精品解析：重庆市杨家坪中学2026-2027学年高二第一次月考数学试卷

杨家坪中学高2028届高二上第一次月考 数学试题 一、选择题．本题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的． 1. 过两点､的直线的倾斜角是，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由倾斜角与斜率的关系求解． 【详解】由题意可知， 所以. 故选：A 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的数量积为0即可求解. 【详解】因为，所以，解得：. 3. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 都有可能 【答案】A 【解析】 【详解】圆的标准方程为，圆心是，半径为， 圆心到直线的距离：， 故直线与圆相离． 4. 已知直线的一个方向向量是，点是直线上一点，则原点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间点到直线的距离公式，先求向量在直线方向向量上的投影长度，再结合勾股定理计算距离 【详解】因为直线的一个方向向量是，点是直线上一点， 所以，向量，，， 所以，在方向上的投影长度为， 所以，由空间点到直线的距离公式，原点到直线的距离. 5. 如图，在三棱柱中，、分别为、的中点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合向量线性运算的法则，用基底表示. 【详解】 . 6. 已知两点，，点在轴上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】点 C 在 x 轴上，A、B 两点均在 x 轴上方，属于同侧两点. 点 A 关于 x 轴的对称点 ，由对称性知 ， 故 . 根据两点之间线段最短，， 当且仅当 C 为直线 A'B 与 x 轴的交点时取等号 7. 已知圆：上存在四个点到直线：的距离等于1，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定圆的圆心与半径，根据圆上存在4个到直线距离为1的点，推出圆心到直线的距离小于半径减1，代入点到直线距离公式求解b的范围 【详解】由圆可得，圆心为，半径. 若圆上存在四个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离满足， 根据点到直线的距离公式，，代入不等式得： ，  化简得，即，解得. 8. 在正四棱锥中，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，则棱上存在一点，使得平面，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设交于点，连接，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由平面，结合，列出方程，求得的值，进而求得的值． 【详解】连接，设交于点，连接， 因为四棱锥的底面是正方形，且每条侧棱的长都是底面边长的倍， 所以四棱锥为正四棱锥，可得平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示，设底面边长为，则， 可得， 则， 假设在侧棱上存在一点，使得平面， 又因为平面，所以是平面的一个法向量， 设， 则， 由，可得，解得， 即当时，， 又因为平面，所以平面， 故侧棱上存在一点，使得平面，且， 又，则． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，满分18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题意的．全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分． 9. 下列叙述中正确的有（ ） A. 在平面直角坐标系下，每一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B. 若直线斜率，则它的倾斜角为 C. 已知点，，则直线的倾斜角为 D. 若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题考查直线倾斜角与斜率的对应关系、直线方程的应用，需结合倾斜角的取值范围、斜率定义、点斜式方程逐一判断各选项正误 【详解】选项A：直线倾斜角的取值范围是，当倾斜角（即）时，不存在，此时直线没有斜率，因此并非所有直线都有斜率，A错误; 选项B：设直线的倾斜角为，则斜率，结合，可得，B正确； 选项C：点和的横坐标相等，直线是垂直于轴的直线，因此其倾斜角为，C正确； 选项D：直线倾斜角为，则斜率，结合直线过点，由点斜式得直线方程为，即， 将代入方程得，因此这条直线必过点，D正确. 10. 下列命题是真命题的有（ ） A. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 B. 直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则 C. 平面，的法向量分别为，，则 D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A：，， 故 ，即直线 l 与 m 垂直.选项A正确. 选项B：，， 方向向量与法向量垂直，说明直线方向平行于平面.但已知 ，即直线在平面内， 而直线与平面平行的定义是直线与平面没有公共点，直线在平面内不属于平行关系.选项B错误. 选项C：，，两向量对应分量不成比例，不存在实数，使得 故 与 不平行，因此平面 与 不平行.选项C错误. 选项D：，. 是平面 的法向量，故 且 . 得 . 验证：， 将 代入，得 ，解得 ，，满足 . 选项D正确. 11. 已知直线：，：，：，且直线，，围成三角形的面积为，则（ ） A. 直线恒过定点 B. ，使得 C. 的最大值为2 D. 如果，则实数有4个不同取值 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，将的方程整理为关于a的项和常数项分离的形式，联立系数为0的方程求解即可得到定点坐标；对于B，根据两直线平行的条件即可判断；对于C，首先判断三条直线能围成三角形的条件，继而判断，表示出三角形面积的表达式，结合基本不等式即可判断；对于D，求出，的交点坐标，即可求出交点到直线的距离，由此可得三角形面积的表达式，结合求解，即可判断. 【详解】对于A，直线：，即：， 由于，故令，则，可得，即直线恒过定点，A正确； 对于B，若，则且， 解得，即不存在，使得，B错误； 对于C，当时，：，与重合，不符合题意； 当时，：，与重合，不符合题意； 由此可知； 联立，解得，即的交点为，即为A， 联立，解得，即的交点为，设为B， 由于直线：，：，满足， 故，设的交点为P，则直线，，围成三角形即为， 且， 则，当且仅当时等号成立， 即的最大值为2，C正确； 对于D，联立，解得 ，即, 则到：的距离为， 故， 若，则，即， 当时，，解得； 当时，，解得； 综合可知实数有4个不同取值，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆的圆心为，半径，则圆的标准方程为___________． 【答案】 【解析】 【详解】圆的标准方程为：， 由题意得：，代入圆的标准方程得：. 13. 如图，已知直二面角，点，且，垂足为；点且，垂足为，若，，，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【详解】由直二面角，， 可知，且两两垂直， ， 故． 14. 华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合对于解决部分数学问题有着事半功倍的效果．已知，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将根式和转化为动点到正方形四个顶点的距离之和，将对角顶点对应的距离配对，利用三角不等式求下界，并检验能否同时取等． 【详解】设，取、、、，则四点构成边长为2的正方形，由两点间距离公式，题中根式和等于． 由线段长的三角不等式，，且，两式相加得原式． 当为两条对角线的交点，即时，同时在线段和上，两个不等式同时取等，所以原式的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线：和直线：． （1）当时，求到的距离； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）​ （2）​ 【解析】 【小问1详解】 当时，直线的方程为． 点到的距离为． 【小问2详解】 直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，且这两个方向向量均非零． 两直线平行时，两个方向向量平行，因此，即，解得或． 当时，，，两方程表示同一条直线，不满足两直线平行且不重合的条件，故舍去． 当时，，，两直线的方向向量分别为和，二者平行； 又将的方程乘以得，与不同，所以两直线平行且不重合． 所以． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，为中点，为中点，为中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）在直三棱柱中，平面， 所以， 又，所以以为原点，分别为正半轴方向建立空间直角坐标系， 则，因为为中点，为中点，， 所以 因为为中点，所以， 所以， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 所以，所以， 因为平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据直线的方向向量与平面法向量垂直证明线面平行； （2）求直线的方向向量和平面的法向量，利用公式求线面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为 17. 已知点，，． （1）求的外接圆的方程； （2）若直线：与圆相交于，两点，且，求实数的值． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程，代入三个顶点坐标求解系数后化为标准方程； （2）由圆心角为推导圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式列方程求. 【小问1详解】 设外接圆的一般方程为（满足）， 将、、分别代入方程得：，解得：， 因此圆的方程为，配方得标准方程：. 【小问2详解】 由（1）得圆的圆心为，半径. 因为，且，所以圆心到直线的距离. 将直线整理为， 由点到直线距离公式得：， 解得：或. 18. 如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且． （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离；（提示：图甲中连接、）； （3）设的中点为，在平面内取点，使得直线平面，求向量的模长． 【答案】（1）证明：取的中点，连接， 因为，所以， 在中，，所以， 在中，， 即， 在中，，所以， 所以，又因为平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，通过证明和，证得平面，可证平面平面； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，向量法求点到平面的距离； （3）设，由在平面内可知，再由平面，求出点坐标，判断结论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ， 所以，且， 由（1）可知平面， 又因为平面，所以， 所以两两垂直， 如图，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 所以点到平面的距离； 【小问3详解】 设，由在平面内可知， 即，所以， 即，所以，所以， 因为平面，所以是平面的一个法向量，所以， 所以，解得，故， 所以. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，O是的交点，平面，且． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在底面内（含边界）有一动点，满足，记点的轨迹为． ①求的方程； ②若为棱上一点，求的最小值． 【答案】（1）由平面，平面，得， 底面是正方形，故， 而平面，故平面； （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，根据空间角的向量求法即可求解； （3）①设，结合可得方程；②设，可得，则可得的表达式，要求的最小值，对于固定的t，此时需y取到最大值1，再结合二次函数的性质即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以O为原点，分别以的方向为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系, 结合底面是边长为2的正方形，，可得， 则， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，即； 设平面的法向量为，则，即， 令，则，即， 则， 故二面角的正弦值为； 【小问3详解】 ①设，由得， 化简得，即的方程为； ②为棱上一点，，， 设，可得， 设，则 ， 要求的最小值，对于固定的t，此时需y取到最大值1， 令，，而， 即当时， ， 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨家坪中学高2028届高二上第一次月考 数学试题 一、选择题．本题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的． 1. 过两点､的直线的倾斜角是，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 都有可能 4. 已知直线的一个方向向量是，点是直线上一点，则原点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在三棱柱中，、分别为、的中点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 6. 已知两点，，点在轴上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆：上存在四个点到直线：的距离等于1，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在正四棱锥中，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，则棱上存在一点，使得平面，则的值（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，满分18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题意的．全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分． 9. 下列叙述中正确的有（ ） A. 在平面直角坐标系下，每一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B. 若直线斜率，则它的倾斜角为 C. 已知点，，则直线的倾斜角为 D. 若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 10. 下列命题是真命题的有（ ） A. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 B. 直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则 C. 平面，的法向量分别为，，则 D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 11. 已知直线：，：，：，且直线，，围成三角形的面积为，则（ ） A. 直线恒过定点 B. ，使得 C. 的最大值为2 D. 如果，则实数有4个不同取值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆的圆心为，半径，则圆的标准方程为___________． 13. 如图，已知直二面角，点，且，垂足为；点且，垂足为，若，，，则线段的长为________． 14. 华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合对于解决部分数学问题有着事半功倍的效果．已知，，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线：和直线：． （1）当时，求到的距离； （2）若，求实数的值． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，为中点，为中点，为中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知点，，． （1）求的外接圆的方程； （2）若直线：与圆相交于，两点，且，求实数的值． 18. 如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且． （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离；（提示：图甲中连接、）； （3）设的中点为，在平面内取点，使得直线平面，求向量的模长． 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，O是的交点，平面，且． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在底面内（含边界）有一动点，满足，记点的轨迹为． ①求的方程； ②若为棱上一点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $