2.5.2 圆与圆的位置关系讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.2 圆与圆的位置关系 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 位置关系的判断方法 （1）代数法： 联立两圆方程，消元得一元二次方程，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 __ 2___个 __1___个 __0___个 两圆的位置关系 ____相交________ ____外切或内切________ ___外离或内含_____ （2）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆圆心的距离为，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 与，的关系 ____ ________ _____ _______ ____________ ____ ________ _____ _______ 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 判断圆与圆的位置关系 基础知识 核心知识 设两圆圆心距为两圆半径 外离 外切 相交 内切 内含 方法技巧 先把两圆方程化为标准方程读出圆心坐标与半径 用两点间距离公式计算圆心距 对比与大小判断位置 典型例题 【例题 1】（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）圆和圆的位置关系为（   ） A．外离 B．内切 C．外切 D．相交 【例题2】（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知圆：与圆：，则与的位置关系为（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）圆和圆的位置关系为（ ） A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 【巩固练习2】（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）圆与圆的位置关系是（     ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【巩固练习3】（26-27高二上·天津·阶段检测）圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【题型2】 由圆与圆的位置关系求参数 基础知识 核心知识 两圆位置关系等价于圆心距和两圆半径的不等/等式关系 方法技巧 写出圆心半径圆心距表达式 根据位置列出对应的不等式或者等式 解参数范围注意检验半径必须大于0这个隐含条件 典型例题 【例题1】（26-27高二上·上海松江·阶段检测）已知圆与圆外离，则实数t的取值范围为______ 【例题2】（26-27高二上·江苏·阶段检测）设r为正实数，集合，，当时，r的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知圆与圆外切，则a的值为______． 【巩固练习2】（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知圆：与圆：，则“”是“与有公共点”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【巩固练习3】（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）过原点且圆心在轴上的圆与圆外切，则圆的标准方程为__________． 【题型3】 求相交圆的公共弦长/直线方程 基础知识 核心知识 两圆相交时两圆一般式方程直接相减得到公共弦所在直线方程 弦长公式为圆心到公共弦的距离 方法技巧 两圆一般方程左右对应相减消去二次项直接得到公共弦直线 取其中一个圆求该圆圆心到公共弦直线距离 代入弦长公式算出公共弦长 典型例题 【例题1】（26-27高二上·广东汕头·阶段检测）已知圆：和圆：相交，若点（，）在两圆的公共弦所在直线上，则的最小值为__________． 【例题2】（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）已知圆：与圆：． (1)若两圆相交，求半径的范围； (2)若，求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长度． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·江苏徐州·阶段检测）已知圆，圆. (1)证明：圆与圆相交； (2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 【巩固练习2】（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知圆 ，圆 . (1)求两圆公共弦所在直线方程; (2)求两圆的公共弦长. 【巩固练习3】（26-27高二上·河北保定·期中）已知圆：与圆：交于，两点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【题型4】 求圆的公切线条数/由公切线条数求参数 基础知识 核心知识 外离4条公切线 外切3条公切线 相交2条公切线 内切1条公切线 内含0条公切线 方法技巧 先判断两圆位置关系直接对应公切线数量 已知公切线条数反推位置关系列出圆心距与半径关系式求解参数 典型例题 【例题1】（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知圆，圆，则圆与圆的公切线（与两圆都相切的直线）条数为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）若圆：与圆：有且仅有条公切线，则_____；的最大值为_______. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）古希腊数学家阿波罗尼奥斯有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆：的公切线的条数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【巩固练习2】（26-27高二上·江西·阶段检测）设为正数，若圆与圆存在三条公切线，则______． 【巩固练习3】（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆：和圆：有条公切线，则______. 【题型5】 求两个圆的公切线的直线方程 基础知识 核心知识 公切线上的点到两圆圆心距离分别等于对应圆半径 方法技巧 设公切线写成一般式 利用圆心到直线距离等于半径列方程组求解 注意斜率不存在的特殊情况需要单独检验 典型例题 【例题1】（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一下·重庆·期中）圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）（多选）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高三下·天津南开·阶段检测）设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 【巩固练习3】（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【题型6】 求公切线的的长度 基础知识 核心知识 外公切线长公式 内公切线长公式 为两圆圆心距 方法技巧 算出两圆圆心距两圆半径 分清外公切线还是内公切线直接代入对应公式计算 典型例题 【例题1】（25-26高二上·四川资阳·期末）已知圆经过点，半径小于5，圆心在直线上，直线与相切；圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆的公切线的条数，并求公切线段的长度． 【例题2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【巩固练习2】圆与圆的一条公切线长为______（填入一个答案即可）． 【巩固练习3】（24-25高二上·陕西西安·阶段检测）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【题型7】 圆与圆位置关系中的常见隐圆 基础知识 核心知识 隐圆即题干没有直接给出圆方程需要根据几何条件挖掘出动点轨迹为圆 方法技巧 寻找定点定长或者利用直径式向量垂直条件识别隐圆 找到隐圆的圆心半径转化为圆与圆位置关系常规问题求解 典型例题 【例题1】（26-27高二上·山西太原·阶段检测）已知圆：和两点，（），若圆上存在点，使得，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例题2】（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）若圆上存在点满足，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）在直角坐标系内，已知是上一点，对任意实数，点关于直线的对称点仍在上，点，的坐标分别为，，若上存在点，使，则正数的取值范围是_________． 【巩固练习2】（26-27高二上·河北衡水·阶段检测）已知圆，若圆上存在点使，则正数的取值范围是______. 【巩固练习3】（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高三上·湖南·阶段检测）圆和圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 2．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）圆和圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高二下·广东东莞·期末）若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 6．（25-26高二下·湖南·期末）已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（     ） A． B．直线的方程是 C．四边形的面积是48 D．的最大值是 二、多选题 7．（25-26高三上·宁夏银川·期末）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ）． A．圆C的圆心坐标为 B．直线l与圆C相交 C．圆与圆C相切 D．圆C上存在4个点到直线l的距离为1 8．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点，，圆：，则（    ） A． B．过点、的直线方程为 C．若直线与圆相切，则 D．若圆与圆：恰有三条公切线，则 9．（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，，且其“欧拉线”与圆：相切，则下列结论正确的是（ ） A．圆上的点到原点的最大距离为 B．圆上存在三个点到直线的距离为 C．若点在圆上，则的最小值是 D．若圆与圆有公共点，则 10．（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）已知圆，圆，直线，点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，；过作圆的两条切线，切点分别为，，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．直线是圆与圆的公共弦所在直线 B．对于直线上任意一点，都有 C．当直线与相交时，设交点为，则一定在直线上 D．若圆与圆，均外切，记点到直线的距离为，则 三、填空题 11．（25-26高二上·山东威海·阶段检测）已知圆，圆，则与的公切线的条数是________． 