第14讲 圆与圆的位置关系（八大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“圆与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，通过几何法（圆心距与半径关系）和代数法（方程组解的个数）进行判定，延伸至公切线（条数、方程、长度）、公共弦（方程、长度）及圆系方程，构建从基础判定到综合应用的学习支架。 该资料亮点在于题型与各地期末真题结合，以表格对比位置关系与公切线条数培养几何直观（数学眼光），通过由位置关系求参数题锻炼逻辑推理（数学思维），用圆系方程表达过交点圆提升数学语言表达。课中助教师分层教学，课后助学生通过变式与提升练巩固查漏。

第14讲 圆与圆的位置关系 【人教A版】 模块二 圆与圆的位置关系及判定 【知识点1 圆与圆的位置关系及判断方法】 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0时，两圆无公共点，包括内含与外离. 【题型1 判断圆与圆的位置关系】 【例1】（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．外离 C．相切 D．相交 【变式1-1】（25-26高二上·云南昆明·期末）圆与圆的公共点个数为（   ） A．0 B．3 C．2 D．1 【变式1-2】（25-26高二上·陕西榆林·期末）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 【变式1-3】（25-26高二上·甘肃陇南·期末）已知点在圆外，则圆M：与圆N：的位置关系是（    ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【题型2 由圆与圆的位置关系求参数】 【例2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）圆与圆相交，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·江苏扬州·期末）若圆与圆相交，则正整数的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-2】（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知与圆外切，则的取值为（   ） A． B． C． D．3 【变式2-3】（25-26高二上·贵州黔南·阶段检测）已知与相交，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 模块三 两圆的公切线 【知识点2 两圆的公切线】 1．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数，实质就是判断两圆的位置关系. (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 【题型3 两圆的公切线长】 【例3】（25-26高二上·湖南·阶段检测）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【变式3-1】（25-26高二上·全国·期中）圆与圆的公切线长为___________. 【变式3-2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【变式3-3】（25-26高二上·广东云浮·期中）已知圆A的方程为，圆的方程为. (1)判断圆A与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由. (2)求两圆的公切线长. 【题型4 求两圆的公切线方程】 【例4】（25-26高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式4-1】（25-26高三上·广西百色·阶段检测）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 【变式4-3】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【题型5 两圆的公切线条数问题】 【例5】（25-26高二上·山东济宁·期末）已知圆，圆，则它们公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-1】（25-26高二上·广东·期末）若圆与圆有且仅有三条公切线，m的值为（     ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 【变式5-2】（25-26高二上·湖北黄冈·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【变式5-3】（25-26高二上·新疆和田·期末）已知圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 模块四 两圆的公共弦 【知识点3 两圆的公共弦问题】 1．求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点 满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. 2．求两圆公共弦长的方法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股 定理求出公共弦长. 【题型6 相交圆的公共弦方程】 【例6】（25-26高二上·云南昭通·期末）已知圆与圆相交，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·山西·期末）已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上． (1)求圆的方程； (2)圆与圆：相交于两点，求两圆的公共弦的直线方程． 【变式6-3】（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知圆，求圆与圆的公共弦的方程以及公共弦的长. 【题型7 两圆的公共弦长问题】 【例7】（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知和圆相交，则这两个圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）已知圆，圆，则这两圆的公共弦长为（    ） A． B． C．2 D．1 【变式7-2】（25-26高二上·贵州遵义·期末）在平面直角坐标系中，圆与两坐标轴都相切，且过点． (1)求圆的方程． (2)若圆与圆相交，求两圆的公共弦长． 【变式7-3】（25-26高二上·河南濮阳·期末）已知圆（，）过原点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆是否相交，若相交，请求出公共弦的长. 模块五 圆系方程及其应用 【知识点4 圆系方程及其应用】 1．圆系方程及其应用技巧 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种： (1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是. (2)与圆同心的圆系方程是. (3)过同一定点(a,b)的圆系方程是. (4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是 . (5)过两圆:和:的交点的圆系方程是 ().(其中不含有: ,注意检验是否满足题意，以防漏解). ①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程. ②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程. 【题型8 圆系方程及其应用】 【例8】（25-26高二上·重庆·阶段检测）求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二上·湖北十堰·期末）过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·广西钦州·期中）已知圆过点，，且圆心在直线上，圆：. (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长； (3)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 【变式8-3】（25-26高二上·安徽马鞍山·阶段检测）已知圆C：与圆：． (1)若圆C与圆有3条公切线，求r的值． (2)若，试求： ①圆C与圆所得的公共弦长； ②经过圆C与圆的交点且过坐标原点O的圆M的方程． 模块六 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．内含 C．相交 D．外离 2．（25-26高二上·陕西渭南·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 （    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知圆与圆外切，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）若圆与圆有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·安徽六安·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，圆与圆相交于A，B两点，则四边形OACB的面积为（   ） A． B． C．1 D． 8．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（   ） A．圆和圆关于直线对称 B．圆和圆的公共弦长为 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为 二、多选题 9．（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知圆，圆，若圆和圆没有公共点，则的值可能为（ ） A．-32 B．-24 C．16 D．24 10．（25-26高二上·浙江丽水·期末）已知圆，圆，则以下结论正确的是（    ） A． B．若两圆外切，则 C．若，则两圆相交 D．若，则两圆的公共弦所在直线的方程为 11．（25-26高二上·山东潍坊·期末）已知圆，圆则（    ） A．当时，圆与内含 B．圆关于直线对称的圆的方程为 C．若圆与圆恰有三条公切线，则 D．若圆与相交，则公共弦长的最大值为2 三、填空题 12．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知圆与圆内切，则实数的值为___________. 13．（25-26高二上·山西朔州·期末）圆与圆的公共弦的长为___________. 14．（25-26高三上·天津武清·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知圆与圆，则两圆的公切线的条数是___________． 四、解答题 15．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 16．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知圆与圆，则 (1)求圆与圆的公共弦的长； (2)求经过点以及圆与圆交点的圆的方程． 17．（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知圆与圆的公共弦所在的直线为． (1)求，的值； (2)若与交于，两点，求四边形的面积． 18．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知圆和圆 (1)求证：圆与圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求经过圆与圆的交点，且面积最小的圆的方程． 19．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线的长度； (3)过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求当四边形面积最小时，的坐标． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 圆与圆的位置关系 【人教A版】 模块二 圆与圆的位置关系及判定 【知识点1 圆与圆的位置关系及判断方法】 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0时，两圆无公共点，包括内含与外离. 【题型1 判断圆与圆的位置关系】 【例1】（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．外离 C．相切 D．相交 【答案】D 【解题思路】根据两圆方程求出圆心距，并与两圆半径之和、之差进行比较，即可得出结论. 【解答过程】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则，因， 即两圆相交， 故选：D. 【变式1-1】（25-26高二上·云南昆明·期末）圆与圆的公共点个数为（   ） A．0 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解题思路】由两圆方程可确定圆心和半径，利用圆心距与半径之差相等可确定结果. 【解答过程】可化为： ，圆心，. 可化为，圆心 .， 故两圆内切.故两圆有一个公共点. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高二上·陕西榆林·期末）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 【答案】B 【解题思路】求出两圆的圆心和半径，计算两圆心的距离，再通过比较圆心距与两圆半径的大小关系，判断两圆的位置关系. 【解答过程】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为； 圆心距； 因为，所以圆与圆外切. 故选：B. 【变式1-3】（25-26高二上·甘肃陇南·期末）已知点在圆外，则圆M：与圆N：的位置关系是（    ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】D 【解题思路】利用点与圆的位置可得，再求出圆与圆的圆心及半径，并求出圆心距即可判断得解. 【解答过程】由点在圆外，得， 圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 因此，所以圆与圆外离. 故选：D. 【题型2 由圆与圆的位置关系求参数】 【例2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）圆与圆相交，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求得两圆的圆心与半径，然后根据两圆的位置关系列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】因为圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以圆心距， 又圆与圆相交，所以， 即，又，所以解得：， 故选：C. 【变式2-1】（25-26高二上·江苏扬州·期末）若圆与圆相交，则正整数的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】先求圆心坐标，再求圆心距，再利用两圆相交得，解出即可求解. 【解答过程】圆的圆心，半径为，圆，所以， 所以圆心，半径为， 所以， 由圆与圆相交，所以， 即，解得，又，所以， 故选：B. 【变式2-2】（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知与圆外切，则的取值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解题思路】根据求得. 【解答过程】由题意可知，，半径；，半径， 因为两圆外切，所以，得. 故选：B. 【变式2-3】（25-26高二上·贵州黔南·阶段检测）已知与相交，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先把两圆化为标准形式求出圆心和半径，再利用两点间距离公式求出圆心距，利用圆与圆的位置关系构造不等式，解不等式求出实数a的取值范围． 【解答过程】的标准方程为， 圆心，半径， 的标准方程为， 圆心，半径，则，解得或， ， 两圆相交， ， 恒成立，则只需满足， ，化简得，解得或， 综上，的取值范围为，故A正确． 故选：A． 模块三 两圆的公切线 【知识点2 两圆的公切线】 1．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数，实质就是判断两圆的位置关系. (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 【题型3 两圆的公切线长】 【例3】（25-26高二上·湖南·阶段检测）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【解题思路】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【解答过程】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D. 【变式3-1】（25-26高二上·全国·期中）圆与圆的公切线长为___________. 【答案】4 【解题思路】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【解答过程】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    【变式3-2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【解题思路】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 【变式3-3】（25-26高二上·广东云浮·期中）已知圆A的方程为，圆的方程为. (1)判断圆A与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由. (2)求两圆的公切线长. 【答案】(1)两圆相交，，； (2). 【解题思路】（1）根据圆心距判断圆的位置关系，再由两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，由几何法求出弦长； （2）根据公切线的性质，利用圆心距、半径差、公切线构成的直角三角形求解. 【解答过程】（1）圆A：，圆：， 两圆心距， ∵， ∴两圆相交， 将两圆方程左、右两边分别对应相减得：， 此即为过两圆交点的直线方程. 设两交点分别为、，则垂直平分线段， ∵A到的距离， ∴. （2）设公切线切圆A、圆的切点分别为，，则四边形是直角梯形. ∴， ∴. 【题型4 求两圆的公切线方程】 【例4】（25-26高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解题思路】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程. 【解答过程】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 【变式4-1】（25-26高三上·广西百色·阶段检测）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由圆与圆位置关系的判断可知两圆外离，得公切线条数；根据两圆半径相同可确定两条公切线过，两条公切线平行于，假设公切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得公切线. 【解答过程】由两圆方程得：圆心，，半径， 两圆圆心距，，即两圆外离，公切线共有条； 两圆半径相同，两圆两条公切线经过中点，两条公切线与平行， 经过中点的公切线斜率显然存在，可设为：， ，解得：或，即公切线方程为：或； ，与平行的公切线方程为，即， ，解得：，即公切线方程为或； 综上所述：两圆的公切线方程为：或或或. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 【答案】(1) (2)，． 【解题思路】（1）由两圆外切，得两圆圆心之间的距离等于两圆半径的和，从而求出的值； （2）由两圆内切，得到两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，求解得出的值；由两圆心连线与两圆公切线垂直，根据已知两圆心连线的斜率求出两圆公切线的斜率，设出切线方程，再根据切线的性质求解未知量的值. 【解答过程】（1）由题意，圆：，可化为： 圆：，可化为：， 可得圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆相外切时，可得， 即， 解得， 所以时，两圆外切； （2）由（1）知，圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆内切时，可得， 即， 解得， 因为， 可得两圆公切线的斜率是， 设切线方程为，即 则圆心到切线的距离等于圆的半径， 即，解得， 当时，直线与圆：相交，舍去， 故所求公切线方程为 ，即． 【变式4-3】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【答案】(1) (2)相交；或 【解题思路】（1）设，根据题意得到，利用两点间距离公式列式化简即可得解； （2）利用两圆的位置关系判断得和的位置关系，再利用公切线的性质，结合点线距离公式列式即可得解. 【解答过程】（1）依题意，设，则，即， 所以，则，整理得， 故动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以，显然，则圆和圆相交， 所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在， 不妨设为，即， 则有，则，解得或， 当时，得，解得或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，，此时公切线方程为； 当时，得，方程无解； 综上，公切线方程为或. 【题型5 两圆的公切线条数问题】 【例5】（25-26高二上·山东济宁·期末）已知圆，圆，则它们公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解题思路】首先要将两圆的方程化为标准方程，然后求出两圆的圆心距，再与两圆半径之和、半径之差作比较，根据比较结果来确定两圆的位置关系，进而得出公切线的条数. 【解答过程】将，化为标准方程得到； 则圆心，半径； 将，化为标准方程得到； 则圆心，半径； 圆心距， 因为， 所以两圆内切，公切线有1 条. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高二上·广东·期末）若圆与圆有且仅有三条公切线，m的值为（     ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 【答案】B 【解题思路】根据条件直接求出两圆的圆心和半径，再利用两圆的位置关系，即可求解. 【解答过程】圆的圆心，半径， 圆化简得，则，即， 则圆的圆心为，半径， 又圆与圆有且仅有三条公切线，故两圆外切， 则，即，解得. 故选：B. 【变式5-2】（25-26高二上·湖北黄冈·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【解题思路】判断两圆的位置关系，可得出两圆的公切线条数. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， ，，所以两个圆相交， 所以圆与圆的公切线条数为条. 故选：C. 【变式5-3】（25-26高二上·新疆和田·期末）已知圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据两个圆有四条公切线可得两个圆相离，再用几何法即可解得. 【解答过程】由圆，即，得圆心，半径. 再由圆，即，得圆心，半径. 又因为两个圆有四条公切线，所以两个圆相离，所以， 即，解得或，所以实数的取值范围. 故选：C. 模块四 两圆的公共弦 【知识点3 两圆的公共弦问题】 1．求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点 满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. 2．求两圆公共弦长的方法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股 定理求出公共弦长. 【题型6 相交圆的公共弦方程】 【例6】（25-26高二上·云南昭通·期末）已知圆与圆相交，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先将圆的方程化为一般方程，再把两圆的一般式方程相减得到公共弦方程即可. 【解答过程】由题意得圆方程可化为， 圆方程可化为， 将两圆的方程相减可得， 化简得，则公共弦方程为，故D正确. 故选：D. 【变式6-1】（25-26高二上·山西·期末）已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程. 【解答过程】∵，， ∴两圆方程相减得，，化简得. 故选：B. 【变式6-2】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上． (1)求圆的方程； (2)圆与圆：相交于两点，求两圆的公共弦的直线方程． 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）根据直线的两点式方程，结合圆的切线性质进行求解即可； （2）根据两圆的一般方程，利用作差法进行求解即可, 【解答过程】（1）经过点与点的直线方程为 ． 由题意可得，圆心在直线上， 由，解得圆心坐标为， 故圆的半径为4． 则圆的方程为； （2）∵圆的方程为 即， 圆：， 两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为． 【变式6-3】（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知圆，求圆与圆的公共弦的方程以及公共弦的长. 【答案】(1) (2)， 【解题思路】（1）先求出线段的中垂线方程，然后再与直线联立可求得圆心，再求出半径，即可求解； （2）将圆与圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为，再利用垂径定理可求公共弦的弦长. 【解答过程】（1）由题可知直线的斜率为，线段的中点坐标为， 线段的中垂线方程为，所以圆心在直线上， 又圆心在直线上， 由，得，所以圆心， 又， 所以圆的方程为. （2）将圆与圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为， 所以圆心到直线的距离， 又圆的半径，所以由圆的弦长公式得. 故公共弦的方程为；公共弦的长为. 【题型7 两圆的公共弦长问题】 【例7】（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知和圆相交，则这两个圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两圆的位置关系求解公共弦长或公切线长得出答案. 【解答过程】由题,圆，圆心 ，圆的半径为， 圆和圆的公共弦方程为 ，化简得. 又圆圆心到弦的距离为. 故弦长为. 故选：A. 【变式7-1】（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）已知圆，圆，则这两圆的公共弦长为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【解题思路】由两圆方程求出两圆公共弦所在直线方程，再与圆联立求出相交弦的弦长即可. 【解答过程】由圆，圆， 两式相减得相交弦所在直线方程：. 由圆可得圆， 所以圆心、半径. 所以圆心到直线的距离， 所以相交弦长为. 故选：C. 【变式7-2】（25-26高二上·贵州遵义·期末）在平面直角坐标系中，圆与两坐标轴都相切，且过点． (1)求圆的方程． (2)若圆与圆相交，求两圆的公共弦长． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）设圆的方程为，将点代入，求得的值，即可求解； （2）根据圆与圆的位置关系的判定方法，得出两圆的位置关系，进而求得相交弦的方程， 【解答过程】（1）由题可设圆的方程为， 将点代入圆的方程，可得，解得或， 所以圆的方程为或． （2）当圆的方程为时，可得圆心，半径为， 又由圆，可得圆心，半径为， 则，可得，所以圆和圆相交，符合题意， 设两圆交于，两点， 由圆，可化为 联立方程组，两式相减，可得， 即的直线方程为，所以点到直线的距离， 根据圆的弦长公式，可得； 当圆的方程为时，可得圆心，半径为， 可得，此时，两圆相离，不符合题意． 综上可得，圆与圆的公共弦长为． 【变式7-3】（25-26高二上·河南濮阳·期末）已知圆（，）过原点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆是否相交，若相交，请求出公共弦的长. 【答案】(1) (2)相交， 【解题思路】（1）利用圆过原点，以及直线与圆相切，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出圆的方程； （2）利用圆与圆的位置关系可判断出圆与圆相交，将两圆方程作差，可得出相交弦方程，再利用勾股定理可求出相交弦所在直线截圆所得弦长即可. 【解答过程】（1）圆过原点，，① 圆与直线相切，，② ①②联立，解得，，圆的方程为. （2）圆，圆心，半径. ， 圆与圆相交. 圆的方程与圆的方程相减，得公共弦所在直线方程为， 圆的圆心到公共弦所在直线的距离， 公共弦的长为. 模块五 圆系方程及其应用 【知识点4 圆系方程及其应用】 1．圆系方程及其应用技巧 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种： (1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是. (2)与圆同心的圆系方程是. (3)过同一定点(a,b)的圆系方程是. (4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是 . (5)过两圆:和:的交点的圆系方程是 ().(其中不含有: ,注意检验是否满足题意，以防漏解). ①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程. ②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程. 【题型8 圆系方程及其应用】 【例8】（25-26高二上·重庆·阶段检测）求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由两圆方程设出所求圆方程，求出圆心，代入直线即可解出参数，即可确定圆的方程. 【解答过程】设所求圆的方程为，则， 则圆心坐标为，代入直线，可解得. 故所求圆的方程为，即. 故选：A. 【变式8-1】（25-26高二上·湖北十堰·期末）过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设圆系方程，利用圆心坐标求出参数，建立方程求解即可. 【解答过程】经过圆：和圆：交点的圆可设为，即， 圆心在直线上，故，解得， 所以圆的方程为. 故选：A. 【变式8-2】（25-26高二上·广西钦州·期中）已知圆过点，，且圆心在直线上，圆：. (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长； (3)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由已知，利用待定系数法可得圆的标准方程； （2）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案， （3）设过两圆的交点的圆为，求出，从而可 得圆的方程. 【解答过程】（1）设圆的方程为：， 由题意得方程组，解得：， 所求的标准方程为：：. （2）由（1）得圆的一般方程为：， 将两圆的方程作差得出两圆的公共弦所在的直线方程， 即，化简得：， 故到直线的距离为， 所以所求公共弦长为. （3）设所求的圆的方程为：， 整理得到， 该圆圆心为， 因为该圆心在直线，故， 解得， 故所求圆的方程为. 【变式8-3】（25-26高二上·安徽马鞍山·阶段检测）已知圆C：与圆：． (1)若圆C与圆有3条公切线，求r的值． (2)若，试求： ①圆C与圆所得的公共弦长； ②经过圆C与圆的交点且过坐标原点O的圆M的方程． 【答案】(1) (2)①；②（或写：） 【解题思路】（1）根据两圆外切求出r即可； （2）①先判断两圆的位置关系，再利用垂径定理求出弦长； ②利用圆系方程，设圆，求出即可. 【解答过程】（1）圆C：的圆心，半径为r， 圆：的圆心，半径为， 由圆C与圆有3条公切线，所以圆C与圆相外切， 故，所以； （2）①当时，圆C：， 则，故圆C与圆相交， 两圆方程相减得，点C到直线距离为， 所以圆C与圆所得的公共弦长为； ②，， 设圆M的方程为， 因为圆M过坐标原点，所以把代入，可得：，即， 故圆M的方程为， 所以圆M的方程为（或写：）． 模块六 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．内含 C．相交 D．外离 【答案】A 【解题思路】求出两圆圆心距，并比较与两圆半径和、差的绝对值的大小关系，可得出结论. 【解答过程】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 圆心距为，故，故两圆外切. 故选：A. 2．（25-26高二上·陕西渭南·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由两圆的一般式作差，即可得到两圆公共弦所在的直线方程. 【解答过程】已知圆与圆， 由两圆的一般式作差可得：， 所以两圆公共弦所在直线的方程为. 故选：B. 3．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知圆与圆外切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出两圆的圆心和半径，再利用两圆外切列方程求解. 【解答过程】圆的圆心，半径， 由圆，得， 所以圆的圆心，半径， 由圆与圆外切，得，则， 所以. 故选：D. 4．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）若圆与圆有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】确定两圆的圆心和半径，根据题意可知两圆相交，利用圆心距与半径的关系，可得实数的取值范围. 【解答过程】如图，作出符合题意的图形， 圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为. 因为圆与圆有两个公共点，所以两圆相交，所以， 即，所以. 解得，且. 故选：C. 5．（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据两圆内切求出圆的半径，分析可知公切线与直线垂直，据此可设公切线的方程为，即，利用直线与圆相切可得出关于的方程组，求出的值，即可得出所求公切线的方程. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 其圆心为，半径为， 因为，即圆心在圆外，故圆内切于圆， 故， 易知公切线与直线垂直，且，故公切线的斜率为， 设公切线的方程为，即， 所以，解得，所以两圆公切线方程为. 故选：D. 6．（25-26高二上·安徽六安·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解题思路】判断两圆的位置关系即可. 【解答过程】圆，圆， 则，半径为；，半径为， 则， 则两圆相离，故公切线条数为. 故选：A. 7．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，圆与圆相交于A，B两点，则四边形OACB的面积为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解题思路】联立方程可求解两圆的交点，即可根据对称性求解面积. 【解答过程】联立可得或， 故, 又, 故四边形OACB的面积为, 故选：B.    8．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（   ） A．圆和圆关于直线对称 B．圆和圆的公共弦长为 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为 【答案】D 【解题思路】分别求出两圆的圆心和半径，因为两圆半径相等，所以通过判断的中点不在直线上，判断A错；求得两圆的公共弦长，判断B；因为两圆相交，所以的最小值为，最大值为圆心距加两圆半径，由此求出最大值，判断C；求出圆关于直线的对称点的坐标，再结合两点间距离公式，求出的最小值，判断D. 【解答过程】由，得，所以圆的圆心为，半径为； 由，得，所以圆的圆心为，半径为. 因为线段的中点为，不满足方程，所以的中点不在直线上， 所以圆和圆不关于直线对称，所以A错误； 由，得两圆的公共弦所在直线方程为. 圆心到直线的距离为. 所以公共弦长为，所以B错误； 因为两圆相交，所以的最小值为，最大值为圆心距加两圆半径. ，所以的最大值为. 所以的取值范围为，所以C错误； 设圆心关于直线对称的点为，则的中点为，直线的斜率为. 所以，解得.即. 所以以为圆心，半径为的圆与圆关于直线对称. 设点关于直线对称的点为，则在圆上，则. 结合图象知的最小值为. 所以的最小值为.所以D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知圆，圆，若圆和圆没有公共点，则的值可能为（ ） A．-32 B．-24 C．16 D．24 【答案】AD 【解题思路】根据给定条件，利用两圆相离和内含列式求出的范围即可判断. 【解答过程】圆的圆心，半径，圆的圆心， 半径，圆心距， 由圆与圆没有公共点，得两圆内含或者外离， 当两圆内含时，，即，解得； 当两圆外离时，，即，解得， 因此当两圆没有公共点时，的取值范围是或. 故选：AD. 10．（25-26高二上·浙江丽水·期末）已知圆，圆，则以下结论正确的是（    ） A． B．若两圆外切，则 C．若，则两圆相交 D．若，则两圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】AC 【解题思路】将圆的方程化成标准方程，根据，可求的取值范围，判断A的真假；根据圆心距与半径和、差的关系，判断两圆的位置关系，可判断BC的真假；将两圆方程相减，消去，可得两圆公共弦所在的直线方程，可判断D的真假. 【解答过程】因为圆：，所以，. 圆：，由 ，，. 所以，A选项正确； 由 ，所以B选项错误； 若，则，，，， 所以，所以两圆相交，所以选项C正确； 时，，，，，所以， 所以两圆相交，两圆公共弦所在的直线方程为：，即，所以选项D错误. 故选：AC. 11．（25-26高二上·山东潍坊·期末）已知圆，圆则（    ） A．当时，圆与内含 B．圆关于直线对称的圆的方程为 C．若圆与圆恰有三条公切线，则 D．若圆与相交，则公共弦长的最大值为2 【答案】BD 【解题思路】过圆心距判断两圆位置关系分析A；利用点的对称变换求圆的对称方程分析B；根据公切线条数对应的位置关系求解分析C；结合圆的弦长性质与直线过圆心条件求，验证相交关系分析D. 【解答过程】由题意得：圆，所以圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 对于A，当时，，所以圆与圆外离，故A错误； 对于B，圆心关于直线的对称点为，半径保持不变，所以对称的圆的方程为，故B正确； 对于C，若圆与圆恰有三条公切线，所以圆与圆外切，所以，解得，故C错误； 对于D，由圆，圆， 两方程相减得公共弦所在直线方程为， 当公共弦长最大时，公共弦为圆的直径（长度为2）， 所以直线过圆心，所以，解得， 所以，所以， 所以两圆相交，公共弦存在，故公共弦长的最大值为2，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知圆与圆内切，则实数的值为___________. 【答案】7 【解题思路】先根据圆的标准方程得出圆心及半径，再根据内切得出圆心间距离等于半径差计算求解. 【解答过程】圆的圆心，半径为，圆圆心，半径为， 圆与圆内切，则，即， 实数的值为. 故答案为：7. 13．（25-26高二上·山西朔州·期末）圆与圆的公共弦的长为___________. 【答案】 【解题思路】两个圆的方程相减，得到相交弦所在的直线方程，结合点到直线距离公式、圆的弦长公式进行求解即可. 【解答过程】两圆为① ，② ， ②-①可得，即两圆的公共弦所在直线的方程为. 圆的圆心为点，半径为， 圆心到公共弦的距离为公共弦的长为. 故答案为：. 14．（25-26高三上·天津武清·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知圆与圆，则两圆的公切线的条数是___________． 【答案】4 【解题思路】由圆的方程求出两圆的圆心坐标及半径，由圆心距与两圆半径之间的关系可判断两圆的位置关系，进而得公切线的条数. 【解答过程】由圆的方程，即可知圆的圆心为，半径为； 由圆的方程，即可知圆的圆心为，半径为. 所以两圆的圆心距为， 而，所以圆与圆外离， 则两圆的公切线的条数是4. 故答案为：4. 四、解答题 15．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 【答案】(1)57 (2)， 【解题思路】（1）求出两圆的标准方程得到圆心和半径，利用两圆外切的性质进行求解即可； （2）利用两圆的方程作差求出公共弦所在直线的方程，然后利用弦长公式求解即可. 【解答过程】（1）由圆，即， 则圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心为，半径为，， 因为两圆外切，所以两圆圆心距为， 即，解得. （2）当时，两圆方程相减得：，即， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 16．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知圆与圆，则 (1)求圆与圆的公共弦的长； (2)求经过点以及圆与圆交点的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）联立圆的方程得出公共弦所在直线方程，利用点到直线距离公式求出圆到直线的距离，再利用弦长公式求解； （2）利用圆过圆交点设圆系方程，再利用该圆过交点求解． 【解答过程】（1） 联立圆方程圆得两圆公共弦所在直线方程为， 圆到直线的距离为，又圆的半径， 两圆的公共弦长为． （2）设经过圆与圆交点的圆系方程为， 该圆系经过点， ，解得， 该圆方程为，即． 17．（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知圆与圆的公共弦所在的直线为． (1)求，的值； (2)若与交于，两点，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）两圆方程作差得到公共弦方程，从而得到方程组，解得即可； （2）将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出公共弦长，最后由面积公式计算可得. 【解答过程】（1）圆与圆, 两圆方程作差可得，即， 因为圆与圆的公共弦所在的直线为， 所以，解得，所以，. 经检验当，时，两圆相交，符合题意. （2）圆即，所以圆心为，半径， 则到直线的距离，所以； 由（1）可得圆，即， 所以圆心为，半径， 所以到直线的距离， 所以. 18．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知圆和圆 (1)求证：圆与圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求经过圆与圆的交点，且面积最小的圆的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）根据几何法证明两圆相交； （2）根据两圆相减计算得到公共弦所在直线的方程； （3）根据经过两圆交点的圆中，面积最小者是以两交点为直径的圆，计算圆心和半径即可得到结果； 【解答过程】（1）证明：圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，因为，故两圆相交. （2）将两圆方程相减得， 化简得，即， 所以两圆公共弦所在直线的方程. （3）经过两圆交点的圆中，面积最小者是以两交点为直径的圆 联立两圆方程，由公共弦方程得， 代入圆方程：，解得交点， 中点（圆心）坐标为， 半径为， 故圆方程为：. 19．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线的长度； (3)过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求当四边形面积最小时，的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）设，根据题意列出关于的方程，求得即可得出圆的方程； （2）首先得两圆相交，进一步得所求为； （3）首先得四边形面积最小时的条件，再结合求出点的坐标. 【解答过程】（1）由题意，设，关于直线对称． ，且， ，圆心为，半径为，圆的方程． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 两圆相交，有两条公切线． 又公切线的长度等于． （3）圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 当四边形面积最小时，的坐标为. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $