精品解析：重庆市璧山中学校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

2026-2027学年高二上期数学10月月考试题 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题共58分） 一、单选题 1. 在三棱锥中，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据空间向量的加减法运算，. 2. 已知直线过、两点，且倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为直线过、两点，且倾斜角为，故. 由斜率公式可得，解得. 3. 已知空间向量，，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，所以在方向上的投影向量为. 4. 两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（ ） A. 垂直 B. 斜交 C. 平行 D. 重合 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系及直线的斜率关系判定直线位置关系即可. 【详解】不妨设两直线的斜率分别为，则由题意有，所以两直线互相垂直. 故选：A 5. 若，两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用点到直线的距离求解. 【详解】，，直线， 到直线的距离为， 到直线的距离为， ，两点到直线的距离相等， ，， 或，或. 故选：C. 6. 在空间四边形ABCD中，若向量，，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，根据向量的坐标表示求出坐标，进而确定E，F坐标，最后求的坐标即可. 【详解】令，则， 所以， 所以. 故选：D 7. 在直三棱柱中，，，，是侧棱的中点，则下列直线中与直线垂直的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为0的性质逐项求解即可. 【详解】根据题意，，由平面，得，， 以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 则, . 对于A，由 ,得，故不垂直； 对于B，由，得，故垂直； 对于C，由，得,故不垂直； 对于D，由，得，故不垂直， 故选：B. 8. 如图，正八面体由两个相同的正四棱锥组成，其所有棱长为2，，分别为棱，的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知正八面体的性质求出相关边长，建立空间直角坐标系，得出相关点坐标，进而求出，最后利用向量夹角余弦公式计算求解． 【详解】正八面体由两个相同的正四棱锥组成，其所有棱长为2， 正八面体的8个面均为边长是2的等边三角形，面是边长为的正方形， 连接交于点，则，， 连接，则交于点，， 以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， ， ， ， 直线和夹角的余弦值为． 故选：C． 二、多选题 9. 下列各选项中，不正确的是（ ） A. 若是空间任意四点，则有 B. 对于非零向量 C. 若共线，则 D. 对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面 【答案】ACD 【解析】 【分析】由空间向量的概念和运算对选项逐一判断. 【详解】解：A选项：若是空间任意四点，则有，故A错误； B选项：因为，且向量夹角范围为，所以，故B正确； C选项：若共线，则或四点共线，故C错误； D选项：对空间任意一点与不共线的三点，若（其中）， 则,即 当时，，此时四点共面， 当时，此时四点不共面，故D错误. 故选：ACD 10. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 的充要条件为或 B. 若，则 C. 若直线不经过第四象限，则 D. 若，则直线关于直线对称的直线方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】直线相互平行的充要条件为“交叉相乘再相减为0”，且不重合.直线相互垂直的充要条件为“对应相乘再相加为0”.直线不经过第四象限，可以先化为斜截式，判断斜率与截距求解.注意到时，直线与直线相互平行，则对称的直线方程可以根据直线之间的距离求解. 【详解】选项A，显然直线的斜率存在，若，则，解得或， 经检验时，这两条直线重合，所以， 故的充要条件是， A不正确； 选项B，若，则，解得，B正确； 选项C，若直线不经过第四象限，则解得，C正确； 选项D，若，则直线，即， 显然直线与直线平行， 设直线关于直线对称的直线方程为， 则直线和到直线的距离相等， 则，解得， 所以时，直线关于直线对称的直线方程为，即，D正确． 11. 在长方体中，，点M为侧面内一动点（包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点M，使平面 B. 存在点M，使平面 C. 点M到直线的距离的取值范围是 D. 若直线与直线所成角为，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】 对于A选项，当M与重合时，， 又平面，平面，所以平面，所以A选项正确； 对于B选项，，，，， 若平面，则即 又知，，所以，解得不合题意，所以B选项不正确； 对于C选项，连接，则，若，则到直线距离为2， 当时，当与（或）重合时，到的距离最大，为， 此时点到直线的距离为， 所以点到直线的距离的取值范围是，所以C选项正确； 对于D选项，依题意，， 于是， ，， 则 时，， 当且仅当，时取等号， 于是可得，，所以D选项正确. 三、填空题 12. 已知，直线与直线互相平行，则它们之间的距离为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】先由两直线平行求出，再利用两平行线间的距离公式可求得结果． 【详解】因为直线与互相平行， 所以，解得， 所以直线为，即， 所以它们之间的距离为 ． 13. 若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则_________． 【答案】10 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理可得，由题设条件推得方程组，求解即得. 【详解】因向量，，共面，且，，是三个不共面的非零向量， 则存在，满足， 即， 则有，解得. 故答案为：10. 14. 斜三棱柱中，平面平面，若，，，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切，则三棱柱的高为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，探求两个球的球心在平面上的投影确定的直线平行于直线，再建立空间直角坐标系，求出球的半径即可作答. 【详解】在斜三棱柱中，与平面相切的球的球心为，与平面相切的球的球心为， 因为球、球与平面都相切，令切点分别这，有， 又球、球与平面都相切，则平面，又平面， 于是平面，而平面，平面平面，因此，且， 在平面内过点作，在平面过点作， 因为平面平面，平面平面，则平面， 以点作原点，射线的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图， 在中，，，则， 的方向向量，的方向向量， 由，得的方向向量， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 令球的半径为，设点，则， 由，得， 显然点到平面的距离等于等腰底边上的高，即有， 由，得，代入，解得， ，线段在轴上的投影为， 显然三棱柱的高等于点到平面的距离，到平面的距离与在轴上的投影的和， 所以三棱柱的高为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离可以利用几何法，作出点到平面的垂线段求解；也可以用向量法，求出平面的法向量，再求出这一点与平面内任意一点确定的向量在法向量的投影即可. 四、解答题 15. 中，顶点，，边所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求边所在直线的方程； （2）求边的中线所在直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两直线垂直求出边所在直线的斜率，再根据点斜式求出直线方程即可； （2）联立方程求出点的坐标，结合点，即可求解. 【小问1详解】 边上的高所在直线方程为，可得该直线的斜率为， 所以边所在直线的斜率为， 所以边所在直线的方程为，即. 【小问2详解】 ，可得， 所以中点为，又因为边的中线过点， 所以边的中线所在直线的方程为. 16. 如图，在平行六面体中，，，，，设，，． （1）用、、表示、，并求； （2）若点为线段的中点，点为线段的中点，判断点、、、四点是否共面并说明理由． 【答案】（1）；； （2）点、、、四点共面，理由如下： 因为点为线段的中点，所以， 因为点为线段的中点，所以， 由（1）得， 若点、、、四点共面， 则存在唯一实数、，使得 所以， 所以，解得， 所以，所以点、、、四点共面. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的线性运算可求得，，进而利用，可求； （2）假设点，，，四点共面，则存在唯一实数，使得，进而计算可得结论. 【小问1详解】 . . 又因为， ， ， 所以 ， 所以. 【小问2详解】 略. 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，，是的中点，且，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明：连接，，， 所以为正三角形，是的中点， 所以， 平面平面，平面平面， 因为，， 平面， 所以平面， 平面，则， ，平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由三线合一证明，根据面面垂直证明线面垂直，得，最后根据线面垂直的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求面的法向量，根据线面角的向量公式求直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 （略）. 【小问2详解】 取的中点，连接， 为正三角形，所以， ，， 平面平面，平面平面， 所以平面， 建立如图所示直角坐标系， ，，，，， 设面的法向量为， ，， ，即， 取，，， ，， 设直线与平面所成角为， . 18. 如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为1的正方形，底面，，为的中点，为上一点，且． （1）证明： 平面； （2）证明：； （3）求平面和平面所成二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，可证，然后得到线面平行； （2）可得平面，从而可推出线面垂直； （3）建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量后可求二面角的余弦值． 【详解】（1）证明：连接交于点，连接． 因为四边形是正方形，所以点是的中点， 又因为为的中点，因此． 而平面，平面，所以平面. （2）证明：因为四边形是正方形，所以． 因为底面，底面，所以． 而，所以平面． 又平面，所以． （3）建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，，所以． 设，则，． 由，得，即，即， 故． 设平面DEF的一个法向量，，， 由，得，解得，取，则. 取，又是底面ABCD的一个法向量， 所以， 因为二面角的平面角为锐角， 故平面ABCD和平面DEF所成二面角的余弦值为． 19. 如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割． （1）若，， ①求直线的斜率的取值范围； ②是否存在直线，使得点关于直线的对称点在轴上？若存在，求出此时直线的一般方程，若不存在，请说明理由； （2）若，设玉石经切割后剩余部分的面积为S，求S的取值范围． 【答案】（1）①；②存在直线，使得点关于直线的对称点在轴上；此时直线的一般方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）①由题意得，求得点的坐标，根据直线的倾斜角的变化情况可求直线的斜率的取值范围；②假设存在直线，使得点关于直线的对称点在轴上，求出直线的斜率，结合①中的结论判断即可； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当轴时，直接求出的值；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，求出点的坐标，可求出面积的取值范围，进而可得出的取值范围，综合可得出结论. 【小问1详解】 若，，则， ①由图可知，点在第一象限，设点， 因为，，，则， 所以，解得，即点， 由题图可知，当直线过点时，直线倾斜角最小， 当直线过点时，直线倾斜角最大， 又，， 由图形可得或， 所以直线斜率的取值范围为； ②假设存在直线，使得点关于直线的对称点在轴上，设其为， 直线的斜率显然存在，设直线的方程为， 又因为，所以的中点，所以，即， 又，所以，所以，所以， 所以，所以，解得，又， 所以存在直线，使得点关于直线的对称点在轴上， 此时直线的方程为，即； 【小问2详解】 若，则，因为，又，所以. 当轴时，此时，为线段的垂直平分线， 此时； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即，其中， 直线的方程为，即， 联立，可得，即点， 联立，可得，即点， 所以， 所以， 因为，则，所以， 综上所述，S的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上期数学10月月考试题 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题共58分） 一、单选题 1. 在三棱锥中，（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线过、两点，且倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（ ） A. 垂直 B. 斜交 C. 平行 D. 重合 5. 若，两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 在空间四边形ABCD中，若向量，，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（　 ） A. B. C. D. 7. 在直三棱柱中，，，，是侧棱的中点，则下列直线中与直线垂直的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正八面体由两个相同的正四棱锥组成，其所有棱长为2，，分别为棱，的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列各选项中，不正确的是（ ） A. 若是空间任意四点，则有 B. 对于非零向量 C. 若共线，则 D. 对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面 10. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 的充要条件为或 B. 若，则 C. 若直线不经过第四象限，则 D. 若，则直线关于直线对称的直线方程为 11. 在长方体中，，点M为侧面内一动点（包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点M，使平面 B. 存在点M，使平面 C. 点M到直线的距离的取值范围是 D. 若直线与直线所成角为，则 三、填空题 12. 已知，直线与直线互相平行，则它们之间的距离为_____． 13. 若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则_________． 14. 斜三棱柱中，平面平面，若，，，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切，则三棱柱的高为______． 四、解答题 15. 中，顶点，，边所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求边所在直线的方程； （2）求边的中线所在直线的方程． 16. 如图，在平行六面体中，，，，，设，，． （1）用、、表示、，并求； （2）若点为线段的中点，点为线段的中点，判断点、、、四点是否共面并说明理由． 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，，是的中点，且，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为1的正方形，底面，，为的中点，为上一点，且． （1）证明： 平面； （2）证明：； （3）求平面和平面所成二面角的余弦值． 19. 如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割． （1）若，， ①求直线的斜率的取值范围； ②是否存在直线，使得点关于直线的对称点在轴上？若存在，求出此时直线的一般方程，若不存在，请说明理由； （2）若，设玉石经切割后剩余部分的面积为S，求S的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $