4.6 函数的应用（二） 学案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第二册

该高中数学导学案聚焦函数模型的实际应用，涵盖一次、二次、指数、对数等函数模型。通过问题导学引导学生预习回顾函数表达式，衔接已学函数概念，为利用模型解决实际问题搭建认知支架。 以“利用已知模型-构造模型-拟合模型”为主线设计探究活动，结合人口增长、经济利润等真实案例，培养学生用数学眼光观察现实问题，用数学思维分析建模的能力，分层检测与规律总结助力提升数学语言表达及应用意识。

函数的应用（二） 【学习目标】 1．会利用已知函数模型解决实际问题。 2．能根据实际问题，建立恰当的函数模型求解问题。 【学习重难点】 1．指数、对数函数模型在实际问题中的应用。 2．根据实际问题建立函数模型。 【学习过程】 问题导学 预习教材P42－P44的内容，思考以下问题： 1．一次、二次函数的表达形式分别是什么？ 2．指数函数模型、对数函数模型的表达形式是什么？ 【新知初探】 几类常见的函数模型 名称 解析式 条件 一次函数模型 y＝kx＋b k≠0 反比例函数模型 y＝＋b k≠0 二次函数模型 一般式：y＝ax2＋bx＋c 顶点式：y＝a＋ a≠0 指数函数模型 y＝b·ax＋c a＞0且a≠1，b≠0 对数函数模型 y＝mlogax＋n a＞0且a≠1，m≠0 幂函数模型 y＝axn＋m a≠0，n≠1 【自我检测】 1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质。（ ） （2）在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调性。（ ） 2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆。若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A．y＝0.2x（0≤x≤4000） B．y＝0.5x（0≤x≤4000） C．y＝－0.1x＋1200（0≤x≤4000） D．y＝0.1x＋1200（0≤x≤4000） 3．某工厂2018年生产某产品2万件，计划从2019年开始每年比上一年增产20%，则这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件的起始年份是（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）（） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 探究一、利用已知函数模型解决问题 1．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加成本100元，已知总收益满足函数： R（x）＝，其中x为月产量。 （1）将利润表示为月产量x的函数； （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少？ [规律方法] 理解所给函数模型中各量的意义，利用已知量求解析式，进而求函数的问题来解释实际问题。 2．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一个单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R（Q）＝4Q－Q2，则总利润L（Q）的最大值是__________万元，这时产品的生产数量为________单位。 探究二、构造函数模型解决问题 3．目前某县有100万人，经过x年后为y万人。如果年平均增长率是1．2%，请回答下列问题： （1）写出y关于x的函数解析式； （2）计算10年后该县的人口总数（精确到0.1万人）； （3）计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万。（精确到1年） [规律方法] 建立函数模型应把握的三个关口 （1）事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口。 （2）文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系。 （3）数理关：在构建数学模型的过程中，对已有的数学知识进行检验，从而认定或构建相应的数学问题。 4．某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租。该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元。根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆。为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（日净收入＝一日出租自行车的总收入－管理费用）。 （1）求函数y＝f（x）的解析式及其定义域； （2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使日净收入最多？ 探究三、拟合函数模型解决问题 5．某经营商经营了A、B两种商品，逐月投资金额与所获纯利润列表如下： 投资A种商品金额（万元） 1 2 3 4 5 6 获纯利润（万元） 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B种商品金额（万元） 1 2 3 4 5 6 获纯利润（万元） 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算。请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润（结果保留两位有效数字）。 [规律方法] 函数拟合与预测的一般步骤 （1）根据原始数据、表格，绘出散点图。 （2）通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线。 （3）求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式。 （4）利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据。 6．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，还可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场。某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据情况如下表： t 50 110 250 Q 150 108 150 （1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt。 （2）利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本。 【达标反馈】 1．某市的房价（均价）经过6年时间从1200元/m2增加到了4800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是（） A．600元 B．50% C．－1 D．＋1 2．“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概。当弓箭手以每秒a米的速度从地面垂直向上射箭时，t秒后的高度x米可由x＝at－5t2确定。已知射出2秒后箭离地面高100米，则弓箭能达到的最大高度为________米。 3．某游乐场每天的盈利额y元与销售的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图像解决下列问题： （1）求y与x的函数解析式； （2）要使该游乐场每天的盈利额超过1000元，每天至少卖出多少张门票？ 【参考答案】 【自我检测】 1．答案：（1）√（2）√ 2．答案：C 3．答案：D 探究一、利用已知函数模型解决问题 1．【解】（1）设月产量为x台，则总成本G（x）＝20000＋100x，利润 f（x）＝R（x）－G（x）＝。 （2）由0≤x≤400时，f（x）＝－（x－300）2＋25000. 所以当x＝300时，f（x）取得最大值25000元。 当x＞400时，f（x）＝60000－100x是减函数， f（x）＜60000－100×400＝20000＜25000. 所以当x＝300时，f（x）的最大值为25000元。 即每月生产300台仪器时，能获得最大利润，最大利润为25000元。 2．解析：总利润＝总收入－成本，L（Q）＝4Q－Q2－（200＋Q）＝－（Q－300）2＋250. 所以产品的生产数量为300单位时，总利润L（Q）的最大值是250万元。 答案：250 300 3．【解】（1）当x＝1时，y＝100＋100×1．2%＝100（1＋1．2%）； 当x＝2时，y＝100（1＋1．2%）＋100（1＋1．2%）×1．2%＝100（1＋1．2%）2； 当x＝3时，y＝100（1＋1．2%）2＋100（1＋1．2%）2×1．2% ＝100（1＋1．2%）3；… 故y关于x的函数解析式为y＝100（1＋1．2%）x（x∈N*）。 （2）当x＝10时，y＝100×（1＋1．2%）10＝100×1．01210≈112．7．故10年后该县约有112．7万人。 （3）设x年后该县的人口总数为120万，即100×（1＋1．2%）x＝120，解得x＝log1．012≈16． 故大约16年后该县的人口总数将达到120万。 4．解：（1）当x≤6时，y＝50x－115， 令50x－115＞0，解得x＞2．3． 因为x∈N*，所以3≤x≤6，x∈N*， 当x＞6时，y＝[50－3（x－6）]x－115． 令[50－3（x－6）]x－115＞0，得3x2－68x＋115＜0. 又x∈N*，解得2≤x≤20，所以6＜x≤20，x∈N*， 故y＝ 定义域为{x|3≤x≤20，x∈N*}。 （2）对于y＝50x－115（3≤x≤6，x∈N*）， 显然当x＝6时，ymax＝185，对于y＝－3x2＋68x－115 ＝－3＋（6＜x≤20，x∈N*）。 当x＝11时，ymax＝270，因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使日净收入最多。 5．【解】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出A，B两种商品的散点图分别如图①②所示。 观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟。 取点（4，2）为最高点，则y＝a（x－4）2＋2， 再把点（1，0.65）代入，得0.65＝a（1－4）2＋2， 解得a＝－0.15，所以y＝－0.15（x－4）2＋2． B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用一次函数模型进行模拟。 设y＝kx＋b，取点（1，0.25）和点（4，1），代入得 解得所以y＝0.25x。 故前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15（x－4）2＋2，前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x。 设第七个月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB（万元），总利润为W（万元），那么 所以W＝－0.15＋0.15×＋2．6． 所以当xA≈3．2时W最大约为4．1， 此时xB≈8．8． 即该经营者第七个月把12万元中的3．2万元投资A种商品，8．8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4．1万元。 6．解：（1）由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述，将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得 解得a＝，b＝－，c＝。 所以，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝t2－t＋。 （2）当t＝－＝150（天）时，芦荟种植成本最低为Q＝×1502－×150＋＝100（元/10kg）。 【达标反馈】 1．解析：选C．设6年间平均增长率为x，则有1200（1＋x）6＝4800，解得x＝－1． 2．解析：由x＝at－5t2且t＝2时，x＝100，解得a＝60. 所以x＝60t－5t2． 由x＝－5t2＋60t＝－5（t－6）2＋180， 知当t＝6时，x取得最大值为180， 即弓箭能达到的最大高度为180米。 答案：180 3．解：（1）由图像知，可设y＝kx＋b，x∈[0，200]时，过点（0，－1000）和（200，1000），解得k＝10，b＝－1000，从而y＝10x－1000；x∈（200，300]时，过点（200，500）和（300，2000），解得k＝15，b＝－2500，从而y＝15x－2500， 所以y＝ （2）每天的盈利额超过1000元，则x∈（200，300]，由15x－2500＞1000得，x＞，故每天至少需要卖出234张门票。 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $