精品解析：江苏省扬州中学2026-2027学年第一学期自主学习效果评估高二数学试题

江苏省扬州中学2026-2027学年第一学期自主学习效果评估 高二数学 2026.10 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为纯虚数，则实数的值为（   ） A. 0 B. 2或 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由为纯虚数，可得，解得. 2. 已知直线过点且与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由垂直关系可设直线的方程为，再把代入方程即可求解. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以可设直线的方程为，把代入方程可得， 所以直线的方程为. 故选：B 3. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用除法法则整理即可得到复数的坐标形式，进而求即可. 【详解】由，则， 故，即， 因此在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C 4. 圆关于直线对称，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 5. 复数在复平面内对应的点满足，则以下选项中的点在复数所构成图形上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数几何意义依次代入计算判断即可. 【详解】对于A，复数，代入得，故A不符合题意； 对于B，复数，代入得，故B符合题意； 对于C，复数，代入得，故C不符合题意； 对于D，复数，代入得，故D不符合题意. 故选：B 6. 已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用点关于线的对称找出对称点，结合光线反射性质计算即可. 【详解】点关于对称的点设为， 则，反射光线经过点， 则反射光线所在的直线方程为，即. 故选:C. 7. 已知，，若直线上存在点，满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据的条件求出点的轨迹为圆，再结合直线与圆有公共点的等价条件，即圆心到直线的距离不大于半径，建立关于的不等式求解取值范围. 【详解】设点的坐标为. ∵ ，∴ ， 两边平方得 ， 展开整理得 ，即点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆. ∵ 点在直线上， ∴ 直线与圆有公共点， ∴ 圆心到直线的距离， ，解得, 即实数的取值范围是. 8. 对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，，，由条件结合伴随的定义可判断结论. 【详解】设，，，， 则，， 当和伴随，有或， 又，， 若和伴随，则或， 所以和伴随的充要条件是，即. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知直线：，：，则（ ） A. ，不可能重合 B. 若，则 C. 若，则 D. 的倾斜角可能为0 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A选项，假设与重合，则存在非零实数，使得， 故，该方程组无解，故不可能重合，A正确. 对于B选项，当时，，，两直线垂直不平行； 当时，若，则两直线斜率相等，即，解得， 当时，满足要求； 当时，满足要求，所以，故B错误. 对于C选项，若，则，解得，故C正确. 对于D选项，若的倾斜角为0，则的斜率为0，当时，，倾斜角为； 当时，的斜率为，令无实数解，故的倾斜角不可能为0，D错误. 10. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的模长公式、共轭复数的性质、复数的运算即可解答. 【详解】因为， 所以， ， . 所以； ； . 故选：ABD. 11. 数学之美，古来共谈.如图甲，在平面直角坐标系中有与轴交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针旋转一周时，扫过的区域是图乙所示美丽的“心形”（记作），则（ ） A. 若，则与轴公共点坐标为和 B. 点运动轨迹为圆心为，半径为的圆 C. 当与轴相切时， D. 图乙中，心形区域与轴交点纵坐标的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：设与轴交于，根据条件判断出的位置，则结果可知；B：取中点，根据作出判断；C：设出点坐标，根据相切关系求解出的坐标，然后可求解出，则结果可知；D：根据条件先判断出与有且仅有一个公共点时与轴交点纵坐标有最大值，然后由点到直线的距离公式求解出点纵坐标，则结果可知. 【详解】对于A：设与轴交于，连接，如图所示， 因为为的直径，所以轴， 当时，则，此时点即为点， 所以与轴公共点坐标为和，故正确； 对于B：取中点，连接，如图所示， 因为为的中点，所以，且， 所以点运动轨迹为圆心为，半径为的圆，故正确； 对于C：设，且， 所以中点，， 当与轴相切时，，化简可得， 由，可解得， 所以，故错误； 对于D：如图所示，设与轴交于点(轴正半轴上的点)，则， 逆向思考，对于轴正半轴上一点作，若与有公共点即为点， 当点距离轴最远时，与有且仅有一个公共点， 设，则， 所以到的距离为，解得，所以， 所以与轴的交点到轴距离的最大值为，故正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一元二次方程的一个虚根为，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为一元二次方程的一个虚根为， 所以，即， 即， 即，解得：. 13. 已知是直线上的两点，若，且，则直线的一般式方程为________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据两点间的距离公式以及直线方程代入化简，解出k，得到斜截式，再化为一般式即可. 【详解】由两点间的距离公式得， 由于A，B在直线上，则，， 代入化简得 ， 所以 ，解得 ， 所以直线 的斜截式方程为： 或， 化成一般式为：或， 故答案为：或. 14. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数、满足，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】变形得到式子的几何意义为上的点到直线的距离与它到点的距离比值的2倍，作出辅助线，得到，数形结合得到过点的直线与圆相切于点，此点位于第一象限时，此时取得最大值，设直线为，与圆方程联立，根据根的判别式为0求出，从而得到切点坐标，代入求出最大值. 【详解】由配方得,则圆心为，半径为, 因可以看作圆上的点 到直线的距离与它到点的距离比值的2倍， 而圆心到的距离为，则直线与圆相交， 且圆心在直线上方， 过点作于点，则，即， 由图知，当过点的直线与圆相切于点，且点在第一象限时，取得最大值， 此时取到最大值， 设直线的方程为， 将其与联立得， 由得，结合图形应取， 将代入，得，解得， 再将代入中得，则切点坐标为， 代入中得， 故的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知直线经过点． （1）若直线不经过原点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若直线与平行，求直线的方程，并求与之间的距离． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据题目设的方程为，将点代入求出，即可得到直线方程. （2）根据两直线平行设方程为，将点代入求出，即可得到直线方程， 利用平行线间的距离公式即可求出与之间的距离. 【小问1详解】 由直线不过原点，设直线的方程为， 则有，解得，即直线的方程为. 【小问2详解】 因为直线与平行， 所以设直线方程为， 又直线经过点，所以，所以， 所以直线的方程为 与之间的距离为. 16. 已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）. （1）设复数，求； （2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简得到，根据纯虚数得到方程和不等式，求出，利用除法法则得到，求出模长； （2）化简得到，根据所在象限，得到不等式，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 ， ∵是纯虚数，，解得， ，则； 【小问2详解】 ， 复数， ∵在复平面对应的点在第一象限，， 解得， 实数的取值范围是. 17. 已知动直线过定点. （1）求的坐标： （2）若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. （3）若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，当取得最小值时，求直线的方程. 【答案】（1） （2）存在，且直线的方程为 （3） 【解析】 【分析】（1）将直线的方程可化为，解方程组，可得出点的坐标； （2）设直线的截距式方程，代入定点，再分别表示的周长和面积，求解参数、即可； （3）由（1）直线的倾斜角，再根据三角函数表达出，令，再根据三角函数的范围与函数的单调性求解即可 【小问1详解】 解：直线的方程可化为， 由，解得，故直线过定点． 【小问2详解】 解：设直线l的方程为， 将代入得．① 由、，的周长为，面积为，得， 令，则， 所以，即，化简得，解得， 所以有，解得或． 其中不满足①，满足①． 所以存在直线的方程为，即满足条件． 【小问3详解】 解：由（1）可知直线l过定点，直线与轴、轴的正半轴分别交于、两点， 所以直线的倾斜角， 所以，， 所以，② 令， 因为，所以，所以， 所以． 则， 因为在上为减函数，所以在上为增函数， 故当，即时，取得最小值． 此时直线l的方程为，即． 【点睛】关键点点睛：解本题第（3）问的关键在于引入角，利用几何关系将、用含的三角函数式表示，再结合三角恒等变换结合三角函数的有界性来求最值. 18. 已知圆过点，且与圆：关于直线对称． （1）求圆的方程； （2）过点作两条相异直线分别与圆相交于，． ①若直线和直线互相垂直，求的最大值； ②若直线和直线与轴交于点、且，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由． 【答案】（1） （2）① ②平行，理由如下： 由题意知，直线和直线的斜率存在，且互为相反数，故可设， ，    由，得， 因为的横坐标一定是该方程的解，故可得 ， 同理，， ， 所以，直线和一定平行． 【解析】 【分析】（1）根据对称关系求出圆方程即可； （2）①令、即，为过点的两条弦，设、被圆所截得弦的中点分别为、，弦长分别为，，由垂直关系可得四边形是矩形，即，进而根据半弦长，弦心距，圆半径构造直角三角形，满足勾股定理，得到，进而由基本不等式，得到的最值，从而求得结果； ②由已知直线和直线与轴分别交于点、，且，可得直线与斜率都存在，且互为相反数，可设，，求出，坐标后，代入斜率公式，判断直线和的斜率是否相等，即可得到答案. 【小问1详解】 由题可得圆圆心为， 设圆心，则，解得 则圆的方程为，将点的坐标代入得，故圆的方程为 【小问2详解】 ①令、即，为过点的两条弦， 设、被圆所截得弦的中点分别为、，弦长分别为，， 由圆的性质可知： ，    所以，即，化简得 从而， 时取等号，此时直线，必有一条斜率不存在 综上：、被圆所截得弦长之和的最大值为； ②略. 19. 已知圆和点. （1）过点向圆引切线，求切线的方程； （2）求以点为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆的方程； （3）设为（2）中圆上任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）或；（2）；（3）存在定点，此时为定值或定点，此时为定值. 【解析】 【分析】 （1）讨论斜率是否存在：当斜率不存在时，易判断为圆的切线；当斜率存在时，设出直线方程，由圆心到直线距离等于半径，即可求得斜率，进而确定直线方程. （2）由点到直线距离公式可先求得点到直线的距离，再根据所得弦长和垂径定理，即可确定半径，进而得圆的方程； （3）假设存在定点，使得为定值，设，，，根据切线长定理及两点间距离公式表示出，代入并结合圆M的方程，化简即可求得，进而代入整理的方程可得关于的一元二次方程，解方程即可确定的值，即可得定点坐标及的值. 【详解】（1）若过点的直线斜率不存在，直线方程为，为圆的切线； 当切线的斜率存在时，设直线方程为， 即， 圆心到切线的距离为，解得， 直线方程为 综上切线的方程为或， （2）点到直线的距离为， 又圆被直线截得的弦长为8， ， 圆的方程为， （3）假设存在定点，使得为定值， 设，， 点在圆上， ，则 为圆的切线， ， ， ， 即 整理得 若使对任意恒成立，则， ，代入得， 化简整理得，解得或， 或， 存在定点，此时为定值或定点， 此时为定值. 【点睛】本题考查了过圆外一点的切线方程求法，注意斜率不存在的情况，由几何关系确定圆的方程，圆中定点和定值问题的综合应用，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬州中学2026-2027学年第一学期自主学习效果评估 高二数学 2026.10 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为纯虚数，则实数的值为（   ） A. 0 B. 2或 C. 2 D. 2. 已知直线过点且与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 圆关于直线对称，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 5. 复数在复平面内对应的点满足，则以下选项中的点在复数所构成图形上的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，若直线上存在点，满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（ ）. A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知直线：，：，则（ ） A. ，不可能重合 B. 若，则 C. 若，则 D. 的倾斜角可能为0 10. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 11. 数学之美，古来共谈.如图甲，在平面直角坐标系中有与轴交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针旋转一周时，扫过的区域是图乙所示美丽的“心形”（记作），则（ ） A. 若，则与轴公共点坐标为和 B. 点运动轨迹为圆心为，半径为的圆 C. 当与轴相切时， D. 图乙中，心形区域与轴交点纵坐标的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一元二次方程的一个虚根为，则实数的值为__________． 13. 已知是直线上的两点，若，且，则直线的一般式方程为________. 14. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数、满足，则的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知直线经过点． （1）若直线不经过原点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若直线与平行，求直线的方程，并求与之间的距离． 16. 已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）. （1）设复数，求； （2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 17. 已知动直线过定点. （1）求的坐标： （2）若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. （3）若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，当取得最小值时，求直线的方程. 18. 已知圆过点，且与圆：关于直线对称． （1）求圆的方程； （2）过点作两条相异直线分别与圆相交于，． ①若直线和直线互相垂直，求的最大值； ②若直线和直线与轴交于点、且，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由． 19. 已知圆和点. （1）过点向圆引切线，求切线的方程； （2）求以点为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆的方程； （3）设为（2）中圆上任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $