第09讲：直线与圆的位置关系讲义【八大题型+知识归纳+高分演练】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第09讲：直线与圆的位置关系 题型一：判断直线与圆的位置关系 1 题型二：由直线与圆的位置关系求参数 2 题型三：圆的弦长问题 4 题型四：圆的切线方程 5 题型五：直线与圆的位置关系求距离最值 7 题型六：直线与圆的应用 8 题型七：过圆内定点的弦长最值问题 10 题型八：直线与圆的位置定点定值问题 12 知识点　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ d<r d＝r d>r 代数法： 由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 题型一：判断直线与圆的位置关系 【例1】．（26-27高三·全国·一轮复习）直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【变式1】．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）直线与圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 【变式2】．（2026·湖南·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 题型二：由直线与圆的位置关系求参数 【例2】．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知直线：与：交于，两点，当时，（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）若圆上到直线的距离为3的点仅有2个，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（26-27高三上·四川·阶段检测）已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三：圆的弦长问题 【例3】．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）已知直线：与圆：交于，两点，则________． 【变式1】．（26-27高二上·天津·阶段检测）已知过点的直线L被圆所截得的弦长为，则直线L的一般式方程为___________. 【变式2】．（2026·吉林·模拟预测）已知圆的圆心为直线与的交点，半径为，且圆截直线所得弦的长度为4，则实数________． 题型四：圆的切线方程 【例4】．（26-27高三·全国·一轮复习）过圆上的点的切线方程为______. 【变式1】．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知圆C的方程为，过直线上一点P作圆C的两条切线，若两切点之间的距离为，则点P的坐标为________ 【变式2】．（25-26高三上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，过点且与圆相切的直线方程为__________． 题型五：直线与圆的位置关系求距离最值 【例5】．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知P为圆上任意一点，A，B为直线：上的两个动点，且，则面积的最大值为______． 【变式1】．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知直线，点P是圆上一点，则点P到直线l的距离的取值范围为______. 【变式2】．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知直线经过点，则点到直线的距离最小为_____． 题型六：直线与圆的应用 【例6】．（专题02 平面解析几何初步03（期末复习讲义）高二数学上学期湘教版）已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为_______． 【变式1】．（25-26高二上·广西·期中）已知某岛屿正西方向处有一台风中心，它正向北偏东60°方向移动，移动速度的大小为.距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，则岛屿所在地受到影响的持续时间为______小时. 【变式2】．（23-24高二上·山东聊城·期中）2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与相距30米的支柱的高度是__________米.（注意：） 题型七：过圆内定点的弦长最值问题 【例7】．（22-23高二上·浙江宁波·期末）如图1，某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于__________m（精确到）．若建立如图2所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的标准方程是__________． （可用参考数据：．） 【变式1】．（25-26高二上·北京平谷·期末）已知直线：与圆：相交于、两点，则弦长最短时直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）过的直线与圆交于两点，当弦长度最短时，直线的方程是（　　） A． B． C． D． 题型八：直线与圆的位置定点定值问题 【例8】．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知点，动点在圆上运动.设线段的中点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设点为直线上的一动点.过点作曲线的两条切线，切点为，若的面积为，求点的坐标； (3)点是曲线上任意一点，点，是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由. 【变式1】．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知直线： 与圆：． (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若为圆C上一点，求的取值范围； (3)设为坐标原点，若直线与圆交于，两点，且直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式2】．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. (1)求过点与圆相切的直线方程； (2)求过点且被圆截得的弦长为的直线方程； (3)过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 一、单选题 1．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知圆：上存在四个点到直线：的距离等于1，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）已知直线将圆：的圆周平分，则（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）平面直角坐标系中，已知点，若直线：上总存在、两点，使得恒成立，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）过直线：上一点作圆：的两条切线，若切点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·全国·模拟预测）“”是“圆与坐标轴有四个交点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线和圆．若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知圆，点在直线上.若圆上存在两点，使得是等边三角形，则点的纵坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（26-27高二上·广东汕头·阶段检测）已知直线：与圆：相交于，两点，则（     ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为 D． 9．（26-27高二上·河北保定·阶段检测）已知点在圆：上运动，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为 D．若，，则的最小值为 10．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆：，是圆上任意一点，则下列说法正确的是（     ） A．圆的圆心为，半径为 B．的最大值为 C．（）的取值范围是 D．的取值范围是 11．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知圆：，直线：，动点在圆上，点，则下列说法正确的是（    ） A．若直线与圆相切，则 B．直线恒过的定点在圆外 C．存在，使直线交圆于点，，且 D．（为坐标原点）的最小值为 12．（26-27高二上·江苏泰州·阶段检测）已知是圆上的两点，则下列结论中错误的是（    ） A．若，则 B．若点到直线的距离为，则 C．d，则的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 13．（26-27高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是______． 14．（26-27高二上·湖南永州·阶段检测）已知某台风中心从点出发，以每小时60千米的速度向东偏北方向匀速移动，离该台风中心不超过450千米的地区为危险区域．若在的东偏南方向上，且相距600千米，则点处于危险区域的时长是__________小时． 15．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）设直线：（）与圆和圆均相切，则__________． 16．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆（圆心为点），动点在直线上，过点向圆作两条切线，切点分别为，，则直线恒过定点__________；若直线和相交于点，则点到直线的距离的最小值为__________． 四、解答题 17．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知圆：和直线：． (1)若直线与圆相离，求的取值范围； (2)若，点是圆上一个动点，求点到直线距离的最大值和最小值． 18．（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)过的直线被圆截得的弦长为，求直线方程． (3)过点引圆的切线，求切线方程． 19．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知圆经过点和，且圆的面积被轴平分． (1)求圆的方程； (2)若点在直线上，过点作的切线，切点为，求的最小值． 20．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为. (1)求曲线的轨迹方程； (2)过作直线与曲线交于，两点，中点为，求的最值； (3)已知点为圆上任意一点，过点向曲线作切线，切点为，试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲：直线与圆的位置关系 题型一：判断直线与圆的位置关系 1 题型二：由直线与圆的位置关系求参数 2 题型三：圆的弦长问题 4 题型四：圆的切线方程 5 题型五：直线与圆的位置关系求距离最值 7 题型六：直线与圆的应用 8 题型七：过圆内定点的弦长最值问题 10 题型八：直线与圆的位置定点定值问题 12 知识点　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ d<r d＝r d>r 代数法： 由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 题型一：判断直线与圆的位置关系 【例1】．（26-27高三·全国·一轮复习）直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】C 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 即，所以直线l与圆C的位置关系是相离. 【变式1】．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）直线与圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 【答案】A 【详解】圆的标准方程为，圆心是，半径为， 圆心到直线的距离：， 故直线与圆相离． 【变式2】．（2026·湖南·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径为2． 因为圆心到的距离为，所以与圆相离． 题型二：由直线与圆的位置关系求参数 【例2】．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知直线：与：交于，两点，当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知：， 整理得，即， 可得圆心的坐标为，半径 已知，， 所以为等腰三角形， 过点作的垂线，垂足为， 则为圆心到直线的距离，且 在中，． 已知直线：， 点到直线的距离公式为：， 则， 两边同时平方得：， 整理得，即， 解得． 【变式1】．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）若圆上到直线的距离为3的点仅有2个，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离， 依题意可得，即，解得. 【变式2】．（26-27高三上·四川·阶段检测）已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由圆的方程得：圆心坐标为，半径， 点到直线：的距离为. 分析充分性： 若， 则，则直线与圆相切，充分性成立. 分析必要性： 若直线与圆相切，则， 即， 解得或，必要性不成立. 综上，”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 题型三：圆的弦长问题 【例3】．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）已知直线：与圆：交于，两点，则________． 【答案】8 【详解】由可得， 所以圆圆心为，半径为. 设圆心到直线的距离为，则， 所以 【变式1】．（26-27高二上·天津·阶段检测）已知过点的直线L被圆所截得的弦长为，则直线L的一般式方程为___________. 【答案】或 【详解】将圆变形得， 则圆心坐标为，半径，又弦长为， 所以圆心到直线的距离为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为3， 则弦长为，不符合题意，舍去. 当直线斜率存在时，设过点的直线斜率为， 则直线的点斜式方程为， 整理为一般式:. 根据点到直线的距离公式，可得， 化简整理得， 解得或. 当时，直线方程为. 当时，直线方程为，整理得. 综上，直线L的一般式方程为或. 【变式2】．（2026·吉林·模拟预测）已知圆的圆心为直线与的交点，半径为，且圆截直线所得弦的长度为4，则实数________． 【答案】 【详解】联立解得 ∴圆的圆心坐标为． 圆心到直线的距离， 且圆的半径，圆截直线所得弦的长度为4． 由，解得． 题型四：圆的切线方程 【例4】．（26-27高三·全国·一轮复习）过圆上的点的切线方程为______. 【答案】 【详解】法1：圆心坐标为， 因为点在圆上，故圆心与该点连线的斜率不存在， 故切线的斜率为零，故切线方程为. 法2：过圆上的点的切线方程为： ，即. 【变式1】．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知圆C的方程为，过直线上一点P作圆C的两条切线，若两切点之间的距离为，则点P的坐标为________ 【答案】 或 【详解】记圆的圆心为，半径，设两切点为，的中点为. 由弦长性质可知，， 由勾股定理得： . 因为是圆的切线，故， 由射影定理可得，代入得： ，所以. 设，因在直线上，故， 又，所以， 联立解得，或，. 经验证两点均满足作圆两条切线的条件，故点的坐标为或. 【变式2】．（25-26高三上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，过点且与圆相切的直线方程为__________． 【答案】或 【详解】由圆，圆心为，半径， 当切线斜率不存在时，切线方程为，此时圆心到切线的距离为1，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 则，解得，则切线的方程为，即. 综上所述，切线方程为或. 题型五：直线与圆的位置关系求距离最值 【例5】．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知P为圆上任意一点，A，B为直线：上的两个动点，且，则面积的最大值为______． 【答案】8 【详解】设与直线平行的直线，， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离为， 解得：或， 所以两条切线为和， 如图，两条切线中，直线到直线的距离最远， 此时切点到直线的距离最远，最远距离为， 所以面积的最大值为 【变式1】．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知直线，点P是圆上一点，则点P到直线l的距离的取值范围为______. 【答案】 【详解】直线：可化为， 令，解得：，所以直线恒过定点. 圆方程：，配方. 圆心，半径， 所以圆心到定点距离：， 又因为，且，所以直线与不垂直， 所以直线绕定点旋转，圆心到直线的距离的范围：. 当直线与圆相交时，圆上存在点到直线的距离为. 因此点P到直线的距离的取值范围为. 【变式2】．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知直线经过点，则点到直线的距离最小为_____． 【答案】/ 【详解】由点在直线上，可得， 整理得，即，即在以为圆心，半径的圆上， 则圆心到直线的距离为， 根据圆的性质，可得点到直线的距离最小值为. 题型六：直线与圆的应用 【例6】．（专题02 平面解析几何初步03（期末复习讲义）高二数学上学期湘教版）已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为_______． 【答案】 【详解】直线， 令，解得，所以直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为， 且，即在圆内， 当时，圆心到直线的距离最大为， 此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为. 故答案为： 【变式1】．（25-26高二上·广西·期中）已知某岛屿正西方向处有一台风中心，它正向北偏东60°方向移动，移动速度的大小为.距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，则岛屿所在地受到影响的持续时间为______小时. 【答案】 【详解】如图，设直角坐标系的原点为台风中心，轴正半轴上存在岛屿， 且台风中心在第一象限沿着直线运动，    以为圆心，以为半径的圆与直线交于两点， 因为点到直线的距离， 则， 则岛屿所在地受到影响的持续时间为小时. 故答案为： 【变式2】．（23-24高二上·山东聊城·期中）2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与相距30米的支柱的高度是__________米.（注意：） 【答案】 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意可知，点的坐标为，设圆拱桥弧所在圆的半径为， 由勾股定理可得， 又，即，解得， 所以圆心的坐标为，则圆的方程为， 将代入圆的方程得， 又，解得， 所以(米)． 故答案为：． 题型七：过圆内定点的弦长最值问题 【例7】．（22-23高二上·浙江宁波·期末）如图1，某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于__________m（精确到）．若建立如图2所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的标准方程是__________． （可用参考数据：．） 【答案】 3.32 【详解】设拱形所在圆的圆心为H，半径为r，由题意圆心H在y轴上，如图， 则， 则圆的标准方程为：． 由题意设，代入圆的方程得， 解得，即，则. 故答案为：3.32；. 【变式1】．（25-26高二上·北京平谷·期末）已知直线：与圆：相交于、两点，则弦长最短时直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆：，配方得. 圆心，半径. 直线：，整理为，故直线恒过点. 经验证，点在圆内，当直线时，弦长最短. 又，所以. 此时直线的方程为，即. 故选：B. 【变式2】．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）过的直线与圆交于两点，当弦长度最短时，直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径为， 当直线与垂直时，弦长度最短， 又圆心与点连线的斜率为， 则直线的斜率为， 由点斜式可得，直线的方程为，即． 故选：C． 题型八：直线与圆的位置定点定值问题 【例8】．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知点，动点在圆上运动.设线段的中点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设点为直线上的一动点.过点作曲线的两条切线，切点为，若的面积为，求点的坐标； (3)点是曲线上任意一点，点，是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【详解】（1）设线段的中点为，则，代入中得，即，故曲线的方程为； （2）设，，则，则，， 则，令，则，即，得，则，设，则，得或， 则或； （3）存在，或，设，，， 因为，所以 ，则， 因为点是曲线上任意一点，所以， 得或，即或 【变式1】．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知直线： 与圆：． (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若为圆C上一点，求的取值范围； (3)设为坐标原点，若直线与圆交于，两点，且直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【详解】（1）先整理圆：； 可得其圆心，半径. 对于直线变形得； 令，解得. 所以直线恒过定点. 由圆：，得圆心，半径，直线恒过定点， ①当直线斜率不存在时，方程为，直线与圆相切成立， ②当直线斜率存在时，设直线的方程为， 圆心到直线的距离， 由直线与圆相切可得，即， 解得，直线方程为，即， 综上所述：直线的方程为或； （2）设 ，即 ， 直线与圆有交点，所以 ， 因此的取值范围为. (3)为定值，. 由（1）可得直线斜率一定存在，设直线的方程为，，， 联立方程，即，，即， ，，又，， 所以， 所以为定值，. 【变式2】．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. (1)求过点与圆相切的直线方程； (2)求过点且被圆截得的弦长为的直线方程； (3)过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 【答案】(1)和. (2)或 (3)是定值，定值为． 【详解】（1）圆的圆心为，半径为2， 若过点垂直于轴的直线，恰与圆相切，符合题意； 设另一条直线的斜率为，其方程为，即， 因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，解得， 则该切线方程为. 综上，过点与圆相切的直线方程为和. （2）因为截得的弦长为且半径，所以圆心到直线的距离为， 由，解得或， 即所求直线为或. （3）由题意知点，显然直线的斜率存在，设直线方程为， 联立，得， 设，则， 且，解得， 设直线QA，QB的斜率分别为， ，所以是定值，定值为． 一、单选题 1．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知圆：上存在四个点到直线：的距离等于1，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由圆可得，圆心为，半径. 若圆上存在四个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离满足， 根据点到直线的距离公式，，代入不等式得： ， 化简得，即，解得. 2．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）已知直线将圆：的圆周平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线平分圆周，即直线过圆心.由圆的标准方程读出圆心坐标，代入直线方程求 . 【详解】圆 ： 的圆心为 ，半径为 . 直线 将圆周平分，即该直线过圆心 . 将 代入直线方程：，解得 . 3．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）平面直角坐标系中，已知点，若直线：上总存在、两点，使得恒成立，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】要使得恒成立，则点M在以PQ为直径的圆的内部（包含边界）， 点P、Q在直线上， 而点到直线l：的距离为， 则以为直径的圆的半径的最小值为3， 所以的最小值为6，则线段PQ长度的取值范围是. 4．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）过直线：上一点作圆：的两条切线，若切点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，以为直径的圆：，展开：. 圆：.两式相减消去二次项，得到切点弦：. 因为在直线上，所以，即. 把代入：. 整理成参数分离形式： 令参数的系数与常数项同时为0：，解得，，即直线恒过定点. 定点在圆内部，动弦过，圆半径，弦长公式，为圆心到直线距离. 的最大值就是（当时），此时弦长最短： . 5．（2026·全国·模拟预测）“”是“圆与坐标轴有四个交点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，可知点在圆的内部， 此时圆与坐标轴有四个交点，充分性成立； 反之，由圆的方程可知，圆心为，半径为， 要使圆与坐标轴有四个交点，只需，，且， 此时即可，所以存在满足条件且的情况，必要性不成立， 故“”是“圆与坐标轴有四个交点”的充分不必要条件． 6．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线和圆．若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定其圆心和半径，再根据两点距离公式，得，再根据圆的切线性质可得，结合二次函数性质即可求得其最小值. 【详解】由圆，得， 故圆心，半径， 又已知直线，点在直线上，设点， 则， 由圆的切线性质可得，，    当且仅当时，取得最小值，最小值为. 7．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知圆，点在直线上.若圆上存在两点，使得是等边三角形，则点的纵坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆，圆心为原点，半径. 在直线上，设. 因为圆上存在两点使为等边三角形，所以， 过作圆的切线，切点为，连接， 则，又， 所以，即，则， 即，解得，故， 所以，点的纵坐标的取值范围为. 二、多选题 8．（26-27高二上·广东汕头·阶段检测）已知直线：与圆：相交于，两点，则（     ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为 D． 【答案】ACD 【详解】圆：整理变形得， 所以圆心的坐标为，半径，A选项正确，B选项错误. 圆心到直线的距离，C选项正确. ，D选项正确. 9．（26-27高二上·河北保定·阶段检测）已知点在圆：上运动，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为 D．若，，则的最小值为 【答案】ACD 【详解】对原圆方程配方得，圆心，半径 对A选项，令表示点与原点连线的斜率，即直线与圆有交点. 所以圆心到直线的距离，即， 平方整理得： ， 解得， 故最大值为，A正确. AI对B选项，设，即，即直线与圆有公共点， 所以圆心到直线距离 ，即， 解得， 所以的最小值为，不是，故B错误； AI对C选项，过斜率为的直线为， 令，得， ， 因为在圆上，所以，因此，故C正确； 对D选项，设，，， 所以， 因为，所以 ， 所以，故D正确. AI 10．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆：，是圆上任意一点，则下列说法正确的是（     ） A．圆的圆心为，半径为 B．的最大值为 C．（）的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【详解】对于A，因为圆的方程为， 所以圆心为，半径为，故A正确； 对于B，设，则， 将其代入圆的方程中得：， 即， 因为有实数解，所以判别式， 即， 化简得：， 解得：， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，（）的几何意义是圆上点与原点连线的斜率， 设，则直线方程为，即， 直线与圆有公共点，因此圆心到直线的距离， 即，所以，解得或， 因此（）的取值范围是，故C错误. 对于D，式子的几何意义是： 向量与向量的夹角的余弦值的两倍， 过原点作圆的切线，设方程为， 圆心到切线的距离，解得， 所以两条切线方程为和，且两切线的倾斜角分别为， 射线介于这两条切线之间， 所以与向量的夹角，则， 所以，故D正确. 11．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知圆：，直线：，动点在圆上，点，则下列说法正确的是（    ） A．若直线与圆相切，则 B．直线恒过的定点在圆外 C．存在，使直线交圆于点，，且 D．（为坐标原点）的最小值为 【答案】ABD 【详解】由题意可得：圆的圆心为，半径， 直线：，即，点，， A选项中，若直线与圆相切，根据点到直线的距离公式可得： ，所以，即， 化简可得：，即，解得，A正确， B选项中，由，得，令，则， 所以直线恒过定点，且，所以定点在圆外，B正确， C选项中，因为，即， 联立直线和圆可得： 消去，得， 又因为直线交圆于，， 所以，解得， 设直线与圆的交点为，， 则，， 由，得， ， ，即， 因为，所以满足条件的不存在，C错误， D选项中，取，设点，且， 则， 整理得，所以， 当且仅当O，P，B在一条直线上，且时，等号成立， 所以的最小值为4，D正确. 12．（26-27高二上·江苏泰州·阶段检测）已知是圆上的两点，则下列结论中错误的是（    ） A．若，则 B．若点到直线的距离为，则 C．d，则的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】依题意，如图所示： 对于选项A，若，在中，， 所以， 所以，故A错误； 对于选项B，若点到直线的距离为， 由垂径定理易得，即， 解得，故B正确； 对于选项C，， 其几何意义为，到直线的距离之和的倍， 设中点为，则有（梯形中位线）， 因为，所以， 所以在直角三角形中，， 所以点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，即， 所以的圆心到直线的距离为， 所以， 所以，故C错误； 对于选项D，因为， 所以当的夹角为时取得最小值，故D错误. 三、填空题 13．（26-27高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是______． 【答案】 【详解】由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线即的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，则，解得， 即的取值范围是． 14．（26-27高二上·湖南永州·阶段检测）已知某台风中心从点出发，以每小时60千米的速度向东偏北方向匀速移动，离该台风中心不超过450千米的地区为危险区域．若在的东偏南方向上，且相距600千米，则点处于危险区域的时长是__________小时． 【答案】5 【详解】以为原点，正东方向为轴的正方向建立平面直角坐标系. 当台风中心到点距离不超过450千米时，处于危险区域，即以为圆心，450千米为半径作圆， 圆与台风行进路线交于，两点. 过点作，垂足为． 由题意可知千米，千米，， 在直角三角形中，千米， 从而千米， 故点处于危险区域的时长是小时． 15．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）设直线：（）与圆和圆均相切，则__________． 【答案】 【详解】设，，由题意，到直线的距离等于半径， 即，，所以，所以（舍）或者， 则，代入得， ，化简得， 因为直线与圆相切， 所以， 解得（舍去负值），. 16．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆（圆心为点），动点在直线上，过点向圆作两条切线，切点分别为，，则直线恒过定点__________；若直线和相交于点，则点到直线的距离的最小值为__________． 【答案】 【详解】由圆，则其标准方程为， 则圆心为，半径为， 由动点在直线上，则设， 则切点弦的直线方程为， 整理得， 则，解得，，即直线恒过定点， 又直线和相交于点，即，则点在以为直径的圆上， 所以圆的圆心坐标为，圆的半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最小值为． 四、解答题 17．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知圆：和直线：． (1)若直线与圆相离，求的取值范围； (2)若，点是圆上一个动点，求点到直线距离的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【详解】（1）圆心，半径：， 若直线与圆相离，则，解得，的取值范围为：. （2）若，直线：，圆心到直线的距离为：， 则点到直线距离的最大值为：， 点到直线距离的最小值为：. 18．（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)过的直线被圆截得的弦长为，求直线方程． (3)过点引圆的切线，求切线方程． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1） 如图所示，将直线的方程整理为 ， 令，解得，故， 由圆心在直线上可设圆心坐标为，则， 即，解得：， 故圆心坐标为，半径为， 故圆的方程为. （2）当直线斜率不存在时，直线为，此时圆心到的距离为， 由垂径定理得：弦长为，满足要求； 当直线斜率存在时，设直线为， 圆心到直线即距离为， 由垂径定理得：，解得：， 故直线方程为：即 综上：直线方程为或 （3）当切线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，与圆显然相切，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线斜率为，切线方程为 ，即， 由圆心到切线距离等于半径得，整理得 ，解得，代入得切线方程为， 所以切线方程为或. 19．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知圆经过点和，且圆的面积被轴平分． (1)求圆的方程； (2)若点在直线上，过点作的切线，切点为，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）因为圆的面积被轴平分，所以圆心在轴上．    设，圆．    将点和代入，得，    解得， 所以圆的方程为． （2）由题意，得， 所以要求的最小值，只需求的最小值．    因为点在直线上，所以的最小值等于点到直线的距离， 即．    故， 即的最小值为． 20．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为. (1)求曲线的轨迹方程； (2)过作直线与曲线交于，两点，中点为，求的最值； (3)已知点为圆上任意一点，过点向曲线作切线，切点为，试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)最大值为4，最小值为3 (3)存在，当时，，当时， 【详解】（1）设，由，得，即， 曲线的方程为，即曲线是以为圆心，2为半径的圆. （2）如图所示； 设，由题意知，即，则点的轨迹是以为直径的圆， 中点为，，所以圆半径为，点的轨迹方程为：， ，且. 的最大值为，的最小值为. （3）如图所示； 设，则，即， 是到圆的切线，由切线长公式得，， 设，. 设，则， 即对满足的所有恒成立， 则有，解得或， 所以当时，，当时，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $