.135° D.150° 二、填空题（共24分) 11.(本题4分)点 P(3,-4) 到x轴的距离是 一，到坐标原点的距离是 12.(本题4分)A,B,C三地的两两距离如图所示，B地在A地的正西方向，那么B 地在C地的 方向上 C 13cm 5cm B 12cm A 13.(本题4分)如图，点A在数轴上，其表示的数为2，过点A作AB⊥OA,且AB=3, 以点O为圆心，OB为半径画弧，与数轴正半轴交于点P,则点P表示的实数为 试卷第3页，共3页 R A -1012 14.(本题4分)如图，△ABC中，E为AB边上的一点，连接CE并延长，过点A作 AD1CE,垂足为D,若AD=7,AB=20,BC=15,DC=24, D◇ E B (1)∠B= ②记△MDE的面积为、，△8CE的面积为，则5-5的值为 15.(本题4分)已知∠BAD=90°，AB=4,AD=3,BC=13,CD=12,连接BD, 则∠BDC的度数为°. D ◇A 16.(本题4分)如图，在四边形ABCD中，己知 AB=BC=4V2,CD=15,AD=17,∠ABC=90° °，则∠BCD的度数为 C D 三、解答题（共36分） 17.(本题12分)坐标系中，△4BC的顶点坐标是 (-4,1),B(-3,5),C(-1,4) 试卷第4页，共3页 (I)画出△ABC 关于’轴对称后的 △4B,C C. ,并写出坐标。 (2)x轴上有一动点P,点4与点到P的距离之和 A+PC 的最小值为. △AOC (3)求 的面积。 4 18.(本题12分)如图，直线y=-3x+4与坐标轴相交于A、B两点，将。AB0沿过点A 的直线折叠，使点B与x轴上的点C重合，折痕为AD. D (1)求点A、B的坐标： (2)求折痕AD所在直线的解析式： 3 (3)若点p为直线4B上的一点，且5ao=S0,求点p的坐标 19.(本题12分)定义：在△ABC中，若BC=a,AC=b,AB=C,且a,b,c满足 ac+a2=b2 则称这个三角形为“类勾股三角形”. 请根据以上定义解决下列问题： 试卷第5页，共3页 B D 图1 图2 ()如图1，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AB=BC,AC>AB,求∠C的度数. (2)如图2，在△ABC中，∠B=2LA,且∠ACB>∠A,D是AB上的点，连接CD,满足 AD=CD,过点C作CE⊥AB,垂足为E,求证：△ABC为“类勾股三角形”· 试卷第6页，共3页 参考答案 1.C 【详解】解：A、三个数均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； B、三个数均为分数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意： C、7,24,25都是正整数，且7+24=49+576=625=252，满足勾股数定义，该选项符 合题意： D、三个数均为无理数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意： 2.A 【详解】解：由题意得，CD=AB=9,∠D=90°， 4C=VAD+CD=15 由折叠的性质可得DE=D'E,∠ED'C=∠D=90, S.5.c.E AD-CD-CDDE+AC-DE, 2 x9x12=)x9DE+,x15DE. 1 .2 2 :DE=9 2 故选：A. 3.D 【解1对于得G云品 ∴不能组成直角三 角形： 对于选项B::4+52=16+25=41,62=36≠41，不能组成直角三角形： 对于选项C::P+(2矿-1+2=3，（个5矿-5≠3，六不能组成直角三角形： 对于选项D:,9+122=81+144=225,152=225,∴.能组成直角三角形： 答案第1页，共2页 故选D 4.C 【详解】解：由思意知，作4(2,0 关于直线'=x的对称点A,交y轴于A,连接4B, 则PA=PA,如图所示： A B ∴.PA+PB=PA+PB 在△AOD和△A'OD中 AD=AD ∠ADO=∠ADO=90° OD=OD .△AOD≌AAOD. .0A=OA', A(2,0) ,点 ∴0A=2 0A'=2, 由两点之间线段最短可知：当点A'、P、B在一条直线上时，PA+PB有最小值， B(4,0) .0B=4, 在Rt△A'BO中，∠AOB=90°，利用勾股定理得 AB=V0A2+0B2=V22+4=25 故选：C. 5.D 【详解】解：连接AC,如图： 答案第2页，共2页 B 在△ABC中， ∠B=90°，AB=3,BC=4, .AC=AB2+BC2=5 1 SABc=)AB×BC=5×3×4=6 2 2 在△ACD中， AD=13,AC=5,CD=12 122+52=132, .CD2+AC2=AD2 “.△ACD是直角三角形， -Sam号4cxcD-x5x12=0, ABCD 四边形 的面积为 Sc+S.40D=6+30=36 6.C 【详解】解：在R△AOB中，AB=VOB+O-V2+P=V5 ..AB-AC=V5 0C-AC-0A=5 2 ,C点在x轴负半轴， ·点C表示的数为2.V5 故选：C 7.B 答案第3页，共2页 【详解】解：：菱形ABCD的边长是8，， ∴.AB=BC=CD=AD=8,AC⊥BD, ,∠BAD=120°， :∠BAC=LDAC=)∠BAD=×120=60°， 设AC,BD交于点O, O 在 中， Rt△AOB AB=8 ∠AB0=180°-∠A0B-∠BA0=180°-90°-60°=30° :01=488=4 :0B=VAB2-0F=8-年=4V5 :1C=20A=8,BD=20B=85 小菱形的面积是2×8V5×8=325 1 8.C 【详解】解：如图所示，在BA上截取BE=BN,连接ME, D :BD平分∠ABC, .∠MBN=∠MBE 又：BM=BM,BE=BN, ,△BEM≌△BNM(SAS) .ME =MN, 答案第4页，共2页 .CM+MN CM+ME, ·CM+ME≥CE,且垂线段最短， .当C、M、E三点共线，且CE⊥AB时，CM+ME有最小值，即此时CM+MN有最小值， 最小值为CE的长， .AC=6,BC=8,AB=10. .AC2+BC2=62+82=100=102=AB2, .∠ACB=90°， 5awe-2AC-BC-1AB.CE 1 1 1 2X6x8=2×10CE, .CE=4.8 .CM+MN的最小值为4.8， 故选：C. 9.A 【详解】取BE的中点H,连接MH, 0 M 四边形 是正方形， ABCD BF=2 ,AB=BC,AB⊥BC, M是FE的中点，H是BE的中点， ∴.MH是△BEF的中位线， C.EH-BE.MH-BF.MH/F .MH⊥BC, BF=2, .AF=EC, 答案第5页，共2页 ∴.AB=AF+2=CE+2 .BE=BC+CE=AB+CE=2CE+2, :EH=BE=CE+1, 2 ∴CH=EH-CE=1 ..CM=MH2+CH2=+1=2 10.D 【详解】解：△ABC为等边三角形， .BA=BC,∠ABC=60°， 把△BAD绕点B顺时针旋转60°得到△BCE,如图，连接DE, .∠DBE=60°，BD=BE=3,EC=AD=5, ∴.△BDE为等边三角形， DE=3,∠BDE=60°， 在△CDE中，DE=3,CD=4,CE=5, :DE2+CD2=CE2, ∴.△DEC为直角三角形，∠EDC=90°， ∴.∠BDC=60°+90°=150°」 11. 5 【详解】解：P(34 到轴的距离是 -4=4 ，到坐标原点的距离是 V3-0)2+(4-02=5 故答案为：4,5. 答案第6页，共2页 12.正南 【详解】解：52+122=169=132， △ABC为直角三角形， ∴B地在C地的正南方向上， 故答案为：正南。 13.3 【详解】解：：AB⊥OA,AB=3, :0B=V3+2=5 ,以点O为圆心，OB为半径画弧，与数轴正半轴交于点P, “点尸表示的实数为压 14.(1)90 (2)66 【详解】(1)解：AD⊥CE, .∠D=90° .AD=7,DC=24, .AC2=AD2+DC2=625=252. AB=20,BC=15,202+152=252, .'AB2+BC2=AC2, .△ABC是直角三角形， .∠B=90° 故答案为：90 (2)SAuCE=SAC +c S1=SAACD-SAACE S2=S.ABC-SMACE S3-S,=(S.4e-S..c)-(S.c0-Sc)=S.c-S.. 答案第7页，共2页 Sx8cAB-x15x20=150,5am方40-00x7x24-4, S2-S,=150-84=66 故答案为：66. 15.90 【详解】解：在R1aABD中，BD=VAB2+AD=V4+32=5 BD2+CD2=52+122=169=132=BC2, ∴.∠BDC=90° 16.135°/135度 【详解】解：如图，连接AC, AAB=BC=4V2∠ABC=90° △ABC为等腰直角三角形， .∠BCA=45°， 在R△ABC中，AC=VAB+BC=V42+(42=8, 在△ACD中，AC2+CD2=82+152=172=AD2, △ACD是直角三角形，且∠ACD=90°， ∴.∠BCD=∠ACD+∠BCA=90°+45°=135°. 故答案为：135°。 17.(1) 解：根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数， A(-4,1),B(-3,5),C(-1,4) .A(4,1),B(3,5),C(1,4) 4(,)(区5)，CL4刊)在坐标系中指点，然后顺次连接这三个点，得到△4BC. 答案第8页，共2页 点9的坐标为 1,4) B A e 17 (3)2 【详解】(1)略 (②)作点1(-40关于轴的对称点4，则《的坐标为4-少，连接4G,当动点P为 AC与”轴的交点时， PA+PC的值最小，A'C=V1+4}+(4+1}=25+25=√50=5√2 5V2 故答案为： VA B B (3)以4(-4，.00,0.G,4) 构造矩形（长为5，宽为4），然后减去三个直角三角形 的面积。矩形面积5。=5x4=20,三个直角三角形面积分别为：S=×3x5-克， 2 答案第9页，共2页 3=74x1=2,鸟-×1x4-2,则5=e-8-5-8=20-2-2-15-7 1 22 18.(1)点4的坐标 为3,0），点巴的坐标为04)， 1.3 (2)y=-2x+2 【详解】(1)解：当=0时，y=~,x+4=4 4 当y=0时，3+4=0，解得x=3 直线y= 3x+4与坐标轴相交于A、B两点， 3,0) 0,4) .点A的坐标为 点B的坐标为 (3,0) (2),点A的坐标为 点B的坐标为 0,4) .0A=3,OB=4, 一由勾股定理得B=VOP+OB=5 由折叠可知，AC=AB=5,CD=BD, .OC=AC-A0=5-3=2, 点D0,a),则OD=a,CD=BD=4-a, 设 ∴在RtAOCD中，由勾股定理得，OD+OC2=DC2, 答案第10页，共2页 a+2=(4-a2 解得0 设折痕AD所在直线的解析式为y=c+b, [3k+b=0 3 将点A3,0)D02代入得， D0, 63 2 k=- 2 解得 3’ b2 :折液D所在直线的解新式为=宁 2: 14 （3)设点P的坐标为 t+4 则Sm081=4, 1 :SAMB0=)0A0B=5×3×4=6,S△P80= 2 2 2 2叫-6 或19 9 解得1= 2, 9 31+4=49 当1=2时，y=-+ ×2+4=-2 32 答案第11页，共2页 19.(1)45° (2) 证明：设BC=a,AC=b,AB=c, AD=CD .∠A=∠DCA. .∠CDB=∠A+∠DCA=2∠A, 又，∠B=2∠A, .∠B=∠CDB, .CD=CB=a, :'AD=CD=a, :CE⊥AB, .DE=BE=c-a 2 在RtAAEC中，AE=AD+DE=a+Ca=c+a 2=2,由勾股定理得 cE=4c-AE=6-（9 在Rt△CED中，由勾股定理 ce-c- s-(--2 .b2=a2+ac, .△ABC为“类勾股三角形” 【详解】(l)解：设BC=a,AC=b,AB=c, :△ABC是“类勾股三角形”， .ac+a2=b2, AB=BC. .a=c, 答案第12页，共2页 .c2+a2=b2, .∠B=90°， ∴，△ABC是等腰直角三角形， .∠C=45°； (2)略 答案第13页，共2页