4.2.3 对数函数的性质与图象知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

4.2.3 对数函数的性质与图象　知识清单 人教B版（2019）　必修第二册　第四章 从对数运算到对数函数：定义、图象与性质 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 经历从指数函数到对数函数的概念形成过程，理解对数函数的定义与结构三特征，会判断一个函数是不是对数函数； ② 会求对数函数的定义域，了解值域，能用描点法画出对数函数的图象； ③ 掌握对数函数的图象特征与性质（定点、函数值变化、单调性、非奇非偶），理解底数 a 对图象的影响； ④ 会用对数函数的单调性、图象对称关系与换底公式比较对数值的大小。 重点 对数函数的定义、图象与性质；比较对数值大小的常用方法。 难点 底数 a 对图象的影响（底数 a 与其倒数的两个图象关于 x 轴对称）；比较对数值大小时方法的选择。 二、情境引入：从「运算」到「函数」 4.1 节中，指数运算「把加倍的次数记在指数位置上」，由此得到了指数函数 （a>0 且 a≠1）；4.2.1、4.2.2 两节研究了对数运算。与「由运算得到函数」的思路一致：在指数式 中把两个变量互换角色，改写成对数式 ，在对数运算作用下就得到一个新的函数。 这个新函数长什么样？有什么性质？先看一个熟悉的情境。4.2.2 末尾我们用换底公式算出 。这里让 x 取不同的正数， 就给出不同的实数——把 x 看作自变量， 就是一个函数。它是本节要研究的对数函数的一个具体例子。 悬问回顾：4.2.1 中，B 地景区「游客人次按固定比率 1.11 增长」的悬问 目前只知道 。把 看成一个函数来研究它的图象与性质，就能把悬问看得更清楚。 三、对数函数的概念 定义：一般地，函数 称为对数函数，其中 a 是常数，a>0 且 a≠1。它的定义域是 (0, +∞)，值域是实数集 R。 从运算的角度看：指数式 中把 x 与 y 互换角色，就得到对数式 ——对数函数正是指数函数的「反过来」。判断一个函数是不是对数函数，要看它的结构是否满足三条特征： 结构三特征：① 对数符号前的系数为 1；② 底数是大于 0 且不等于 1 的常数；③ 真数仅有自变量 x。 练一练：判断下列函数是不是对数函数，并说明理由。 函数 是不是对数函数 理由 是 三条特征都满足 不是 对数符号前的系数是 −1，不是 1 不是 底数是变量 x，不是常数；真数是常数 2，不是自变量 不是 真数是 x+1，不仅有自变量 x 为什么定义域是 (0, +∞)？对数式中的真数必须为正，所以自变量 x 只能取正数，定义域是 (0, +∞)。 为什么值域是实数集 R？任取 x>0，由指数式与对数式的互化，方程 有唯一的实数解 ；反过来，任取一个实数 y，都有 与之对应。所以对数函数的值域是 R。 图 1　从指数函数到对数函数 四、描点法作图象、与指数函数的对称关系 仿照指数函数，用描点法画 的图象。先列表： x y −2 −1 1 0 2 1 4 2 把五个点描在坐标系中，用光滑曲线连接，就得到 的图象（图 2 左）。由图可以看出：图象都在 y 轴的右侧；过点 (1, 0)；当 x 增大时 y 随之增大；当 x 接近 0 时，y 变得越来越小，图象与 y 轴无限接近但不相交。 与指数函数的关系 把 与指数函数 画在同一个坐标系中（图 2 右）：点 (1, 2) 在 上，与它关于直线 对称的点 (2, 1) 正好在 上；两条曲线关于直线 对称。 指数函数 与对数函数 互为反函数： 指数函数的定义域 R 正是对数函数的值域，指数函数的值域 (0, +∞) 正是对数函数的定义域，两者正好互换。 图 2　描点法作 的图象及其与 的关系 互化视角：由 解出 x，得 ；把变量 x 与 y 互换角色写成 ，这正是对数函数。所以指数函数与对数函数互为反函数，图象关于直线 对称。 五、底数 a 对图象的影响 底数 a 不同，对数函数的图象就不同。在图 3 的同一个坐标系中，画出了 、 与 三条曲线。 图 3　底数 a 对对数函数图象的影响 看图象可得：① 三条曲线都过定点 (1, 0)，且都在 y 轴右侧； ② a>1 时图象上升（如 ），0<a<1 时图象下降（如 ）； ③ x>1 时，底数越大图象越低；0<x<1 时，底数越大图象越高； ④ 与 的图象关于 x 轴对称。 结论 ④ 的推导：由幂的对数 与 ，得 ，即两个函数的函数值相差一个负号，图象关于 x 轴对称。例如当 （即 ）时，。 六、对数函数的性质 把图象特征整理成下表（以 为代表，a>0 且 a≠1）。 性质 内容 定义域 (0, +∞) 值域 R 图象特征 都在 y 轴右侧，与 y 轴无限接近但不相交 定点 (1, 0)，即 函数值变化 a>1：x∈(0,1) 时 y<0，x∈(1,+∞) 时 y>0；0<a<1 时相反 单调性 a>1 时是增函数；0<a<1 时是减函数 奇偶性 非奇非偶（定义域 (0,+∞) 不关于原点对称） 图 4　a>1 与 0<a<1 时对数函数的性质对照 两点提醒：① 对数函数的定义域 (0, +∞) 不关于原点对称，所以对数函数都是非奇非偶函数； ② 单调性由底数决定：a>1 时是增函数，0<a<1 时是减函数，记忆时可联系图象的「上升」「下降」。 七、典型例题 类型一：求对数函数的定义域（例 1） 例 1　求下列函数的定义域：（1）；（2）。 解：（1）由真数 ，得 ，定义域是 (1, +∞)。 （2）由真数 ，得 ，定义域是 (−∞, 2)。 方法点睛：求对数函数的定义域，就是解「真数大于 0」；当真数中含有分母时，还要使分母不为 0。 类型二：比较对数值的大小（例 2） 例 2　比较下列各组中两个对数值的大小：（1） 与 ；（2） 与 ；（3） 与 。 （1）同底：， 是增函数，又 ，所以 。 （2）同真数：由图 3，真数相同的点在同一水平线上，x>1 时底数越大图象越低；，所以 。 用换底公式验证：，，确有 。 （3）底数、真数都不同，借中间量 2：，，所以 。 比较大小三法：① 同底——用单调性；② 同真数——用图象（或换底公式）；③ 底数、真数都不同——借中间量 1 或 0 间接比较。借中间量时，常把真数凑成底数的幂（如 ）。 练一练：比较 与 、 与 的大小。 答案：① 同真数 5，，x>1 时底大图低，；② 借中间量 1：，，故 。 八、回扣情境：对数函数视角看翻倍悬问 把悬问中的 放到函数 上看：底数 ，它是定义在 (0, +∞) 上的增函数，过定点 (1, 0)。 由换底公式，，，与 4.2.1 用单调性夹逼得到的 、 完全吻合。 图 5　对数函数视角回扣 4.2.1 的悬问： 的图象 答：游客人次翻倍约需 6.64 年，翻三倍约需 10.53 年。对数函数把「记号」变成了「可计算的值」。 练一练（回扣巩固）：比较 与 4、 与 的大小。 答案：；同真数 2，，x>1 时底大图低，（6.64>2.64）。 九、易错警示与常见结论 易错点 典型错误 正确认识 定义域 求 的定义域得 R 真数必须大于 0，应为 (1, +∞) 系数 认为 是对数函数 对数符号前的系数必须为 1 底数 认为 是对数函数 底数必须是大于 0 且不等于 1 的常数 真数 认为 是对数函数 真数必须仅有自变量 x 单调性 a>1 时说是减函数 a>1 时是增函数，0<a<1 时是减函数 对称关系 认为 与 关于原点对称 关于 x 轴对称（函数值相差一个负号） 奇偶性 认为对数函数是奇函数 定义域 (0, +∞) 不关于原点对称，非奇非偶 十、巩固练习 题号 题目 1 判断下列函数是不是对数函数，并说明理由： （1）；（2）；（3）；（4）。 2 求函数 的定义域。 3 求函数 的定义域。 4 求函数 的定义域。 5 比较 与 的大小。 6 比较 与 的大小。 7 比较 与 的大小。 8 比较 与 的大小。 9 比较 与 的大小。 10 解不等式 。 11 已知对数函数 的图象过点 (4, 2)，求 a。 12 已知对数函数 的图象过点 (9, 2)，求 a。 13 比较 与 4 的大小（可用换底公式）。 14 比较 与 的大小。 15 判断下列说法是否正确，并说明理由： ① 对数函数的图象与 y 轴无限接近但不相交； ② 对数函数都是奇函数； ③ a>1 时， 在定义域上是增函数。 十一、参考答案 1. （1）是，三条特征都满足；（2）不是，系数是 −1 不是 1；（3）不是，底数是变量且真数是常数 2；（4）不是，真数是 x+1 不仅有 x。 2. 由 得 ，定义域是 。 3. 由 得 ，定义域是 (2, +∞)。 4. 由 得 ；又分母 ，即 ，。定义域是 (1, 2) ∪ (2, +∞)。 5. 同底 a=3>1，是增函数，，所以 。 6. 同真数 4，，x>1 时底大图低，所以 。 7. 借中间量 1：，，所以 。 8. 同真数 3，，x>1 时底大图低，所以 。 9. 借中间量 1：，，所以 。 10. 定义域 (0, +∞)； 是增函数，，所以 ，解集是 (0, 2)。 11. 由 得 ，（负值舍去，且 a≠1）。 12. 由 得 ，。 13. ，所以 。 14. 同真数 2，，x>1 时底大图低，所以 。 15. ① 正确，定义域 (0, +∞)，x=0 不在定义域中，x 接近 0 时 |y| 无限增大，图象与 y 轴无限接近但不相交；② 错误，定义域不关于原点对称，非奇非偶；③ 正确，a>1 时是增函数。 十二、方法归纳 任务 方法 要点 判断对数函数 对照结构三特征 系数为 1；底数是大于 0 且不等于 1 的常数；真数仅有自变量 x 求定义域 令真数大于 0 真数中含分母时，还要使分母不为 0 画图象 描点法 列表、描点、用光滑曲线连接；图象都在 y 轴右侧且过 (1, 0) 比较对数值大小 三法选用 同底用单调性；同真数用图象或换底公式；底数真数都不同借中间量 1 或 0 图象间关系 对称 与 关于直线 对称； 与 关于 x 轴对称 十三、本节三句话 本节三句话：① 一般地，函数 （a>0 且 a≠1）称为对数函数，定义域 (0, +∞)，值域 R，图象过定点 (1, 0)； ② 底数定升降：a>1 时是增函数，0<a<1 时是减函数； 与 的图象关于 x 轴对称，与指数函数互为反函数、关于直线 对称； ③ 比较对数值大小有三法：同底用单调性，同真数用图象或换底公式，底数真数都不同借中间量 1 或 0。 十四、本节边界 本节边界：本节在指数式与对数式互化、对数运算的基础上，把对数看作函数，研究了对数函数的定义、图象与性质，并解决了「怎样判断对数函数」「怎样求定义域」「怎样比较对数值的大小」三个问题。对数函数的图象与性质在后续方程、不等式与建模问题中还有广泛应用；其他函数的研究方法与图象性质，将在后续章节逐步展开。 学科网（北京）股份有限公司 $