12．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围为_______. 13．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知圆与圆有且只有一个公共点，则的值为___________． 14．（26-27高二上·广东·阶段检测）用3个圆可构成“卡通鼠”形象，如图：圆的圆心为且过原点，圆心都在轴上且半径都为的圆、圆均与圆外切．若过点的直线截圆、圆、圆所得弦长均为，则______． 15．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知，，，，，，则的最小值为______． 四、解答题 16．（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知圆与圆的公共弦所在的直线为． (1)求，的值； (2)若与交于，两点，求四边形的面积． 17．（25-26高二上·贵州·阶段检测）已知圆 (1)判断点 与圆M 的位置关系(需说明理由)； (2)求圆 M 的半径和圆心M 的坐标； (3)若圆M 与圆N: 外切，求R. 18．（26-27高二上·河南鹤壁·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足 (1)求动点的轨迹曲线方程； (2)若曲线与圆有公共点，求的取值范围． $2.5.2 圆与圆的位置关系 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 位置关系的判断方法 （1）代数法： 联立两圆方程，消元得一元二次方程，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 __ 2___个 __1___个 __0___个 两圆的位置关系 ____相交________ ____外切或内切________ ___外离或内含_____ （2）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆圆心的距离为，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 与，的关系 ____ ________ _____ _______ ____________ ____ ________ _____ _______ 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 判断圆与圆的位置关系 基础知识 核心知识 设两圆圆心距为两圆半径 外离 外切 相交 内切 内含 方法技巧 先把两圆方程化为标准方程读出圆心坐标与半径 用两点间距离公式计算圆心距 对比与大小判断位置 典型例题 【例题 1】（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）圆和圆的位置关系为（   ） A．外离 B．内切 C．外切 D．相交 【答案】C 【详解】圆即，表示以为圆心，半径为1的圆． 圆即， 表示以为圆心，半径为4的圆． 两圆的圆心距为，等于两半径之和，所以两圆外切， 【例题2】（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知圆：与圆：，则与的位置关系为（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【详解】由圆，可得圆心，半径， 由圆，可得圆心，半径， 根据两点间距离公式得，且，，， 所以与的位置关系为相交. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）圆和圆的位置关系为（ ） A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 则两圆的圆心距， 两圆的半径之差为，所以两圆内含. 【巩固练习2】（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）圆与圆的位置关系是（     ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系即可判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 因为，即， 所以圆与圆的位置关系是相交. 【巩固练习3】（26-27高二上·天津·阶段检测）圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为， 则，，得， 所以两个圆的位置关系是外离. 【题型2】 由圆与圆的位置关系求参数 基础知识 核心知识 两圆位置关系等价于圆心距和两圆半径的不等/等式关系 方法技巧 写出圆心半径圆心距表达式 根据位置列出对应的不等式或者等式 解参数范围注意检验半径必须大于0这个隐含条件 典型例题 【例题1】（26-27高二上·上海松江·阶段检测）已知圆与圆外离，则实数t的取值范围为______ 【答案】 【详解】由，得， 所以圆的圆心为，半径为； 由，得， 所以，， 且圆的圆心为，半径为； 因为两圆外离，所以， ， 所以，解得. 所以实数t的取值范围为. 【例题2】（26-27高二上·江苏·阶段检测）设r为正实数，集合，，当时，r的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，即集合对应的圆面完全包含于集合对应的圆面内. 集合：圆心、半径的圆及其内部；集合：圆心、半径的圆及其内部. 两圆圆心距：. 根据两圆内含或内切的位置关系条件，圆心距大圆半径小圆半径，即，代入得，解得. 结合的前提，得的取值范围为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知圆与圆外切，则a的值为______． 【答案】9 【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为； 两圆的圆心距， 而两圆外切，故，解得. 【巩固练习2】（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知圆：与圆：，则“”是“与有公共点”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据“与有公共点”可求得，由此可判断和的推理关系，即可得出答案. 【详解】圆的标准方程为，圆：， 故， 若圆与圆有公共点，则有， 即，解得，能推出， 当时，推不出， 故“”是“圆与圆有公共点”的必要不充分条件. 【巩固练习3】（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）过原点且圆心在轴上的圆与圆外切，则圆的标准方程为__________． 【答案】 【详解】因为圆的圆心在轴上， 所以设圆C的圆心C坐标为，半径设为r, 因为圆过原点，所以有，即. 因为圆与圆外切，所以有， 所以有， 两边同时平方得：， 即， 当时，，即，不成立，舍去. 当时，，即， 则， 所以圆的标准方程为. 【题型3】 求相交圆的公共弦长/直线方程 基础知识 核心知识 两圆相交时两圆一般式方程直接相减得到公共弦所在直线方程 弦长公式为圆心到公共弦的距离 方法技巧 两圆一般方程左右对应相减消去二次项直接得到公共弦直线 取其中一个圆求该圆圆心到公共弦直线距离 代入弦长公式算出公共弦长 典型例题 【例题1】（26-27高二上·广东汕头·阶段检测）已知圆：和圆：相交，若点（，）在两圆的公共弦所在直线上，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】两圆方程相减可得公共弦方程，据此可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】，则两圆公共弦方程为. 因在上，则，从而， 当且仅当，即时取等号. 【例题2】（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）已知圆：与圆：． (1)若两圆相交，求半径的范围； (2)若，求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长度． 【答案】(1) 的取值范围为 (2) 公共弦所在直线方程为，公共弦长度为 【分析】（1）根据两圆相交，求出； （2）先求公共弦所在直线方程，再求圆心到直线的距离，从而求出公共弦长. 【详解】（1）圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径. 故，又因为两圆相交， 所以有，解得：. 所以半径的范围为. （2）圆：的一般式方程为  ①， 当时，圆的方程为：，一般式方程为 ②， ②-①得公共弦所在直线方程为： ，即. 圆心到直线的距离， 公共弦的长度为. 故公共弦所在直线方程为：，公共弦的长度为4. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·江苏徐州·阶段检测）已知圆，圆. (1)证明：圆与圆相交； (2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】(1)因为圆，即， 圆心，半径， 圆，即，圆心，半径， 且，，， 所以，即，所以圆与圆相交. (2) 【分析】（1）将两圆方程配方化为标准式以求出各自的圆心和半径，再通过计算证明圆心距大于两半径之差且小于两半径之和，即可证得两圆相交。    （2）先利用圆系方程设出过两圆交点的圆的方程并用参数表示出其圆心坐标，再将圆心坐标代入已知直线方程解出参数值，即可得到所求圆的方程. 【详解】（1）略 （2）两圆作差得， 即公共弦方程为， 设所求圆的方程为， 即， 可知圆心坐标为，因为圆心在直线上， 可得，解得， 所以所求圆的方程为. 【巩固练习2】（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知圆 ，圆 . (1)求两圆公共弦所在直线方程; (2)求两圆的公共弦长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）两圆方程相减得到公共弦直线： ， 整理得： ，两边除以得：. （2）对配方得：，则圆心，半径， 圆心到公共弦距离 设弦长为，弦长公式， 故. 【巩固练习3】（26-27高二上·河北保定·期中）已知圆：与圆：交于，两点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两圆方程作差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系，利用两点间距离公式，进而求得四边形的面积. 【详解】圆的方程配方得，因此圆心，半径； 圆的方程配方得，因此圆心，半径. 由两点间距离公式得. 将两圆方程相减，消去二次项得到公共弦所在直线方程，即. 点到直线的距离，因此弦长的一半为， 即. 四边形可拆分为以为公共底的两个三角形和， 点到直线的距离， 因此总面积. 【题型4】 求圆的公切线条数/由公切线条数求参数 基础知识 核心知识 外离4条公切线 外切3条公切线 相交2条公切线 内切1条公切线 内含0条公切线 方法技巧 先判断两圆位置关系直接对应公切线数量 已知公切线条数反推位置关系列出圆心距与半径关系式求解参数 典型例题 【例题1】（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知圆，圆，则圆与圆的公切线（与两圆都相切的直线）条数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算两圆的圆心距，判断两圆的位置关系，进而确定公切线的条数. 【详解】首先确定两圆的圆心和半径：圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径. 两圆圆心距：. 两圆半径差的绝对值为，两圆半径和为， 因为，故两圆相交，因此相交的两圆共有条公切线. 【例题2】（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）若圆：与圆：有且仅有条公切线，则_____；的最大值为_______. 【答案】 16 25 【分析】使用两圆外切的几何条件计算，令，使用的几何意义求解. 【详解】由题意知两圆外切，则圆心距等于，即，故， 则点是圆上的点，圆心是原点，半径为， 设，则， 的几何意义为过点的直线在轴的截距的倍， 当直线与圆相切时，截距的绝对值取最值， 此时，解得或， 则的最大值是，故的最大值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）古希腊数学家阿波罗尼奥斯有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆：的公切线的条数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义求出点的轨迹方程，再通过比较两圆的圆心距与半径之和，半径之差的大小关系来确定两圆的位置关系，进而得出公切线条数. 【详解】已知，，，因为动点满足， 又，，则， 则， 化简可得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 已知圆的方程为，则其圆心，半径， 所以， 又因为，即，所以两圆外切， 根据两圆位置关系与公切线条数的对应关系，当两圆外切时，公切线有条. 【巩固练习2】（26-27高二上·江西·阶段检测）设为正数，若圆与圆存在三条公切线，则______． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 若两圆存在三条公切线，则两圆外切，则， 即，且，解得. 【巩固练习3】（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆：和圆：有条公切线，则______. 【答案】 【详解】两圆有3条公切线说明两圆外切，圆，圆心，半径为， 圆，化为标准方程， 圆心，半径为，圆心距为， 由外切性质可知，，即，解得. 【题型5】 求两个圆的公切线的直线方程 基础知识 核心知识 公切线上的点到两圆圆心距离分别等于对应圆半径 方法技巧 设公切线写成一般式 利用圆心到直线距离等于半径列方程组求解 注意斜率不存在的特殊情况需要单独检验 典型例题 【例题1】（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两圆方程得圆心和半径，判断两圆外离，求公切线时，利用圆心到直线的距离等于半径这一条件，逐一检验选项：分别计算两圆心到各直线的距离，若都等于半径，则该直线为公切线. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 两圆半径相等，圆心距所以两圆外离，有公切线； A选项：，圆心到该直线距离，不是切线，A选项错误； C选项：，圆心到该直线距离，也不是切线，C选项错误； B选项：，圆心到直线距离，不是切线，B选项错误； D选项：，圆心到直线距离，圆心到直线距离， 两者都等于半径，所以是两圆的一条公切线，D选项正确. 【例题2】（25-26高一下·重庆·期中）圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 【答案】或 【分析】联立两圆方程，由条件，可得两圆的位置关系，即可得的关系，代入求解，即可得答案. 【详解】联立，①-②得， 由，得， 因为圆和圆有且仅有一条公切线：， 所以圆和圆相内切，故， 即或， 代入公切线方程得， 则直线的方程为或 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）（多选）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， ，所以两圆外切，有3条公切线， 由，其中两条外公切线与直线平行， 又，设外公切线方程为， 则到直线的距离，解得， 所以两条外公切线方程为和； 内公切线过的中点，且与直线垂直，其斜率为， 其方程为，即. 【巩固练习2】（25-26高三下·天津南开·阶段检测）设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 【答案】 【分析】利用直线与圆相切，得到和，联立方程即可求解出结果． 【详解】因为的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 又直线与均相切， 所以①，②，由①②得到，即有， 两边平方得，即， 又，所以，即， 代入①式得到，解得， 所以方程为． 【巩固练习3】（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆内切求出圆的半径，分析可知公切线与直线垂直，据此可设公切线的方程为，即，利用直线与圆相切可得出关于的方程组，求出的值，即可得出所求公切线的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 其圆心为，半径为， 因为，即圆心在圆外，故圆内切于圆， 故， 易知公切线与直线垂直，且，故公切线的斜率为， 设公切线的方程为，即， 所以，解得，所以两圆公切线方程为. 故选：D. 【题型6】 求公切线的的长度 基础知识 核心知识 外公切线长公式 内公切线长公式 为两圆圆心距 方法技巧 算出两圆圆心距两圆半径 分清外公切线还是内公切线直接代入对应公式计算 典型例题 【例题1】（25-26高二上·四川资阳·期末）已知圆经过点，半径小于5，圆心在直线上，直线与相切；圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆的公切线的条数，并求公切线段的长度． 【答案】(1) (2)条， 【分析】（1）设圆心坐标，根据圆心到切线的距离等于半径，圆上点到圆心的距离也等于半径，列出方程，得出圆心坐标及半径，再根据对称得出答案； （2）先确定两圆的位置关系，再利用公切线长度公式即可求得答案. 【详解】（1）设圆的圆心为，由题意可列方程：，解得或（舍）. 所以圆的圆心为，半径.圆的圆心关于直线对称点为. 因此，圆的方程为： （2）圆心距，因为，所以两圆相交，有2条公切线. 对于半径相等的两圆，外公切线段长度公式为：，代入得， 故有2条公切线，且公切线段长度为. 【例题2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【分析】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【详解】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解. 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 【巩固练习2】圆与圆的一条公切线长为______（填入一个答案即可）． 【答案】或（填一个即可） 【分析】先判断圆与圆的位置关系，即可得公切线情况，利用几何关系即可求出公切线的长. 【详解】由题意得，，，，，故两圆相离，有四条公切线．如图，    设四条公切线分别为直线、直线、直线、直线，且交于点． 由对称性可知，．连接，过作，垂足为，连接， 则四边形为矩形，所以．连接． 易知，所以．又，所以． 所以在中，，所以． 故两圆的一条公切线长为或． 故答案为：或（填一个即可）. 【巩固练习3】（24-25高二上·陕西西安·阶段检测）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【答案】(1) (2)相交；或 【分析】（1）设，根据题意得到，利用两点间距离公式列式化简即可得解； （2）利用两圆的位置关系判断得和的位置关系，再利用公切线的性质，结合点线距离公式列式即可得解. 【详解】（1）依题意，设，则，即， 所以，则，整理得， 故动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以，显然，则圆和圆相交， 所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在， 不妨设为，即， 则有，则，解得或， 当时，得，解得或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，，此时公切线方程为； 当时，得，方程无解； 综上，公切线方程为或. 【题型7】 圆与圆位置关系中的常见隐圆 基础知识 核心知识 隐圆即题干没有直接给出圆方程需要根据几何条件挖掘出动点轨迹为圆 方法技巧 寻找定点定长或者利用直径式向量垂直条件识别隐圆 找到隐圆的圆心半径转化为圆与圆位置关系常规问题求解 典型例题 【例题1】（26-27高二上·山西太原·阶段检测）已知圆：和两点，（），若圆上存在点，使得，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】解法一：由知，可得点在以原点为圆心，为半径的圆上，进而得到圆和圆有公共点（相交或相切），结合圆和圆的位置关系求解即可；解法二：设，,由化简可得，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】解法一：由知， 则点在以为直径的圆上，即以原点为圆心，为半径的圆上． 又点在圆上，所以圆和圆有公共点（相交或相切）， 由圆：，得其圆心，半径为1， 则两圆圆心距，需满足，解得， 则的最大值为6. 解法二：设，, 则， 则 ，其中，即， 因为，所以， 又，则，即的最大值为6. 【例题2】（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）若圆上存在点满足，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，由得到，从而两圆有公共点，利用圆心距和两圆半径的关系可得不等式，求出答案 【详解】设点，由得， 因为圆上存在点满足， 故圆与圆有公共点， 其中的圆心为，半径为2， 所以， 两边平方得，，故恒成立， 两边平方得，解得， 所以a的取值范围是. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）在直角坐标系内，已知是上一点，对任意实数，点关于直线的对称点仍在上，点，的坐标分别为，，若上存在点，使，则正数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据题意得到直线恒过的圆心，结合直线恒过的定点得到；根据，，，得到点在以原点为圆心，为半径的圆上；进而得到点为和的公共点，从而列不等式组求解即可. 【详解】直线可化为. 令，解得，所以直线恒过点. 因为对任意实数，点关于直线的对称点仍在上， 所以该直线恒过圆心，所以圆心为， 因为是上一点，所以圆的半径. 因为，，，， 则点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，又点为圆上的点， 故点为和的公共点，圆心距， 则由，解得. 故正数的取值范围是. 【巩固练习2】（26-27高二上·河北衡水·阶段检测）已知圆，若圆上存在点使，则正数的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为，， 所以点的轨迹是以A、B为直径端点，圆心为原点O的圆，则点P的轨迹方程为， 又点P在圆C上，所以圆与 圆有交点， 因为，且，所以， 又，解得. 当时，两圆外切，，满足条件； 当时，两圆内切，，满足条件. 所以. 【巩固练习3】（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到以为圆心，以为半径的圆与圆相交，进而得到，转化为圆的圆心到直线的距离小于列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】因为圆上恰有两个点与点的距离都为2， 所以以为圆心，以为半径的圆与圆相交， 因为圆的圆心为，半径为， 所以，即， 所以直线上至少存在一点使得， 所以点到直线的距离小于， 即，解得， 所以的取值范围是. 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高三上·湖南·阶段检测）圆和圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径； 则两圆的圆心距，两圆的半径之差为，所以两圆内含. 2．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）圆和圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆即，表示以为圆心，半径为1的圆. 圆即，表示以为圆心，半径为4的圆. 两圆的圆心距为，等于两半径之和，所以两圆外切， 所以两圆的公切线条数为3. 3．（25-26高二下·广东东莞·期末）若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知圆，即 ① ， 圆 ② ， ①②消去二次项得： ，化简得直线的方程为 ， 因此直线斜率，又 ，由，可得. 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两圆方程直接作差，整理可得所求直线方程. 【详解】易知两圆相交，两圆方程作差，， 即， 化简可得直线的方程为. 5．（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】通过两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合垂径定理与勾股定理计算出公共弦长. 【详解】已知两圆方程：圆，圆心，半径，圆 ， 将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦方程， 化简得：. 根据点到直线的距离公式，圆心到公共弦的距离：， 根据垂径定理，公共弦长. 【点睛】本题考查两圆公共弦长的计算，核心方法是两圆方程作差得公共弦方程，结合垂径定理求解弦长，是圆中弦长问题的常规解法. 6．（25-26高二下·湖南·期末）已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（     ） A． B．直线的方程是 C．四边形的面积是48 D．的最大值是 【答案】C 【分析】对于A，B选项，联立，化简即可求解，对于C，分别求出，，由四边形的面积等于即可求解；对于D，分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时，利用圆的弦长公式化简可得，结合向量数量积不等式即可求出最大值. 【详解】对于A：若，代入，即点点在圆上， 联立，化简得：， 所以直线的方程是，故B正确； 联立，解得：，或， 由于，所以，，所以A正确； 圆心距， 公共弦长， 由于，所以四边形的面积是，故C错误； 当直线斜率不存在时，，，此时， 当直线斜率存在时，设方程为， 所以点到直线的距离为，此时， 点到直线的距离为，此时 所以， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，不满足，此时， 综上的最大值是，故D正确. 二、多选题 7．（25-26高三上·宁夏银川·期末）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ）． A．圆C的圆心坐标为 B．直线l与圆C相交 C．圆与圆C相切 D．圆C上存在4个点到直线l的距离为1 【答案】ABD 【分析】对于A，将圆方程化为标准式可判断选项正误；对于B，比较圆心到直线距离与圆半径大小可判断选项正误；对于C，比较两个圆心之间的距离与两圆半径之和与半径之差大小可判断选项正误；对于D，利用到直线的距离为1的直线与圆的位置关系可判断选项正误. 【详解】因为，所以， 圆C的圆心坐标为，故A正确； 圆心C到直线的距离为， 所以直线l与圆C相交，故B正确； 圆与圆C两圆心距离， 两圆半径之和为，半径之差为， 因为，故两圆相交，故C错误； 因为圆心C到直线的距离为，所以， 圆C上存在4个点到直线l的距离为1，故D正确. 故选：ABD. 8．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点，，圆：，则（    ） A． B．过点、的直线方程为 C．若直线与圆相切，则 D．若圆与圆：恰有三条公切线，则 【答案】ABD 【分析】根据直线的截距式方程、圆的一般式方程的性质，结合圆的切线性质、圆与圆的位置关系逐一判断即可. 【详解】A：因为方程表示圆， 所以，因此本选项说法正确； B：因为点，， 所以点、的直线方程为，因此本选项说法正确； C：， 所以圆心坐标为，半径为， 若直线与圆相切， 则有，所以本选项说法不正确； D：圆：的圆心坐标为，半径为， 若圆与圆：恰有三条公切线， 则圆与圆相外切， 所以有，因此本选项说法正确， 故选：ABD 9．（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，，且其“欧拉线”与圆：相切，则下列结论正确的是（ ） A．圆上的点到原点的最大距离为 B．圆上存在三个点到直线的距离为 C．若点在圆上，则的最小值是 D．若圆与圆有公共点，则 【答案】AC 【分析】由题意求出的垂直平分线可得的欧拉线，再由圆心到直线的距离求得，得到圆的方程，求出圆心到原点的距离，加上半径判断A；求出圆心到直线的距离判断B；再由的几何意义，即圆上的点与定点连线的斜率判断C；由两个圆有公共点可得圆心距与两个半径之间的关系，求得的取值范围判断D． 【详解】 对于A，由题意，的欧拉线即的垂直平分线， ，，的中点坐标为， 且直线的斜率， 则的垂直平分线方程为，即， 由“欧拉线”与圆：相切， 到直线的距离， 则圆的方程为，圆心到原点的距离为， 则圆上的点到原点的最大距离为，故A正确； 对于B，圆心到直线的距离为， 所以圆心在直线上，且圆的半径为， 所以圆上存在两个点到直线的距离为，故B错误； 对于C，的几何意义为圆上的点与定点连线的斜率， 设过与圆相切的直线方程为，即， 由，解得，所以的最小值是，故C正确； 对于D，圆的圆心坐标，半径为， 圆的圆心坐标为，半径为， 要使圆与圆有公共点， 则圆心距的范围为，即，解得，故D错误． 10．（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）已知圆，圆，直线，点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，；过作圆的两条切线，切点分别为，，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．直线是圆与圆的公共弦所在直线 B．对于直线上任意一点，都有 C．当直线与相交时，设交点为，则一定在直线上 D．若圆与圆，均外切，记点到直线的距离为，则 【答案】BCD 【分析】根据两圆相离可判断A；根据切线长计算公式计算可判断B；写出切点弦所在直线方程，求出交点，计算可判断C；设，由题意可得，根据两点间距离公式及点到直线距离公式计算可判断D. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心为，半径， 对于A，因为， 所以圆与圆相离，不存在公共弦，故A错误； 对于B，设满足直线， 则， ， 所以，故B正确； 对于C，先证明圆上点处的切线方程为． 证明如下：①若切线的斜率存在，设切线的斜率为，则， 所以，又过点，由点斜式可得， 化简可得，，又，所以切线的方程为； ②若切线的斜率不存在，则，此时切线方程为． 综上所述，圆上点处的切线方程为， 设，，，再证明直线的方程为， 证明如下：因为圆在处的切线方程为， 因为点在切线方程上，所以，同理可得， 则，满足方程， 根据不同两点确定唯一一条直线，故直线的方程为， 同理可得直线的方程为， 设两条直线交点为，代入两条直线并作差得， 因为点满足，所以， 故点在直线上，故C正确； 对于D，设圆的半径为，则， 所以， 设，则，即， 化简可得， 而点到直线的距离， 因为， 所以，即，故D正确. 三、填空题 11．（25-26高二上·山东威海·阶段检测）已知圆，圆，则与的公切线的条数是________． 【答案】 【分析】先计算两圆的圆心距，结合两圆半径判断位置关系，再根据位置关系确定公切线条数可得. 【详解】由圆，得圆的圆心为，半径； 由圆，得圆的圆心为，半径. 由两圆的圆心距： . 因为，，所以， 所以圆与圆相交，因此圆与圆的公切线的条数为. 12．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【详解】因为两圆有四条公切线，故两圆相离， 而可化为，故此圆的圆心为，半径为， 可化为， 故此圆的圆心为，半径为， 所以，故. 13．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知圆与圆有且只有一个公共点，则的值为___________． 【答案】4或6 【分析】求出两圆的圆心距，根据两圆有且只有一个公共点的条件建立关于的不等式求解即可. 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为1， 则， 因为两圆有且仅有一个公共点，所以两圆的位置关系为外切或内切， 即或，则解得或6. 故答案为：4或6． 14．（26-27高二上·广东·阶段检测）用3个圆可构成“卡通鼠”形象，如图：圆的圆心为且过原点，圆心都在轴上且半径都为的圆、圆均与圆外切．若过点的直线截圆、圆、圆所得弦长均为，则______． 【答案】/ 【分析】分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，利用几何法求出直线截三个圆所得的弦长，可得出关于的方程，解出的值，即可求出的值. 【详解】圆的半径为，设圆心，其中， 由于圆和圆外切，且圆的半径为， 则，解得， 即点，同理可得点， 若直线的斜率不存在，则直线与轴重合，此时直线与圆、圆都相离，不合题意， 因此可设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为， 且圆、圆的半径均为， 所以直线截圆、圆的弦长为， 圆心到直线的距离为， 则直线截圆的弦长为， 由题意可得，解得， 所以，． 15．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知，，，，，，则的最小值为______． 【答案】25 【分析】将所求问题转换成与的距离问题，再结合两圆位置关系即可求解. 【详解】    设点，由可知： 点在以为圆心、半径的圆上， 设点，由可知： 点在以为圆心、半径的圆上， ， 它表示点与点的距离的平方， 因为，两点关于原点对称， 所以的轨迹是以为圆心、半径仍为的圆， ， 又，说明小圆完全内含于大圆， 内含两圆上点的最小距离为， 因此的最小值为. 四、解答题 16．（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知圆与圆的公共弦所在的直线为． (1)求，的值； (2)若与交于，两点，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）两圆方程作差得到公共弦方程，从而得到方程组，解得即可； （2）将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出公共弦长，最后由面积公式计算可得. 【详解】（1）圆与圆, 两圆方程作差可得，即， 因为圆与圆的公共弦所在的直线为， 所以，解得，所以，. 经检验当，时，两圆相交，符合题意. （2）圆即，所以圆心为，半径， 则到直线的距离，所以； 由（1）可得圆，即， 所以圆心为，半径， 所以到直线的距离， 所以. 17．（25-26高二上·贵州·阶段检测）已知圆 (1)判断点 与圆M 的位置关系(需说明理由)； (2)求圆 M 的半径和圆心M 的坐标； (3)若圆M 与圆N: 外切，求R. 【答案】(1)点在圆外 (2)圆心，半径 (3) 【分析】（1）将圆方程化为标准式，通过点到圆心的距离与半径的比较判断位置关系； （2）由圆的标准式直接得圆心和半径； （3）利用两圆外切时“圆心距等于半径和”的性质求解. 【详解】（1）将圆的方程化为标准式：. 点到圆心的距离平方：， 因，故点在圆外. （2）圆的标准式为，故圆心的坐标为，半径为. （3）圆的圆心为，两圆心与的距离为. 因两圆外切，半径和等于圆心距，即，解得. 18．（26-27高二上·河南鹤壁·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足 (1)求动点的轨迹曲线方程； (2)若曲线与圆有公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设点，，， 因为， 即， 即， 动点的轨迹曲线方程为. （2）由(1)可知曲线是圆，圆心，半径， 圆的圆心为，半径， 因为曲线与圆有公共点， 所以， ， 即， 即， 解得. $