精品解析：江苏扬州市部分学校2026-2027学年高二年级上学期10月阶段性测试数学试题

2026—2027学年度10月阶段性测试 高二数学 2026.10 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处” 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上．如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上，试卷上答题无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 设直线l的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，求出对应的的取值范围，综合可得结果. 【详解】由题意可知，，当时，则为钝角，且； 当时，此时，. 综上所述，直线的倾斜角的取值范围为. 故选：D. 2. 已知圆关于直线对称，则实数的值为（ ） A. -5 B. -3 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心坐标后代入直线方程可求实数的值. 【详解】圆的标准方程为：， 圆的圆心为，而圆关于直线对称， 故在直线上，故，解得. 故选：C. 3. 已知点是直线上一点，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出点关于直线的对称点，从而当三点共线时得到最小值. 【详解】解析：设关于直线的对称点为，所以， 解得:，所以：， 当三点共线时有最小值：， 所以：的最小值等于.故D项正确. 故选：D. 4. 两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】两个圆只有一条公切线，则两圆内切，利用圆与圆的位置关系可得，结合基本不等式求解即可. 【详解】两圆的标准方程为，和，圆心分别为和，半径分别为1和3， 又两圆和恰有一条公切线， 所以两圆内切，即， 得，则，当且仅当时取等号，即的最大值为1， 故选：A. 5. 已知是圆：上两点，若存在满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用题设条件，分析且与圆交于的临界情况，由点在临界点之间移动的变化情况运算即可得解. 【详解】圆：可化为，则其半径为，， 如上图，对于直线上任意一点， 当均为圆的切线时最大， 由题意，即时，此时为满足题设条件的临界点， 此时有. 当在临界点之间移动时，有，即， 即有：，解得：. 故选：B. 6. 已知点为直线上的一个动点，为圆上任意两个不重合的点，记的最小值为的最大值为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析得当，分别为圆的切线，且最小时，最大，此时最小，再利用二倍角公式即可得，再根据最大时为钝角，所以的最大值为1，即.即可得. 【详解】由题意得的标准方程为，所以圆心，半径为2， 如图： 所以圆心到直线的距离为，所以直线与相离， 所以当分别为圆的切线，且最小时， 最大，又，则最大， 所以最大，此时最小， 此时． 显然的最大值为1，故． 故选：A 7. 在直角坐标系xOy中，已知点P是圆O：上一动点，若直线l：上存在点Q，满足线段PQ的中点也始终在圆O上，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意分析可知，只要O的圆心到直线l的距离不超过3，再结合点到直线的距离公式即可求得k的取值范围. 【详解】由题意分析可知，直线l：过定点，设的中点为， 因为圆O：的圆心，半径为， 若满足线段PQ的中点点在圆上，则， 又，则，即， 所以， 设圆心O到直线l的距离为，则， 所以，解得或， 故． 故选：D. . 8. 在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过l上一点P作圆的两条切线，切点分别为M、N，设线段的中点为Q，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点，，根据圆的切线的性质可得在以为直径的圆上，求得其圆的方程，再由在圆上，可得直线的方程，求得直线恒过定点，从而得在以为直径的圆，得出圆的方程可求得的最大值． 【详解】设点，， 因为是圆的切线，所以， 所以在以为直径的圆上， 其圆的方程为， 又在圆上， 则将两个圆的方程作差得直线的方程：， 即，所以直线恒过定点， 又因为，四点共线，所以， 即在以为直径的圆上， 其圆心为，半径为， 所以， 所以的最大值为. 故选：D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的） 9. 已知动点到原点与到点的距离之比为，记的轨迹为，直线，则（ ） A. E是一个半径为2的圆 B. 上的点到的距离的取值范围为 C. 被截得的弦长为 D. 上存在四个点到的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】设，用坐标表示已知距离比化简后可得圆方程，判断A，求出圆心到直线的距离，判断BD，由勾股定理求得弦长判断C． 【详解】设，则，化得得，即， 所以轨迹为以为圆心，2为半径的圆，A正确； 圆心到直线的距离为，直线与圆相交， 上的点到的距离的取值范围为，B错； 弦长为，C正确； 由于，因此圆上只有2个点到的距离为，D错． 故选：AC． 10. 设，过定点M的直线：与过定点N的直线：相交于点P，线段是圆C：的一条动弦，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 一定垂直 B. 的最大值为 C. 点P的轨迹方程为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：分m=0和讨论，判断 与是否垂直； 对于B：在Rt△PMN中，设∠PMN=，利用直角三角形边长关系表示出，利用三角函数求最值； 对于C：用定义法求出轨迹方程； 对于D：把转化为 ，求的最小值即可. 【详解】对于A：m=0时，直线：与： 垂直； 时直线：的斜率 ，：的斜率为 ，因为，所以 与垂直，综上，一定垂直.故A正确； 对于B：过定点，过定点 ，在Rt△PMN中，设，则 .故B错误； 对于C：由可得点 P轨迹方程为( ). 故C错误； 对于D：作，则，∴点D轨迹方程为 . ∵= ，且的最小值为 ，∴ 的最小值为 .故D正确. 故选：AD 【点睛】解析几何问题解题的基本思路： （1）坐标法是解析几何的基本方法. （2）解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算． 11. 已知的顶点在圆上，顶点在圆上.若，则（ ） A. 的面积的最大值为 B. 直线被圆截得的弦长的最小值为 C. 有且仅有一个点，使得为等边三角形 D. 有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】设点到直线的距离为，由求得的最大值判断A，利用直线和圆的位置关系判断B，利用为等边三角形，则需，判断C，利用射影定理可得进而判断D. 【详解】设线段的中点为，因为圆的半径为2，， 所以，且， 对于A选项，设点到直线的距离为，则， 所以当且仅当四点共线时，点到直线距离的最大值为15，所以的面积的最大值为，故A正确； 对于B选项，点到直线的距离小于等于，当时，等号成立，又的最大值为7， 所以点到直线的距离的最大值为7，这时直线被圆截得的弦长的最小值为，故B错误； 对于C选项，若为等边三角形，则需，，因为， 所以点的轨迹是以为圆心的单位圆，所以，又的最小值为4，所以， 当且仅当四点共线时成立，因此有且仅有一个点，使得为等边三角形，故C正确； 对于D选项，若直线，都是圆的切线，则，由射影定理，可得， 同上，当且仅当三点共线时，，因此有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线，故D正确； 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆，直线，当圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】直线过的定点，当直线垂直于时，圆被直线截得的弦长最短，可求直线的方程. 【详解】由题意，直线的方程化为， 由得 ∴直线过定点，显然点在圆内， 要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心的连线垂直于直线， ，解得， 代入到直线的方程并化简得. 故答案为：. 13. 已知是圆上动点，是圆的上两点，若，则的范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设是的中点，求得，得到点所在圆，根据向量的运算法则，得到，转化为圆上的点与圆上的点的距离，结合圆圆圆的位置关系，即可求解. 【详解】由题意知，点点所在圆，且所在圆的圆心为，半径为2， 设是的中点，连接，则垂直平分，则， 所以点在是以为圆心，半径为1的圆上， 即点所在圆， 又由，可得， 即即为圆上的点与圆上的点的距离， 因为，所以， 即范围是. 故答案为：. 14. 设点是：上的动点，点是直线：上的动点，记，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，将转化成探求线段长最值问题求解作答. 【详解】如图，过：上一点作轴交直线于点， 过直线：上的动点作交直线于点， 依题意，设，显然圆C与直线l相离， 则可得：， 因为直线：的斜率为，所以， ， 其中锐角由确定， 所以的最小值是. 故答案为： 【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 的三个顶点分别是、、. （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求的外接圆（为圆心）的标准方程. 【答案】（1）的方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，可得出直线的斜率，结合点斜式可得出直线的方程； （2）圆的方程为，将三个顶点的坐标代入圆的方程，求出、、的值，可得出圆的一般方程，再化为标准方程即可. 【小问1详解】 因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为． 【小问2详解】 设圆的方程为（其中， 因为、、三点都在圆上，可得， 解得，，，满足， 所以所求圆的方程为，即. 16. 已知为圆：上任意一点，且点． （1）求的最大值和最小值． （2）求的最大值和最小值． 【答案】（1）最大值为，最小值为 （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）把理解为定点到圆上动点连线的斜率，利用直线与圆相切时圆心到直线距离等于半径列方程求解斜率最值； （2）设，将看作直线的截距，同样利用直线与圆相切，由点到直线距离公式求出的最值． 【小问1详解】 由题可得圆的圆心，半径， 由题意得， 由图知，当与圆相切时取得最值， 可设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 所以的最大值为，最小值为； 【小问2详解】 设，即，如图所示，即为过点的直线的纵截距， 当该直线与圆相切时截距取得最值， 圆心到该直线的距离为，解得或， 所以的最大值为，最小值为． 17. 已知点E是圆C：上的动点，点，M是线段EF的中点，P（m，0）（）是x轴上的一个动点． （1）求点M的轨迹方程； （2）当点M的轨迹上存在点Q，使，求实数m的取值范围； （3）当时，过P作直线PA，PB与点M的轨迹分别交于异于点P的A，B两点，且．求证：直线AB恒过定点．（其中，分别为直线PA与直线PB的斜率）． 【答案】（1） （2） （3） 证明：时，P（1，0）， ∵，设，则， 则直线PA：，PB：， 联立，得， 则，得，． ∴．同理可得． 则． ∴直线AB的方程为． 方法一：当时，直线方程为，当时，直线方程为． 联立，解得，．∴直线AB恒过定点． 方法二：直线AB方程即为，即， ∴直线AB恒过定点． 【解析】 【分析】（1）利用相关点法求解，即找到点E与点M的关系，再带回圆C中； （2）将角度问题转化成直线的斜率问题，进而转化成直线与圆位置关系的问题，利用点到直线距离求解； （3）联立直线PA与圆，因为直线与圆一侧交点是已知的，所以可以用斜率表达另外一个交点，再通过，得到直线PB的交点，利用两点式化简，得到定点. 【小问1详解】 设M（x，y），，则①， 又因为M是EF的中点，所以，则， 代入①式整理得， 即点M的轨迹方程为圆O：． 【小问2详解】 由（1）知点M的轨迹方程为圆O：， 由题意，圆O上存在点Q，使， 等价于直线或与圆O有交点， 由对称性可知点O到直线与距离相等， ∴点O到直线的距离小于等于半径1，即，解得， 又，故实数m的取值范围是． 【小问3详解】 略 18. 已知圆，过圆内的点的弦长的最大值为4，最小值为. （1）求圆的方程. （2）点是轴上异于点的一个点，且对于圆上任意一点为定值. （i）求点的坐标； （ii）点，求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据圆的弦长性质（过圆内一点的弦，直径最长，垂直于圆心与该点连线的弦最短），结合圆的标准方程求解参数； （2）（i）：通过设点坐标、利用距离公式和圆的方程，结合 “定值” 的代数意义（系数与常数项分别相等）求解点的坐标； （2）（ii）：利用（i）的定值结论化简表达式，再结合几何意义或代数变形求最小值，涉及距离公式、代数式化简与最值分析. 【小问1详解】 圆的最长弦为直径，所以，得. 最短弦为与直径垂直的弦，可得，又，所以， 故圆的方程为. 【小问2详解】 （i）设，则， 因为点在圆上，所以将代入上式， 得， 因为该式的值为常数，所以，解得（舍去）， 所以点的坐标为. （ii）由（i）可知，所以. 所以， 易知，，当点在线段DA上时等号成立， 故的最小值为，即原式的最小值为. 19. 已知平面直角坐标系中的点，，则满足的动点的轨迹记为圆． （1）求圆的方程； （2）已知，，三点，点在圆上运动，求的最大值与最小值之差． （3）直线与圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由； 【答案】（1）. （2）16 （3） 【解析】 【分析】(1)设动点，依据的距离等式，两边平方化简整理，即可求得动点的轨迹圆的方程； (2)设，写出的坐标表达式，求和后结合圆方程消去，转化为关于的一次函数，利用的取值范围求最值，再计算最值之差； (3)假设轴上存在定点，联立直线与圆的方程，由韦达定理得到两根之和、两根之积，代入斜率条件化简，求解参数并验证，判断定点是否存在. 【小问1详解】 设，由，，， 得， 两边平方：， 展开：， 整理得：， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 设，由，，， ， ， ， ， 由点在圆上，，代入得， ， 圆中， 当时，取得最大值； 当时，取得最小值， 最大值与最小值之差为. 【小问3详解】 假设在轴上存在定点满足条件， 设，，联立， ， ，， 由，得， ，，当时，约去， ， 通分整理：， ， 代入，后两边同乘：， 化简，即，解得， 当时，直线与圆交于， 也满足，所以存在定点满足题意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度10月阶段性测试 高二数学 2026.10 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处” 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上．如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上，试卷上答题无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 设直线l的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆关于直线对称，则实数的值为（ ） A. -5 B. -3 C. 3 D. 5 3. 已知点是直线上一点，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知是圆：上两点，若存在满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点为直线上的一个动点，为圆上任意两个不重合的点，记的最小值为的最大值为，则（　　） A. B. C. D. 7. 在直角坐标系xOy中，已知点P是圆O：上一动点，若直线l：上存在点Q，满足线段PQ的中点也始终在圆O上，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过l上一点P作圆的两条切线，切点分别为M、N，设线段的中点为Q，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的） 9. 已知动点到原点与到点的距离之比为，记的轨迹为，直线，则（ ） A. E是一个半径为2的圆 B. 上的点到的距离的取值范围为 C. 被截得的弦长为 D. 上存在四个点到的距离为 10. 设，过定点M的直线：与过定点N的直线：相交于点P，线段是圆C：的一条动弦，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 一定垂直 B. 的最大值为 C. 点P的轨迹方程为 D. 的最小值为 11. 已知的顶点在圆上，顶点在圆上.若，则（ ） A. 的面积的最大值为 B. 直线被圆截得的弦长的最小值为 C. 有且仅有一个点，使得为等边三角形 D. 有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆，直线，当圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为__________. 13. 已知是圆上动点，是圆的上两点，若，则的范围为__________. 14. 设点是：上的动点，点是直线：上的动点，记，则的最小值是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 的三个顶点分别是、、. （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求的外接圆（为圆心）的标准方程. 16. 已知为圆：上任意一点，且点． （1）求的最大值和最小值． （2）求的最大值和最小值． 17. 已知点E是圆C：上的动点，点，M是线段EF的中点，P（m，0）（）是x轴上的一个动点． （1）求点M的轨迹方程； （2）当点M的轨迹上存在点Q，使，求实数m的取值范围； （3）当时，过P作直线PA，PB与点M的轨迹分别交于异于点P的A，B两点，且．求证：直线AB恒过定点．（其中，分别为直线PA与直线PB的斜率）． 18. 已知圆，过圆内的点的弦长的最大值为4，最小值为. （1）求圆的方程. （2）点是轴上异于点的一个点，且对于圆上任意一点为定值. （i）求点的坐标； （ii）点，求的最小值. 19. 已知平面直角坐标系中的点，，则满足的动点的轨迹记为圆． （1）求圆的方程； （2）已知，，三点，点在圆上运动，求的最大值与最小值之差． （3）直线与圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $