精品解析：江苏省华罗庚中学2026-2027学年高二上学期阶段性调研数学试卷

2026-2027学年度第一学期高二阶段性调研 数学试卷 （时间：120分钟 页数：共4页 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 若直线经过两点，且倾斜角为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两点的斜率公式即可求解. 【详解】解：由题意知， ， 解得： 故选：A. 2. 设直线，的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用举反例来作出既不充分也不必要条件的判断. 【详解】举反例：取，，满足， 但，，此时， 举反例：取（对应），（对应）， 满足，但， 因此“”是“”的既不充分也不必要条件. 3. 已知直线与圆相交于两点，则的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求圆心到直线的距离，再由垂径定理计算弦长，最终代入三角形面积公式求解． 【详解】圆  的圆心为 ，半径 ， 直线  可化为 ， 圆心 到直线的距离为，设直线与圆交于两点， 则弦长 因此 的面积为． 4. 已知椭圆的左､右两个焦点分别为，且焦距为是上一点，若，且，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用椭圆定义及已知条件得出，再应用余弦定理计算求解即可得出椭圆方程. 【详解】由 在中，由余弦定理可得， 解得，又，所以. 故选:D. 5. 若动点A，B分别在直线：和：上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意易得，M点的轨迹为平行于直线、且到、距离相等的直线l，求出其方程，再利用点到直线的距离公式可得出结果． 【详解】由题意知，M点的轨迹为平行于直线、且到、距离相等的直线l， 可设直线l方程为， 直线、与y轴的交点分别为、，则直线l与y轴的交点分别为， 将代入直线l的方程得， 故其方程为， 到原点的距离的最小值为． 故选C． 6. 已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的斜率，利用数形结合思想，分情况讨论出直线的特殊情况，求解判断即可. 【详解】直线的斜率为. 直线：可变形为，则直线恒过点，， 直线的斜率为. 当直线与平行时，. 结合图象可知，若直线与线段的延长线相交，则，即. 7. 已知，直线，为上的动点.过点作的切线，切点为，当四边形面积最小时，直线的方程为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何性质可得当最小时四边形面积最小，求出四边形外接圆的方程后可求直线的方程. 【详解】由题意可知，. 故四边形的面积. 由圆得①， 圆心，半径，即. 要使四边形面积最小，即最小， 又，即求的最小值. 当直线与垂直时，最小. 直线的斜率，则方程为即. 联立得，即 . 中点，则四边形外接圆为②， 直线方程为①-②，即. 故选：C. 8. 已知不同的两点在曲线上，且满足，则直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将原条件等价转换为过点的直线与半圆弧有两个不同的交点，从而结合点到直线的距离公式可判断直线与圆的位置关系即可得. 【详解】由得， 所以曲线为以为圆心，1为半径的上半圆弧. 不同的两点满足， 则过点的直线与半圆弧有两个不同的交点. 如图，当直线位于直线的位置时，，直线的斜率是， 当过点的直线与圆相切于点时，设直线与曲线相切时，，解得， 如图可知，则直线斜率的取值范围是， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，下列选项正确的有（ ） A. 若，则斜率不存在 B. 若不经过第三象限，则 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】综合运用直线的点斜式，两直线平行、垂直的充要条件进行判断即可. 【详解】对于A，当时，则，则，所以的斜率为0，故A错误； 对于B，由，可得， 若不经过第三象限，则，故B正确； 对于C，若，则，解得或，故C正确； 对于D，若，则直线，，两直线与重合，故D错误． 故选：BC. 10. 已知椭圆C：，P是椭圆C上的动点，，为椭圆C的两个焦点，则下列结论正确的有（ ）. A. 若椭圆C的焦点在y轴上，则 B. 若椭圆C的焦距为2，则或 C. 当时，椭圆上点总满足成立 D. 当时，的周长为18 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程，结合椭圆的定义逐项求解判断. 【详解】对于A，椭圆C：的焦点在y轴上，则，A正确； 对于B，椭圆C的焦距为2，当焦点在轴上时，，解得； 当焦点在轴上时，，解得，B正确； 对于C，当时，椭圆C的焦点，长轴长为，椭圆上点总满足 成立，C错误； 对于D，当时，椭圆C的长短半轴长分别为，半焦距， 因此的周长为，D正确. 故选：ABD 11. 已知圆：，圆：，若圆平分圆的周长，则（ ） A. 圆的圆心在上 B. C. 圆面积的最小值是 D. 已知点，，则的最小值为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由圆的一般式确定圆的圆心坐标判断A；根据圆平分周长的性质，推导的关系判断B；结合的关系求圆半径的最小值，得到面积最小值判断C；利用将军饮马模型，结合圆心的轨迹求距离和的最小值判断D. 【详解】选项A：圆可化为， 圆心坐标为，纵坐标恒为2，因此圆心在直线上，A正确. 选项B：将两圆方程相减得公共弦所在直线方程为， 圆的标准方程为，圆心为. 因为平分的周长，所以公共弦过，代入公共弦方程得，即，B正确. 选项C：圆的半径平方， 将代入得，因此圆面积的最小值为，C错误. 选项D：圆心在直线上，作点关于的对称点， 则，因此， 即最小值为5，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 【答案】或 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】的斜率为，所以其倾斜角为， 如图，直线恒过点,若直线与直线的夹角为， 则的倾斜角为或者，所以斜率为或． 13. 已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于___________ 【答案】或 【解析】 【分析】由两圆的方程得到圆心和半径，再由“有且仅有一个公共点”得到“两圆相切”，进而得到圆心之间的距离与半径的关系，解得的值. 【详解】圆：圆心为，半径为1， 圆：，圆心为，半径为； 又因为圆与圆有且仅有一个公共点，所以两圆相切， 又由两圆的圆心距，则有或， 解得或． 故答案为：或. 14. 在平面直角坐标系中，已知圆：，过点的直线交圆于，两点，且，则满足上述条件的所有直线斜率之和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设点，，因为过点的直线交圆于，两点，且，所以，得，，又由，且，得或，得直线斜率为或，斜率之和为 【详解】设点，，因为过点的直线交圆于，两点，且，所以，即，得，，代入，且，得或，又因为，直线斜率为或，斜率之和为 【点睛】根据题设几何特征，建立未知量的方程式，通过计算解出未知数，将几何问题转化为代数问题解决 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线与直线互相垂直且交于点. （1）求的值及点的坐标； （2）若过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求的直线方程. 【答案】（1），. （2）或. 【解析】 【分析】（1）先利用直线可求出，再列出两直线相交方程组，即可求解； （2）根据题意可得直线的斜率显然存在且不为，可设，从而可求出相应的截距，即可求解. 【小问1详解】 由题得，所以，解得， 所以，即. 由方程组解得 所以点的坐标为. 【小问2详解】 直线的斜率显然存在且不为，设， 令，得，令，得，所以. 化简得，解得或， 所以直线的方程为：或. 16. 已知椭圆的焦点为，且该椭圆经过点. （1）求的标准方程； （2）若为上一点，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程. （2）根据椭圆的定义求得，从而求得的面积. 【小问1详解】 依题意，设椭圆方程为， 所以，解得. 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由于，，根据抛物线的定义有： ，整理得， 所以的面积为. 17. 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）已知线段PQ的端点Q的坐标是，端点P在圆C上运动，线段PQ的中点T的轨迹为曲线S，曲线S与圆C相交于D，E两点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求线段的垂直平分线方程得，进而与直线联立得圆心坐标，再求半径，最后得标准方程； （2）设，进而根据相关点法得的轨迹方程为，再两圆方程作差得公共弦方程为，最后求解弦长即可. 【小问1详解】 解：由题知线段的中点为，的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为，其方程为， 所以圆心C在直线上， 又因为圆心C在直线上， 所以，解得，即圆心坐标为， 所以圆C的半径为 所以圆C的标准方程为 【小问2详解】 解：设， 因为，所以由中点坐标公式得 因为P在圆C上运动，即 所以，即， 所以点的轨迹方程为，即曲线的方程. 圆：，曲线： 所以圆与曲线的公共弦方程为， 圆心到公共弦的距离为， 所以公共弦 18. 在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足． （1）求证：点P的曲线C为圆，并指出圆心C坐标及半径． （2）若，求过点A且与曲线C相切的直线方程． （3）已知，直线与圆C交于M、N两点，圆心为C，，求k的值． 【答案】（1）证明：设，则，， 由，则， 即，又， 整理得，配方得， 故点P的曲线C为圆， 则圆心，半径为； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设 ，将 两边平方，展开后对配方，即可化为圆的标准方程，即可直接读出圆心坐标和半径； （2）利用（1）中所得可得圆C方程，及其圆心坐标与半径，再利用切线性质计算即可得； （3）由题意可得为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形性质与点到直线距离公式计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若，则圆C为，圆心，半径为， 若切线斜率不存在，则为，此时圆心C到的距离为，不符； 若切线斜率存在，设过点A且与曲线C相切的直线方程为， 则有，化简得，解得， 故过点A且与曲线C相切的直线方程为； 【小问3详解】 由题意可得，又，则， 故为等腰直角三角形， 则点到直线的距离为， 即有，整理得，解得. 19. 抛物线与坐标轴交于三点，圆过三点. （1）求b的取值范围： （2）当时，求圆C的方程； （3）在（2）条件下，已知圆设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线与，它们分别与圆C和圆D相交，且直线被圆C截得的弦长与直线被圆D截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据交点个数分析得到不等关系进而求得参数的范围. （2）当时，先求抛物线与坐标轴的交点，设圆的一般方程，代入交点坐标得到参数的值，进而得到所求圆的一般方程. （3）根据已知条件先求的两个圆的圆心坐标和半径，设，得到直线的方程，结合圆心到直线的距离相等，进而求得满足条件的点的坐标. 【小问1详解】 由题意得抛物线与轴有两个不同的交点，与轴有一个交点，所以 ，解得. 【小问2详解】 当时，抛物线， 当时，；当时，， 设圆， 当时，，令得①： 当时，，所以，代入①得， 所以圆. 【小问3详解】 由（2）知，圆，所以圆心，半径， 圆心，半径，不妨令直线的斜率存在且不为0， 设，故设直线，即， 设直线，即， 令圆心到的距离为，则， 令圆心到的距离为，则， 由题意得，即， 所以或， 即或有无数的使之成立， 所以或， 解得或， 所以或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期高二阶段性调研 数学试卷 （时间：120分钟 页数：共4页 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 若直线经过两点，且倾斜角为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 设直线，的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知直线与圆相交于两点，则的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 4 4. 已知椭圆的左､右两个焦点分别为，且焦距为是上一点，若，且，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若动点A，B分别在直线：和：上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，直线，为上的动点.过点作的切线，切点为，当四边形面积最小时，直线的方程为（ ）. A. B. C. D. 8. 已知不同的两点在曲线上，且满足，则直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，下列选项正确的有（ ） A. 若，则斜率不存在 B. 若不经过第三象限，则 C. 若，则或 D. 若，则 10. 已知椭圆C：，P是椭圆C上的动点，，为椭圆C的两个焦点，则下列结论正确的有（ ）. A. 若椭圆C的焦点在y轴上，则 B. 若椭圆C的焦距为2，则或 C. 当时，椭圆上点总满足成立 D. 当时，的周长为18 11. 已知圆：，圆：，若圆平分圆的周长，则（ ） A. 圆的圆心在上 B. C. 圆面积的最小值是 D. 已知点，，则的最小值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 13. 已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于___________ 14. 在平面直角坐标系中，已知圆：，过点的直线交圆于，两点，且，则满足上述条件的所有直线斜率之和为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线与直线互相垂直且交于点. （1）求的值及点的坐标； （2）若过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求的直线方程. 16. 已知椭圆的焦点为，且该椭圆经过点. （1）求的标准方程； （2）若为上一点，且，求的面积. 17. 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）已知线段PQ的端点Q的坐标是，端点P在圆C上运动，线段PQ的中点T的轨迹为曲线S，曲线S与圆C相交于D，E两点，求. 18. 在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足． （1）求证：点P的曲线C为圆，并指出圆心C坐标及半径． （2）若，求过点A且与曲线C相切的直线方程． （3）已知，直线与圆C交于M、N两点，圆心为C，，求k的值． 19. 抛物线与坐标轴交于三点，圆过三点. （1）求b的取值范围： （2）当时，求圆C的方程； （3）在（2）条件下，已知圆设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线与，它们分别与圆C和圆D相交，且直线被圆C截得的弦长与直线被圆D截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $