精品解析：江苏省无锡市青山高级中学2026-2027学年高二上学期10月质量调研数学试题

无锡市青山高级中学 2026-2027学年10月质量调研高二数学试题 考试时间120分钟 分值150分 命题：李赟 2026年10月 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 150° D. 120° 2. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若P在线段AB上，则 D. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面xOy的对称点为 3. 已知直线（，），则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则点C到直线的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知是方程 的两个不等实数根，则点与圆的位置关系是 A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定 7. 若动点分别在直线和上，则的中点到坐标原点的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，．若直线l：与线段AB相交，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 对于直线：，下列说法错误的是（ ） A. 时直线的倾斜角为 B. 直线斜率必定存在 C. 直线恒过定点 D. 时直线与两坐标轴围成的三角形面积为 10. 已知圆心为的圆与点，则（ ） A. 圆的半径为2 B. 点在圆外 C. 点与圆上任一点距离的最大值为 D. 点与圆上任一点距离的最小值为 11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知入射光线经过点，被直线l：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的一般式方程为______． 13. 已知圆C经过原点，且其圆心在直线上，则半径最小值的圆C的标准方程为______． 14. 若直线经过，两点，则直线的倾斜角的取值范围是________． 四、解答题（本大题共5小题，计77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15. 已知直线与直线，． （1）不管取何值，直线过定点，求定点的坐标； （2）若，求的值； （3）若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程． 16. 已知方程（是实数）表示的图形是圆． （1）求实数的取值范围； （2）求其中面积最大的圆的标准方程； （3）若点恒在所给的圆内，求的取值范围． 17. 三棱柱中，侧面为菱形，，，，． （1）求证：面面； （2）在线段上是否存在一点M，使得二面角为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 18. 已知的顶点，边上的高所在直线平行于直线，角的平分线所在直线l的方程为． （1）求点坐标； （2）求点关于直线的对称点的坐标； （3）求边所在的直线方程． 19. 如图，四边形是边长为1的正方形，四边形是梯形，是上的点，且，平面平面. （1）证明：四点共面； （2）设，且点均在球的球面上. （i）求点到平面的距离； （ii）记为球面上到点距离最小的点，求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市青山高级中学 2026-2027学年10月质量调研高二数学试题 考试时间120分钟 分值150分 命题：李赟 2026年10月 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 150° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】 先由直线方程求出斜率，再由斜率求出直线的倾斜角得解. 【详解】， 故选：B 【点睛】此题考查由直线方程求直线的倾斜角，属于基础题. 2. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若P在线段AB上，则 D. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面xOy的对称点为 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，由向量减法的三角形法则，，而，所以A错误. 对于B，，，两者分别是与、共线的向量. 取，，则左边为，右边为，两者不相等， 所以B错误. 对于C，因为在线段上，所以与同向，且， 于是存在，使，C正确. 对于D，关于坐标平面对称的两点横坐标、纵坐标相同，竖坐标互为相反数， 所以点关于坐标平面的对称点应为，而不是. 3. 已知直线（，），则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】将直线左右两边同时除以，移项得， 因为，，所以，，即直线的斜率为负值且在轴上的截距为负值， 斜率为负且纵截距为负的直线经过第二、三、四象限， 所以该直线不经过第一象限. 4. 如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理可得. 【详解】，点为中点，故， 又，，，故. 故选：B 5. 已知，，，则点C到直线的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算C到直线AB的距离． 【详解】因为，， 所以在方向上的投影数量为． 设点C到直线的距离为d，则． 故选：B. 6. 已知是方程 的两个不等实数根，则点与圆的位置关系是 A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据韦达定理，得到，利用点与圆的位置关系，即可求解. 【详解】易知是方程的两个实数根，故， 故===，故点在圆C:内. 故选：A 7. 若动点分别在直线和上，则的中点到坐标原点的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设点所在直线的方程为，结合点到直线的距离公式，求得点所在直线的方程，利用原点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】根据题意，可得的集合为与直线和距离都相等的直线， 则到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离， 设点所在直线的方程为， 由，可得，解得，可得， 所以到原点的距离的最小值为. 故选：B. 8. 已知点，．若直线l：与线段AB相交，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定直线l恒过定点P(1，1)，计算PA、PB的斜率，结合直线与线段AB相交的斜率约束求解m的取值范围. 【详解】将整理为， 令，解得，即直线l恒过定点， ， ， 直线l的斜率为，因直线l与线段AB相交，结合几何关系可知斜率需满足或，即或， 分别解不等式得 或 ，故实数m的取值范围是. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 对于直线：，下列说法错误的是（ ） A. 时直线的倾斜角为 B. 直线斜率必定存在 C. 直线恒过定点 D. 时直线与两坐标轴围成的三角形面积为 【答案】AB 【解析】 【分析】由斜率、倾斜角的定义判断AB，由方程可判断CD. 【详解】当时，直线的倾斜角为，故A错误； 当时，直线斜率不存在，故B错误； 由直线方程可知直线恒过定点，故C正确； 当时，直线与两坐标轴交点为，所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，故D正确. 故选：AB. 10. 已知圆心为的圆与点，则（ ） A. 圆的半径为2 B. 点在圆外 C. 点与圆上任一点距离的最大值为 D. 点与圆上任一点距离的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】把圆C的方程化为标准形式，写出圆心和半径，再逐一分析各选项并判断作答. 【详解】依题意，圆：，则圆心，半径，A不正确； 因点，则，点在圆外，B正确； 因点在圆外，在圆上任取点P，则，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“=”，C正确； 在圆上任取点M，则，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“=”，C正确. 故选：BCD 11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理可证；B项利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积公式求解即可；CD项，通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标法表示线线角与线面角，建立函数关系求解范围与最值即可进行判断. 【详解】A项，如图，连接. ，，， 且平面， 平面，平面， ，同理，， ，且平面， 直线平面，故A正确； B项，，且， 四边形是平行四边形. ，平面，平面， 平面，点P在线段上运动， 到平面的距离，即点到平面的距离，其为定值， 又的面积是定值， 三棱锥的体积为定值. 不妨设正方体的棱长为1， 则， 即三棱锥的体积为定值，故B正确； 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 点P在线段上运动，则可设， 则. C项，，． 所以， ， 因为，则，， ，因为异面直线与所成角为锐角或直角， 故与所成角的取值范围为，故C错误； D项， ，． 由A选项正确，可知是平面的一个法向量， ∴直线与平面所成角的正弦值为 ， ∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知入射光线经过点，被直线l：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的一般式方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求点关于直线的对称点，再根据反射光线过和两点，用两点式求直线方程并整理为一般式. 【详解】设点关于直线的对称点为， 根据对称点的性质，可列方程组， 解得，即， 由反射的性质可知，反射光线经过点和，代入直线两点式方程得  ， 整理为一般式得. 13. 已知圆C经过原点，且其圆心在直线上，则半径最小值的圆C的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】设圆心为，半径为， ，， ， 当时，， 所以圆的标准方程为. 14. 若直线经过，两点，则直线的倾斜角的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率公式可得结合即可求解. 【详解】若直线经过，两点， 所以， 因为，所以， 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，计77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15. 已知直线与直线，． （1）不管取何值，直线过定点，求定点的坐标； （2）若，求的值； （3）若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1） 将直线的方程分离参数，令含项的系数和常数项均为0即可求解定点； （2）由可得，再代入检验即可求解； （3）将点的坐标代入直线的方程中，求出的值，从而可得点的坐标，然后再分直线的截距为0和不为0两种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 直线可化为， 要使上式对任意恒成立，则，解得， 因此定点的坐标为． 【小问2详解】 因为，所以，解得或， 当时，，，即，此时，满足题意； 当时，，即，，此时重合，不满足题意. 综上所述，． 【小问3详解】 因为点在直线上， 所以，得，则点的坐标为， 而直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，直线的斜率为，则直线的方程为，即， 当两截距不为0时，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 则直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或． 16. 已知方程（是实数）表示的图形是圆． （1）求实数的取值范围； （2）求其中面积最大的圆的标准方程； （3）若点恒在所给的圆内，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将圆的一般方程进行配方整理成圆的标准方程，由即可求得t的取值范围； （2）根据，结合二次函数的性质即可得的最大值，从而可求得圆的标准方程； （3）将点代入圆的方程解不等式即可求得t的取值范围． 【小问1详解】 原方程可整理为. 则，解得， 因此的取值范围为． 【小问2详解】 要使圆的面积最大，则圆的半径最大，即半径的平方最大， 由于，， 所以当时，的最大值为，此时圆的标准方程为． 【小问3详解】 若点在圆内，则应满足， 由于点恒在所给圆内，故， 即，解得， 结合（1）中求得的，可得的取值范围为． 17. 三棱柱中，侧面为菱形，，，，． （1）求证：面面； （2）在线段上是否存在一点M，使得二面角为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明： 取BC的中点O，连结AO,,， 为等腰直角三角形，所以，； 侧面为菱形，， 所以三角形为为等边三角形，所以， 又，所以，又，满足，所以； 因为，所以平面， 因为平面中，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取BC的中点O，连结AO、，在三角形中分别证明和，再利用勾股定理证明，结合线面垂直的判定定理可证明平面，再由面面垂直的判定定理即可证明结果. （2）建立空间直角坐标系，假设点M存在，设，求出M点坐标，然后求出平面的法向量，利用空间向量的方法根据二面角的平面角为可求出的值. 【详解】（1）略； （2）由（1）问知：两两垂直，以O为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间之间坐标系. 则，，，， 若存在点M，则点M在上，不妨设， 则有，则， 有，， 设平面的法向量为， 则解得： 平面的法向量为 则 解得：或（舍） 故存在点M，. 【点睛】本题考查立体几何探索是否存在的问题，属于中档题. 方法点睛：（1）判断是否存在的问题，一般先假设存在； （2）设出点坐标，作为已知条件，代入计算； （3）根据结果，判断是否存在. 18. 已知的顶点，边上的高所在直线平行于直线，角的平分线所在直线l的方程为． （1）求点坐标； （2）求点关于直线的对称点的坐标； （3）求边所在的直线方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意设点，根据直线平行及直线垂直时的斜率关系，建立等量关系，即可求出点B坐标；（2）设，由角平分的性质可得，点A关于直线l的对称点在直线上，且中点在角平分线上，根据两个条件建立等量关系，即可求出的坐标；（3）利用直线的两点式方程直接求出直线方程即可. 【小问1详解】 由角的平分线所在直线的方程为，设点，则， 设边上的高所在直线的斜率为，因为边上的高所在直线平行于直线，所以， 又因为垂直于高线，所以，即，解得，所以点坐标为； 【小问2详解】 由角平分线的性质可得，点关于的对称点在直线上， 设，则与的中点在直线上，且与直线垂直， 所以，解得，所以的坐标为； 【小问3详解】 由题可知直线即为直线，由（1）（2）分别知，， 则由两点式方程可得，化简整理得， 即边所在的直线方程为. 19. 如图，四边形是边长为1的正方形，四边形是梯形，是上的点，且，平面平面. （1）证明：四点共面； （2）设，且点均在球的球面上. （i）求点到平面的距离； （ii）记为球面上到点距离最小的点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）因为四边形是正方形，所以， 又因为，所以四边形 是正方形， 所以 ，所以， 所以四点共面. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）结合已知条件证明即可； （2）（i）求证和 都是直角三角形，即可找到球心，再以为原点建系，利用向量计算点到平面的距离； （ii）先找出点的位置，再计算平面的法向量，利用向量计算线面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为，平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， 因为 ，所以 平面，同理可得， 平面， 因为平面， 平面，所以，， 所以和 都是直角三角形， 所以 的中点就是球心， 如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，， 则， 设平面的一个法向量， 所以，令，所以， 所以， 所以点到平面的距离为. （ii）当三点共线时，球面上点到点的距离最小， 因为，所以球的半径，分别取 中点， 则， 所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 由（i）知平面的一个法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $